1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 2 （5 分）已知复数 z= 2 (1)3，则在复平面内对应点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）在边长为 4 的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于 1 的概 率是（ ） A1 8 B1 4 C1 2
2、 D3 8 4 （5 分）将函数() = (3 + 6)的图象向右平移 m（m0）个单位长度，再将图象上 各点的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵坐标不变） ，得到函数 g（x）的图象，若 g（x）为 奇函数，则 m 的最小值为（ ） A 9 B2 9 C 18 D 24 5 （5 分）函数 f（x）= 3 21 +log3（2x）的定义域为（ ） A （1 2，2） B1 2，2） C （1 2，2 D1 2，2 6（5 分） 已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1 （a0， b0） 的两条渐近线均与圆 （xa） 2+y2=2 4 相切， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 B2 C3 D4
3、7 （5 分）太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物； 从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人 知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示 的阴阳鱼图案中， 阴影部分可表示为 A （x， y） |x2+ （y1） 21 或 2 + 2 4 2+ ( + 1)2 1 0 ， 设 点（x，y）A，则 zx+2y 的最大值与最小值之差是（ ） 第 2 页（共 16 页） A2 + 5 B2 + 25 C2 + 35 D2 + 45 8 （5 分）已知 a，b0，a+b1，则 1 2:1 + 2 :1的最
4、小值是（ ） A9 5 B11 6 C7 5 D1 + 22 5 9 （5 分）若 sin（ 12 ）= 3 2 ，则 sin（2 2 3 ）（ ） A1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 10 （5 分）若 alog63，blog105，clog147，则（ ） Aabc Bbca Cacb Dcba 11 （5 分）半径为 2 的球的内接三棱锥 PABC，PAPBPC23，ABACBC，则三 棱锥的高为（ ） A32 B33 2 C22 D3 12 （5 分）已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线交于点 P， 双曲线C的左、 右顶点分别为A1， A2
5、， 若|2| = 5 2 |12|， 则双曲线C的离心率为 （ ） A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）等腰直角三角形 ABC 中，C90，CACB= 2，则有 = 14 （5 分）已知 sin（）+2cos（+）0，则 1 = 15 （5 分）在（ 2 ） 5 的二项展开式中，x 2 的系数为 （用数字作答） 16 （5 分） 四面体 ABCD 中， BCCDBD22， ABAD2， AC23， 则四面体 ABCD 外接球的表面积为 三解答题（共三解答题（共
6、6 小题）小题） 17已知数列是以 d 为公差的等差数列，数列是以 q 为公比的等比数列 第 3 页（共 16 页） （1）若数列的前 n 项和为 Sn，且 a1b1d2，S3a1004+5b22012，求整数 q 的值； （2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项 bk，使得 bk恰好可以表示为该数列中 连续 p（pN，p2）项的和？请说明理由； （3）若 b1ar，b2asar，b3at（其中 tsr，且（sr）是（tr）的约数） ，求证： 数列中每一项都是数列中的项 18在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知3asinCccosA，A（0， 2） （1）求角 A
7、的大小； （2）若 sin（A）= 3 5，且 0 2，求 cos（2+A）的值 19如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，SA底面 ABCD，SAAB AD，ABC90，点 M 是 SD 的中点，ANSC 于点 N （1）求证：平面 SAC平面 AMN； （2）求二面角 DACM 的余弦值 20某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物 4 门学科竞赛已知该同学 数学获一等奖的概率为2 3，物理，化学，生物获一等奖的概率都是 1 2，且四门学科是否获 一等奖相互独立 （1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率； （2）用随机变量 X 表示该同学获得一等奖的
