1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”15 17 （12 分）函数 ( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA部分图象如图所示： （1）求 ( )f x的最小正周期及解析式； （2）设 ( )( )cos2g xf xx ，求函数 ( )g x在区间 0, 2 x上的最大值和最小值 18 （12 分）如图，三棱锥DABC中，ABC是正三角形，DADC （1）证明：ACBD； （2）若90BAD，2ABAD，求点C到平面ABD的距离 19 （12 分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每 个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理现搜集并整 理
2、了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个） ，得到如图所示的柱状图100天记 录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率 （1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为 ()n nN，则当 天的利润y（单位：元）是多少？ （2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕 求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式； 求当天的利润不低于600元的概率； （3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平 均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？ 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右两个焦点分别为 1 F、 2
3、 F，离 心率 2 2 e ，短轴长为2 （1）求椭圆的方程； （2）如图，点A为椭圆上的一动点（非长轴端点） ， 2 AF的延长线与椭圆交于B 点，AO的延长线与椭圆交于C点，求ABC面积的最大值 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )ln 2 f xxaxx （1）若函数 ( )f x在1,)上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数 ( )f x在 1x 处的切线平行于x轴，是否存在整数k，使不等式 ( )1(2)x f xxk x 在1x 时恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在， 请说明理由 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记两题
4、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 1 1cos : sin x C y （为参数）与曲线 2 2cos : 22sin x C y （为参数） ，且曲线 1 C与 2 C交于O，A两点以原点O为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）直线OA绕点O旋转 2 后，与曲线 1 C， 2 C分别交于P，Q两点，求|PQ 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 ( ) |3|1|f xxx （1）求不等式 ( )1f x
5、的解集； （2）若不等式 2 ( )f xxxm 恒成立，求m的取值范围 2020 届高三数学（文） “大题精练”15（答案解析） 17 【解析】 （1）由图可得1A， 2 2362 T ，所以T ，所以2， 当 6 x 时，( )1f x ，可得 sin(2)1 6 ， 因为 | 2 ，所以 6 ，所以( )f x的解析式为 ( )sin(2) 6 f xx （2） ( )( )cos2sin(2)cos2sin2 coscos2 sincos2 666 g xf xxxxxxx 31 sin2cos2sin(2) 226 xxx， 因为 0 2 x，所以 5 2 666 x， 当 2 62
6、 x，即 3 x 时，( )g x有最大值，最大值为1； 当 2 66 x ，即0x时，( )g x有最小值，最小值为 1 2 18 【解析】 （1）取AC中点E，连BE，DE ABC是正三角形，BEAC 在ACD中，DADC，DEAC，AC 平面BDE，ACBD （2）正ABC中，2AB ， ACD中，2ADCD，3BE ，3DE ， 90BAD， 2 2BD ， BDE中， 222 ( 3)( 3)(2 2)1 cos 3233 BED ， 12 2 sin1 93 BED， 112 2 sin332 223 BDE SBEDEBED 由（1）证得：AC 平面BDE， 又E为AC中点， 1
