1、第5讲 一次方程(组)及其应用(310分)考点一 方程的有关概念 1方程：含有未知数的_叫做方程 2方程的解：使方程左右两边值相等的_叫方程的解 3求_的过程叫做解方程方程的解与解方程不同 等式 未知数的值 方程的解 4等式的基本性质：基本性质 1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式 基本性质 2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数)，所得结果仍是等式 考点二考点二 一元一次方程及其解法一元一次方程及其解法 1一元一次方程：经化简后，只含有 _个未知数，并且未知数的次数是_，系数不等于 0 的方程叫做一元一次方程；它的标准形式为 _(a，b 是常数，且 a0)
2、2解一元一次方程的步骤：(1)去_；(2)去_；(3)移_；(4)合并_；(5)系数化为 1.1 1 axb0 分母 括号 项 同类项 考点三 二元一次方程?组?及其解法 1含有_未知数，并且所含未知数的项的次数都是 _的整式方程叫做二元一次方程；含有_未知数的两个_方程所组成的方程组叫做二元一次方程组 2二元一次方程组的一般形式：?a1xb1yc1a2xb2yc2(a21b210，a22b220)两个 1 两个 一次 3方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解；求方程组的解(或判断方程组无解)的过程叫做解方程组 4解二元一次方程组的基本思路是_，使之转化为_，消元的方法有_消元法和_
3、消元法 消元 一元一次方程 代入 加减 相等 考点四考点四 一次方程?组组?的应用的应用?高频考点?1列方程列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审题；(2)设未知数；(3)找出_关系，列方程(组)；(4)解方程(组)；(5)检验，作答 1 2列方程列方程(组组)解实际问题的常见类型解实际问题的常见类型(1)工程问题工程问题 基本工作量的关系：工作量工作效率工作时间；基本工作量的关系：工作量工作效率工作时间；常见的等量关系：甲的工作量乙的工作量甲、乙合作的工作量；常见的等量关系：甲的工作量乙的工作量甲、乙合作的工作量；工程问题常把总工程看作工程问题常把总工程看作“_”，水池注水问题一般归于工程问
4、题，水池注水问题一般归于工程问题(2)行程问题 基本量之间的关系：路程速度时间；相遇问题常见的等量关系：甲走的路程乙走的路程全路程；追及问题(设甲速度快)同时不同地：甲的时间乙的时间；甲走的路程乙走的路程原来甲、乙相距路程；同地不同时：甲的时间乙的时间 _；甲的路程乙的路程 时间差 水中航行问题 顺流速度静水速度水流速度；逆流速度静水速度水流速度 (3)销售打折问题 利润售价进价；利润率利润进价100%；售价标价折扣；销售额销售价销量 (4)储蓄利息问题 利息本金利率期数；本息和本金利息本金(1利率期数)命题点一次方程?组?的实际应用?8 年 7 考?1(2018 河南 6 题)九章算术中记载
5、：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱问合伙人数，羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为()Ay5x45y7x3By5x45y7x3C y5x45y7x3D y5x45y7x3 A 2(2016河南 20 题)学校准备购进一批节能灯，已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B型节能灯共需 26 元；3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元(1)求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元；(2)学校准备购进这两
6、种型号的节能灯共 50 只，并且A 型节能灯的数量不多于 B型节能灯数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 解：解：(1)设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元，1 只 B 型节能灯的售价是 y 元 依题意得?x3y26，3x2y29，解得?x5，y7.答：1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元；(2)设购进 A 型节能灯 m 只，总费用为 w 元，则购进 B 型节能灯(50m)只 依题意，得 w5m7(50m)2m350.20，w 随 m 的增大而减小，当 m 取最大值时，w 有最小值 m3(50m)，m37.5.又 m 为正整数，当 m3
7、7 时，w 取最小值237350276.此时 503713.答：最省钱的购买方案是购进 37 只 A 型节能灯，13 只 B 型节能灯 3(2011河南 21 题)某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：人数 m 0m100 100m200 m200 收费标准(元/人)90 85 75 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动 已知甲校报名参加的学生人数多于 100 人，乙校报名参加的学生人数少于 100 人经核算，若两校分别组团共需花费 20 800 元，若两校联合组团只需花费 18 000 元(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200 人吗？为
