1、14.3.1提公因式法14.3.2公式法之平方差公式14.3.3公式法之完全平方公式挑战一下挑战一下问题：已知问题：已知a+b=8,ab=4，求，求a2 b+a b2 的值。的值。回忆回忆运用前面所学的知识填空：运用前面所学的知识填空：把下列多项式写把下列多项式写 成乘积的形式成乘积的形式都是多项式化都是多项式化为几个整式的为几个整式的积的形式积的形式 (1)ma+mb+mc=()()(2)x2-1=()()(3)a2+2ab+b2=()2(1)m(a+b+c)=(2)(x+1)(x-1)=(3)(a+b)2=ma+mb+mcx2-1a2+2ab+b2m a+b+cx+1 x-1a+b 探究探
2、究 观察观察“回忆回忆”与与“探究探究”，你能，你能发现它们之间的发现它们之间的联系与区别吗？联系与区别吗？把把一个一个多项式化为多项式化为几个几个整式整式的的乘积乘积的的形式形式,像这样的式子变形叫做这个多项像这样的式子变形叫做这个多项式的式的因式分解因式分解，也叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式分解因式分解因式。定义定义 X2-1 (x+1)(x-1)因式分解因式分解整式乘法整式乘法X2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是等式的特征：左边是多项式多项式，右边是右边是几个整式的乘积几个整式的乘积初步应用初步应用 巩固新知巩固新知144)12(22xxx在下列等式中，从左到右的变形是
3、因式分解在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（的有（）cbamcbmam)(xyxyx83242)1)(1(12xxx 多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式，叫做这个多项式的叫做这个多项式的公因式公因式。mcmbma相同因式相同因式m m这个多项式有什么特点？这个多项式有什么特点？例例:找找 3 x 2 6 xy 的公因式的公因式。系数：最大系数：最大公因数。公因数。3字母：相同字母：相同的字母的字母x 所以，公因式是所以，公因式是3x。指数：相同指数：相同字母的最低字母的最低次幂次幂1寻找公因式寻找公因式的关键关键是：1、定系数定系数2、定字母定字母 3、定指数定指
4、数找一找找一找:下列各多项式的下列各多项式的公因式公因式是什么？是什么？（3）（a）（-2xy）（2(m+n)）(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)-6 x 2 y-8 xy 2(4)4(m+n)2+2(m+n)整整 体体 思思 想想 如果一个多项式的各项含有公因式，那么如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做方法叫做提公因式法。提公因式法。(a+b+c )ma+mb+mcm=注注:其中一个因式是各项的公因式其中一个因式是各项的公因式m
5、,另另一个因式一个因式a+b+c是是ma+mb+mc除以除以m 所得的商所得的商挑战一下挑战一下问题：已知问题：已知a+b=8,ab=4，求，求a2 b+a b2 的值。的值。a2 b+a b2=aba+abb =ab（a+b）=4 8 =32 (1)8a3b2+12ab3c例例1:把下列各式分解因式把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）分析：提公因式法步骤（分两步）第一步第一步:找出公因式；找出公因式；第二步第二步:提取公因式提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。，即将多项式化为两个因式的乘积。(2)2a(b+c)-3(b+c)注意：注意：公因式公因式既可以是一个单项式的形式
6、，既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式也可以是一个多项式的形式整体思想整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。是数学中一种重要而且常用的思想方法。把把12x2y+18xy2分解因式分解因式解：原式解：原式=3xy(4x+6y)错误错误公因式没有提尽，公因式没有提尽，还可以提出公因式还可以提出公因式2 2注意：注意：公因式要提尽。公因式要提尽。诊断诊断正确解：正确解：原式原式=6xy(2x+3y)当多项式的某一项和公当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式因式相同时，提公因式后剩余的项是后剩余的项是1 1。错误错误注意：注意：某项提出莫漏某项提出莫漏1 1。解：原式解：原式 =
