1、 全国全国 100 所名校最新高考模拟示范卷数学卷（二）所名校最新高考模拟示范卷数学卷（二） （120 分钟分钟 150 分）分） 一一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1.若集合 0,1,2,3, 2,3,4,5AB ，则AB （ ） A.1,2,3,4,5 B.0,1,4,5 C.2,3 D.0,1,2,3,4,5 2.i是虚数单位，2zi，则z （ ） A. 3 B.2 C. 5 D. 6 3.已知向量1,2a ，( 1,
2、)b ，若a b，则实数等于（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 4.“22x ”是“2 2x ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5.双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b ）的离心率为 5 3 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. 4 5 yx B. 5 4 yx C. 4 3 yx D. 3 4 yx 6.第 18 届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于 2019 年 8 月 31 日至 9 月 15 日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中
3、国队 12 名 球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A.第一场得分的中位数为 5 2 B.第二场得分的平均数为19 3 C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差 D.第一场与第二场得分的众数相等 7.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若5b， 22 625cca，则cosA（ ） A. 4 5 B. 3 5 C. 3 10 D. 2 5 8.函数 2 1 ( )ln(1) 1 x x e f xxx e 的图象大致为（ ） A B C D 9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ） A.15 2 B.12 C.1
4、1 2 D. 21 2 10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立 方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于 3 2 3 d （d为球的直径） ，并得到球的 体积为 3 1 6 Vd，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据 3.1415926，判断下列公式中最精确的一个是（ ） A. 3 16 9 dV B. 3 2dV C. 3 300 157 dV D. 3 15 8 dV 11.已知 3 2coscos 2 ， 3 2sinsin 2 ，则cos( ) 等于（ ） A. 1 2 B.
5、1 2 C. 1 4 D. 1 4 12.已知A BC， ，为椭圆 2 2 1 4 x y上三个不同的点， 若坐标原点O为ABC 的重心， 则ABC的面积 为（ ） A. 3 B. 3 3 2 C. 3 2 D.3 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13.设 f x是定义在R上的函数，若 g xf xx是偶函数，且24g ，则 2f_. 14.已知数列 * ( n f anN 是等差数列，其前n项和为 n S，若66 n S ，则 4 a _. 15.已知函数 ( )si
6、n()(0)f xx ，点 2 ,0 3 和 7 ,0 6 是函数 f x图象上相邻的两个对称中心， 则_. 16.在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2 3,2ABAA，E F，分别为 111 ABAC，的中点，平面a过点 1 C， 且平面a平面 11 ABC，平面a平面 111 ABCl，则异面直线EF与l所成角的余弦值为_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考
7、题，考生根据要求作答. （一（一）必考题：共必考题：共 60 分分. 17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这 6 个方面：本科就 业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情 结如图是 20152019 年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图. （1）求y关于t的线性回归方程； （2）根据（1）中的回归方程，预测 2021 年全国硕士研究生报考人数. 参考数据： 5 1 311 ii i ttyy . 回归方程y abt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别： 1 2 1 ii i n i i
8、 ttyy b tt ，a ybt . 18.已知数列 n a的前n项和为 n S， 2 1 112 ,4,31 4,( 1)log nn nnnnn S aSaba . （1）求数列 n a的通项公式; （2）求数列 n b的前2n项和 2n T. 19.如图， 在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD， 底面ABCD为直角梯形，ABAD ，BCAD， 2222ADBCPAAB，点EFG， ，分别为线段AD DCPB，的中点. （1）证明：直线AG平面PEF. （2）求多面体 ACCPEF的体积. 20.已知函数 2 ( )e, x f xaxx aR， ( )g x为函数 f x的导函数.
