1、地下工程测量第八章第八章 地下工程地下工程控制测量精度分析控制测量精度分析 栾元重栾元重山东科技大学山东科技大学8.2.3导线误差分析 1支导线误差分析 支导线是地下工程地下平面控制测量的常见形式。通过对测角及测距误差的分析可以看出，由于测角量边误差的积累，必然使导线点的位置产生误差。如图8-7所示 支导线终点的坐标按下式确定：而导线边的坐标方位角是所测角的函数，即nnKnnKlllyylllxxsinsinsincoscoscos2211122111（8-87）18010iaanii 由此可见，导线终点的坐标是整个导线所测角度与边长的函数，因而导线终点坐标的误差公式为 上式等号右边第一项为测
2、角误差对终点坐标的误差影响，第二项为量边误差的影响，故可写成nnliiKiiKyKnliiKiNiKxKmlymyMmlxmxM112222221222212211（8-88）222222ylyyKxlxxKMMMMMM（8-89）将以上偏导数代入（8-90）得 或写成nnnKnnKnnKlxlllxlllxsin)sinsinsin()sinsinsin(3322222111 可见，支导线终点纵坐标对所测某角度的偏导数为导线终点与相应点间的横坐标之差。设Ri为导线终点与某一导线点联线长度，Ryi为Ri在y轴上的投影（图8-8），则)()()()()(2221211nKnnKKnKKnKyyy
3、xyyyyxyyyyyx11ykRxynnkykRxRx22 将以上偏导数代入公式（8-88）得 当等精度测角时，即 则nixiyiNyixmRMmRM122222122211mmmmn21nxiyNyixRmMRmM1222212222（8-94）（8-93）现在求量边误差引起的导线终点的坐标误差。为此，先求偏导数 1lxK 由此求得计算导线终点坐标误差的公式为nnliiixiyKnliiiNyixKmmRMmmRM1122222212221222sin1cos1(8-96）支导线终点的位置误差为 nliniiyKxKKmmRMMM1212222221（8-97）当等精度测角时（8-98）n
4、liniKnnliixiyKnliiNyixKmRmMmRmMmRmM12122221122222121222sincos 公式（8-98）中的量边误差的影响可分为两种情况：一种是边长丈量中无系统误差，或系统误差很小可忽略不计；另一种是在边长丈量中有显著的系统误差。第一种情况 无量边系统误差时，式中得量边的偶然误差影响系数。代入（8-98）式中得niniKnniixiyKniiNyixKlaRmMlaRmMlaRmM12122221122222212212222sincos（8-99）第二种情况 有显著的量边系统误差时，如果丈量一条边的边长，则 在推导公式（8-96）时系假定量边误差纯属偶然性
5、质的，因此不能将上式带有系统误差的量边误差直接代入 2222iililblam 量边系统误差对导线终点位置的影响，如图8-9所示导线ABCDEF为一正确的导线 2在指定方向上的支导线终点误差 在隧道和采矿的隧道贯通工程中，常常不需知道其在X轴与Y轴上的坐标误差，而是需要求垂直于巷道中线方向上的相遇误差。这时，只需假设某坐标轴（纵轴或横轴）和指定方向重合，然后按此坐标轴求出坐标方向上的误差，这就是所要求的某指定方向上的误差，即2211222222cosxnniiiykxLbalaRmM（8-101）3起始边坐标方位角和起始点位置误差引起的支导线终点的位置误差 实际上井下导线起始点的坐标是通过一系
6、列测量与计算传递得来的，因此存在着误差，而起始边的坐标方位角是经过定向测量确定的，带有不可忽视的误差，它对导线终点的位置有显著的影响。首先分析由起始边坐标方位角误差引起的支导线终点的位置误差（图8-10）。设 为起始边坐标方位角 的误差，因aom0aniiKalxx11cosniiKalyy11sin 由起始边坐标方位角误差所引起的支导线终点的坐标误差为00aKxoKmaxM00aKyoKmayM002220111010sinsinsinaaalaaalaaalaxaxnnnk因18010iaaiii故有000101010mRMmRMmRMKxKyyKx（8-102）可见，由起始边坐标方位角误