7、x(3x-6y)把把3x2-6xy+x分解因式分解因式正确解：正确解：原式原式=3xx-6yx+1x =x(3x-6y+1)提出负号时括号里的项提出负号时括号里的项没变号没变号错误错误诊断诊断把把-x2+xy-xz分解因式分解因式解：原式解：原式=-x(x+y-z)注意：注意：首项有负常提负，括号里面要变号。首项有负常提负，括号里面要变号。正确解：正确解：原式原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)2 2、确定公因式的方法、确定公因式的方法：小结小结3 3、提公因式法分解因式步骤、提公因式法分解因式步骤(分两步分两步)：1 1、什么叫因式分解？、什么叫因式分解？(1)(1)定系数定系数
8、 (2)(2)定字母定字母 (3)(3)定指数定指数第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提取公因式第二步，提取公因式.4 4、提公因式法分解因式应注意的问题：、提公因式法分解因式应注意的问题：（1 1）公因式要提尽；）公因式要提尽；（2 2）某项提出莫漏）某项提出莫漏1;1;（3 3）提出负号时）提出负号时,要注意变号要注意变号.记住哟！记住哟！把把 12b(a-b)2 18(b-a)3 分解因式分解因式解：解：12b(a-b)2 18(b-a)3 =12b(a-b)2+18(a-b)3 =6(a-b)2 2b+3(a-b)=6(a-b)2(2b+3a-3b)=6(a-b)2(3a
9、-b)挑战自我挑战自我(1)13.80.125+86.21/8(2)已知已知2a+b=5,ab=3,求求2a2b+ab2的的值值.解：原式解：原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2)=0.125100 =12.5 解解:2a2b+ab2=ab(2a+b)=35=15巧妙计算巧妙计算看你能否过关看你能否过关？把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn(2)12xyz-9x2y2(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)(4)-x3y3-x2y2-xy）（解：原式19999 99 99+99 ）（解：原式1575131259）（解：原式1
10、575131259=259=259 =9900157259512593125915725951259312591572595125931259（1）99299（2）=99(99+1)1 1、计算（、计算（-2-2）101101+（-2-2）1001002 2、已知、已知,求代数式求代数式 的值。的值。42 yx3xy222xyyx义务教育课程标准实验教科书北师版义务教育课程标准实验教科书北师版 八年级数学八年级数学 下册下册 第四章（第四章（3）公式法）公式法 胜利第一中学胜利第一中学王彩玲王彩玲 （1）了解运用公式法分解因式的意义；）了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式
11、分解；）会用平方差公式进行因式分解；（3）了解提公因式法是分解因式首先考虑）了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式的方法，再考虑用平方差公式分解因式 复习回顾：复习回顾：；_._._42 13 xx）（_322）（）（baba222)(bababa）（222ab2baba）（）（22 2xx）ba（）3（ba（1）=_22ba 252x229yx)3)(3(yxyx)(baba)5(5xx）（3）=_（2）=_5、计算下列各式：、计算下列各式：（3）=_（1）=_22ba 252x229yx)3)(3(yxyx)(baba)5(5xx）（2）=_2)(3x25 5、
12、计算下列各式：、计算下列各式：()()()2 22 2 a2-b2=(a+b)(a-b)()2(22yxyxyx)()3(22yxyxyx)()1(22yxyxyx)()4(22yxyxyx)(2222xyxyxyyx 4 2x2241 25 yx 49 22yx2294 xy 22)(9nmnm）（22)2(26yxyx）（）（2222222222449 (4)1210.25(3)2 9 1yxapq mbanm）（）（4 522yx）（请同学们说出一个能用平方差公式分解请同学们说出一个能用平方差公式分解因式的多项式，并请同桌解答因式的多项式，并请同桌解答._=(_+_)(_-_)822xx
