1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”9 17在平面四边形ABCD中， 3 ABC ， 2 ADC ，2BC . （1）若ABC的面积为 3 3 2 ，求AC； （2）若2 3AD ， 3 ACBACD ，求tanACD. 18如图，等腰梯形ABCD中，/ABCD，1ADABBC， 2CD ，E为CD 中点，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）. （）证明：AEPB； （）若直线PB与平面ABCE所成的角为 4 ，求二面角A PEC的余弦值. 19为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生 的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设
2、游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣， 某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了 100 人进行调查. （1）已知在被抽取的学生中高一 1班学生有 6 名，其中 3 名对游泳感兴趣，现在从这 6 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳感兴趣的概率； （2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级 以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一 8班和高一 9班获奖学生 中随机各抽取 2 人进行跟踪调查，记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为, 求随机变量的分布列及数学期望. 班级 一 1 一 2 一 3 一 4 一 5 一 6 一 7
3、一 8 一 9 一 10 市级 比赛获奖人数 2 2 3 3 4 4 3 3 4 2 市级以上 比赛获奖人数 2 2 1 0 2 3 3 2 1 2 20在平面直角坐标系xOy中，已知过点4,0D的直线l与椭圆 2 2 :1 4 x Cy交于 不同的两点 11 ,A x y， 22 ,B x y，其中 12 0y y . （1）若 1 0x ，求OAB的面积； （2）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角 形. 21已知实数0a，设函数 eaxf xax （1）求函数 f x的单调区间； （2）当 1 2 a 时，若对任意的1,x ，均有 2
4、1 2 a f xx，求a的取值范围 注：e2.71828为自然对数的底数 22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线M的极坐标方程为2cos，若极坐标系内异于O的三点 1, A ， 2, 6 B ， 3123 ,0 6 ,C 都在曲线M上. （1）求证： 123 3； （2） 若过B，C两点直线的参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt （t为参数） ， 求四边形OBAC的 面积. 23已知函数( ) 24f xxx. （1）求不等式( )3f xx的解集； （2）若( )(1)f xk x对任意xR恒成立，求k的取值范围. 2020 届高三数
5、学（理） “大题精练”9（答案解析） 17在平面四边形ABCD中， 3 ABC ， 2 ADC ，2BC . （1）若ABC的面积为 3 3 2 ，求AC； （2）若2 3AD ， 3 ACBACD ，求tanACD. 【解】 （1）在ABC中，因为2BC ， 3 ABC ， 13 3 sin 22 ABC SAB BCABC ， 所以 33 3 22 AB ，解得：3AB . 在ABC中，由余弦定理得： 222 2?cos7ACABBCAB BCABC 所以7AC （2）设ACD，则 33 ACBACD 如图， 在Rt ACD中，因为2 3AD ，所以 2 3 sinsin AD AC 在A
6、BC中， 3 BACACBABC ， 由正弦定理，得 sinsin BCAC BACABC ，即 22 3 3 sin sin 3 2 所以2sinsin 3 所以 31 2cossinsin 22 ，即 3cos2sin 所以 3 tan 2 ，即 3 tan 2 ACD 18如图，等腰梯形ABCD中，/ABCD，1ADABBC， 2CD ，E为CD 中点，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）. （）证明：AEPB； （）若直线PB与平面ABCE所成的角为 4 ，求二面角A PEC的余弦值. 【解】 （I）证明：在等腰梯形 ABCD 中，连接 BD，交 AE 于点
7、 O， AB|CE,AB=CE，四边形 ABCE 为平行四边形，AE=BC=AD=DE， ADE 为等边三角形，在等腰梯形 ABCD 中， 3 CADE ， 2 3 DABABC , 在等腰ADB中， 6 ADBABD 2 362 DBC ,即 BDBC， BDAE， 翻折后可得： OPAE,OBAE， 又,OPPOB OBPOB OPOBO平面平面， AEPOB 平面， ,PBPOBAEPB平面； （II）解：在平面 POB 内作 PQOB,垂足为 Q， 因为 AE平面 POB，AEPQ， 因为 OB平面 ABCE, AE平面 ABCE,AEOB=O PQ平面 ABCE，直线 PB 与平面
8、ABCE 夹角为 4 PBQ ， 又因为 OP=OB，OPOB， O、Q 两点重合，即 OP平面 ABCE， 以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得， 各点坐标为 3131313 (0,0,),( ,0,0),(0,0),( ,0,),( ,0) 2222222 PECPEEC , 设平面 PCE 的一个法向量为 1 ( , , )nx y z， 则 1 1 13 0 0 22 , 0 13 0 22 xz PE n EC n xy 设3x ，则 y=-1,z=1， 1 ( 3,-1,1)n ， 由题意得平面 PAE 的一个法向量 2
9、 (0,1,0)n ， 设二面角 A-EP-C 为， 12 12 |15 |cos |= 5|5 n n nn . 易知二面角 A-EP-C 为钝角，所以 5 cos=- 5 . 19为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生 的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣， 某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了 100 人进行调查. （1）已知在被抽取的学生中高一 1班学生有 6 名，其中 3 名对游泳感兴趣，现在从这 6 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳感兴趣的概率； （2）该研究性学习小组在调查中发现，
