1、二、数学的特征及其在科学中的地位二、数学的特征及其在科学中的地位（一）、数学的特征（一）、数学的特征1 1、抽象性、抽象性2 2、逻辑的严格性、逻辑的严格性3 3、系统地使用符号、系统地使用符号 、计算的需要、计算的需要、逻辑推理的需要、逻辑推理的需要、使数学形式简化的最佳途径、使数学形式简化的最佳途径4 4、广泛的应用性、广泛的应用性、数字电视、数字电视、19911991年海湾战争年海湾战争、姜伯驹的就职演说、姜伯驹的就职演说5 5、数学美、数学美 简洁美简洁美 对称美对称美 和谐美和谐美 奇异美奇异美 Poincare（18541912）说：说：“感觉数学的美，感觉数与形的调和，感觉数学的
2、美，感觉数与形的调和，感觉几何学的优雅，这是所有数学家感觉几何学的优雅，这是所有数学家都知道的真正的美感。都知道的真正的美感。”Pythagoras（-580-500）声声称，万物皆数，美是数的和谐。称，万物皆数，美是数的和谐。Davinci（14521519）认为认为“黄金分割黄金分割 是美的原则。是美的原则。”215 Euler（17071783）公式公式 1iesincosieidxex2 项武义情理之中，意料之外项武义情理之中，意料之外（二）、数学在科学中的地位（二）、数学在科学中的地位1 1、古希腊科学的同义词、古希腊科学的同义词2 2、欧洲中世纪经院哲学盛行、欧洲中世纪经院哲学盛行
3、R.R.培根（培根（1214121412941294）：数学是所有）：数学是所有科学的支柱。科学的支柱。3 3、文艺复兴时期带头学科、文艺复兴时期带头学科Copernicus 1473-1543,波兰波兰Kepler 1571-1630,德国德国Galliler 1564-1642,意大利意大利Newton 1642-1727,英国英国 Galliler：宇宙是一部巨著宇宙是一部巨著,其其中的内容是自然科中的内容是自然科学学,它的语言是数学它的语言是数学,符号是几何图形符号是几何图形.如如果不懂数学果不懂数学,就无法就无法读懂它读懂它.4 4、19世纪，世纪，Laplace（17491827）
4、“数学是自然科学的工具数学是自然科学的工具”孔德（法）：孔德（法）：数学数学 力学力学 天文学天文学 物理学物理学 化学化学 生理学生理学 社会学社会学5 5、19世纪末，数学与自然科学并列世纪末，数学与自然科学并列 马克思：一种科学只有在成功地运马克思：一种科学只有在成功地运用数学时，才能达到真正的完善。用数学时，才能达到真正的完善。数学是横断科学数学是横断科学 三、数学发展的几个重要阶段及其主三、数学发展的几个重要阶段及其主要特征要特征 1 1、数学萌芽时期（至前、数学萌芽时期（至前6 世纪）世纪）算术、几何开始形成算术、几何开始形成主要成就出现在：主要成就出现在：巴比伦、埃及、中国巴比伦
5、、埃及、中国 巴比伦：一些数表巴比伦：一些数表 埃及：埃及：-1800，算术级数，几何级数，算术级数，几何级数，正方形锥台的体积正方形锥台的体积中国：甲骨文中的数字，六十甲子中国：甲骨文中的数字，六十甲子 特点：有简单的推理特点：有简单的推理 2 2、初等数学时期（、初等数学时期（-6 世纪世纪17 世纪）：世纪）：又称为常量数学或有限数学时期又称为常量数学或有限数学时期 西方数学的中心：西方数学的中心：古希腊古希腊阿拉伯和印度阿拉伯和印度西欧西欧 中国数学独立地发展着中国数学独立地发展着 （1 1）、古希腊：科学发展的第一）、古希腊：科学发展的第一个黄金时期个黄金时期 泰勒斯泰勒斯 Thal
6、es -624_-547 几何学鼻祖几何学鼻祖毕达哥拉斯毕达哥拉斯 Pythagoras-572_-497 初等整数论初等整数论 亚里士多德亚里士多德 Aristoteles -384_-322逻辑学创始人逻辑学创始人欧几里德欧几里德 Eulid -330_-275 公理法公理法 阿基米德阿基米德 Archmedes -287_-212数学之神数学之神 穷竭法穷竭法 积分法积分法阿波罗纽斯阿波罗纽斯 Apollonius -262_-190圆锥曲线圆锥曲线 丢番图丢番图 Diophantus 246-330代数方程论代数方程论 1世纪，罗马消灭古希腊，数学世纪，罗马消灭古希腊，数学的中心转移到