13、x823 4 2x50212x）（）（3448116-yx abab423）（反思小结反思小结:（1）本节学习了哪些知识？这节内容的学习与前）本节学习了哪些知识？这节内容的学习与前面的哪一乘法公式有关系？是怎样的关系？面的哪一乘法公式有关系？是怎样的关系？（2）多项式具备什么特征可以应用平方差公式分）多项式具备什么特征可以应用平方差公式分解因式？解因式？（3）因式分解的一般步骤是什么？）因式分解的一般步骤是什么？a2 -b2=(a+b)(a-b)当堂达标当堂达标:22254 2yx）（1 1 2 a）（22)(3bax）（22)(49 4baba）（）（布置作业布置作业:必做题：课本必做题：课
14、本100页习题页习题2题题选做题：选做题：xbxzyxzyx112)()()1(:222）（分解因式 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是的半径分别是R cm和和r cm，求它们所围成，求它们所围成的环形的面积。如果的环形的面积。如果R=7.5 cm，r=2.5 cm呢？呢？能力提升能力提升:=a-b(a+b)(a-b)因式分解因式分解完全平方公式完全平方公式我们前面学习了利用我们前面学习了利用平方差公式平方差公式来分来分解因式即：解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)例如：例如：4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b)用平方差公式因式分解的
15、多项式特征：用平方差公式因式分解的多项式特征：有且只有两个有且只有两个平方项平方项；两个两个平方项平方项异号异号(一正一负一正一负)；回忆回忆完全平方公式完全平方公式2a b2a b222aab b222aab b1.1.我们共学过几种方法因式分解我们共学过几种方法因式分解提取公因式法提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)平方差公式法平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)2.2.分解因式时分解因式时,通常先考虑通常先考虑_ _ 然后再考虑然后再考虑_.3 3.分解因式一直到分解因式一直到不能分解不能分解为止为止.所以分解所以分解 后一定后一定检查检查括号内是否能继续分解括号内
16、是否能继续分解.能否提公因式能否提公因式能否进一步分解因式能否进一步分解因式14.3.2公式法（2）下面的多项式能分解因式吗？下面的多项式能分解因式吗？(1)a22abb2(2)a22abb2乘法公式乘法公式完全平方公式：完全平方公式：2222bababa2222bababa我们把多项式我们把多项式a a2ab2abb b 和和 a a2ab2abb b 叫做叫做完全平方式完全平方式。完全平方式有什么特征？完全平方式有什么特征？结构特征结构特征:（1 1）三三项式项式（2 2）其中有两项是）其中有两项是平方项平方项且都是且都是同号同号（3 3）第三项是两平方项）第三项是两平方项底数乘积的两倍底
17、数乘积的两倍（2）a2-4a+4（3）x2+4x+4y2（1）a2-ab+b2（4）x2-6x-9=a2-4a+22=x2+4x+(2y)2=x2-6x-32是是不是不是不是不是不是不是（5）-a2+2ab-b2是是=-(a2-2ab+b2)例题：把下列式子分解因式例题：把下列式子分解因式16x16x2 2+24x+9+24x+9224243 3xx 243x22 2首首 尾尾=(首首尾尾)2例题：把下列式子分解因式例题：把下列式子分解因式22(x44)xyy 22yx 222首首尾尾=(首首尾尾)222x44xyy22x22(2)xyy 【】例、利用公式：例、利用公式：a22ab+2ab+b
18、2 （ab）2把下列多项式分解因式。把下列多项式分解因式。、2510 x+10 x+x2、9a2+6ab+6ab+b2 解：原式解：原式=522 25 5x+x+x2=（5-x）2解：原式解：原式=(3a)2+2+23a3ab+bb+b2=（3 3a+b）2从以上这两题可以发现：从以上这两题可以发现：先把多项式化先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式再根据公式分解因式.。解完以上这两题，你发现什么？解完以上这两题，你发现什么？例、例、把下列把下列多项式多项式分解因式。分解因式。、x2+14x+49、（m+n）26（m+n）+9 解：原