8、总数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X） 21已知曲线 C：() = 1 3 3 2 3 + 2 3 （1）求 f（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求 f（x）在 R 上的极值 22已知动圆过定点（0，2） ，且在 x 轴上截得的弦长为 4，记动圆圆心的轨迹为曲线 C （1）求直线 x4y+20 与曲线 C 围成的区域面积； 第 4 页（共 16 页） （2）点 P 在直线 l：xy20 上，点 Q（0，1） ，过点 P 作曲线 C 的切线 PA、PB，切 点分别为 A、B，证明：存在常数 ，使得|PQ|2|QA|QB|，并求 的值 第 5 页（共 16 页） 2020
9、 年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 【解答】解：集合 = *| 3 1+ =x|0x3， Bx|x0， ABx|0x3 故选：A 2 （5 分）已知复数 z= 2 (1)3，则在复平面内对应点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：z= 2 (1)3 = 2
10、(1)2(1) = 2 (1)2 = 1 1 = 1+ (1)(1+) = 1 2 1 2i； = 1 2 + 1 2i； 在复平面内对应点所在象限为第二象限； 故选：B 3 （5 分）在边长为 4 的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于 1 的概 率是（ ） A1 8 B1 4 C1 2 D3 8 【解答】解：由题意，正方形的面积为 4416， 在边长为 4 的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于 1，面积为 2 24 由几何概型的公式，边长为 4 的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都 大于 1 的概率是 4 16 = 1 4， 故选：B 4 （
11、5 分）将函数() = (3 + 6)的图象向右平移 m（m0）个单位长度，再将图象上 第 6 页（共 16 页） 各点的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵坐标不变） ，得到函数 g（x）的图象，若 g（x）为 奇函数，则 m 的最小值为（ ） A 9 B2 9 C 18 D 24 【解答】解：将函数() = (3 + 6)的图象向右平移 m（m0）个单位长度，可得 y sin（3x3m+ 6）的图象； 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵坐标不变） ，得到函数 g（x）sin（1 2x 3m+ 6）的图象， 若 g（x）为奇函数，则当 m 的最小时，3m+ 6 =0，m= 18， 故选
12、：C 5 （5 分）函数 f（x）= 3 21 +log3（2x）的定义域为（ ） A （1 2，2） B1 2，2） C （1 2，2 D1 2，2 【解答】解：要使 f（x）有意义，则2 10 2 0 ，解得1 2 2， f（x）的定义域为(1 2，2) 故选：A 6（5 分） 已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1 （a0， b0） 的两条渐近线均与圆 （xa） 2+y2=2 4 相切， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 B2 C3 D4 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的渐近线方程为 bxay0， 圆（xa）2+y2= 2 4 的圆心为（a，0） ，半径
13、为 2， 由题意知，点（a，0）到直线 bxay0 的距离 d= 2+2 = = 2， 即 =2， 故双曲线 C 的离心率为 2 故选：B 7 （5 分）太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物； 第 7 页（共 16 页） 从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人 知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示 的阴阳鱼图案中， 阴影部分可表示为 A （x， y） |x2+ （y1） 21 或 2 + 2 4 2+ ( + 1)2 1 0 ， 设 点（x，y）A，则 zx+2y 的最大值与最小值之差是（