7、阿拉伯的中心转移到阿拉伯 主要成就：主要成就：（1）二次方程的解法）二次方程的解法（2）二项式定理）二项式定理（3）三角学出现托勒密）三角学出现托勒密（Ptolemy,100-170）托勒密托勒密（Ptolemy,100-170）（2 2）、西方文艺复兴前后）、西方文艺复兴前后（1517 世纪）：世纪）：科学发展的第二个黄金时期科学发展的第二个黄金时期、代数学已系统地使用符号。、代数学已系统地使用符号。标志标志:Vieta 15401603，意，代数学之父，意，代数学之父 、有三次和四次方程的公式、有三次和四次方程的公式解法解法 Tartaglia，意，意 塔塔里亚塔塔里亚 15001557、
8、“印度印度阿拉伯数码阿拉伯数码”定型通用定型通用 Fibonacci，1170-1250，意，意 、产生了十进制、产生了十进制小数及对数小数及对数（3 3）、中国：）、中国：九章算术九章算术 唐朝唐朝 李淳风李淳风 校定的校定的“算经十书算经十书”：周髀算经周髀算经，九章算术九章算术，海岛算海岛算经经，孙子算经孙子算经，张邱建算经张邱建算经，五曹算经五曹算经，五经算术五经算术，辑古算辑古算经经，夏侯阳算经夏侯阳算经，缀术缀术 李淳风李淳风 602670主要成就：主要成就：、勾股定理及测量赵爽，刘徽、勾股定理及测量赵爽，刘徽、正负数运算法则刘徽、正负数运算法则刘徽、多元一次方程组的解法刘徽、多元
9、一次方程组的解法刘徽、极限思想在几何中的应用、极限思想在几何中的应用刘徽的刘徽的“割圆术割圆术”、中国传统数学最辉煌的时期、中国传统数学最辉煌的时期宋元时期：宋元时期：泰九韶的剩余定理和高次方程数值解法泰九韶的剩余定理和高次方程数值解法李治和朱世杰的天元术和四元术李治和朱世杰的天元术和四元术贾宪和杨辉的二项式展开系数表贾宪和杨辉的二项式展开系数表朱世杰和沈括的高阶等差级数求和朱世杰和沈括的高阶等差级数求和算筹的发展，元代产生了算盘算筹的发展，元代产生了算盘初等数时期的特点：初等数时期的特点：、除虚数外，初等数学已基本完备、除虚数外，初等数学已基本完备、与萌芽时期数学的主要区别、与萌芽时期数学的
10、主要区别、这一时期的数学虽然有极限思想、这一时期的数学虽然有极限思想及其初步运用，但主要是以常量、有及其初步运用，但主要是以常量、有限和不变图形的研究为特征的初等数限和不变图形的研究为特征的初等数学。学。3 3、近代数学时期（、近代数学时期（17 17 世纪中世纪中期期19 19 世纪末期）：世纪末期）：又称为变量数学时期或高等数学又称为变量数学时期或高等数学时期或无限数学时期时期或无限数学时期（1 1）、十七世纪的数学：）、十七世纪的数学：、几何问题代数化、几何问题代数化、变量进入数学、变量进入数学、概率论产生，使数学开始涉及偶、概率论产生，使数学开始涉及偶然事件然事件（2 2）、十八世纪的
11、数学：）、十八世纪的数学：、为微积分作奠基工作、为微积分作奠基工作 、在微积分的基础上发展出无穷、在微积分的基础上发展出无穷级数，常微分方程，偏微分方程，变级数，常微分方程，偏微分方程，变分法等学科分法等学科 、概率论也发生了变化：组合概、概率论也发生了变化：组合概率时期到分析概率时期率时期到分析概率时期 （3 3）、十九世纪的数学：数学发）、十九世纪的数学：数学发展的第三个黄金时期。展的第三个黄金时期。Gauss RiemannPoincare LobachevskyGalois Cantor Cauchy Cayley 分析方面分析方面确立了微积分的现确立了微积分的现代形式，产生了复变函数