7、12 2 2222 1 333 D ABCA BDEBDE VVSAE ， 设C到平面ABD的距离为h， 1112 2 2 3323 D ABCC ABDABD VVShhh ， 22 2 33 h ，2h 19 【解析】 （1）当17n时， 17 (10050)850y ； 当16n时， 10017 50100850ynn （2）由（1）得当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为： 100850(16) () 850(17) nn yn n N 设“当天利润不低于600”为事件A， 由知， “当天利润不低于600”等价于“需求量不低于15个” ， 1222 ( )1 10025 P A ，
8、 所以当天的利润不低于600元的概率为 22 25 （3）若一天制作16个蛋糕， 则平均利润为 1 1 (600 12700 18800 70)758 100 x ； 若一天制作17个蛋糕， 则平均利润为 2 1 (550 12650 18750 18850 52)760 100 x ， 12 xx，蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕 20 【解析】 （1）由题意得22b，解得1b， 2 2 c e a ， 222 abc，2a ，1c， 故椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y （2） 当直线AB的斜率不存在时， 不妨取 2 (1,) 2 A， 2 (1,) 2 B， 2 ( 1,) 2 C
9、 ， 故 1 222 2 ABC S ； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 (1)yk x ， 联立方程得 2 2 (1) 1 2 yk x x y ，化简得 2222 (21)4220kxk xk， 设 11 ( ,)A x y ， 22 (,)B xy ， 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 22 21 k xx k ， 222 2222 1212 222 4221 |(1) ()4(1) ()42 2 212121 kkk ABkxxx xk kkk ， 点到直线的距离， 是线段的中点，点到直线的距离为， O0kxyk 22 | 11 kk d kk OAC
10、CAB 2 2| 2 1 k d k 222 222 2 1112|(1) | 2(2 2)2 2 2221(21) 1 ABC kkkk SABd kk k 22 11 2 22 44(21)k 综上，面积的最大值为 21 【解析】 （1）依题意在上恒成立， 即，在上恒成立， 令，则当时， 所以，即实数的取值范围是 （2）依题意，所以，所以 不等式在时恒成立 即，即在时恒成立， 令，则 因为，所以 当时，所以函数在上单调递增， 若，解得，与不符，应舍去； 当时，由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时， 问题转化为恒成立时，求的最大值 令，则 当时，；当时， 所以在上单调
11、递增，在单调递减， 当时， ABC 2 2 11 ( )10 axx fxax xx 1,) 2 10axx 2 1x a x 1,) 22 2 111111 ( )( )() 24 x g x xxxx 2x min 1 ( ) 4 g x 1 4 a a 1 (, 4 (1)110fa 0a( )lnf xxx ( )1(2)x f xxk x1x (ln1)(2)xxk x(ln1)(2)0xxk x1x ( )(ln1)2 ,(1)g xxxkxkx( )lng xxk 1x ln0x 0k ( )0g x ( )g x(1,) ( )(1)1210g xgkkk 1k 0k 0k (
12、 )0g x k xe ( )0g x 1 k xe ( )g x(1,) k e(,) k e k xe min ( )()2 kk g xg eke min ( )20(0) k g xkekk ( )2 t h tte( )2 t h te ln2t ( )0h t ln2t ( )0h t ( )h t(,ln2)(ln2,) ln2t max ( )(ln2)2ln22h th 因为，所以，即恒成立 所以不存在整数使恒成立 综上所述，不存在满足条件的整数 22 【解析】 （1）曲线是以为圆心， 为半径的圆，其极坐标方程为 ， 曲线是以为圆心， 为半径的圆，其极坐标方程为 （2）由，得
13、， 即直线的斜率为，从而， 由已知，设， 将代入，得， 同理，将代入，得， 所以 23 【解析】 （1）， 当时，无解； 当时，由，得，解得； 当时，由，解得 所以的解集为 0ln2 12ln2 20 ( )20 t h tte k20 k ke k 1 C(1,0) 1 2cos 2 C(0,2) 2 4sin 2cos4sin 1 tan 2 OA 1 2 1 sin 5 2 cos 5 1 (,) 2 P 2 (,) 2 Q 1 (,) 2 P 2cos 1 2 2cos()2sin 25 2 (,) 2 Q 4sin 2 8 4sin()4cos 25 12 28 |2 5 55 PQ 4,1 ( )22,13 4,3 x f xxx x 1x( )41f x 13x ( )1f x 22 1x 1 3 2 x 3x ( )1f x 3x ( )1f x 1 | 2 x x （2）由，得， 设， 当时，； 当时，； 当时， ，故实数的范围是 2 ( )f xxxm 2 |3|1|mxxxx 2 2 2 4,1 ( )2,13 4,3 xxx g xxxx xxx 1x( )( 1)2g xg 13x max 19 ( )() 24 g xg 3x ( )(3)10g xg max 9 ( ) 4 g x m 9 ,) 4