14、 ） A2 + 5 B2 + 25 C2 + 35 D2 + 45 【解答】解：如图，作直线 x+2y0，当直线上移与圆 x2+（y1）21 相切时，zx+2y 取最大值， 此时，圆心（0，1）到直线 zx+2y 的距离等于 1，即 |2;| 5 =1， 解得 z 的最大值为：2+5， 当下移与圆 x2+y24 相切时，x+2y 取最小值， 同理 | 5 =2，即 z 的最小值为25 所以：zx+2y 的最大值与最小值之差是： （2+5）（25）2+35 故选：C 8 （5 分）已知 a，b0，a+b1，则 1 2:1 + 2 :1的最小值是（ ） A9 5 B11 6 C7 5 D1 + 2
15、2 5 【解答】解：a，b0，a+b1， 第 8 页（共 16 页） 由权方和不等式可得 1 2:1 + 2 :1 = 1 2 :1 2 + 2 :1 (1 2:2) 2 :1 2:1 = 9 2 5 2 = 9 5， （ 1 2 :1 2 = 2 :1， “” ） ， 故选：A 9 （5 分）若 sin（ 12 ）= 3 2 ，则 sin（2 2 3 ）（ ） A1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【解答】解：因为 sin（ 12 ）= 3 2 ， 所以( 6 2) = 1 2 ( 3 2 )2= 1 2， 所以 sin（2 2 3 ）= ,(2 6) 2- = (2 6) = (
16、6 2) = 1 2 故选：A 10 （5 分）若 alog63，blog105，clog147，则（ ） Aabc Bbca Cacb Dcba 【解答】解：令 f（x）= 2 =1logx21 2 在 x2 时单调递增， log63log105log147， 则 abc， 故选：D 11 （5 分）半径为 2 的球的内接三棱锥 PABC，PAPBPC23，ABACBC，则三 棱锥的高为（ ） A32 B33 2 C22 D3 【解答】解：三棱锥 PABC 中，PAPBPC23，ABACBC， 如图，过点 p 作 PM平面 ABC 的垂足为 M，则 球 O 的内接三棱锥 PABC 的球心 O
17、 在 PM 所在直线上， 球 O 的半径为 2，OBOP2， 第 9 页（共 16 页） 由余弦定理得 cosBPM= 2+22 2 = 3 2 BPM30， 在 RtPMB 中，PBM60，PMPBsinPBM3 故选：D 12 （5 分）已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线交于点 P， 双曲线C的左、 右顶点分别为A1， A2， 若|2| = 5 2 |12|， 则双曲线C的离心率为 （ ） A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 【解答】 解： 双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线： y= ， 则 P （ 2 ，
18、a） ， 因为|2| = 5 2 |12|，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ 1）24， 所以 =3，从而 e=1 + 2 2 = 10 3 ， 双曲线的渐近线为：y= x， 则 p（ 2 ，a） ，|2| = 5 2 |12|，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ +1）24， 所以 =1，可得 e= 2 则双曲线 C 的离心率为：2或 10 3 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）等腰直角三角形 ABC 中，C90，CACB= 2，则有 = 2 第 10 页（共 16 页） 【解答】解：如图， =
19、90， = = 2， = ( ) = 2 = 2 故答案为：2 14 （5 分）已知 sin（）+2cos（+）0，则 1 = 5 2 【解答】解：sin（）+2cos（+）0， sin2cos0，可得 tan2， 1 = 2:2 = 2:1 = 22:1 2 = 5 2 故答案为：5 2 15 （5 分）在（ 2 ） 5 的二项展开式中，x 2 的系数为 80 （用数字作答） 【解答】解： （ 2 ） 5 的二项展开式的通项公式为:1= 5 1 2(5;)(2);， 由1 2 (5 ) = 2得，3r9，r3， 所以系数为5 3(2)3 = 10 8 = 80， 故答案为：80 16 （5
