1、 第 1 页（共 23 页） 2020 年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 2 （5 分） 欧拉公式 eicos+isin 把自然对数的底数 e， 虚数单位 i， 三角函数 cos 和 sin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足（ei+i） z i，则|z|（ ） A1 B 2 2 C 3 2 D2
2、 3 （5 分）若 x，y 满足约束条件 2 0， 3 + 1 0， 2， 则 z4x+2y 的最小值为（ ） A17 B13 C16 3 D20 4 （5 分）已知an是等差数列，a35，a2a4+a67，则数列an的公差为（ ） A2 B1 C1 D2 5（5 分） 在ABC 中， E、 F 分别为 BC、 AB 边上的中点， AE 与 CF 相交于点 G， 设 = ， = ，且 = + ，则 + 的值为（ ） A 1 3 B1 3 C2 3 D1 6 （5 分）函数 f（x）Asin（x+）(0，0，0 2)的部分图象如图所示，则 下列叙述正确的是（ ） 第 2 页（共 23 页） A函
3、数 f（x）的图象可由 yAsinx 的图象向左平移 6个单位得到 B函数 f（x）的图象关于直线 = 3对称 C函数 f（x）在区间, 3 ， 3-上单调递增 D函数 f（x）图象的对称中心为( 2 12 ，0)（kZ） 7 （5 分）若函数 F（x）f（x）2x4是奇函数，() = () + (1 2) 为偶函数，则 f（1） （ ） A 5 2 B 5 4 C5 4 D5 2 8 （5 分） 九章算术中“勾股容方”问题： “今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解 法：如图 1，用对角线将长和宽分别为 b 和 a
4、的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角 形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青） 将三种颜色的图形进行 重组，得到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 a+b，宽为内接正方形的边长 d由刘徽构造 的图形可以得到许多重要的结论，如图 3设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接正方形对角线 AE，过点 A 作 AFBC 于点 F，则下列推理正确的是（ ） 由图 1 和图 2 面积相等可得 = +；由 AEAF 可得 2+2 2 + 2 ； 第 3 页（共 23 页） 由 ADAE 可得 2+2 2 2 1 + 1 ； 由 ADAF 可得 a2+b22ab A B C
5、D 9 （5 分）已知函数() = 2，1 2 1， 1，则 f（x）f（x+1）的解集为（ ） A （1，+） B （1，1） C( 1 2 ，+ ) D( 1 2，1) 10 （5 分）椭圆 C 的焦点为 F1（c，0） ，F2（c，0） （c0） ，过 F2与 x 轴垂直的直线交 椭圆于第一象限的 A 点，点 A 关于坐标原点的对称点为 B，且AF1B120， 1= 2 33，则椭圆方程为（ ） A 2 4 + 2 3 = 1 B 2 3 + 2= 1 C 2 3 + 2 2 = 1 D 2 2 + 2= 1 11 （5 分）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A，B
6、，C 三个农 业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶经过前期走访得知，这四个 贫困户甲、乙、丙、丁选择 A，B，C 三个项目的意向如表： 扶贫项目 A B C 选择意向贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项， 且每个项目至多有两户选择， 则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为（ ） A3 8 B5 8 C 5 16 D1 2 12 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A82 B122 C16 D20 第 4 页（共 23 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每
7、小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）x2+ax 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切线与直线 l：x3y+2 0 垂直，则实数 a 的值为 14 （5 分）已知数列an满足 an+an+22an+1，a28，a520，bn2n+1+1，设数列bnan 的前 n 项和为 Sn，则 a1 ，Sn 15 （5 分）已知双曲线： 2 2 2= 1的右焦点为点 F，点 B 是虚轴的一个端点，点 P 为 双曲线 C 左支上的一个动点，则BPF 周长的最小值等于 16 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E 为 CD 的中点，将ADE 沿 AE 折 起，使得二