9、 （1）若函数 g x的最小值为 0，求实数a的值； （2）若0x ， 2 ( ) (1)(1)1f xa xa x恒成立，求实数a的取值范围. 21.已知点,80P tt 是抛物线 2 (:20)C xpy p上一点，点F为抛物线C的焦点，| | 10PF . （1）求直线PF的方程； (2)若直线l过点0,4，与抛物线相交于MN， 两点，且曲线C在点M与点N处的切线分别为m n， 直线m n，相交于点G，求| |PG的最小值. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的
10、第一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos 2sin xa y （a为参数） ，在以坐标原点为极点,，x轴的正半 轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 3 m . （1）若直线l与曲线C至多只有一个公共点，求实数m的取值范围； （2）若直线l与曲线C相交于A B，两点，且A B，的中点为P，求点P的轨迹方程. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知ab，为正实数， 22 2ab. （1）证明：2abab . （2）证明： 44 2ab. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考
11、答案数学模拟测试参考答案 1.D 本题考查集合的运算因为 0,1,2,3, 2,3,4,5AB ，所以0,12,3,4,5AB. 2C 本题考查复数的模.因为2zi，所以 22 |2( 1)5z . 3.C 本题考查向量的平行.因为a b，所以20 ，解得2. 4.A 本题考查充分、必要条件“22x ”是“22x ”的充分不必要条件. 5.C 本题考查双曲线的渐近线. 2 2 2 2516 11 99 b e a ，即 4 3 b a ，故双线的渐近线方程为 4 3 yx . 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为 5 2 ，众数为 0，极差为 19，第二场得分的众数为 0，
12、平均数为19 3 ，极差为 2，所以选项 C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为 22 5625bcca，所以 222 6bcac，所以62coscbcA， 所以 3 cos 5 A . 8.B 本题考查函数的图象.因为 fxf x，所以 f x为偶函数，排除 CD 项， 又因为 1 (1)ln210 1 c f e ，所以排除 A 项. 9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由 1 4 个圆锥和 1 8 个球组成的， 如图所示，其中球的半径为 3，圆锥的底面半径也为 3，高为 4，故该几何体的体积为 23 1111915 3433 438322 x. 10.C 本题
13、考查数学史与立体几何.由 3 1 6 Vxd，解得 3 6V x d ，选项 A 化简得 3 9 16 V d ， 所以 6 9 3.375 16 ；选项 B 化简得 2 1 2 V d ，所以 6 3 2 ；选项 C 化简得 3 157 300 V d ， 所以 6 157 3.14 300 ；选项 D 化简得 2 8 15 V d ，所以 6 8 3.2 15 ；所以选项 C 的 公式最精确. 11.A 本题考查三角恒等变换.因为 3 2coscos 2 ， 3 2sinsin 2 ， 所以 22 9 4cos4coscoscos 4 ， 22 3 4sin4sinsinsin 4 ， 两
14、式相加得 54(coscossinsin)3 ， 解得 1 cos() 2 . 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB的方程为y kxm 代人椭圆方程得 222 148410kxkmxm. 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 则 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 41 1 4 m x x k . 设 33 ,C x y，因为O为ABC的重心，所以 212 2 8 14 km xxx k ， 21212 2 2 2 14 m yyyk xxm k ， 代入椭圆方程得 22 441mk， 2 12 |1|ABkxx， 点O到直线AB的距离 2 | 1
15、 m d k ， 所以OMB的面积 2 2 22 1 222 11 1182| |41 4 221 41 11 4 m kmm SABdmkm kkk 因为 22 441mk， 所以 2 1 2 2|3 3 42 m Sm m ， 因为O为ABC的重心， 所以ABC的面积 1 3 3 3 2 SS . （另解：不妨设2,0A，因为O为ABC的重心，所以BC横坐标为1， 可得|3BC ，所以ABC的面积为 13 3 33 22 S .） 13.6 本题考查函数的性质，由题知， (2)(2)2( 2)4gfg ，解得 26f. 14.6 本题考查等差数列基本量的求解设等差数列 n a的公差为d，因
16、为66 n S ，所以 4 1166a ，解得 a 6. 15.2 本题考查三角函数的性质因为点 2 ,0 3 和 7 ,0 6 是函数 f x图象上相邻的两个对称中心，所以 是 72 632w ，解得2. 16. 3 4 本题考在异面直线所成角.因为平面a平面 11 ABC， 平面a平面 111 ABCl，平面 11 ABC平面 11111 ABCAB， 所以 11 lAB，取 11 AB， 11 BC的中点分别为HG， 连接EHBG GHGFAC，如图所示，则 11 GFAB， 所以GFl所以异面直线EF与所成的角为GFE或其补角， 又因为 2 3AB ， 1 2AA ， 所以 1 4AC
17、 ，1EH ， 3HPGP ， 所以2EGEF，所以 3 3 22 cos 24 GF GFE RP . 【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把 异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特 征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得 11 DAB，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得 1 (12345)3 5 t ， 2 2232 1 5 ( 2)( 1)01210 i i i at ， 由参考数据知， 5 1 311 ii i ttyy ， 所以 5 3