8、什么？(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？解：(1)这两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200 人 理由如下：设两校报名参加旅游的学生人数之和为a.若 a200，则 a18 000 75240；若 100a200，则 a18 000 852111317200，不合题意 则这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240 人，超过 200 人；(2)设甲学校报名参加旅游的学生有 x 人，乙学校报名参加旅游的学生有 y 人，则 当 100 x200 时，得?xy240，85x90y20 800，解得?x160，y80.当当 x200 时，时，得得?xy240，75x90y20 800，解
9、得解得?x5313，y18623.(不合题意，舍去不合题意，舍去)答：甲学校报名参加旅游的学生有答：甲学校报名参加旅游的学生有 160 人，乙学校报名参加旅游的学生有人，乙学校报名参加旅游的学生有 80 人人.类型一一次方程?组?的解(2018 淮安)若关于x，y的二元 一次方程 3xay1 有一个 解是x3，y2，则a_.【解析】【解析】把 x 与 y 的值代入方程计算即可求出 a 的值把?x3，y2代入方程3xay1 中，得 92a1，解得 a4.【答案】【答案】4 (2018枣庄)若二元一次方程组?xy3，3x5y4的解为?xa，yb，则 ab_.【解析】方法一：xy3,3x5y4，两式
10、相加可得(xy)(3x5y)34，4x4y7，xy74.xa，yb，abxy74.方法二：方程组标上，得?xy3，3x5y4，5，得 5x5y15，得 8x19，解得 x198.将 x198代入，得 y58，abxy1985874.【答案】74 类型二 解二元一次方程组 (2018福建)解方程组：?xy1，4xy10.解：方法一：?xy1，4xy10，由，得 y1x.将 y1x 代入，得 4x1x10，解得 x3，y132，原方程组的解为?x3，y2.方法二：?xy1，4xy10，得 3x9，解得 x3.把 x3 代入，得 y2.原方程组的解为?x3，y2.解二元一次方程组的常用方法：解二元一
11、次方程组的常用方法：(1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解 当方程组中某一个未知数的系数是 1 或1 时，选择代入消元法较为简单(2)加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相同时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得方程组的解 当方程组中同一个未知数的系数相同或相反时，采用加减消元法较为简单；当系数不相同也不相反时，可通过找系数最小公倍数变成系数相同或相反，采用加减消元法较为合适.类型三类型三 一元一次方程的应用一元一
12、次方程的应用 (2018南通)篮球比赛规定：胜一场得 3 分，负一场得 1 分，某篮球队共进行了 6 场比赛，得了 12 分，该队获胜的场数是()A2 B3 C4 D5【解析】【解析】设该队获胜 x 场，则负了(6x)场 根据“总分3获胜的场数1负的场数”，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论 【答案】【答案】B 类型四二元一次方程组的实际应用(2018 泰安)夏季来临，某超市试销 A，B 两种型号的风扇，两周内共销售 30 台，销售收入 5 300 元，A 型风扇每台 200 元，B 型风扇每台 150 元，问 A，B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设 A 型风扇销售了x台，
13、B 型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为()A xy5 300200 x150y30Bxy5 300150 x200y30C xy30200 x150y5 300D xy30150 x200y5 300【解析】【解析】直接利用“两周内共销售 30 台，销售收入 5 300 元”，分别列出等式，进而可得出答案 【答案】【答案】C 解决一次方程(组)的应用题，关键是正确找出实际情境中的数量关系，准确理解题目中各已知量表示的意义 有的表示具体的量，有的则表示量与量之间的关系，在此基础上仔细对未知量进行分析，合理设未知数并列出代数式表示所需各量，然后列出方程(组)需要注意的是，二元一次方程组的应用
14、与一元一次方程的应用基本相同，只是题目中的两个未知量要分别用两个字母表示，列出的是二元一次方程组事实上，凡是能用二元一次方程组解决的问题都可以转化为一元一次方程来解决，但是列方程组更容易找出等量关系 复习时，既要关注从具体问题中的数量关系列出方程的过程，也要关注解方程的正确性以及对解的合理性的检验 1(2018郑州适应性)夏季即将来临，某电器超市销售每台进价分别为200 元，170 元的 A，B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售数量 销售时段 A 种型号 B 种型号 销售收入 第一周 2 台 3 台 1 130 元 第二周 5 台 6 台 2 510 元(进价，售价均保持不变，利
