1、电路基础第第6章章 含有耦合电感电路的分析含有耦合电感电路的分析6.1 耦合电感耦合电感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。耦合电感是一种线性双口电路元件，将用三个参数L1、L2 和 M 表示。电路基础电路基础电路基础调压器调压器牵引电磁铁牵引电磁铁电流互感器电流互感器电电压压互互感感器器电路基础1.1.互感互感 线圈线圈1中通入电流中通入电流i1时，在线圈时，在线圈1中产生磁通，中产生磁通，同时，有部分磁通穿过临近线圈同时，有部
2、分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称，这部分磁通称为互感磁通。两线圈间有磁的耦合。为互感磁通。两线圈间有磁的耦合。定义定义 ：磁链磁链，=N 21+u11+u21i111N1N2电路基础空心线圈空心线圈，与与i 成正比。当只有一个线圈时：成正比。当只有一个线圈时：。H)(111111为自感系数，单位亨为自感系数，单位亨LiL 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：与互磁链的代数和：2121112111 iMiL 1212221222 iMiL。、H)(2112 为互感系数，单位亨为互感系数，单位亨 称称MM M值与线圈的形状、几
3、何位置、空间媒质有值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足关，与线圈中的电流无关，满足 M12=M21 L 总为正值，总为正值，M 值有正有负。值有正有负。注意电路基础2.耦合系数耦合系数 用耦合系数用耦合系数 k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。表示两个线圈磁耦合的紧密程度。121defLLMk当：k=1 称全耦合称全耦合:漏磁漏磁 s1=s2=011=21，22=121)(2211211222112121221iLiLMiMiLLMLLMk满足：满足：耦合系数耦合系数 k 与线圈的结构、相互几何位置、空与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。间磁介质有关。注意：6
4、.1.1耦合电感的同名端耦合电感的同名端电路基础 当耦合电感的电流i1和电流i2在耦合电感中产生的磁场方向相同时，电流i1和电流i2流入（或流出）的两个端钮称为同名端。换句话说，从同名端流入电流，将产从同名端流入电流，将产生相同方向的磁通生相同方向的磁通。对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名在电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的概念。端的概念。电路基础tiMutiMudd dd13131
5、12121*i1i2i3+u11+u2111 0N1N2+u31N3 s注意：线圈的同名端必须两两确定，不能递推。线圈的同名端必须两两确定，不能递推。电路基础同名端的确定方法：同名端的确定方法：(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。i1122*112233*例例(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。电路基础+V 同名端的实验测定：同名端的实验测定：i1122*电压表正偏。0 dd ,0 dd 22tiMuti如图电路，当闭合开关 S 时，i 增加，当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，
6、就可以利用上面的结论来加以判断。RS+-i电路基础由同名端及由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方向即可。tiMudd121tiMudd121i1*u21+Mi1*u21+M电路基础6.1.2耦合电感的电压耦合电感的电压当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。dddd111111tiLtu当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：tiMtudd dd 12121自感电压自感电压互感电压互感电压 当两个线圈同时通以
7、电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。电路基础在正弦交流电路中，其相量形式的方程为：22122111 jjjjILIMUIMILUtiLtiMuuutiMtiLuuudd dd dd dd2212221221112111 2121112111 iMiL 1212221222 iMiL电路基础注意：两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，否则取负。表明互感电压的正、负：否则取负。表明互感电压的正、负：（1）与电流的参考方向有关；与电流的参考方向有关；（2）与线圈的相对位置和绕向有关。与线圈的相对位置和绕向有关。*Mi2i1L1L2u1+u
8、2+j L11 I2 Ij L21 jIM+2jIM+1U2U上述方程可用受控源等效上述方程可用受控源等效22122111 jjjjILIMUIMILUMR1R2i1*L1L2+_u+_u2电路基础例例21010i1/At/s)()(H,1,H2,H5,102211tutuMLLR和和求求已知已知ttttiMtu2 0s21 V10s 10 V10dd)(12解解ttttttiLiRtu2 0s21 V150 100s 10 V50 100dd)(111ttttti2 0s21 1020s 10 101电路基础6.1.3 耦合电感的串联与并联1.耦合电感的相量模型*jL1jL2+_+_jM1U
9、2U2I1I*jL1jL2+_+_jM1U2U2I1I 耦合电感电压相量的参考方向相对于同名端一致，如（a）图端口电压相量、电流相量关系为：（a）（b）2112111IjXIjXIMjILjUML2212212IjXIjXILjIMjULM相对于同名端不一致，如图（b），则：2112111IjXIjXIMjILjUML2212212IjXIjXILjIMjULM电路基础2.耦合电感的串联耦合电感的串联顺接串联顺接串联iRtiMtiLtiMtiLiRu2211ddddddddMLLLRRR2 2121去耦等效电路去耦等效电路iM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+tiLRidd tiML
10、LiRRdd)2()(2121)(2121LLM电路基础反接串联反接串联MLLLRRR2 2121tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudddd)2()(dddddddd2121221102 21MLLLiM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+总有总有)(2121LLM电路基础例例6-4 如图6-7(a)所示电路中，已知R1=500,R2=300,L1=4H,L2=1H,M=0.5H，电源的电压 U=220V,=100rad/s。求(1)耦合线圈的耦合因数;(2)耦合线圈的等效电感;(3)通过线圈的电流;(4)两线圈的电压；(5)耦合线圈的复功率。解解 ：(1)耦
11、合线圈的耦合因数为：120.50.254 1MkL LL=L1+L2+2M=4+1+2(2)耦合线圈的等效电感为：(3)令220 0 VU，耦合线圈的电流相量为：1212()(2)UIRRjLLM0220 00.2236.9 A(500300)100 6j电路基础得耦合线圈的电流为：0.22 2sin(10036.9)Ait(4)两线圈的电压相量分别为：11()1RjLMIU =500+j100(4+0.5)0.22-36.9=147.95.1V22()2RjLMIU=300+j100(1+0.5)-36.9=73.8 -10.3 V 0.22得两线圈的电压u1、u2分别为:22u1=147.