7、差引起的支导线终点的位置误差随着终点与起点的联线距离增大而增大。若考虑起始点1的坐标误差，则222121202221212022212120000mRMMmRMMmRMMKXyKyyXKx（8-103）4、导线任意边坐标方位角的误差 支导线任意边坐标方位角是由起始边坐标方位角和所测角推算的，其公式为 误差公式为 当测角为等精度时18010iaaiiiiiaoaimmm1222222immmaoai5、等边直伸形支导线的终点位置误差 由起始点1和起始边B1（见图8-10）敷设近似等边直伸形支导线，即llll，lnn321432180图8-10 等边直伸性支导线误差 设 为沿导线直伸方向的导线终点
8、误差，简称纵向误差，为垂直于导线直伸方向的导线终点误差，简称为横向误差。为了求算 和 值，设沿导线的直伸方向为假定坐标轴 的方向，于是tMuMuMtMxnniliiykxtamRmMM112222222cosnniliixkyuamRmMM112222222sin在假定坐标系统中 00sin1cos,0iyiiiR，a，aa而则nlitmM122nixuRmM12222 设L为导线始点与终点的联线长度，对等边直伸形导线而言L=nl 于是 由公式（8-107）和（8-108）可见，当导线成直伸形时，测角误差只影响导线终点的横向误差，而量边误差只影响其纵向误差。因而要减小终点的横向误差，必须提高测
9、角精度，减少测站数目。要减小纵向误差，必须提高量边精度。35.1nLmMu当导线边较多时 2221222LbLaLblaMnii6、求导线点位误差的实例 由平巷中已知点1和已知方向B1开始敷设一井下经纬仪支导线（图8-11），试求该导线第7点在垂直和平行于6-7边方向上的位置误差。所测导线各边长及左角数值列于表8-6中，量边误差系数取 ，测角误差 。00005.0,0005.0ba51 m图8-11 支导线点位误差估算图7平差后经纬仪导线的误差 为了了解图形闭合、附合和测定陀螺定向边的导线在进行了角度的平差后，和进行了角度和坐标整体平差后，导线的精度究竟提高了多少，也为了判断观测成果的质量和估
10、算导线边坐标方位角和导线点位置的精度，需要了解和求算角度平差后和角度、坐标整体平差后导线误差和累积规律和大小。1）方向附合导线误差 在长距离地下工程（如铁路、公路隧道，大型现代化煤矿等）中，采用陀螺经纬仪测定导线起始边方向和中间边及最末边方向，这样就使支导线变成有两个或两个以上坚强方向和一个坚强点控制的方向附合导线。（1）角度平差后导线终点的误差 如图8-12中坐标方位角条件方程式为 01801111naaABKni（8-109）图8-12 方向附合导线误差 角度改正数条件方程式为01321fvvvvn（8-110）式中 1801111naafABKni经角度平差后导线终点的坐标误差应为 xk
11、xKPM1ykyKPM1（8-111）由“最小二乘法”知平差值函数的权倒数公式为)1()1(1112rPrrrPrfPbbPbfPaaPafpffPF（8-112）导线终点的坐标计算公式为niikalxx11cosniikalyy11sin（8-113）设：导线终点的坐标对角度的偏导数；导线终点坐标对边长的偏导数。即iflif)(1iKikiyyxfiiklialxfcos取测角中误差m为单位权的中误差，则：1iPilililammmP2222 式中为边长的偶然误差影响系数。由角度改正数条件方程式（8-109）得系数，经过计算可求得 nniKalmayyPff12221122cos12221i