19、式解：原式=x x2+2+2x x7+77+72=（x+7）2解：原式解：原式=（m+n）2 2（m+n）3+33+32=（m+n-3）2通过解这两题，你得到什么通过解这两题，你得到什么启示启示？在因式分解过程中，先把多项式化成符合完在因式分解过程中，先把多项式化成符合完全平方公式：全平方公式：a22ab+2ab+b2 （ab）2的形式，然后再根据公式分解因式的形式，然后再根据公式分解因式.公式中公式中的的a,b可以是单项式，也可以是多项式可以是单项式，也可以是多项式.；解例可以发现：解例可以发现：例例3把下列多项式分解因式把下列多项式分解因式 2ax2+4axy+2ay2 x2-4y2+4x
20、y 解：原式解：原式=2a（x2+2xy+y2）=2a（x+y）2 解：原式解：原式=（x2-4xy+4y2）=x2-2x2y+（2y）2=（x2y）2 通过解这两通过解这两题，你得到题，你得到什么什么启示启示？因式分解一般步骤：因式分解一般步骤：1、第一项是负号，先提取负号。、第一项是负号，先提取负号。2、若有公因式，应提取公因式，再用、若有公因式，应提取公因式，再用公式法分解因式。公式法分解因式。3、分解因式后的每个因式应为不能、分解因式后的每个因式应为不能再分解了。再分解了。4、分解因式时，要灵活采用方法、分解因式时，要灵活采用方法 请运用完全平方公式把下请运用完全平方公式把下列各式分解
21、因式：列各式分解因式：22222222144269344149615464129xxaaaamm nnxxaabb22x原式221a原式23mn原式212x原式223ab原式随堂练习随堂练习把下列多项式因式分解把下列多项式因式分解 x212xy+36y2 16a4+24a2b2+9b4解：原式解：原式=x22x6y+（6y）2 =（x6y）2解：原式解：原式=（4a2）2+24a23b2+（3b2）2 =（4a2+3b2）2随堂练习随堂练习2xyx2y2 412（xy）+9（xy）2解：原式解：原式=（x2+2xy+y2）=（x+y）2解：原式解：原式=22223（xy）+3（xy）2 =23
22、（xy）2 =（23x+3y）2(1)ax2+2a2x+a3(2)-3x2+6xy-3y2(3)4x2+20 x(1-x)+25(1-x)2 练一练练一练:分解因式分解因式小结小结:把一个多项式进行因式分解的一般思路把一个多项式进行因式分解的一般思路:一提一提（提公因式法）（提公因式法）二用二用（运用公式法）（运用公式法）【例例】分解因式：分解因式：(a2+b2)2-4a2b2小结小结(1)选用公式时要看多项式的特征选用公式时要看多项式的特征 两项两项考虑考虑平方差平方差公式公式 三项三项考虑考虑完全平方完全平方公式公式 (2)分解因式时一定要分解因式时一定要分解彻底分解彻底。【例例】简便计算
23、：简便计算：（2）522+482+5296（1）99729=997232=（997+3）（）（997-3）=1000994=994 000=522+482+25248=（52+48）2=10 000小结小结、本节课主要学习运用：、本节课主要学习运用：完全平方完全平方公式：公式：a22ab+2ab+b2 （ab）2对多项对多项式分解因式；式分解因式；、在分解因式时，、在分解因式时，当一个题中既要用当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法首先要考虑提公因式法，再考虑公式法 2.2.因式分解的一般思路因式分解的一般思路
24、:一提一提（提公因式法）（提公因式法）二用二用（运用公式法）（运用公式法）1.1.因式分解方法因式分解方法:(1)(1)提取公因式法提取公因式法 平方差公式法平方差公式法 (两项两项)完全平方公式完全平方公式法法(三项三项)(2)(2)公式公式法法灵活应用灵活应用:简便方法运算简便方法运算。幻灯幻灯片片 20062-62 112+392+2239创新应用创新应用:已知已知(a+2b)(a+2b)2 2-2a-4b+1=0,-2a-4b+1=0,求求(a+2b)(a+2b)20052005的值的值.幻灯幻灯片片【例例1】分解因式分解因式：（1）16x224x9（2）-x24xy4y2(1)x2+
25、12x+36 (2)-x2-2xy-y2(3)4a12ab9b练一练练一练:分解因式分解因式平方项前面是负数时，先把负号提到括号外面平方项前面是负数时，先把负号提到括号外面一找平方项一找平方项 二运用二运用公式公式灵活地把灵活地把(2xy)看成一个整体，这需要你看成一个整体，这需要你的智慧哟。的智慧哟。注意啦！首先要考虑能不能提取公因式！注意啦！首先要考虑能不能提取公因式！例例1把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(4)(2xy)26(2xy)9(3)3ax26axy3ay26、真者，精诚之至也，不精不诚，不能动人。庄子渔夫37、勿以恶小而为之，勿以善小而不为。惟贤惟德，能服于人。刘 备
