1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”15（答案解析） 17已知ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 2 1 cos 222 Ab c . （1）求角 C； （2）BM 平分角 B 交 AC 于点 M，且1,6BMc，求cosABM. 18在四棱锥PABCD中，ADBC， 1 2 ABBCCDAD，G是PB的中点， PAD是等边三角形，平面PAD 平面ABCD. （）求证：CD平面GAC； （）求二面角PAG C大小的正弦值. 19设函数( )sin , (0,), 2 f xaxx xa 为常数 (1)若函数 f x在 0, 2 上是单调函数，求a的取值范围；
2、(2)当1a 时，证明 3 1 ( ) 6 f xx. 20某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的 非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图. 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型 b ya x 和指 数函数模型 dx yce分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回 归方程为 0.2 96.54 x ye ，ln y与x的相关系数 1 0.94r . 参考数据（
3、其中 1 i i u x ） ： 8 1 ii i u y u 2 u 8 2 1 i i u 8 1 i i y 8 2 1 i i y 0.61 6185.5 2 e 183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135 （1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0.01） ，并用其估计产 量为 10 千件时每件产品的非原料成本； （3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场 调研数据，若该产品单价定为 100 元，则签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订
4、 10 千件订 单的概率为 0.2；若单价定为 90 元，则签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订 单的概率为 0.7.已知每件产品的原料成本为 10 元，根据（2）的结果，企业要想获得更 高利润，产品单价应选择 100 元还是 90 元，请说明理由. 参考公式：对于一组数据 11 ,u， 22 ,u，, nn u，其回归直线u的 斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 2 1 n ii i n i i unu unu ，a u ，相关系数 1 22 22 11 n ii i nn ii ii unu r unun . 21 已知中心在原点的椭圆 C1和抛物线 C2有相同的
5、焦点(1， 0)， 椭圆 C1过点 3 1, 2 G ， 抛物线 2 C的顶点为原点 (1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程； (2)设点 P 为抛物线 C2准线上的任意一点，过点 P 作抛物线 C2的两条切线 PA，PB，其 中 A、B 为切点 设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值； 若直线 AB 交椭圆 C1于 C，D 两点，S PAB，S PCD分别是 PAB， PCD 的面积，试 问： PAB PCD S S 是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由. 22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 2 2 2 8 1 3(1) 1 k x k k
6、 y k （k为参数） ，以坐标 原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 cos()3 2 4 （1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围 23已知, ,a b c为正数,且2a b c ,证明: (1) 4 3 abbcac； (2) 222 8 abc bca . 2020 届高三数学（理） “大题精练”15（答案解析） 17已知ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 2 1 cos 222 Ab c . （1）求角 C； （2）BM 平分角 B 交 AC 于点 M，且1,6BMc，求co
7、sABM. 【解】 （1）由题 1 cos1 cos 222 Abb A cc cossinsinsin()sincoscossinACBACACAC sincos0AC又(0, )sin0cos0 2 AACC （2）记ABM，则MBC，在Rt MCB中，cosCB， 在Rt ACB中，cos BC ABC AB ，即 cos cos2 6 即 2 cos 2cos1 6 3 cos 4 或 2 3 （舍） 3 cos 4 ABM. 18在四棱锥PABCD中，ADBC， 1 2 ABBCCDAD，G是PB的中点， PAD是等边三角形，平面PAD 平面ABCD. （）求证：CD平面GAC； （