12、kyyPaf1nPaa 将上式各值代入（8-112）式中并简化后，得导线终点K的X坐标的权倒数 因此，角度经过平差后，导线终点x坐标的中误差为 almanyyyyPikiKxk22222cos111 almanyyii222222cos11 （8-114）alanyymPmPMiixKxKxk222222222cos1 同理可求得y坐标的权倒数和y坐标的中误差 导线终点位置误差为 almanxxPiiyk22222sin111 alanxxmMiiyk2222222sin1 lanyxyxmMMMiiiiyKxKk22222222221 以上便是方向附合导线终点的误差公式。为了简化估算工作，将
13、坐标原点移到导线的平均坐标点上，即图8-12中的O点，通常称此O点导线的重心，它的坐标为 可以证明 10nxx 10nyy 1222nyy 1222nxx 式中 因此，当以重心为坐标原点时，并顾及到边长的系统误差影响，则上列各式相应为0yyii0 xxii 2222022222222222212222222sincosLblaRmMLblamMLblamMiKyxKxxK（8-120）式中 如果上述公式应用到闭合导线时，则L=0，量边系统误差影响可不予考虑。当考虑到始末边的坐标方位角误差和起始点误差对导线终点的影响时，则终点误差公式为 21202012222220222212212222222
14、222212212222222222)()(sin)(cos000MRRmLblaRmMMmLblamMMmLblamMKiKyKyxKxKxxK（8-121）（2）用陀螺经纬仪加测导线中间边坐标方位角时导线终点的误差 当提高导线的精度，不但在导线的终端测定坐标方位角，而且在导线的中间，根据需要加测一个到数个导线边的坐标方位角 。在图8-13中，在导线中间加测一条陀螺边的坐标方位角，当测定陀螺定向边坐标方位角的精度较高而可看作坚强数据时，则产生了两个坐标方位角条件，导线应先分段按坐标方位角条件方程式（8-122）、（8-123）进行角度平差，然后再计算坐标。1Ba图8-13 中间加测陀螺定向边
15、的导线终点误差 对第段导线：对第段导线：0121IInIIIfvvv（8-122）180111111naafABniII0121fvvvn1801111naafBCKni 同上述一样推导，求平差函数的中误差得 22212222222221222222222212222222sincosKnIInIIIOiIOiKyKnIInIIIIxKxKnIInIIIxKLblaRRmMLblamMLblamM（8-124）当考虑到始末边和中间陀螺定向边坐标方位角误差 为和起始点的位置误差 对导线终点的影响时，则导线终点误差公式为am1M 21222122,2,2,2222222212221222,2,2,
16、2222222212221222,2,2,2222222sincosMLblaRRRmRRmMMLblammMMLblammMKnIInIKOIIOIIOIOIIIIOiIOiKxyKnIInIKOIIOIIOIOIIIIIxKxxKnIInIKOIIOIIOIOIIIIxK（8-125）当在导线中间测定了（N-1）个边的坐标方位角时，则公式（8-125）成为 式中 、各段导线中重心与各导线点联线的平方和；、和 、分别为各段导线中重心与各导线点联线在x轴和y轴上的投影的平方和；2122112122,222,2,222222221MLblaRRRRmRRRmMKNNnnnKoNoooIoIIaN
17、oioiIoiKINoN IoiR2 2oiR I2 2 I2 2 应该指出：中间陀螺定向导线边的坐标方位角值在相邻两段导线的角度平差时都用到了，影响相邻两段导线误差的中间边坐标方位角误差是同一误差值，因此公式（8-125）中不应取 ，而应取 。2,2,oIIIBoIRR2,oIIoIR（3）等边直伸形方向附合导线终点的位置误差 方向附合导线 如图8-14所示的等边直伸形导线，取新的坐标系，其原点O为等边直伸形导线的重心，沿直伸方向为x轴，垂直直伸方向为y轴。此时 ；。角度平差后，其终点的横向误差为 0ia0,0yiL22222mMMkyu图8-14 角度平差后方向附合等边直伸导线终点的位置误
