1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”2 17已知 tan sin 2 fxxx cos3 3 x ，ABC的内角, ,A B C的对边分别 为, ,a b c，B为锐角，且 3f B . （1）求角B的大小； （2）若3b，2ac，求ABC的面积. 18 如图， 在四棱锥SABCD中， 底面ABCD是直角梯形， / /ADBC，ABBC，SAB 是等边三角形，侧面SAB底面ABCD，2 3AB ，3BC ，1AD ，点M、点N分 别在棱SB、棱CB上，2BMMS，2BNNC，点P是线段MN上的任意一点. （1）求证：/ /AP平面SCD； （2）求二面角SCDB的大小. 19在贯彻中共中
2、央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100 户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情 况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x.将指标x按照0,0.2，0.2,0.4， 0.4,0.6，0.6,0.8，0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若 00.6x， 则认定该户为“绝对贫困户”， 否则认定该户为“相对贫困户”； 当00 . 2x时， 认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水 平记为“良好”与“不好”两种. （1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把
3、握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有 关： 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计 100 （2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于00.4,的贫困户中，随 机选取两户，用X表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X的分布列和数学期望EX. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd . 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 20已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，其右顶点为A，下顶点为B， 定点0
4、,2C，ABC的面积为3， 过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于,P Q两点， 直线,BP BQ分别与x轴交于,M N两点. （1）求椭圆C的方程； （2）试探究,M N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 21已知函数 42 ln a fxaxx x . （1）当4a时，求函数 f x的单调区间； （2）设 2 6 x g xemx，当 2 2ae时，对任意 1 2,x ，存在 2 1x ,， 使得 2 12 2f xeg x，求实数m的取值范围. 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 3 2 2 2 xt yt ， （t为参数） ，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极
5、坐标系，圆C的极坐标方程为 2 4 sin50. （1）求圆C的直角坐标方程； （2）若直线l与圆C交于,A B两点，定点3,0F，求FAFB的值. 23选修 4-5：不等式选讲 已知实数正数 x, y 满足1xy （1）解关于 x 的不等式 5 2 2 xyxy； （2）证明： 22 11 119 xy 2020 届高三数学（理） “大题精练”2（答案解析） 17已知 tan sin 2 fxxx cos3 3 x ，ABC的内角, ,A B C的对边分别 为, ,a b c，B为锐角，且 3f B . （1）求角B的大小； （2）若3b，2ac，求ABC的面积. 【详解】 （1）函数 4t
6、an sin 2 f xxx cos3 3 x 4tancoscos3 3 xxx 4sin cos3 3 xx 2 2sin cos2 3sin3xxx 1 cos2 sin22 33 2 x x sin23cos2xx 2sin 2 3 x ， 由 3f B 得： 3 sin 2 32 B ， B为锐角， 2 2, 333 B ， 2 33 B 3 B ； （2）由余弦定理有 222 2cosbacacB， 3b，2ac， 3 B ， 2 22 924cos 3 ccc ， 2 3c， 1 sin 2 ABC SacB 2 3 3 sin 2 cB . 18 如图， 在四棱锥SABCD中，
7、 底面ABCD是直角梯形， / /ADBC，ABBC，SAB 是等边三角形，侧面SAB底面ABCD，2 3AB ，3BC ，1AD ，点M、点N分 别在棱SB、棱CB上，2BMMS，2BNNC，点P是线段MN上的任意一点. （1）求证：/ /AP平面SCD； （2）求二面角SCDB的大小. 【详解】 （1）连接,AM AN，由2BMMS，2BNNC得/MNSC / /MN平面SCD 且 1 1 3 NCBCAD ，又/ /ADBC， 则四边形ADCN为平行四边形， 故/ANDC，/AN平面SCD 又MNANNI 面 /AMN面SCD， 又AP面AMN /AP平面SCD. （2）如图，以AB中点
8、O为原点，AB的中垂线为z轴，直线BA为x轴，过O于BC平 行的直线为y轴，建立空间直角坐标系 则面BCD的其中一个法向量 1 0,0,1n ， 设面SCD的一个法向量 2 , ,nx y z 又0,0,3S，3,1,0D，3,3,0C 3,1, 3SD uuu r ，2 3, 2,0CD uuu r 2 2 0 0 SD n CD n 330 2 320 xyz xy ，令1y 得， 32 (,1, ) 33 n 则 12 12 12 cos, n n n n n n ur uu r ur uu r ur uu r 2 1 3 4 2 1 3 故二面角SCDB的大小为 3 . 19在贯彻中共
9、中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100 户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情 况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x.将指标x按照0,0.2，0.2,0.4， 0.4,0.6，0.6,0.8，0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若 00.6x， 则认定该户为“绝对贫困户”， 否则认定该户为“相对贫困户”； 当00 . 2x时， 认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水 平记为“良好”与“不好”两种. （1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的