8、面角 DAEB 为 60，则 DE 与平面 ABCD 所成角的余弦值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 18 （12 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 是 BC 的中点，AA1AB2 （1）求证：A1C平面 AB1D； （2）求三棱锥 B1ADC1的体积 19 （12 分）已知圆 x2+y26x70 与抛物线 C：y22px（p0）的准线相切 （）求
9、抛物线 C 的方程 （）过抛物线 C 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|7，求线段 AB 的中 点 M 到 y 轴的距离 第 5 页（共 23 页） 20 （12 分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线 生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指 标值落在20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品 乙生产线样本的频数分布表 质量指标值 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40） 40，45 合计 频数 2 18 48 11 16 2 100 （1）根据乙生产线样本的频率分
10、布表，在指标小于 25 的产品中任取 2 件，求两件都为 合格品的概率； （2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供的数据， 绘制两条生产线合格率的等高条形图（图 2） ； 完成下面的 22 列联表， 并判断是否有 97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质 量指标值与设备改造有关？若有 97.5%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线 较好？ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计 附： P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
11、 第 6 页（共 23 页） K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 21 （12 分）已知函数() = 2 2 1 ，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，求 f（x2）2f（x1）的最大值 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 = 3 4 = 12 5 + 9 5 （ 为参数） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ( + 3) = 3
12、（1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，M（2，0） ，求|MP|+|MQ|的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 第 7 页（共 23 页） 2020 年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题
13、5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 【解答】解：集合 = *| 3 1+ =x|0x3， Bx|x0， ABx|0x3 故选：A 2 （5 分） 欧拉公式 eicos+isin 把自然对数的底数 e， 虚数单位 i， 三角函数 cos 和 sin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足（ei+i） z i，则|z|（ ） A1 B 2 2 C 3 2 D2 【解答】解：由 eicos+isin，得 eicos+isin1， 则由（ei+i） zi，得 z=
14、 1+ = (1) (1+)(1) = 1 2 1 2 ， |z|=(1 2) 2+ (1 2) 2 = 2 2 故选：B 3 （5 分）若 x，y 满足约束条件 2 0， 3 + 1 0， 2， 则 z4x+2y 的最小值为（ ） A17 B13 C16 3 D20 【解答】解：该可行域是一个以 A（1 3，2） ，B（4，2） ，C（ 3 2， 7 2）为顶点的三角形 区域（包括边界） 当动直线 y2x+ 2过点 C（ 3 2， 7 2）时，z 取得最小值， 此时 z4（ 3 2）+2（ 7 2）13， 故选：B 第 8 页（共 23 页） 4 （5 分）已知an是等差数列，a35，a2a
15、4+a67，则数列an的公差为（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：an是等差数列，a35，a2a4+a67， 1 + 2 = 5 1+ (1+ 3) + 1+ 5 = 7， 解得 a11，d2 数列an的公差为 2 故选：D 5（5 分） 在ABC 中， E、 F 分别为 BC、 AB 边上的中点， AE 与 CF 相交于点 G， 设 = ， = ，且 = + ，则 + 的值为（ ） A 1 3 B1 3 C2 3 D1 【解答】解：E、F 分别为 BC、AB 边上的中点，AE 与 CF 相交于点 G， G 为ABC 的重心，且 = ， = ， = 1 3( + ) = 1 3 ( +