12、代形式，产生了复变函数 几何方面几何方面罗氏几何罗氏几何 代数方面代数方面伽罗瓦创立群论伽罗瓦创立群论 4 4、现代数学时期（、现代数学时期（19 世纪以来）：世纪以来）：、数学方面：、数学方面：1900 年希尔伯特提出的年希尔伯特提出的23个全局个全局性问题，是推动性问题，是推动19 世纪数学发展的强世纪数学发展的强大动力。大动力。、现代数学的特点：、现代数学的特点：、集合论成为各个数学分支的、集合论成为各个数学分支的基础，纯粹数学转向研究基本的数学基础，纯粹数学转向研究基本的数学结构结构 、数学的抽象化程度越来越高，、数学的抽象化程度越来越高，分支越来越细，内在联系揭露的越来分支越来越细，
13、内在联系揭露的越来越深越深 、电子计算机进入数学领域，、电子计算机进入数学领域，推动了数学的发展推动了数学的发展 、应用数学蓬勃发展、应用数学蓬勃发展 四、数学的真理性问题四、数学的真理性问题 问题：数学体系是否具有真理性？问题：数学体系是否具有真理性？（）A、严密完善；、严密完善；B、有矛盾，可避免；、有矛盾，可避免；C、有矛盾，无法彻底消除；、有矛盾，无法彻底消除；D、不知道、不知道（一）、悖论（一）、悖论（Paradox）与）与三次数学危机三次数学危机 （一）、悖论（一）、悖论（Paradox）与三）与三次数学危机次数学危机 1 1、毕达哥拉斯悖论：、毕达哥拉斯悖论：、毕达哥拉斯、毕达哥
14、拉斯悖论：悖论：希伯索斯希伯索斯(Hippasus)不可公度量不可公度量（无理数）的发现导致第一次危机（无理数）的发现导致第一次危机 希伯索斯在研究边长为希伯索斯在研究边长为1 的正方形的正方形时时,发现其对角线不能用整数之比发现其对角线不能用整数之比来表示来表示,即证明不可公度量的存在即证明不可公度量的存在.意义：无理数的发现导致了西方意义：无理数的发现导致了西方数学史上的第一次危机，致使以后数学史上的第一次危机，致使以后数域的扩张，从而为数学的发展做数域的扩张，从而为数学的发展做出了巨大的贡献。出了巨大的贡献。证明证明 不是有理数。不是有理数。证明：（反证）若证明：（反证）若 是有理数，是
15、有理数，即即 ，则则 ，于是，于是 是偶数，则可设是偶数，则可设 ，代入有，代入有 ，即，即 可得可得 是偶数，这与是偶数，这与 矛盾！矛盾！22qp21),(qpZqp,p222qp mp22224qm 222mq q1),(qp、关于负数和虚数：、关于负数和虚数：、比、比“没有没有”还小的数还小的数、瓦里斯、瓦里斯-负数应大于无穷大负数应大于无穷大、-1/1=1/-1 负数负数-错的数错的数,荒谬的数；负根荒谬的数；负根-假根假根、虚数的名称：卡尔丹诺、虚数的名称：卡尔丹诺诡辩诡辩量；纳皮尔量；纳皮尔实数的鬼魂；笛卡实数的鬼魂；笛卡尔尔虚拟的数；莱布尼兹虚拟的数；莱布尼兹它是它是介于存在和
16、不存在之间的两栖物介于存在和不存在之间的两栖物、关于无穷：、关于无穷：、庄子（、庄子（-369-286 ）：）：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。”、芝诺悖论：、芝诺悖论：芝诺（芝诺（Zenon，-490-436），古希腊），古希腊唯心主义哲学家，巴门尼德的学生，唯心主义哲学家，巴门尼德的学生，埃利亚学派的主要代表之一。认为世埃利亚学派的主要代表之一。认为世界上唯一真实的东西只是界上唯一真实的东西只是“唯一不动唯一不动的存在的存在”。所以。所以“存在存在”是是“一一”而而不是不是“多多”，是，是“静静”而不是而不是“动动”。“二分法二分法”运动不存在运动不存在 理由
17、是：理由是：“运动着的物体在到达目的运动着的物体在到达目的地之前，必先到达半路上的一点。地之前，必先到达半路上的一点。”即欲从甲处到达乙处，必先到达其即欲从甲处到达乙处，必先到达其1/2 处，又必先到达其处，又必先到达其1/4处，处，.，由于线段无限可分，所以根本就不可由于线段无限可分，所以根本就不可能开始运动。能开始运动。问：是怎样到达的？问：是怎样到达的？阿基里斯追龟阿基里斯追龟 假设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，假设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，而乌龟在阿基里斯前而乌龟在阿基里斯前100米处，二者同米处，二者同时同向起跑，当阿基里斯追到时同向起跑，当阿基里斯追到100米时，米时，乌龟前进了乌
