1、 2020 届高三数学(理) “大题精练”4 17已知函数 2 ( )sin(2)sin(2)2cos1 66 f xxxxa . (1)若 ( )f x的最小值是 2,求 a; (2) 把函数( )yf x图像向右平移 6 个单位长度, 得到函数( )yg x图像, 若 3a 时, 求使( ) 0g x 成立的 x 的取值集合. 18已知定义在 R 上的偶函数 ( )f x和奇函数( )g x满足 1 ( )( )2xf xg x . (1)证明: 2 (2 ) ( )2fxg x; (2)当 1,2x 时,不等式(2 )( )1 0fxag x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 19已知函
2、数 32 ( )21()f xxaxaR. (1)求 ( )f x的极值; (2)若 ( )f x在(0,)内有且仅有一个零点,求( )f x在区间 2,2 上的最大值、最小值. 20已知数列 n a中, 1 9a , 2 3a ,且 * 2 (1 2 cos)2 sin,() 22 nn nn aanN . (1)判断数列 2n a足否为等比数列,并说明理由; (2)若 2121 1 n nn b aa ,求数列 n b的前 n 项和 n S. 21 已知钝角ABC中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 其中 A 为钝角, 若 tanbaB, 且 3 2sin2sincos
3、 2 CBA. (1)求角 C; (2)若点 D 满足2BDDC,且 2AD ,求ABC的周长. 22已知函数 2 ( )(1) () x f xxea xaR (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围. 2020 届高三数学(理) “大题精练”4(答案解析) 17已知函数 2 ( )sin(2)sin(2)2cos1 66 f xxxxa . (1)若 ( )f x的最小值是 2,求 a; (2) 把函数( )yf x图像向右平移 6 个单位长度, 得到函数( )yg x图像, 若 3a 时, 求使( ) 0g x 成立的 x 的取值集合. 解: (1
4、)( )3sin2cos22sin(2 ) 6 f xxxaxa min ( )22f xa ,4a (2)( )()2sin(2 )3 66 g xf xx 由( ) 0g x 知 3 sin(2) 62 x , 2 222, 363 kxkk Z剟 解得, 5 , 412 kx kk Z剟 满足 ( ) 0g x 的 x 取值的集合为 5 , 412 x kx kk Z剟. 18已知定义在 R 上的偶函数 ( )f x和奇函数( )g x满足 1 ( )( )2xf xg x . (1)证明: 2 (2 ) ( )2fxg x; (2)当 1,2x 时,不等式(2 )( )1 0fxag
5、x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1)依题意 1 ( )( )2xf xg x , 又 ( )f x为偶函数,( )g x为奇函数 1 ()()2 x fxgx ,即 1 ( )( )2 x f xg x 由得( )22 xx f x ,( )22 xx g x 2222 (2 )22(22 )2 ( )2 xxxx fxg x 得证; (2)原不等式可化为 2 ( )( )3 0g xag x 当 1,2x 时, 3 ( ) ( ) a g x g x 成立,其中 3 15 ( ) , 24 g x 当 1,2x 时, min 3 ( ( )2 3 ( ) g x g x 当且仅
6、当( )3g x 时取最小值 2 3a , 2 3a . 19已知函数 32 ( )21()f xxaxaR. (1)求 ( )f x的极值; (2)若 ( )f x在(0,)内有且仅有一个零点,求( )f x在区间 2,2 上的最大值、最小值. 解: (1) 2 ( )626 () 3 a fxxaxx x 当0a时, 2 ( )60fxx , ( )f x在 R 上是单调增函数,故( )f x无极值. 当0a,此时0 3 a ,当0x或 3 a x 时,( )0fx 0 3 a x时,( )0fx (0)1( )f xf 极大值 , 3 ( )( )1 327 aa f xf 极小值 当0
7、a 时,0 3 a ,当 3 a x 或0x,( )0fx 0 3 a x,( )0fx 3 ( )( )1 327 aa f xf 极大值 , ( )(0)1f xf 极小值 综上,当0a时, ( )f x无极值, 当0a时, ( )1f x 极大值 , 3 ( )1 27 a f x 极小值 , 当0a 时, 3 ( )1 27 a f x 极大值 , ( )1f x 极小值 (2)若 ( )f x在(0,)内有且只有一个零点 由(1)知,0a且( )( )0 3 a f xf 极小值 即 3 10 27 a ,3a 32 ( )231f xxx 又当 2,2x 时, (0)1( )f x