18、差 当 代入上式，当n较大时，可简化为则时，lllln21 222222222lllnlnl22222121222nnl12212nnnl122222nLmMu（8-127）式中 ，为直伸导线的总长度。直伸形导线终点的纵向误差为 比较公式（8-127）、（8-128）和（8-106）、（8-107）可知，角度平差后的直伸形导线和直伸形支导线相比较，其纵向误差没有变化，变即边长误差对导线终点的影响不变；而横向误差则减小了一半，即减小了角度误差对导线终点的影响。因此井下导线在一定长度内用陀螺定向来控制导线的方向具有实际意义。nlL 2222LbLaMt（8-128）中间加测了陀螺定向边的导线 如图
19、8-15所示，在等边直伸形导线中间，等隔加了N-1条陀螺定向边，此时lllllllllNnNIInIIIIInII11121121 则由公式（8-126）得 化简后得等边直伸形陀螺定向导线角度平差后导线终点的误差公式为18011121121NnNIInIIIIInII 11122222222222222222NnlnmNnlllmMlaK2122MLbLa2122222222222212121MLbLaNNLmNnLmMaK 当沿导线直伸方向设X坐标轴，垂直于直伸方向为y轴时，则其横向误差为 对同样长度的等边直伸形支导线（见图8-10）终点的误差公式为22222222221212121yayu
20、MNNLmNnLmMMK212222xytMLbLaMMK（8-131）21222222222235.11MLbLaLmnNLmMaK（8-132）比较公式（8-129）和（8-132）可知，由于加测了N个陀螺定向坐标方位角，可使由测角误差引起的导线终点横向误减小为支导线的 ，即 N21NnNLmNnLm2135.11121222222 可使由陀螺定向误差引起的导线终点横向误差减小为支导线的 ，即 可见，随着加测陀螺定向边数增加，能有效地减小由测角误差和陀螺定向误差引起的导线终点误差，且随着N的增加，由测角误差引起的导线终点误差减小的速度比陀螺定向误差引起的导线终点误差减小的速度要快。NN5.
21、0NNNN5.012122（4）角度平差后导线任一点位置的误差 导线任意一点C（见图8-12）的坐标是边长和预先平差后角度的函数：当角度平差后，任意点坐标的权倒数仍为 11cosciiicalxx11sinciiicalyyPaaPafPffPc21 同以前一样可求得 此时 ；，即C点与1、2、3C-1、C-2诸点的联线R分别在y轴和x轴上的投影；而 、为C点与其始点1的联线长L分别在x轴y轴上投影 221122211112222221122211112222sin1cos1yCCCxCxyCxCCCyCyxCLblanRRmMLblanRRmM（8-134）icyyyRicxxxRxcLyc
22、L（5）角度平差后导线边坐标方位角的误差 角度平差后（见图8-12），导线边坐标方位角是平差角度的函数，即第i边坐标方位角的误差为此时18010iaaniiaiaiPmPaaPafPffPai21故1,1,1iiiiiP，mMaaf则设 有时需要确定导线坐标方位角误差的最大值及其出现的地点。由求极值的方法可知，欲求 的最大值，则要求函数 最大，为此，应使 ，0此时 0 令 ，则 ，即 。11niniiF 0 iF iF aim 121niniF 12 niF 0 iF021in21ni这说明中间边坐标方位角的误差最大，把 代入（8-135）式求得可见，附合或闭合导线的坐标方位角最大误差要比同样
23、测站数的支导线的最大误差缩小一倍 21ni12141nmnmma最大（8-136）2）角度和坐标平差后的导线误差 估算闭（或附）合导线整体平差后的误差，有两种方法，一种是严密平差后的误差估算方法，即用条件观测平差时，将平差值函数的权倒数附在计算表格中一起求出，然后利用前面引用过的公式（8-111）求出该函数的中误差，一种是采用简化平差后误差估算方法，一般采用近似方法估算。图8-16 导线平差后任意点坐标的误差（1）导线平差后，任意点坐标误差的确定 设导线如图8-16所示，应用近似公式推导，假定把平差后导线中任一测点C的坐标值看作是从两条路线1-2-3C和B-n-（n-1）C所求得两个数值的加权