18、龟前进了10米；阿基里斯追上了米；阿基里斯追上了10 米，这时乌龟又前进了米，这时乌龟又前进了1 米；阿基里斯米；阿基里斯又追上又追上1米，乌龟又前进了米，乌龟又前进了0.1米，米，.，阿基里斯总要经过乌龟的，阿基里斯总要经过乌龟的起点，即阿基里斯总在乌龟的后面，起点，即阿基里斯总在乌龟的后面，不管这个距离如何短。所以阿基里斯不管这个距离如何短。所以阿基里斯永远追不上乌龟。永远追不上乌龟。飞箭不动飞箭不动 一只飞着的箭在一定的时间内经过许一只飞着的箭在一定的时间内经过许多点，但在每一个瞬间都占有一个特多点，但在每一个瞬间都占有一个特定的位置，它在这一瞬间是不动的，定的位置，它在这一瞬间是不动的
19、，无限个不动的瞬间的总和还是不动，无限个不动的瞬间的总和还是不动，所以飞箭不动。如果说它在动，那就所以飞箭不动。如果说它在动，那就等于说它同时在这一点上又不在这一等于说它同时在这一点上又不在这一点上，矛盾！点上，矛盾！、普罗克鲁斯悖论、普罗克鲁斯悖论 一个无穷大一个无穷大两个无穷大两个无穷大 、亚里士多德悖论、亚里士多德悖论大小不同的两个圆周长相等大小不同的两个圆周长相等 、伽俐略悖论：、伽俐略悖论：“部分等于全体部分等于全体”2 2、贝克莱悖论：、贝克莱悖论：1650年，牛顿和莱布尼兹创立了微年，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，使数学进入了变量时代，但积分，使数学进入了变量时代，但当时的微积分理
20、论还不是很严密，当时的微积分理论还不是很严密，例如关于实无穷小量，产生了严重例如关于实无穷小量，产生了严重的逻辑困难，因而导致了第二次数的逻辑困难，因而导致了第二次数学危机。学危机。、展开、展开 ，含有，含有 ，当时，当时认为认为 是有限的非零的量，要多小是有限的非零的量，要多小就有多小，在就有多小，在 展开式中展开式中 不去掉；不去掉；、但求导数时，又可以把高阶无、但求导数时，又可以把高阶无穷小穷小 去掉。去掉。nxx)(xxnxx)(,.,.,32xxxn,.,.,32xxxn Newton认为，对函数认为，对函数 有有 2xy xxxxxxxxxxxy222)(222 英国的贝克莱（英国
21、的贝克莱（Beckly）大主教说：）大主教说：“是逝去量的鬼魂！是逝去量的鬼魂！”招之即招之即来，挥之即去。来，挥之即去。马克思在马克思在数学手稿数学手稿中也曾说过：中也曾说过：“把高阶无穷小去掉是暴力镇把高阶无穷小去掉是暴力镇压！压！”-导致了第二次数学危机。导致了第二次数学危机。分析的严密化过程分析的严密化过程 17171919世纪世纪 、分析学最后归结为实数理论、分析学最后归结为实数理论、戴德金（、戴德金（Dedekind，18131916，德）的分划说德）的分划说对数轴用不同的分对数轴用不同的分划有不同的有理数和无理数划有不同的有理数和无理数、康托（、康托（Cantor，1829192
22、0，德）：基本序列德）：基本序列用有理数的逼近用有理数的逼近构造无理数构造无理数 微积分理论建立在实连续统的基础上微积分理论建立在实连续统的基础上 、集合论的建立、集合论的建立 集合论的建立成集合论的建立成为整个现代数学为整个现代数学的基础。它的创的基础。它的创始人是始人是 康托康托Cantor，18291920，德，德朴素朴素的集合论的集合论 结论：到结论：到19世纪，现代数学是建立世纪，现代数学是建立在实数理论和与它相联系的集合论在实数理论和与它相联系的集合论的基础上的。的基础上的。这样，分析的严密化过程基本结束。这样，分析的严密化过程基本结束。3 3、集合论悖论：、集合论悖论：（1 1）