8、f 极大值 , ( )(1)0f xf 极小值 ,(2)5(0)1ff , ( 2)27(1)0ff 故 ( )f x在 2,2 上的最大值为(2)5f,最小值为( 2)27f . 20已知数列 n a中, 1 9a , 2 3a ,且 * 2 (1 2 cos)2 sin,() 22 nn nn aanN . (1)判断数列 2n a足否为等比数列,并说明理由; (2)若 2121 1 n nn b aa ,求数列 n b的前 n 项和 n S. 解: (1) 2n a是等比数列 依题意知当 n 为偶数时, 2 3 nn aa 222 3 nn aa ,又 2 30a 数列 2n a为公比是
9、 3 的等比数列 (2)当 n 为奇数时 2 2 nn aa , 所以数列 21n a 是以 1 9a 为首项,以2为公差的等差数列 21 92(1)211 n ann 11111 () ( 211)( 29)(29)(211)2 21129 n nnnn b nn 12 1111111 () 2977521129 nn Sbbb nn 11111 () 292918418nn . 21 已知钝角ABC中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 其中 A 为钝角, 若 tanbaB, 且 3 2sin2sincos 2 CBA. (1)求角 C; (2)若点 D 满足2BDDC,
10、且 2AD ,求ABC的周长. 解: (1)tanbaB, sinsin sin cos AB B B ,又(0, )B, sin0B,sincosAB 又 A 为钝角,A为锐角,sin()sin() 2 AB 2 AB 即 2 AB 又 3 2sin2sincos 2 CBA, 3 2sin()2sincos 2 ABBA 3 2(sincoscossin)2sincos 2 ABABBA, 3 sincos 4 AB 2 AB ,B 为锐角,故 3 sin()cos 24 BB , 2 3 cos 4 B , 3 cos 2 B 6 B , 2 3 A , 6 C (2) 6 BC ,bc
11、,又 2 3 A ,由余弦定理知 2222 2cos3abcbcAb,3ab=,2BDDC 法一: 12 33 ADABAC 22222 121441 |()| 339993 ADABACABAB ACACAB 22 |3|6ABAD即3 |6cAD 3 2a ABC的周长为3 2 2 6 法二: 6 BC ,bc,又 2 3 A ,由余弦定理得 2222 2cos3abcbcAb,3ab= 在ABD中, 222 2cosADABBDAB BDB 22 223 2()2() 332 caca 联立得 3 2a ,6bc 故ABC的周长为3 22 6. 22已知函数 2 ( )(1) () x
12、f xxea xaR (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围. 解: (1)( )(1)2 (1)(1)(2 ) xx fxxea xxea ()0a时,当(, 1)x 时, ( ) 0fx ;当 ( 1,)x 时, ( ) 0fx , 所以 f(x)在(, 1) 单调递减,在( 1,) 单调递增; ()0a 时 若 1 2 a e ,则 1 ( )(1)() x fxxee,所以 f(x)在( ,) 单调递增; 若 1 2 a e ,则ln( 2 )1a ,故当(,ln( 2 )( 1,)xa 时, ( ) 0fx , (ln( 2 ), 1)xa
13、, ( ) 0fx ;所以 f(x)在( ,ln( 2 ),( 1,)a 单调递增,在 (ln( 2 ), 1)a 单调递减; 若 1 2 a e ,则ln( 2 )1a ,故当(, 1)(ln( 2 ),)xa , ( ) 0fx , ( 1,ln( 2 )xa , ( ) 0fx ;所以 f(x)在( , 1),(ln( 2 ),)a 单调递增,在 ( 1,ln( 2 )a 单调递减; 综上:0a时,f(x)在(, 1) 单调递减,在( 1,) 单调递增; 1 2 a e 时,f(x)在(,) 单调递增; 1 2 a e 时,f(x)在(,ln( 2 ),( 1,)a 单调递增,在(ln(
14、 2 ), 1)a单调递减; 1 2 a e 时,f(x)在(, 1),(ln( 2 ),)a 单调递增,在( 1,ln( 2 )a单调递减; (2) ()当 a0,则由(1)知 f(x)在(, 1) 单调递减,在( 1,) 单调递增, 又 1 ( 1)0 e f ,(0)0fa,取 b 满足1b,且2ln 2 a b, 则 22 3 (2)(2)(1)()0 22 a f bba ba bb,所以 f(x)有两个零点 ()当 a=0,则( ) x f xxe,所以 f(x)只有一个零点 () 当 a0,若 1 2 a e ,则由 (1) 知, f(x)在( 1,) 单调递增 又当1x时,( )0f x , 故 f(x)不存在两个零点 1 2 a e ,则由(1)知,f(x)在( 1,ln( 2 )a单调递减,在(ln( 2 ),)a单调递增,又 当1x,f(x)0,故 f(x)不存在两个零点 综上,a 的取值范围为(0,).