12、9u2=73.8sin(100t-10.3)Vsin(100t+5.1)V(5)耦合线圈的复功率:220 00.22 36.9(38.729.1)VASU Ij电路基础3.耦合电感的并联同侧并联同侧并联tiMtiLudddd211tiMLLMLLudd2)(21221i=i1+i2 解得解得u,i 的关系：的关系：tiMtiLudddd122*Mi2i1L1L2ui+等效电感：等效电感：0 2)(21221MLLMLLLeq如全耦合：如全耦合：L1L2=M2Leq去去耦耦等等效效电电路路电路基础 异侧并联异侧并联tiMtiLudddd211i=i1+i2 tiMtiLudddd122tiMLL
13、MLLudd2)(21221解得解得u,i 的关系：的关系：等效电感：等效电感：0 2)(21221MLLMLLLeq*Mi2i1L1L2ui+Leq去去耦耦等等效效电电路路同名端为共端的同名端为共端的T型去耦等效型去耦等效21113 jjIMILU12223 jjIMILU21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML*jL1 I1 I2 I123jL2j M3 I1 I2 I12j(L1-M)j(L2-M)jM电路基础电路基础异名端为共端的异名端为共端的T型去耦等效型去耦等效21113 jjIMILU12223 jjIMILU21 III j)(j11IMIML j)(j22
14、IMIML3 I1 I2 I12j(L1+M)j(L2+M)-jM*jL1 I1 I2 I123jL2j M电路基础*Mi2i1L1L2ui+(L1M)M(L2M)i2i1ui+*Mi2i1L1L2u1+u2+(L1M)1i2iM(L2M)*Mi2i1L1L2u1+u2+电路基础例例6-5 如图(a)所示电路中。已知U=220V，R1=40R2=60，L1=40，L2=60，M=10求ab两端的开路电压。，,jL1jL2R1R2+-Uab*jM(a)解：解：把耦合电感电路图(a)化为图(b)的去耦等效电路。可以看见去耦等效电路中增加了C结点。其分析方法与不含耦合电感电路的分析法相同。由图(b)
15、用分压公式可得ab两端的开路电压为：jMj(L1M)j(L2M)R1R2+-Uab(b)c 1111()()abRjLMUURjLMj M40(4010)220040(4010)10jjj194.58.1=V=V ab两端的开路电压为：电路基础6.1.4 耦合电感的分析,R2=201I2I例例6-6 如图 所示电路中,已知 U=200V,R1=12L1=30L2=50M=32求(1)支路电流，；（2）两支路吸收的复功率。，,解：解：（1）图示电路的KVL方程为：jL1jMjL2İ2+R1R2İİ1U*1112()Rj L Ij M IU1222()j M IRj LIU220 0U,代入已知条
16、件得：令21200 0(1230)32jIjI12200 032(2050)jIjI电路基础得两支路电流相量分别为：1I00200 032200 02050123032322050jjjjjj=4.39-59.33 A2I0012302000322000123032322050jjjjjj=1.99-101.1A（2）两支路吸收的复功率分别为：11200 04.39 59.33(223.94377.48)VASU Ij22200 01.99 101.1(68.7187.4)VASU Ij 电路基础例例1 列写电路的回路电流方程。列写电路的回路电流方程。213MuS+CL1L2R1R2*+ki1
17、i1SUIIMILILR)(jj)j(323111113132222)(jj)j(I kIIMILILR0)(j)(jjj)1jjj(23132211321IIMIIMILILICLL解解:电路基础例例要使要使 i=0，问电源的角频率为多少？，问电源的角频率为多少？解解CM1 当当MC1 0IZRCL1L2MiuS+L1 L2C R+SUIMZ*L1M L2MMC R+SUIZ电路基础6.2 空心变压器电路的分析空心变压器电路的分析 变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从电源，另一线圈接向负载，变
18、压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。1.1.变压器电路（工作在线性段）变压器电路（工作在线性段）原边回路原边回路副边回路副边回路j M*j L11 I2 Ij L2+S UR1R2Z=R+jX电路基础2.分析方法方程法分析方程法分析S2111 j)j(UIMILR0)j(j2221 IZLRIM令令 Z11=R1+j L1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)回路方程：回路方程：S2111 jUIMIZ0j2221 IZIM*j
19、L11 I2 Ij L2+S UR1R2Z=R+jX电路基础 )(22211S1 ZMZUI222111Sin)(ZMZIUZ1122211S2222211S2)(1j )(j ZMZZUMZZMZUMI等效电路法分析等效电路法分析+oc U2 IZ22112)(ZM1 I+S UZ11222)(ZM原边原边等效等效电路电路副边副边等效等效电路电路根据以上表示式得等效电路。根据以上表示式得等效电路。电路基础lllXRXRXMXRRMXRMZMZjj j)(22222222222222222222222222222lRlX11in ,ZZ 当副边开路当副边开路副边对原边的引入阻抗。副边对原边的引