16、 ) = 2 3 + 1 3 = 2 3 + 1 3 ， 第 9 页（共 23 页） 又 = + ， + = 1 3 故选：A 6 （5 分）函数 f（x）Asin（x+）(0，0，0 2)的部分图象如图所示，则 下列叙述正确的是（ ） A函数 f（x）的图象可由 yAsinx 的图象向左平移 6个单位得到 B函数 f（x）的图象关于直线 = 3对称 C函数 f（x）在区间, 3 ， 3-上单调递增 D函数 f（x）图象的对称中心为( 2 12 ，0)（kZ） 【解答】解：由图象可知 A2，f（0）1， f（0）2sin1，且0 2， = 6， f（x）2sin（x+ 6） ， f（5 12）
17、0 且为单调递减时候零点， 5 12 + 6 = + 2，kZ， = 2 + 24 5 ，kZ， 由图象知 = 2 2 5 12， 12 5 ， 又0， 第 10 页（共 23 页） 2， f（x）2sin（2x+ 6） ， 函数 f（x）的图象可由 yAsinx 的图象向左平移 12个单位得， A 错， 令 2x+ 6 = 2 + 2，kZ，对称轴为 x= 6 + ，则 B 错， 令 2x+ 6 =2k，kZ，则 xk 12，则 D 对， 故选：D 7 （5 分）若函数 F（x）f（x）2x4是奇函数，() = () + (1 2) 为偶函数，则 f（1） （ ） A 5 2 B 5 4 C
18、5 4 D5 2 【解答】解：函数 F（x）f（x）2x4是奇函数， F（1）+F（1）0，即 f（1）2+f（1）20，则 f（1）+f（1）4， () = () + (1 2) 为偶函数， G（1）G（1） ，即(1) + 1 2 = (1) + 2，则(1) (1) = 3 2， 由解得，(1) = 43 2 2 = 5 4 故选：C 8 （5 分） 九章算术中“勾股容方”问题： “今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解 法：如图 1，用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角 形
19、再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青） 将三种颜色的图形进行 重组，得到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 a+b，宽为内接正方形的边长 d由刘徽构造 的图形可以得到许多重要的结论，如图 3设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接正方形对角线 AE，过点 A 作 AFBC 于点 F，则下列推理正确的是（ ） 第 11 页（共 23 页） 由图 1 和图 2 面积相等可得 = +；由 AEAF 可得 2+2 2 + 2 ； 由 ADAE 可得 2+2 2 2 1 + 1 ； 由 ADAF 可得 a2+b22ab A B C D 【解答】解：由图 1 和图 2 面积
20、相等 ab（a+b）d，可得 = +，对； 由题意知图 3 面积为1 2 = 1 2 2+ 2，AF= 2+2， AD= 1 2 = 1 2 2+ 2， 图 3 设正方形边长为 x，由三角形相似，; = ;，解之得 x= +，则 AE= 2 + ； 可以化简判断对， 故选：A 9 （5 分）已知函数() = 2，1 2 1， 1，则 f（x）f（x+1）的解集为（ ） A （1，+） B （1，1） C( 1 2 ，+ ) D( 1 2，1) 【解答】解：函数() = 2，1 2 1， 1，则 f（x）f（x+1） ， 当 x1 时，不等式 f（x）f（x+1） ，即 x21（x+1）21，求
21、得 1 2 x1 当 x1 时，不等式 f（x）f（x+1） ，即 log2xlog2（x+1） ，求得 x1 综上可得，不等式的解集为（ 1 2，+） ， 故选：C 第 12 页（共 23 页） 10 （5 分）椭圆 C 的焦点为 F1（c，0） ，F2（c，0） （c0） ，过 F2与 x 轴垂直的直线交 椭圆于第一象限的 A 点，点 A 关于坐标原点的对称点为 B，且AF1B120， 1= 2 33，则椭圆方程为（ ） A 2 4 + 2 3 = 1 B 2 3 + 2= 1 C 2 3 + 2 2 = 1 D 2 2 + 2= 1 【解答】 解：由题意设椭圆 C 的方程： 2 2 +
22、2 2 =1， （ab0） ，连结 BF2，由椭圆的对称性易得 四边形 AF1BF2为平行四边形， 由AF1B120得F2AF160， 又 AF2F1F2， 设|AF2|+BF1|m， 则|F1F2|= 3m， |AF1|2m， 又 S 1= 1 2 |1| |12| = 1 2 3 = 23 3 ，解得 m= 23 3 ， 又由 2c|F1F2|= 3m2，2a|AF1|+|AF2|3m23，解得 c1，a= 3，b2a2c2 2， 则椭圆 C 的方程为： 2 3 + 2 2 = 1 故选：C 11 （5 分）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A，B，C 三个农 业扶贫
