1、24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 （垂径定理）（垂径定理）赵州石拱桥赵州石拱桥 1300 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆的桥拱是圆弧形弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为37m,37m,拱高拱高(弧的中点到弦的弧的中点到弦的距离距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.23m,7.23m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).0.1m).实践探究实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？几次，你发现了什么？由此
2、你能得到什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴所在直线都是它的对称轴O O如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE思考思考（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧：，弧：，如图如图,理由
3、是理由是:连接连接OA,OB,OA,OB,做一做做一做则则OA=OB.OA=OB，OEABAE=BE.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直线关于直线CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.OBDECA我们把这个结论称为垂径定理OABCDE垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣
4、弧）平分弦所对的劣弧 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AE=BE,AD=BD.AC=BC,垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 CDAB,问题问题 如图如图AB是是 O的一条弦（的一条弦（不是直径不是直径）,AE=BE.你能发现图中你能发现图中AB与与CD有什么位置关系？又有哪些有什么位置关系？又有哪些等量关系等量关系?与同伴说说你的想法和理由与同伴说说你的想法和理由.n过点过点E作直径作直径CD.OCDn由由 CD是直径是直径 AE=BE可推得可推得 AC=BC,AD=BD.EAB 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的
5、直径垂直于弦,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧.（垂径定理推论垂径定理推论）活活 动动 三三为什么这里强调AB是一条非直径的弦？判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）（直径，垂直于弦）缺一缺一不可！不可！EDCOABOBCADDOBCAOBACDOBACE E例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的的半径。半径。讲解讲解A AB B.O O垂径定理的应用垂径定理的应用解：
6、连接OA，作OE 2+OE2=5方法归纳方法归纳:解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常连接半径连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为等辅助线，为应用垂径定理创造条件。应用垂径定理创造条件。垂径定理经常和勾股定理结合使用。垂径定理经常和勾股定理结合使用。E.ACDBO.ABO2222221137.47.237.418.7227.2t18.77.227.9(m)mABABCDADABODOCCDRROADOAADODRRR解：如图设所在圆半径为R。由垂径定理得：，在中由勾股定理得:即解得：因此，赵州桥的主拱桥的半径约为27.9。ABABB BD DC
7、 CA AO O37.4m37.4m7.2m7.2m?37.4m37.4m7.2m7.2m已知：在已知：在O O中，中，CD=7.2mCD=7.2m，AB=37.4mAB=37.4m求解：求解：OAOA的长（精确到的长（精确到0.10.1米）米）分析分析：OAOA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2 其中其中OD=OC-CDOD=OC-CDE已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆为圆心的两个同心圆中，大圆的心的两个同心圆中，大圆的弦弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。.ACDBO图图2、小组讨论：根据垂径定理与推论可知。、小组讨论：根据垂径定理与推论可知。如果具
8、备如果具备（1）是直径（过圆心）（）是直径（过圆心）（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？件都可以推出其他三个结论吗？注意注意课后提升1、课本、课本P110练习练习1、2做在家庭上。做在家庭上。3、小组活动：到网上百度一些有关于圆拱、小组活动：到网上百度一些有关于圆拱桥的知识。桥的知识。请围绕以下两个方面小结本节课：请围绕以下两个方面小结本节课：1 1、从知识上学习了什么？、从知识上学习了什么？、从方法上学习了什么？、从方法上
9、学习了什么？课课堂堂小小结结圆的轴对称性；垂径定理圆的轴对称性；垂径定理（）（）垂径定理和勾股定理结合。垂径定理和勾股定理结合。（）（）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 过圆心作垂直于弦的线段；过圆心作垂直于弦的线段；连接半径。连接半径。1、最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。2、把脸一直向着阳光，这样就不会见到阴影。3、永远不要埋怨你已经发生的事情，要么就改变它，要么就安静的接受它。4、不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。5、通往光明的道路是平坦的，为了成功，为了奋斗的渴望，我们不得不努力。6、付出了不一定有回报，但不付出永远没有回报。