24、平均值，即xIIxIxIIIIxIIcPPPxPxx（8-137）设单位权的中误差为 则 相应的中误差为 设xc相应的权为Pxc，则xc的中误差为IxIIxxIxIPM22xIIxIIPM222211xIIxIxIIxIxIIxIxcMMMMPPPxcM 同理得 C点的总误差应为2211yIIyIyIIyIyIIyIycMMMMPPPycM22ycxccMMM（2）等边直伸形导线平差后的点位误差 当导线为等边直伸形时，它的两端又有坚强点和坚强方向作控制，则经过平差后，最大的点位误差将发生在中间点上，即距两端各为L/2处。故从导线起端来计算中间点位的横向误差为961222nLmnLmMuc 公式
25、（8-141）是直接把公式（8-127）中的L用L/2代，n用n/2代，推导得出的。中间点位误差还可从导线末端起算求得，其平差后的位置为二者的最或是值。因此，中间点平差后的横向中误差为3811922nLmnLmMMucuc 按公式（8-128）计算由始点到中点的纵向误差为 平差后中间点的纵向误差 2LaMtcLaMMtctc212（8-143）（3）平差后导线边的坐标方位角误差由于地下工程导线一般采用简化平差，即在坐标闭合差调整后不再改正角度，因此，其坐标方位角误差和前面只调整了角度闭合差求坐标方位角误差的公式（8-135）、（8-136）相同 5地下导线测量所需精度的确定方法 在地下工程中所
26、进行的各种测量工作，都是为工程质量服务的。因此，在进行某一测量工作时，就必须规定一定精度要求，即精度标准，然后根据这个标准来确定具体的施测方法和要求。采矿工作对测量工作的要求，具体体现在生产限差上。所谓生产限差，就是设计规定的最大容许偏差。一般可用离井筒最远的基本巷道轮廓点的位置误差作为生产误差。井下经纬仪导线测量误差引起的支导线最远点的允许点位中误差可按下式估算式中2222定井近下MMMMMK00RmMa 下 根据已确定的井下经纬仪导线测量误差引起的支导线最远点的允许点位中误差，可进行井下导线测量工作的设计。一般采用逐步趋近法，其具体的设计步骤如下：（1）选定线路 （2）绘制导线设计图 （3
27、）选择测量的仪器和方法 （4）根据所选用的方法和仪器设备确定测角量边 的误差值 （5）计算导线最远点的点位误差 （6）比较算出的预计误差和给定的容许误差 8.2.4井下高程测量的误差 1井下水准测量的误差 1）井下水准测量的误差 （1）水准测量的误差来源及其估算方法 从井下水准测量所使用的仪器、工具及其施测的具体环境去分析。引出误差的主要因素有：水准仪望远镜瞄准的误差；水准管气泡居中的误差；其它仪器误差，人差及外界条件的影响 上述各种误差对水准测量精度的影响集中反映在水准尺读数上。如果以表示水准尺读数中误差m0，以m1、m2、m3、m4分别表示上述四种误差对水准尺读数的影响，则 2423222
28、120mmmmm（8-145）222102mmm（8-146）Vlm 1001（8-147）由两测点间高差计算公式h=a-b可知，一次仪器高测得的高差中误差为 当采用两次仪器高测量高差并考虑其他误差影响时，则一个测站上一次测量（指两次仪器高）测得的高差中数的中误差为：llmm1.0202mmhmmmhh22（8-149）（2）水准支线终点高程的误差 若在某巷道中由水准基点A测设一条水准支线，则其终点的高程为：终点K的高程中误差应为 当各个测站的距离大致相等时，则各测站的高差中误差可能认为是相等的，即则 nAKhhhHH212222221nAKhhhHHmmmmm（8-150）hhhhmmmmn
29、21222hHHnmmmAK 如果不考虑起始点高程中误差 的影响，则该水准支线终点K的一次独立测量的高程中误差 为：按煤矿测量规程规定，井下水准支线应往返各测一次，因此终点K的高程算术平均值的中误差应为：AHmKHm02mnmnmhHK（8-151）nmmmKKHH2210平（8-152）（3）单位长度的高差中误差 在实际工作中，常以单位长度的高差中误差的大小，衡量水准测量的精度。假定有一水准线路，其全长为Lm，水准仪至水准尺的距离为lm，则该水准线路的测站数为 将此式代入式（8-151），则得lLn2LlmlLmmhHK2220令则有 若L与l均以为Km单位，当L=1Km时，则 ，即 为千米