20、分） 四面体 ABCD 中， BCCDBD22， ABAD2， AC23， 则四面体 ABCD 外接球的表面积为 12 【解答】解：由题意将此四面体放在正方体中，如图所示：设正方体的棱长为 a，则由题 意可得 a2，设正方体的外接球的半径为 R，则（2R）232212， 所以外接球的表面积 S4R212， 故答案为：12 第 11 页（共 16 页） 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 17已知数列是以 d 为公差的等差数列，数列是以 q 为公比的等比数列 （1）若数列的前 n 项和为 Sn，且 a1b1d2，S3a1004+5b22012，求整数 q 的值； （2）在（1）的条件下，
21、试问数列中是否存在一项 bk，使得 bk恰好可以表示为该数列中 连续 p（pN，p2）项的和？请说明理由； （3）若 b1ar，b2asar，b3at（其中 tsr，且（sr）是（tr）的约数） ，求证： 数列中每一项都是数列中的项 【解答】解： （1）由题意知，= 2，= 2 ;1， 所 以 由S3 a1004+5b2 2012 ， 1+ 2+ 31004+ 52 2012 1 42+ 32008 2012 2 4 + 30，（3 分） 解得 1q3， 又 q 为整数，所以 q2（5 分） （2）假设数列bn中存在一项 bk，满足 bkbm+bm+1+bm+2+bm+p1， 因为= 2， :
22、;1 22:;1 + 1 + （*）（8 分） 又= 2= + :1+ :2+ + :;1= 2+ 2:1+ + 2:;1= 2(21) 21 2m+p2m2m+p，所以 km+p，此与（*）式矛盾 所以，这要的项 bk不存在（11 分） （3）由 b1ar，得 b2b1qarqasar+（sr）d， 则 = (1) （12 分） 又3= 12= 2= = + ( ) 2 = ( ) (1) ， 从而( + 1)( 1) = ( 1) ， 第 12 页（共 16 页） 因为 asarb1b2，所以 q1，ar0， 故 = 1又 tsr，且（sr）是（tr）的约数， 所以 q 是整数，且 q2（
23、14 分） 对于数列中任一项 bi（这里只要讨论 i3 的情形） ， 有= ;1= + (;1 1) = + ( 1)(1 + + 2+ + ;2) = + ( )(1 + + 2+ + ;2) = + ,( )(1 + + 2+ + ;2) + 1) 1- ， 由于（sr） （1+q+q2+qi 2）+1 是正整数， 所以 bi一定是数列的项（16 分） 18在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知3asinCccosA，A（0， 2） （1）求角 A 的大小； （2）若 sin（A）= 3 5，且 0 2，求 cos（2+A）的值 【解答】解： （1）3asinCccos
24、A， 由正弦定理可得3sinAsinCsinCcosA， C（0，） ，sinC0， 3sinAcosA，即 tanA= 3 3 ， A（0， 2） A= 6 （2）由（1）sin（ 6）= 3 5，且 0 2， 6（ 6， 3） ， cos（ 6）= 1 2( 6) = 4 5， sinsin （ 6 + 6） sin （ 6） cos 6 +cos （ 6） sin 6 = 3 5 3 2 + 4 5 1 2 = 33:4 10 ， coscos （ 6 + 6） cos （ 6） cos 6 sin （ 6） sin 6 = 4 5 3 2 3 5 1 2 = 43;3 10 ， sin
25、22sincos= 2 33+4 10 433 10 = 24+73 50 ， cos2= (4 33 10 )2 (3 3+4 10 )2= 7243 50 ， cos（2+ 6）= 2 3 2 2 1 2 = 24 25 第 13 页（共 16 页） 19如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，SA底面 ABCD，SAAB AD，ABC90，点 M 是 SD 的中点，ANSC 于点 N （1）求证：平面 SAC平面 AMN； （2）求二面角 DACM 的余弦值 【解答】 证明：（1） 在四棱锥 SABCD 中， 底面 ABCD 是平行四边形， SA底面 ABCD， S
26、AABAD，ABC90，点 M 是 SD 的中点，ANSC 于点 N 底面 ABCD 是正方形， 由条件有 DCSA，DCDA， DC平面 SAD，且 AM平面 SAD，AMDC 又SAAD，M 是 SD 的中点，AMSD AM平面 SDCSC平面 SDC，SCAM 由已知 SCAN，SC平面 AMN 又 SC平面 SAC，平面 SAC平面 AMN 解： （2）取 AD 中点 F，则 MFSA 作 FQAC 于 Q，连结 MQ SA底面 ABCD，MF底面 ABCD FQ 为 MQ 在平面 ABCD 内的射影 FQAC，MQAC FQM 为二面角 DACM 的平面角 设 SAABa，在 RtM