10、对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级 以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一 8班和高一 9班获奖学生 中随机各抽取 2 人进行跟踪调查，记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为, 求随机变量的分布列及数学期望. 班级 一 1 一 2 一 3 一 4 一 5 一 6 一 7 一 8 一 9 一 10 市级 比赛获奖人数 2 2 3 3 4 4 3 3 4 2 市级以上 比赛获奖人数 2 2 1 0 2 3 3 2 1 2 【解】 （1） 记事件 i A从 6 名学生抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，i0， 1， 2，3； 则 2 A与 3 A互斥， 故所求概率为 2
11、323 P2P AAP AP A至少 人感兴趣 2130 3333 33 66 CCCC CC 101 202 ； （2）由题意知，随机变量的所有可能取值有 0，1，2，3； 22 34 22 55 CC9 P 0 CC50 11221 23434 22 55 CCCCC12 P 1 CC25 22111 24324 22 55 CCCCC3 P 2 CC10 21 24 22 55 CC1 P 3 CC25 则的分布列为： 0 1 2 3 p 9 50 12 25 3 10 1 25 数学期望为 9241526 E 0123 505050505 20在平面直角坐标系xOy中，已知过点4,0D
12、的直线l与椭圆 2 2 :1 4 x Cy交于 不同的两点 11 ,A x y， 22 ,B x y，其中 12 0y y . （1）若 1 0x ，求OAB的面积； （2）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角 形. 【解】 （1）当 1 0x 时，代入椭圆方程可得A点坐标为0,1或0, 1 若A点坐标为0,1，此时直线 l：440xy 联立 22 440 44 xy xy ，消 x 整理可得 2 5830yy 解得 1 1y 或 2 3 5 y ，故 B 8 3 , 5 5 所以OAB的面积为 184 1 255 0, 1A若 点坐标为，由
13、对称性知OAB的面积也是 4 5 ， 综上可知，当 1 0x 时，OAB的面积为 4 5 . （2）显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l：4xmy 联立 22 4 44 xmy xy ，消去 x 整理得 22 48120mymy 由 22 644 1240mm ，得 2 12m 则 12 2 8 4 m yy m ， 12 2 12 4 y y m , 因为直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形， 所以0 TATB kk 设,0T t，则 12211212 12 121112 24 TATB yxtyxtmy ytyyyy kk xtxtxtxtxtxt , 即 1212
14、 222 848124 240 444 m tm tm my ytyy mmm , 解得1t . 故 x 轴上存在定点1,0T，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形 21已知实数0a，设函数 eaxf xax （1）求函数 f x的单调区间； （2）当 1 2 a 时，若对任意的1,x ，均有 2 1 2 a f xx，求a的取值范围 注：e2.71828为自然对数的底数 【解】(1)由( )(1)=0 axax fxa eaa e,解得0x 若0a,则当 (0,)x时,( )0fx,故( )f x在(0,)内单调递增； 当 (,0)x 时,( )0fx ,故 ( )f
15、 x在(,0) 内单调递减 若0a ,则当 (0,)x时,( )0fx,故( )f x在(0,)内单调递增； 当 (,0)x 时,( )0fx ,故 ( )f x在(,0) 内单调递减 综上所述,( )f x在(,0)内单调递减,在(0,) 内单调递增 (2) 2 ( )(1) 2 a f xx,即 2 (1) 2 ax a ex 令0x,得1 2 a ,则 1 2 2 a 当1x时,不等式 2 (1) 2 ax a ex显然成立, 当( 1,)x 时,两边取对数,即2ln(1)ln 2 a axx恒成立 令函数( )2ln(1)ln 2 a F xxax,即( )0F x 在( 1,) 内恒
16、成立 由 22(1) ( )=0 11 a x F xa xx ,得 2 11x a 故当 2 ( 1,1)x a 时,( )0F x ,( )F x单调递增； 当 2 (1+ )x a ，时,( )0F x ,( )F x单调递减. 因此 22 ( )(1)2ln2ln2ln 22 aa F xFaa aa 令函数( )2ln 2 a g aa,其中 1 2 2 a, 则 11 ( )10 a g a aa ,得1a , 故当 1 ( ,1) 2 a 时,( )0g a ,( )g a单调递减；当(1,2a时,( )0g a ,( )g a单调递增 又 13 ( )ln40 22 g,(2)
17、0g, 故当 1 2 2 a时,( )0g a 恒成立,因此( )0F x 恒成立, 即当 1 2 2 a时,对任意的 1,)x ,均有 2 ( )(1) 2 a f xx成立 22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线M的极坐标方程为2cos，若极坐标系内异于O的三点 1, A ， 2, 6 B ， 3123 ,0 6 ,C 都在曲线M上. （1）求证： 123 3； （2） 若过B，C两点直线的参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt （t为参数） ， 求四边形OBAC的 面积. 【解】 （1）由 12 2cos ,2cos, 6 3 2co
18、s 6 ，则 23 2cos2cos 66 1 2 3cos3； （2）由曲线M的普通方程为： 22 20xyx，联立直线BC的参数方程得： 2 30tt 解得 12 0,3tt；平面直角坐标为： 13 ,2,0 22 BC 则 23 1,2, 6 ；又得 1 3. 即四边形面积为 1213 113 3 sinsin 26264 OBAC S 为所求. 23已知函数( ) 24f xxx. （1）求不等式( )3f xx的解集； （2）若( )(1)f xk x对任意xR恒成立，求k的取值范围. 【解】 （1）当4x时，原不等式等价于243xxx ，解得2x，所以4x； 当2x时， 原不等式等价于243xxx ， 解得 2 5 x ， 所以此时不等式无解； 当24x 时，原不等式等价于243xxx ，解得2x，所以24x； 综上所述，不等式解集为2,. （2）由 1f xk x，得241xxk x 当1x 时，60恒成立，所以kR； 当1x 时， 241 31 3 33 11 1111 xxxx k xxxx 因为 3333 11112 1111xxxx 当且仅当 33 11| 0 11xx 即4x或2x时，等号成立 所以，2k 综上，k的取值范围是,2.