23、、）、Russell 悖论悖论1902年：年：A=集合集合 A|A不属于不属于A 问问:A是否属于是否属于A？“由一切不包含自身的集合所组成由一切不包含自身的集合所组成的集合的集合”是否包含自身的问题。是否包含自身的问题。Russell 悖论的替代说法悖论的替代说法“理发师悖论理发师悖论”1919年年:某城镇中只有一个理发师，而某城镇中只有一个理发师，而镇中的每一个人都要理发，理发师镇中的每一个人都要理发，理发师就约定：就约定：“我我给且只给给且只给镇中那些不镇中那些不给自己理发的人理发，给自己理发的人理发，”问：这位问：这位理发师是否给他自己理发？理发师是否给他自己理发？Russell 悖论
24、的影响悖论的影响 弗雷格（弗雷格（Frege，18481925，德）的，德）的算法基础算法基础第三卷第三卷 戴德金（戴德金（Dedkind，18311916，德），德）的名著的名著什么是数和数是什么什么是数和数是什么 布劳维尔（布劳维尔（Brouwer，18811966，荷，荷兰兰)（3 3）、）、Cantor悖论悖论 1899年年 对等与基数对等与基数 一方面一方面,有有 另一方面另一方面,若令若令 S S 为大全集为大全集,则有则有SPS SPS（4 4）、说谎者悖论）、说谎者悖论 一个克里特人说：一个克里特人说：“所有的克里特所有的克里特人都说谎。人都说谎。”请问这个克里特人是否在说谎？
25、请问这个克里特人是否在说谎？等价的一句话：等价的一句话：“这句话是假的。这句话是假的。”4 4、其他悖论：、其他悖论：（1 1）、柏拉图）、柏拉图苏格拉底悖论：苏格拉底悖论：柏拉图：下面苏说的话是假的柏拉图：下面苏说的话是假的 苏格拉底：柏拉图前面说了真话苏格拉底：柏拉图前面说了真话 问：苏格拉底是否在说真话？问：苏格拉底是否在说真话？（2 2）、梵学者的预言：）、梵学者的预言：印度预言家的女儿，在纸上写了一件印度预言家的女儿，在纸上写了一件事（一句话），让她的父亲预言这件事（一句话），让她的父亲预言这件事情在今天下午三点钟之前是否发生，事情在今天下午三点钟之前是否发生，并在卡片上写下并在卡片
26、上写下“是是”或或“不不”字。字。此梵学者在卡片上写下了一个此梵学者在卡片上写下了一个“是是”字。她女儿在纸上写的这件事（这句字。她女儿在纸上写的这件事（这句话）是话）是“在今天下午三点钟之前，您在今天下午三点钟之前，您将写一个将写一个不不字在卡片上。字在卡片上。”（3 3）、意料之外的考试：）、意料之外的考试：一位教授宣布，下周的某一天要进一位教授宣布，下周的某一天要进行一次行一次“意料之外的考试意料之外的考试”，并说，并说没有一个学生能够在考试那天之前没有一个学生能够在考试那天之前的一天推测出考试的日期。的一天推测出考试的日期。一个学生一个学生“证明证明”了：考试不会在了：考试不会在一周的
27、最后一天进行。一周的最后一天进行。（4 4）、哪辆车中的异性多：）、哪辆车中的异性多：甲乙两辆汽车都坐满了甲乙两辆汽车都坐满了40人，甲车人，甲车中中40个男人，乙车中个男人，乙车中40个女人，甲个女人，甲车中车中10个男人到乙车中去了，又从个男人到乙车中去了，又从乙车中下来乙车中下来10 个人（几男几女不个人（几男几女不清楚）到甲车中去，问：甲乙二车清楚）到甲车中去，问：甲乙二车中哪辆车中的异性多？中哪辆车中的异性多？（5 5）、格里林悖论）、格里林悖论1908年年 形容词有两种：形容词有两种：一是一是“自状的自状的”：如：如“抽象的抽象的”、“中文的中文的”等均适用于自身；等均适用于自身；
28、一种是一种是“非自状的非自状的”：如：如“圆的圆的”、“单音节的单音节的”、“英文的英文的”等均不等均不适用于自身。适用于自身。现在问：现在问：“非自状的非自状的”这一性质是这一性质是自状的还是非自状的呢？自状的还是非自状的呢？（6 6）、飞虫悖论：）、飞虫悖论：一只飞虫在二辆骑自行车相对而行一只飞虫在二辆骑自行车相对而行的人之间来回飞行（二车同速，匀的人之间来回飞行（二车同速，匀速为每小时速为每小时2 公里，相距公里，相距18公里），公里），当二车在中点碰面时，飞虫共走了当二车在中点碰面时，飞虫共走了多少距离多少距离？一个递减的级数之和一个递减的级数之和？Von Neumann，19031957，美，美 逆问题逆问题