15、润销售收入进货成本)(1)分别求出 A，B 两种型号电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不超过 5 400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为 1 400 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由 解：解：(1)设 A 种型号电风扇的销售单价为 x 元，B 种型号电风扇的销售单价为 y元 根据题意，得?2x3y1 130，5x6y2 510，解得?x250，y210.答：A，B 两种型号电风扇的销售单价分别为 250 元，210 元(2)设采购 A 种型号的电风扇
16、 a 台，则采购 B 种型号的电风扇(30a)台 根据题意，得 200a170(30a)5 400，解得 a10.答：A 种型号的电风扇最多能采购 10 台(3)根据题意，得(250200)a(210170)(30a)1 400，解得 a20.由(2)，可知 a10，在(2)的条件下超市不能实现利润为 1 400 元的目标 2(2018省实验四模)为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍购买2 副乒乓球拍和 1 副羽毛球拍共需 116 元；购买 3 副乒乓球拍和 2 副羽毛球拍共需 204 元 (1)求购买 1 副乒乓球
17、拍和 1 副羽毛球拍各需多少元；(2)若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共 30 副，且支出不超过 1 480 元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？解：解：(1)设购买一副乒乓球拍需 x 元，一副羽毛球拍需 y 元 根据题意，得?2xy116，3x2y204，解得?x28，y60.答：购买一副乒乓球拍需 28 元，一副羽毛球拍需 60 元(2)设可购买羽毛球拍 a 副，则购买乒乓球拍(30a)副 根据题意，得 60a28(30a)1 480，解得 a20.答：最多可购买 20 副羽毛球拍 3(2018 洛阳二模)某物流公司承接 A，B 两种货物运输业务，已知 5 月份 A 货物运费单价为 50 元/吨
18、，B 货物运费单价为 30 元/吨，共收取运费 9 500 元；6 月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A 货物 70 元/吨，B 货物 40 元/吨；该物流公司 6月承接的 A 种货物和 B 种货物的数量与 5 月份相同，6 月份共收取运费 13 000 元(1)该物流公司月运输两种货物各多少吨？(2)该物流公司预计 7 月份运输这两种货物 330 吨，且 A 货物的数量不大于 B 货物的 2 倍，在运费单价与 6 月份相同的情况下，该物流公司 7 月份最多将收到多少运输费？解：解：(1)设该物流公司月运输 A 种货物 x 吨，B 种货物 y 吨 根据题意，得?50 x30y9 500，70
19、x40y13 000，解得?x100，y150.答：该物流公司月运输 A 种货物 100 吨，B 种货物 150 吨(2)设 7 月份运输 A 种货物 a 吨，则运输 B 种货物(330a)吨，设 7 月份收到的运输费为 w 元 根据题意，得 a(330a)2，解得 a220.根据题意，得 w70a40(330a)30a13 200，300，w 随着 a 的增大而增大 又 a220，当 a220 时，w 有最大值 19 800.答：该物流公司 7 月份最多将收到 19 800 元的运输费 4(2018开封一模)某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：1 台 A 型换气扇和 3 台 B 型换
20、气扇共需 275 元，3 台 A 型换气扇和 2 台 B 型换气扇共需 300元(1)求 1 台 A 型换气扇和 1 台 B 型换气扇的售价各是多少元；(2)若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共80 台，并且 A 型换气扇的数量不多于 B 型换气扇数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 解：解：(1)设 1 台 A 型换气扇的售价为 x 元，1 台 B 型换气扇的售价为 y 元 根据题意，得?x3y275，3x2y300，解得?x50，y75.答：1 台 A 型换气扇的售价为 50 元，1 台 B 型换气扇的售价为 75 元(2)设购进 A 型换气扇 a 台，则购进 B 型换气扇(80a)台，设总费用为 w 元 根据题意，得 a3(80a)，解得 a60.根据题意，得 w50a75(80a)25a6 000.250，w 随着 a 的增大而减小 又 a60，当 a60 时，w 有最小值 4 500，此时 806020.答：最省钱的购买方案是购进 60 台 A 型换气扇，20 台 B 型换气扇