20、入阻抗。引入电阻。引入电阻。恒为正恒为正 ,表示副边回路吸收表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。的功率是靠原边供给的。引入电抗。引入电抗。负号反映了引入电抗与付边负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。电抗的性质相反。lZ1 I+S UZ11222)(ZM原边等效电路原边等效电路电路基础引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。原副边虽然没有电的联接，但互感的作用使副边产原副边虽然没有电的联接，但互感的作用使副边产生电流，这个电流又影响原边电流电压。生电流，这个电流又影响原边电流电压。能量分析能量分析电源发出有功电源发出有功 P=I12(R1+Rl)I1
21、2R1 消耗在原边；消耗在原边；I12Rl 消耗在付边消耗在付边 2221jIZIM证证明明22222222212)()(IXRIM2222221222222222)(PIRIXRRM电路基础111Socjj IMZUMU112)(ZM原边对副边的引入阻抗。原边对副边的引入阻抗。利用戴维宁定理可以求得利用戴维宁定理可以求得变压器副边的等效电路变压器副边的等效电路 。副边开路时，原边电流在副边副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。产生的互感电压。副边等效电路副边等效电路+oc U2 IZ22112)(ZM去耦等效法分析去耦等效法分析 对含互感的电路进行去耦等效，再进行分析。对含互感的电路进行
22、去耦等效，再进行分析。电路基础例例6-9 图所示电路中，已知电压U1=220V,=314rad/s,R1+jXL1=j8，R2+jXL2=j16，jXM=j10，负载R+jX=12，求(1)一次回路的输入阻抗Zin;(2)两个回路的电流i1、i2。解解：(1)一次回路的输入阻抗inZ2111221()()MinLLXUZRjXRRj XXI210(8)(34)1216jjj1 I+1UZ11222)(ZM Z11222()MZ电路基础11220 04453.1 A34inUIZj2122()()104453.122 163.8 A1216MLjXIIRRj XXjj i1=4422cos(31
23、4t-53.1)A cos(314t+163.8)Ai2=221220 0 VU，两个回路的电流相量分别为：(2)令 两个回路的电流i1、i2分别为：电路基础6.3 理想变压器理想变压器 121LLMk1.理想变压器的三个理想化条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。全耦合全耦合无损耗无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。的磁导率无限大。参数无限大参数无限大nNNLLMLL2121,2,1 ,但但 以上三个
24、条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。电路基础2.理想变压器的主要性能i1122N1N2变压关系变压关系2211211kdtdNdtdu111dtdNdtdu222nNNuu2121理想变压器模型理想变压器模型*n:1+_u1+_u2nNNuu2121*n:1+_u1+_u2若若电路基础*+_u1+_u2i1L1L2i2M理想变压器模型理想变压器模型*n:1+_u1+_u2i1i2变流关
25、系变流关系tiMtiLudddd2111)()(1)(210111tiLMduLtit考虑理想化条件：考虑理想化条件：121LLMknLLL21211NN,0nLLLM1121)(1)(21tinti电路基础若若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：*n:1+_u1+_u2i1i2)(1)(21tinti变阻抗关系变阻抗关系ZnIUnInUnIU22222211)(/1 理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的大小，不改变理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。阻抗的性质。*n:1+_+_1 I2 I2 U1 UZn2Z+1 U电
26、路基础b)理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。记忆的多端元件。21nuu 211ini0)(111112211niuniuiuiupa)a)理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。起传递信号和能量的作用。功率性质功率性质*n:1+_u1+_u2i1i2电路基础6.3.2含理想变压器的电路分析含理想变压器的电路分析2例例6-10 如如图（a）所示电路中，理想变压器输入端的电压u1=220sin（314t）V,负载阻抗Z=（3+j4）压器的变比为40：1。求(1)输入阻抗Z1;(2)输出电压u2。，理想变解：解：（1）由理想变压器的电压、电流相量关系：12121UnUIIn 得理想变压器的输入阻抗为：2212211211UnUUZnn ZIIIn240 =（3+j4）=（4.8+j6.4）k可以看出，输入端得到了一个放大1600倍的阻抗。电路基础（2）理想变压器输出电压u2为：1n14022u1=220sin（314t）Vsin（314t）V=5.5u2=可见，该变压器是一个降压变压器。电路基础电路基础电路基础电路基础电路基础电路基础电路基础电路基础电路基础电路基础电路基础