18、 2 1 311 31.1 10 ii i i i ttyy b tt ， 214.2-31.1 3 120.9ay bt ， 故所求回归方程为31.1120.9yt. （2）将 2021 年对应的7t 代人回归方程得31.1 7 120.9338.6y ， 所以预测 2021 年全国硕士研究生报考人数约为 338.6 万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n项和 （1）因为 1 31 1 n n n Sa ，所以当 2n时，所以 1 31 4n nn Sa ， 所以 1 1 31 4(1 4) nn nnn aaa ， 整理得 1 1440 n nn aa ， 所以 1 4 ,(2) n
19、n aan ， 当1n 时， 12 314nSa， 1 4a ， 所以 2 16a ，所以 2 4aa， 所以数列 n a是首项和公比均为 4 的等比数列，所以 1 4 44 n n a ，即4n n a . （2）由（1）知4n n a ，所以 22 11212 22 ( 1)log 4( 1)log 24( 1) nnnnn n bn 2 2 2222 4 1 234(21)(2 )4 37(41)4(21) n Tnnnnn ， 故数列 n b的前2n项和 2 4 (21) n Tn n. 【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用 函
20、数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建 1, a d的方程组求数列通 项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积. （1）证明：因为2BCAD ADBCE，为线段AD的中点，所以BC AE，连接EC， 因为ABAD，所以四边形ABCE为矩形，连接BE交AC于点O，连GO，因为G为线段PB的中 点，所以OGPE，因为GO平面PEF，PBC平面PEF， 所以GO平面PEF，由题易知，AC平面PEF， 又因为GC 平面GAC，AC 平面GAC. ACGOO，所以平面PEF平面GAC， 又因为AGC平面GMC，所以
21、直线AC平面PEF. （2）因为222 ADBCPA，1AB ，所以四棱锥PABCD的体积 111 (12) 1 1 322 S ， 三棱锥GABC的体联 1111 1 1 32212 S ，棱锥P DEF的体积 1111 11 32212 S ，故所求多面体AGCPEF的体积为 1111 212123 . 20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）( )21 x f xeax， 所以( )21 x g xeax，( )2 x g xea， 当0a时， 0g x，所以( )21 x g xeax在R上单词递增，不合题意； 当0a时， (,ln2 )xa ， ( )0g x ， (l
22、n2 ,)xa，( )0g x ， 所以函数 g x在区间( ,ln2 )a 上单调递减，在区间(ln2 , )a 上单调递增， ( )(ln2 )2 (1ln2 )10g xgaaa ，令 ( )ln1xxxx，则( )lnxx ， 所以 x在区间0,1上单调递增，在区间(1, )上单调递减， 所以 10x，所以由2 (1 ln2 )10aa ，解得 1 2 a ， 即实数a的值为 1 2 . （2）因为0x ， 2 ( )(1)(1)1f xa xa x恒成立，所以 2 10 x exax ， 即 2 1 x ex a x 对任意0x恒成立，令 2 1 ( ) x ex x x ， 则 2
23、 (1)1 ( ) x xex x x ，由（1）知，10 x ex ， 当且仅当0x时，等号成立，所以函数 x在区间0,1上单调递减， 在区间(1, )上单词递增，所以( )(1)2xe ，所以 2ae ，即2ae. 所以实数a的取值范围为2 ,)e. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为| | 10PF ，所以810 2 p ，解得4p ，所以0,2F， 因为 2 8 8t ，且0t ，所以8t ，所以8,8P ， 故直线PF的方程为 82 2(0) 80 yx ， 化简得3 480xy. （2）由（1）知，抛物线方程为 2 8xy ，点0,2F. 设 1122 ,M x yN x
24、 y，又因为 1 4 yx ， 所以直线m的方程为 111 1 4 yyxxx 整理得 11 1 4 yx xy， 同理可得直线n的方程为 12 1 4 yx xy，设 33 ,G x y， 联立 311 332 3 2 1 4 1 4 yx xy yx xy ，得直线l的方程为 33 1 4 yxxy，又因为直线l过点0,4， 所以 4y ，即点G在定直线 4y 上，所以PG的最小值为8412 . 【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意： （1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件； （2） 强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数
25、之间的关系、 弦长、 斜率、 三角形的面积等问题. 22.解：本题考查坐标与参数方程： （1）由题知，曲线C的直角坐标方程为 22 4xy， 直线l的直角坐标方程为320xym， 因为直线l与曲线C至多只有一个公共点，所以 |2| | 2 3 1 m m ， 所以实数m的取值范围为( , 22,) . （2）设 1122 , ( , )A x yB x yP u v，由（1）知，( 2,2)m ， 由 22 320 4 xym xy ，解得 22 44 3440xmxm ， 所以 12 23uxxm， 1212 234vyyxxmm， 所以2 2 3uv ，即 3uv ， 故点P的轨迹方程为30( 11)xyy . 23.解：本题考查不等式证明. （1）因为 22 2ab所以1ab，所以 1abab ， 又因为 2 ab ab ，所以 2 ab ab ， 即2abab ，当且仅当ab时等号成立， （2） 2 44222222 242ababa ba b， 由（1）知1ab，所以 22 1a b ， 所以 22 42422a b，即 44 2ab，当且仅当ab时等号成立.