23、项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶经过前期走访得知，这四个 贫困户甲、乙、丙、丁选择 A，B，C 三个项目的意向如表： 扶贫项目 A B C 选择意向贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项， 且每个项目至多有两户选择， 则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为（ ） 第 13 页（共 23 页） A3 8 B5 8 C 5 16 D1 2 【解答】解：由题意：甲乙只能选 A，B 项目，丁只能选 A，C 项目，丙则都可以 由题意基本事件可分以下三类： （1）甲乙都选 A，则丁只能选 C，丙则可以选 B，C 任一个，故共有 2 种方法；
24、 （2）甲乙都选 B，则丁可以选 A 或 C，丙也可选 A 或 C，故共有2 121 = 4种方法 （3）甲乙分别选 AB 之一，然后丁选 A 时，丙只能选 B 或 C；丁选 C 时，丙则 A，B，C 都可以选故有2 2(21 + 3 1) = 10种方法 故基本事件共有 2+4+1016 种 甲乙选同一种项目的共有 2+46 种 故甲乙选同一项目的概率 P= 6 16 = 3 8 故选：A 12 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A82 B122 C16 D20 【解答】 解： 由三视图知， 该几何体为三棱锥， 且三棱锥的一条侧棱垂直于底面， 高为 2
25、， 底面为等腰直角三角形，斜边长为 4，如图所示： ABC 外接圆的圆心为斜边 AC 的中点 D，ODAC，且 OD平面 SAC， SA= 1 2AC2，SC 的中点 O 为外接球的球心， 半径 R= 1 22 2+42 = 5， 外接球表面积 S4520 故选：D 第 14 页（共 23 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）x2+ax 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切线与直线 l：x3y+2 0 垂直，则实数 a 的值为 5 【解答】解：f（x）2x+a，切线的斜率为3， 所以 f（1）2
26、+a3， 所以 a5， 故答案为：5 14 （5 分）已知数列an满足 an+an+22an+1，a28，a520，bn2n+1+1，设数列bnan 的前 n 项和为 Sn，则 a1 4 ，Sn 2n+22n2n4 【解答】解：数列an满足 an+an+22an+1，an为等差数列， a28，a520，得 3d12，d4，a14， 故 an4n， bnan2n+1+14n， = 4(12) 12 + 4 (+1) 2 =2n+22n2n4 故答案为：4，2n+22n2n4 15 （5 分）已知双曲线： 2 2 2= 1的右焦点为点 F，点 B 是虚轴的一个端点，点 P 为 双曲线 C 左支上的
27、一个动点，则BPF 周长的最小值等于 4 + 22 【解答】解： 第 15 页（共 23 页） 双曲线： 2 2 2= 1，F(3，0)， 如图所示，不妨设 B 为 x 轴上方的虚轴端点，则 B（0，1） ，|BF|2， 设双曲线的左焦点为 E， 由双曲线的定义可知， |PF|PE|2a= 22， 即|PF|PE|+22， BPF 的周长为|BF|+|PF|+|PB|BF|+（|PE|+22）+|PB|2+22 +|PE|+|PB| 2+22 +|BE|4+22， 当且仅当 B、P、E 三点共线时，等号成立 所以BPF 周长的最小值等于 4+22 故答案为：4+22 16 （5 分）如图，在矩
28、形 ABCD 中，AB2，AD1，E 为 CD 的中点，将ADE 沿 AE 折 起，使得二面角 DAEB 为 60，则 DE 与平面 ABCD 所成角的余弦值为 10 4 【解答】解：如图，取 AB 的中点 F，连接 DF，交 AE 于 O， 因为 AB2，AD1， 所以 ODOF= 2 2 ，DEEF1，AEOD，AEOF， 又 ODOFO， 所以 AE平面 ODF， 所以DOF 即为二面角 DAEB 的平面角，所以DOF60 所以DOF 为正三角形， 所以 DF= 2 2 ， 第 16 页（共 23 页） 取 OF 的中点 G，连接 GE，GD， 因为 AE平面 ODF，DG平面 ODF，
29、 所以 DGAE，又因为 DGOF，OFAEO， 所以 DG平面 ABCE， 所以DEG 即为 DE 与平面 ABCD 所成角， DGODsin60= 2 2 3 2 = 6 4 ， 所以 GE= 2 2=1 3 8 = 10 4 ， 所以 sinDEG= = 10 4 1 = 10 4 ， 故答案为： 10 4 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 【解答】解： （
30、1）由; ; = :， 则; ; = :，可得：a 2+b2c2ab， 所以： = 2+22 2 = 2 = 1 2， 而 C（0，） ， 故 = 3 （2）由 a2+b2c2ab，且 c3， 可得： （a+b）22ab9ab， 可得：( + )2 9 = 3 3(+ 2 )2， 第 17 页（共 23 页） 可得： （a+b）236， 所以 a+b6， 又 a+bc3， 所以 a+b 的取值范围是（3，6 18 （12 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 是 BC 的中点，AA1AB2 （1）求证：A1C平面 AB1D； （2）求三棱锥 B1ADC1的体积 【解答】解： （1）证明