8、）求二面角PAG C大小的正弦值. 【解】 （）取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH. ADBC， 1 2 ABBCCDAD 四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形 OBAC，OBCDCDAC PAD为等边三角形，O为AD中点 POAD 平面PAD 平面ABCD且平面PAD 平面ABCDAD. PO平面PAD且POAD PO平面ABCD CD 平面ABCD POCD H，G分别为OB，PB的中点GHPO GHCD 又GHACH AC，GH 平面GAC CD平面GAC （）取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以OE，OD uuu r ，OP的方向为x 轴、y轴
9、、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 设4AD， 则0 , 0 , 2 3P，0, 2,0A，3,1,0C，0,2,0D， 31 , 3 22 G . 0,2,2 3AP ， 3 3 , 3 22 AG . 设平面PAG的一法向量( , , )nx y z. 由 0 0 n AP n AG 22 30 33 30 22 yz xyz 3yz xz . 令1z ，则1,3,1n . 由（）可知，平面AGC的一个法向量3,1,0CD . 二面角PAG C的平面角的余弦值 2 315 cos 52 5 n CD n CD . 二面角PAG C大小的正弦值为 10 5 . 19设函数
10、( )sin ,(0, ), 2 f xaxx xa 为常数 (1)若函数 f x在0, 2 上是单调函数，求a的取值范围； (2)当1a 时，证明 3 1 ( ) 6 f xx. 【解】 （1）由 sinf xaxx得导函数 cosfxax ，其中0cos1x. 当1a 时， 0fx 恒成立， 故 sinf xaxx在0, 2 上是单调递增函数，符合题意； 当0a 时， 0fx 恒成立， 故 sinf xaxx在0, 2 上是单调递减函数，符合题意； 当01a时，由 cos0fxax 得cosxa， 则存在 0 0, 2 x ，使得 0 cosxa. 当 0 0xx时， 0 0fx，当 0
11、2 xx 时， 0 0fx ，所以 f x在 0 0,x上单调递减，在 0, 2 x 上单调递增， 故 f x在0, 2 上是不是单调函数，不符合题意. 综上，a的取值范围是,01,. （2）由（1）知当1a 时， sin00f xxxf， 即sinxx，故 2 2 sin 22 xx . 令 33 11 sin,0, 662 g xf xxaxxxx ， 则 2 2222 111 cos12sin121 22222 xx gxaxxaxaxa ， 当1a 时， 10g xa ，所以 g x在0, 2 上是单调递减函数， 从而 00g xg，即 3 1 6 f xx. 20某企业新研发了一种产
12、品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的 非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图. 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型 b ya x 和指 数函数模型 dx yce分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回 归方程为 0.2 96.54 x ye ，ln y与x的相关系数 1 0.94r . 参考数据（其中 1 i i u x ） ： 8 1 ii i u y u 2 u 8 2
13、1 i i u 8 1 i i y 8 2 1 i i y 0.61 6185.5 2 e 183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135 （1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0.01） ，并用其估计产 量为 10 千件时每件产品的非原料成本； （3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场 调研数据，若该产品单价定为 100 元，则签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订 10 千件订 单的概率为 0.2；若单价定为 90 元，则签订 10 千件订单
14、的概率为 0.3，签订 11 千件订 单的概率为 0.7.已知每件产品的原料成本为 10 元，根据（2）的结果，企业要想获得更 高利润，产品单价应选择 100 元还是 90 元，请说明理由. 参考公式：对于一组数据 11 ,u， 22 ,u，, nn u，其回归直线u的 斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 2 1 n ii i n i i unu unu ，a u ，相关系数 1 22 22 11 n ii i nn ii ii unu r unun . 【解】 （1）令 1 u x ，则 b ya x 可转化为yabu， 因为 360 45 8 y ，所以 8 1 8 22 1 8 1
15、83.4 8 0.34 4561 100 1.53 8 0.1150. 61 8 ii i i i u yuy b uu = = - -创 = -? - ， 则 45 100 0.3411aybu ，所以 11 100yu ， 所以y关于x的回归方程为 100 11y x ； （2）y与 1 x 的相关系数为： 8 1 2 88 2222 11 6161 0.99 61.40.61 6185.5 88 ii i ii ii u ynuy r uuyy ， 因为 12 rr ，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 当10x 时， 100 1121 10 y （元） ， 所以当产量为 10 千件时，