26、38、傲不可长，欲不可纵，乐不可极，志不可满。魏 徵 39、不傲才以骄人，不以宠而作威。诸葛亮 40、人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。鲁 迅名人名言激励励志名言名语名句100句（励志古诗词篇，附出处）41、人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。席慕蓉 42、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。方志敏 43、做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。萧楚女 44、所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。鲁 迅 45、人类的
27、希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。巴 金 46、我们是国家的主人，应该处处为国家着想。雷 锋 47、我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。周恩来 48、路是脚踏出来的，历史是人写出来的。人的每一步行动都在书写自己的历史。吉鸿昌 49、春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。吴玉章 50、学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。毛泽东名人名言激励励志名言名语名句100句（励志古诗词篇，附出处）51、错误和挫折教训了我们，使我
28、们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。毛泽东 52、一分钟一秒钟自满，在这一分一秒间就停止了自己吸收的生命和排泄的生命。只有接受批评才能排泄精神的一切渣滓。只有吸收他人的意见。我才能添加精神上新的滋养品。徐特立 53、知识是从刻苦劳动中得来的，任何成就都是刻苦劳动的结果。宋庆龄 54、形成天才的决定因素应该是勤奋。有几分勤学苦练是成正比例的。郭沫若 55、自觉心是进步之母，自贱心是堕落之源，故自觉心不可无，自贱心不可有。邹韬奋 56、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得
29、事物之真理。陶行知 91、理想是指路明灯。没有理想，就没有坚定的方向，而没有方向，就没有生活。托尔斯泰 92、成功，从失败的土壤中顽强生出。德 国 93、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶油泼掉，别因为犯了一点错误就把一生的事业扔掉。蒙 古 94、危险、怀疑和否定之海，围绕着人们小小的岛屿，而信念则鞭策人，使人勇敢面对未知的前途。泰戈尔 95、论命运如何，人生来就不是野蛮人，也不是乞讨者。人的四周充满真正而高贵的财富身体与心灵的财富。霍勒斯曼 96、如果只有火才能唤醒沉睡的欧洲，那么我宁愿自己被烧死，让从我的火刑堆上发出的光照亮这漫长的黑夜，打开那些紧闭的眼睛，将人类引进光明 的的的真理的殿堂。布
30、鲁诺 97、走得最慢的人，只要他不丧失目标，也比漫无目的地徘徊的人走得快。莱 辛 37、生活只有在平淡无味的人看来才是空虚而平淡无味的。车尔尼雪夫斯基38、先相信你自己，然后别人才会相信你。屠格涅夫39、谁给我一滴水，我便回报他整个大海。华 梅40、对人不尊敬，首先就是对自己的不尊敬。惠特曼41、一个人的真正伟大之处就在于他能够认识到自己的渺小。保 罗42、自我控制是最强者的本能。萧伯纳43、勿以恶小而为之，勿以善小而不为。惟贤惟德，能服于人。刘备44、要使别人喜欢你，首先你得改变对人的态度，把精神放得轻松一点，表情自然，笑容可掬，这样别人就会对你产生喜爱的感觉了。卡耐基45、有谦和、愉快、诚恳的态度，而同时又加上忍耐精神的人，是非常幸运的。塞涅卡46、人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！奥斯特洛夫斯基98、喷泉的高度不会超过它的源头；一个人的事业也是这样，他的成就绝不会超过自己的信念。林 肯 99、朝着一定目标走去是“志”，一鼓作气中途绝不停止是“气”，两者合起来就是“志气”。一切事业的成败都取决于此。卡内基 100、我无论做什么，始终在想着，只要我的精力允许我的话，我就要首先为我的祖国服务。巴甫洛夫选集57、入于污泥而不染、不受资产阶级糖衣炮弹的侵蚀，是最难能可贵的革命品质。周恩来