10、7、成功就是你被击落到失望的深渊之后反弹得有多高。8、为了照亮夜空，星星才站在天空的高处。9、我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。10、拼尽全力，逼自己优秀一把，青春已所剩不多。11、一个人如果不能从内心去原谅别人，那他就永远不会心安理得。12、每个人心里都有一段伤痕，时间才是最好的疗剂。13、如果我不坚强，那就等着别人来嘲笑。14、早晨给自己一个微笑，种下一天旳阳光。15、没有爱不会死，不过有了爱会活过来。16、失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。17、当我微笑着说我很好的时候，你应该对我说，安好就好。18、人不仅要做好事，更要以准确的方式做好事。19、我们并
11、不需要用太华丽的语言来包裹自己，因为我们要做最真实的自己。20、一个人除非自己有信心，否则无法带给别人信心。21、为别人鼓掌的人也是在给自己的生命加油。22、失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。23、相信就是强大，怀疑只会抑制能力，而信仰就是力量。24、那些尝试去做某事却失败的人，比那些什么也不尝试做却成功的人不知要好上多少。25、自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。26、没有热忱，世间便无进步。27、失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明你有理由重新开始。28、青春如此华美，却在烟火在散场。29、生命的道路上永远没有捷径可言，只有脚踏实地走
12、下去。30、只要还有明天，今天就永远是起跑线。31、认真可以把事情做对，而用心却可以做到完美。32、如果上帝没有帮助你那他一定相信你可以。33、只要有信心，人永远不会挫败。34、珍惜今天的美好就是为了让明天的回忆更美好。35、只要你在路上，就不要放弃前进的勇气，走走停停的生活会一直继续。36、大起大落谁都有拍拍灰尘继续走。37、孤独并不可怕，每个人都是孤独的，可怕的是害怕孤独。38、宁可失败在你喜欢的事情上，也不要成功在你所憎恶的事情上。39、我很平凡，但骨子里的我却很勇敢。40、眼中闪烁的泪光，也将化作永不妥协的坚强。41、我不去想是否能够成功，既然选了远方，便只顾风雨兼程。42、宁可自己去
13、原谅别人，莫等别人来原谅自己。43、踩着垃圾到达的高度和踩着金子到达的高度是一样的。44、每天告诉自己一次：我真的很不错。45、人生最大的挑战没过于战胜自己！46、愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。47、现实的压力压的我们喘不过气也压的我们走向成功。48、心若有阳光，你便会看见这个世界有那么多美好值得期待和向往。49、相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。50、不能强迫别人来爱自己，只能努力让自己成为值得爱的人。51、不要拿过去的记忆，来折磨现在的自己。52、汗水是成功的润滑剂。53、人必须有自信，这是成功的秘密。54、成功的秘密在于始终如一地忠于目标。55、只有一条
14、路不能选择那就是放弃。56、最后的措手不及是因为当初游刃有余的自己57、现实很近又很冷，梦想很远却很温暖。58、没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。59、不要拿我跟任何人比，我不是谁的影子，更不是谁的替代品，我不知道年少轻狂，我只懂得胜者为。60、如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光。61、宁可笑着流泪，绝不哭着后悔。62、觉得自己做得到和做不到，只在一念之间。63、跌倒，撞墙，一败涂地，都不用害怕，年轻叫你勇敢。64、做最好的今天，回顾最好的昨天，迎接最美好的明天。65、每件事情都必须有一个期限，否则，大多数人都会有多少时间就花掉多少时间。66、当你被压力压得透不过气
15、来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。67、现实会告诉你，不努力就会被生活给踩死。无需找什么借口，一无所有，就是拼的理由。68、人生道路，绝大多数人，绝大多数时候，人都只能靠自己。69、不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。70、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他內心世界的真正财富。71、失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明你有理由重新开始。72、人生应该树立目标，否则你的精力会白白浪费。73、山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌。74、时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。75、命运是不存在的，它不过是失败者拿来逃避现实的借口。7
16、6、人总是在失去了才知道珍惜！77、要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。78、生活远没有咖啡那么苦涩，关键是喝它的人怎么品味！每个人都喜欢和向往随心所欲的生活，殊不知随心所欲根本不是生活。79、别拿自己的无知说成是别人的愚昧！80、天空的高度是鸟儿飞出来的，水无论有多深是鱼儿游出来的。81、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。82、如果我坚持什么，就是用大炮也不能打倒我。83、我们要以今天为坐标，畅想未来几年后的自己。84、日出时，努力使每一天都开心而有意义，不为别人，为自己。85、有梦就去追，没死就别停。86、今天不为学习买单，未来就为贫穷买单。87、因为一无所有这才是拼下去的理由
17、。88、只要我还有梦，就会看到彩虹!89、你既认准这条路，又何必在意要走多久。90、尽管社会是这样的现实和残酷，但我们还是必须往下走。91、能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。92、你能够先知先觉地领导产业，后知后觉地苦苦追赶，或不知不觉地被淘汰。93、强烈的信仰会赢取坚强的人，然后又使他们更坚强。94、人生，不可能一帆风顺，有得就有失，有爱就有恨，有快乐就会有苦恼，有生就有死，生活就是这样。95、好习惯的养成，在于不受坏习惯的诱惑。96、凡过于把幸运之事归功于自我的聪明和智谋的人多半是结局很不幸的。97、如果我们一直告诫自己要开心过每一天，就是说我们并不开心。98、天气影响身体，身体决定思想，思想左右心情。99、不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。100、只要还有明天，今天就永远是起跑线。