16、每件产品的非原料成本为21元； （3）当产品单价为100元，设订单数为x千件： 因为签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订 10 千件订单的概率为 0.2， 所以 ( ) 9 0.8 10 0.29.2E x = ?， 所以企业利润为 100 100 9.29.221626.8 9.2 骣 琪?= 琪 桫 （千元） ， 当产品单价为90元，设订单数为y千件： 因为签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7， 所以 () 10 0.3 11 0.710.7E y =?， 所以企业利润为 10. 100 90 7 10.7 10.721638.3 骣 琪?= 琪
17、桫 （千元） ， 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元. 21 已知中心在原点的椭圆 C1和抛物线 C2有相同的焦点(1， 0)， 椭圆 C1过点 3 1, 2 G ， 抛物线 2 C的顶点为原点 (1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程； (2)设点 P 为抛物线 C2准线上的任意一点，过点 P 作抛物线 C2的两条切线 PA，PB，其 中 A、B 为切点 设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值； 若直线 AB 交椭圆 C1于 C，D 两点，S PAB，S PCD分别是 PAB， PCD 的面积，试 问： PAB PCD S S 是否有最小值?若有，求出最小
18、值；若没有，请说明理由. 【解】(1)因为抛物线 C2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以1 2 p ,所以2p , 所以抛物线 2 C的标准方程为 2 4yx, 设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ,则1c且 22 22 1 19 1 4 ab ab ,解得 22 4,3ab, 所以椭圆 1 C的方程为: 22 1 43 xy . (2)证明:设( 1, )P t,过点P与抛物线 2 4yx相切的直线为(1)ytk x , 由 2 (1) 4 ytk x yx ,消去x得 2 44 40 t yy kk , 由 = 2 44 ()4(4)0 t kk ,得 2 10ktk , 则
19、 1 2 1k k . 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy 由得 1 1 2 ,y k 2 2 2 y k ,则12 22 12 11 ,xx kk , 所以直线AB的方程为 21 11 21 () yy yyxx xx ,所以 21 1 22 21 22 (1) 11 kk yyx kk , 即 12 2 (1)yx kk ,即直线AB恒过定点(1,0), 设点P到直线AB的距离为d, 所以 PAB PCD S S 1 | | 2 1 | | 2 dAB AB CD dCD , 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为 (1)yk x, 设 3344 (,),(,)C x
20、yD xy, 由 2 4 (1) yx yk x ,消去y得 2222 (24)0k xkxk, 0k 时,0恒成立, 2 222 21 4 16 16 |(1)()(1) k ABkxxk k 2 2 4(1)k k , 由 22 1 43 (1) xy yk x 消去y得 2222 (34)84120kxk xk,0恒成立, 则 2 222 34 2 2 144 144 |(1)()(1) (34) k CDkxxk k 2 2 12(1) 34 k k . 所以 2 2 2 2 4(1) 12(1) 34 PAB PCD k S k kS k 2 22 34144 333 k kk ,
21、当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为1x , 此时| 4AB ,| 3CD , PAB PCD S S 4 3 , 所以 PAB PCD S S 的最小值为 4 3 . 22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 2 2 2 8 1 3(1) 1 k x k k y k （k为参数） ，以坐标 原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 cos()3 2 4 （1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围 【解】 （1） 2 2 2 2 41 : 1 31 xk k C yk k ，平方后得 22 1 169 xy
22、， 又 2 6 3( 3,3 1 y k ，C的普通方程为 22 1(3) 169 xy y cos()3 2 4 ，即cossin6， 将cos ,sinxy代入即可得到:6l xy （2）将曲线C化成参数方程形式为 4cos 3sin x y （为参数） ， 则 4cos3sin65cos()6 22 d ，其中 3 tan 4 ， 所以 211 2 22 d 23已知, ,a b c为正数,且2a b c ,证明: (1) 4 3 abbcac； (2) 222 8 abc bca . 【解】(1)将 a+b+c2 平方得: 222 2224abcababac ， 由基本不等式知: 222222 2,2,2abab bcbc acac， 三式相加得: 222 abcabbcac ， 则 222 4222333abcabbcacabbcac 所以 4 3 abbcac，当且仅当 abc 2 3 时等号成立 (2)由 22abcbc bbb ，同理 2222 , bacaccbaba cccaaa 则 222222 8 abcbcacba bcabca ， 即 222 8 abc bca 当且仅当 2 3 abc时等号成立