30、长度的水准线路的高差中误差，称为单位长度的高差中误差。在井下水准测量方案设计中，一般均以式（8-154）估算水准支线终点一次水准测量高程的中误差。lmmh2200LmmhHK0（8-154）0hHmmK0hm2）按实测资料求水准测量误差参数的方法（1）根据多个水准路线的闭（附）合差求单位长度高差中误差 设单位长度的高差中误差 为单位权中误差，则0hmNfPfmHHh0 如果把 作为真误差看待，则其权应为水准路线长度L（以km为单位）的倒数，这样各水准环的权应为：。故因而得hf111LP 221LP NNLP1LfLfLfLffPfhNhhhhhN22221221NLfmhh20（8-155）（
31、3）根据多个水准路线的闭合差求水准尺读数中误差 设mo为单位权中误差，L为水准路线长度，l为仪器至水准尺的距离，则 。所以水准路线的权为 1/2n，即 。故nlL21121nP 2221nP NNnP21nfnfnfnffPfhNhhhhhN222222221221 所以水准尺读数中误差为 NnfNfpfmhhh220 例8-2某矿采用S3型水准仪先后施测了16个闭（附）合水准线。现根据实测资料，评定该矿井水准测量的精度。计算见表8-9 根据实测资料求得单位长度的高差中误差为：同时求得水准尺读数中误差为kmmmNnfmhh0.14162.3158220mmNnfmh3.2162.84220 煤
32、矿测量规程规定井下水准往返测量的高程闭合差 ，也即容许的单位长度的高差中误差可见，例8-2中该矿井下水准测量的精度达到了煤矿测量规程的要求。RmmRmfhh50220容mmmh7.17225002、井下三角高程测量的误差 1）两测点间的高差中误差 井下三角高程测量时相邻两点间高差的计算公式为根据求函数中误差的公式，由上式得：vilhsin22222222222viilhmvhmvhmihmhmlhm（8-158）式中各观测值的偏导数为：将以上各偏导数之值代入式（8-158）中，得两点间往测或返测的高差中误差为：1,1,cos,sinvhihlhlh222222222cossinvilhmmml
33、mm（8-159）分析式（8-159）可看出，量边误差对高差的影响随着倾角 的增大而增大；而倾角测量误差对高差的影响则随着倾角 的增大而变小。所以为倾角较大时，应注意提高量边的精度；当倾角较小时，应注意提高测倾角的精度。对于仪器高i和觇标高v，则应精确丈量，防止出现粗差。2）三角高程支线终点的高程中误差 三角高程测量支线终点的高程，可按下式计算：终点K相对于起始点A的高程中误差应为由 将式（8-159）代入式（8-160）中，得nAKhHH1nhHmMK122（8-160）vimm 2122221212222cossinsinvnnnHnmlmlblamK 由于量边的系统误差对终点高程的影响性
34、质与偶然误差不同，所以式（8-19）中的系统误差与偶然误差可分开表示为：212212sinnnhHlbmmK系系 （8-162）212221221222cossinvnnnhHnmlmlammK偶偶（8-163）三角高程测量路线中每相邻两点的高差均对向观测，并取算术平均值作为最终值。因此，终点高程算术平均值的中误差为：222系偶平KK）K（HHHmmm（8-164）三角高程测量的误差，除用上述理论公式可估算外，实际工作中也可以根据多个三角高程导线的闭合差或往返测之差来计算单位长度的高差中误差 。计算公式与式（8-155）、式（8-156）相同。一次往（返）测三角高程导线终点高程中误差为：0hmLmmhHK0 煤矿测量规程要求基本控制导线的高程容许闭合差 即规程要求每千米长度容许的高程中误差为：可见它的精度比水准测量低得多。LmmLmfhh10020容mmmh5021000