27、FQ 中，MF= 1 2SA= 2，FQ= 1 2 = 2 4 ， tanFOM= 2 2 4 = 2，cosFOM= 3 3 二面角 DACM 的余弦值为 3 3 第 14 页（共 16 页） 20某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物 4 门学科竞赛已知该同学 数学获一等奖的概率为2 3，物理，化学，生物获一等奖的概率都是 1 2，且四门学科是否获 一等奖相互独立 （1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率； （2）用随机变量 X 表示该同学获得一等奖的总数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X） 【解答】解： （1）该同学至多有一门学科获得一等奖是指： 四门学科均没有获得
28、一等奖或四六学科中恰有一门获得一等奖， 该同学至多有一门学科获得一等奖的概率： P（1 2 3） （1 1 2） （1 1 2） （1 1 2）+ 2 3（1 1 2） （1 1 2） （1 1 2）+3 1 2 （1 2 3） （1 1 2） （1 1 2）= 1 4 （2）用随机变量 X 表示该同学获得一等奖的总数，则 X 的可能取值为 0，1，2，3，4， P（X0）（1 2 3） （1 1 2） （1 1 2） （1 1 2）= 1 24， P（X1）= 2 3 (1 1 2) (1 1 2) (1 1 2) +3（1 2 3） 1 2 (1 1 2) (1 1 2) = 5 24，
29、P（X2）32 3 1 2 (1 1 2) (1 1 2) +（1 2 3） 1 2 1 2 (1 1 2)= 9 24， P（X3）3 2 3 (1 1 2) 1 2 1 2 +（1 2 3） 1 2 1 2 1 2 = 7 24， P（X4）= 2 3 1 2 1 2 1 2 = 2 24， X 的概率分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 24 5 24 9 24 7 24 2 24 数学期望 E（X）= 0 1 24 + 1 5 24 + 2 9 24 + 3 7 24 + 4 2 24 = 13 6 第 15 页（共 16 页） 21已知曲线 C：() = 1 3 3 2 3 +
30、 2 3 （1）求 f（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求 f（x）在 R 上的极值 【解答】解： （1）f（x）x22x3， kf（1）4，f（1）3， 所以 f（x）在点 P 处的切线方程为 y+34（x1）即 4x+y10， （2） ：f（x）x22x3（x+1） （x3） ， 令 f（x）0 可得 x1 或 x3， 当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化如下表 x （， 1） 1 （1，3） 3 （3，+） f（x） + 0 _ 0 + f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以 f（x）在 x1 处取得极大值 f（1）= 7 3，在 x3 处取得极小值
31、f（3）= 25 3 22已知动圆过定点（0，2） ，且在 x 轴上截得的弦长为 4，记动圆圆心的轨迹为曲线 C （1）求直线 x4y+20 与曲线 C 围成的区域面积； （2）点 P 在直线 l：xy20 上，点 Q（0，1） ，过点 P 作曲线 C 的切线 PA、PB，切 点分别为 A、B，证明：存在常数 ，使得|PQ|2|QA|QB|，并求 的值 【解答】解： （1）设动圆圆心的坐标为（x，y） ， 动圆过定点（0，2） ，且在 x 轴上截得的弦长为 4， 由题意得|y|2+22x2+（y2）2， 化简，得：x24y， 联立方程组 2 = 4 4 + 2 = 0，解得 = 1 = 1 4
32、 或 = 2 = 1， 直线 x4y+20 与曲线 C 围成的区域面积为： 2 ;1 (1 4 + 1 2 1 4 2) （ 3 12 + 2 8 + 1 2 ）|;1 2 = 9 8 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则由题意得切线 PA 的方程为 yy1= 1 2 （xx1） ， 切线 PB 的方程为 yy2= 2 2 ( 2)， 第 16 页（共 16 页） 设 P（x0，y0） ，则 0 1= 1 2 (0 1) 0 2= 2 2 (0 2) ， 直线 AB 的方程为0 = 2(0 )， 0 = 2 0 1 2 4，即 = 0 2 0， 联立方程组 = 0 2 0 2= 4 ，得 x22x0x+4y00， 又 y0x02， x22x0x+4（x02）0， x1+x22x0，x1x24x08， |PQ|2= 02+ (0 1)2= 02+（x03）22x026x0+9， |QA|QB|（y1+1） （y2+1）y1y2+y1+y2+1 = 12 4 22 4 + 12 4 + 22 4 +1 = (12)2 16 + (1+2)212 4 +1 = (408)2 16 + (20)22(408) 4 +1 = 202 60+ 9， = |2 | =1