10、把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有 关： 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计 100 （2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于00.4,的贫困户中，随 机选取两户，用X表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X的分布列和数学期望EX. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd . 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 【详解】 （1）由题意可知，绝对贫困户有0.25 0.500.750.2 10030（户） ，可得出如列 联
11、表： 受教育水平 良好 受教育水平 不好 总计 绝对贫困户 2 28 30 相对贫困户 18 52 70 总计 20 80 100 2 2 10018 282 52 30 70 20 80 K 4.7623.841 故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关 （2）贫困指标在00.4,的贫困户共有0.25 0.50.2 10015（户） ， “亟待帮助户”共有0. 25 0.2 1005（户） ， 依题意X的可能值为0，1，2， 2 10 2 15 3 0 7 C P X C ， 11 105 2 15 10 1 21 C C P X C ， 2 5 2 15 2 2 21 C P
12、X C ， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 3 7 10 21 2 21 故 31022 012 721213 EX 20已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，其右顶点为A，下顶点为B， 定点0,2C，ABC的面积为3， 过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于,P Q两点， 直线,BP BQ分别与x轴交于,M N两点. （1）求椭圆C的方程； （2）试探究,M N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 【详解】 （1）由已知，,A B的坐标分别是,0 ,0,A aBb由于ABC的面积为3， 1 (2)3 2 b a，又由 3 2 e 得2ab， 解得：=1b
13、，或=3b （舍去） ， 2, =1ab 椭圆方程为 2 2 1 4 x y； （2）设直线PQ的方程为2ykx，,P Q的坐标分别为 1122 ,P x yQ x y 则直线BP的方程为 1 1 1 1 y yx x ，令0y ，得点M的横坐标 1 1 1 M x x y 直线BQ的方程为 2 2 1 1 y yx x ，令0y ，得点N的横坐标 2 2 1 N x x y 12 12 (1)(1) MN x x xx yy 12 12 (3)(3) x x kxkx 12 2 1212 3 ()9 x x k x xk xx 把直线2ykx代入椭圆 2 2 1 4 x y得 22 (1 4
14、)16120kxkx 由韦达定理得 12 2 12 14 x x k , 12 2 16 14 k xx k 2 22 22 12 14 1248 9 1414 MN k x x kk kk 222 124 12489363kkk ，是定值 21已知函数 42 ln a fxaxx x . （1）当4a时，求函数 f x的单调区间； （2）设 2 6 x g xemx，当 2 2ae时，对任意 1 2,x ，存在 2 1x ,， 使得 2 12 2f xeg x，求实数m的取值范围. 【详解】 （1）函数 f x的定义域为(0,)， 2 24 ( )1 aa fx xx 2 (2)(2)xxa
15、 x ， 由( )0fx ，得2x或2xa. 当4a 即22a时，由( )0fx 得22xa， 由( )0fx 得02x或2xa； 当4a即22a时，当0x时都有( )0fx ； 当4a 时，单调减区间是(2,2)a，单调增区间是(0,2)，(2,)a； 当4a时，单调增区间是0,，没有单调减区间. （2）当 2 2ae时，由（1）知 ( )f x在 2 2,e上单调递减，在 2, e 上单调递增， 从而 ( )f x在 2,上的最小值为 22 ()6f ee . 对任意 1 2,x ，存在 2 1x ,，使得 2 21 2g xf xe， 即存在 2 1x ,，使( )g x的值不超过 2
16、2ef x 在区间2,上的最小值 2 6e . 由 22 66 x eemx， 2 2 eex m x . 令 2 2 ( ) x ee h x x ，则当 1,x时， max ( )mh x. 22 2 2 2 ( ) xx e xex h x e x 2 3 2 xx exee x ， 当 1,2x 时( )0h x ；当2,)x时， 2 2 xx exee 20 xx xee， ( )0h x. 故( )h x在1,)上单调递减， 从而 2 max ( )(1)h xhee， 从而 2 mee . 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 3 2 2 2 xt yt ， （t为参
17、数） ，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 2 4 sin50. （1）求圆C的直角坐标方程； （2）若直线l与圆C交于,A B两点，定点3,0F，求FAFB的值. 【详解】 （1）将 222 =,xy ysin 代入 2 4 sin50，得： 22 450yxy ， 即圆C的直角坐标方程为 22 (2)9xy； （2）设点A B，对应的参数为 12 tt， 把直线 l 的参数方程 2 3 2 2 2 xt yt 代入 22 (2)9xy， 得： 22 ( 22 (3)9 22 2)tt 化简得 2 5 240tt ， 12 5 2tt ， 12 FAFBt
18、t 12 5 2tt 23选修 4-5：不等式选讲 已知实数正数 x, y 满足1xy （1）解关于 x 的不等式 5 2 2 xyxy ； （2）证明： 22 11 119 xy 【详解】 （1） 1,0,0xyxy且 01 5 2 5 2221 2 x xyxy xx 01 01 111 2121 222 x x xxxxx 解得 1 1 6 x，所以不等式的解集为 1 ,1 6 （2）解法 1： 1,xy且0,0xy， 22 22 2222 11 11 xyxxyy xyxy 22 22 22xyyxyx xy 22 22 22yyxx xxyy 22 5 xy yx 22 259 xy yx . 当且仅当 1 2 xy时，等号成立. 解法 2： 1,xy且0,0xy ， 22 2222 1111 11 xy xyxy 22 1111xxyy xy 22 11x yy x xy 1xyxy xy 2 1 xy 2 2 19 2 xy 当且仅当 1 2 xy时，等号成立.