31、：连接 A1B，设 A1BAB1 E，连接 DE ABCA1B1C1是正三棱柱，且 AA1AB， 四边形 A1ABB1是正方形， E 是 A1B 的中点，又 D 是 BC 的中点， DEA1C DE平面 AB1D，A1C平面 AB1D， A1C平面 AB1D； （2）解：正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 是 BC 的中点， 平面 B1BCC1平面 ABC，且 ADBC， AD平面 B1BCC1， 1;1= ;11= 1 3 11AD= 1 3 1 2 2 2 3 = 23 3 第 18 页（共 23 页） 19 （12 分）已知圆 x2+y26x70 与抛物线 C：y22px（p0）的准线相
32、切 （）求抛物线 C 的方程 （）过抛物线 C 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|7，求线段 AB 的中 点 M 到 y 轴的距离 【解答】解： （）圆 x2+y26x70，即（x3）2+y216，所以圆心（3，0） ，半径 为 4， 抛物线的准线方程为 x= 2，依题意，有 3（ 2）4，得 p2， 故抛物线方程为 y24x；（6 分） （）由（）知，抛物线 C 的焦点坐标为（1，0） ，准线方程为 x1， 由抛物线定义知线段 AB 的中点 M 到准线的距离为1 2（|AF|+|BF|）= 1 2| = 7 2， 故线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离 d= 7 2
33、1 = 5 2（12 分） 20 （12 分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线 生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指 标值落在20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品 乙生产线样本的频数分布表 质量指标值 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40） 40，45 合计 频数 2 18 48 11 16 2 100 （1）根据乙生产线样本的频率分布表，在指标小于 25 的产品中任取 2 件，求两件都为 合格品的概率； （2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供
34、的数据， 第 19 页（共 23 页） 绘制两条生产线合格率的等高条形图（图 2） ； 完成下面的 22 列联表， 并判断是否有 97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质 量指标值与设备改造有关？若有 97.5%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线 较好？ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计 附： P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 【解答】解： （1）由频率约等概率可得答案为：18
35、17 2019 = 153 190， （2）条形图如下： 第 20 页（共 23 页） 根据题目所给的数据填写 22 列联表如下： 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合计 100 100 200 2= 200(8649614)2 18218100100 6.1055.024 所以有 97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关， 甲生产线的合格率 86 100，乙产线的合格率 96 100， 因此保留乙生产线较好 故答案为： （1）153 190， （2）有 97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设 备改造有关
36、，保留乙生产线较好， 21 （12 分）已知函数() = 2 2 1 ，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，求 f（x2）2f（x1）的最大值 【解答】解： （1）f（x）2x2a+ 1 = 222+1 ，x0， 令 y2x22ax+1， 当4a280，即2 2时，y0，此时 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a 2时，2x22ax+10 有两个负根，此时 f（x）在（0，+）上单调递增； 第 21 页（共 23 页） 当 a2时，2x22ax+10 有两个正根，分别为 x1= 22 2 ，x2= +22 2 ， 此时 f（x）在
37、（0，x1） ， （x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减 综上可得：a 2时，f（x）在（0，+）上单调递增， a2时，f（x）在（0，; 2;2 2 ） ， （: 2;2 2 ，+）上单调递增， 在（; 2;2 2 ，: 2;2 2 ）上单调递减 （2）由（1）可得 x1+x2a，x1x2= 1 2，a2， 2ax1212+1，2ax2222+1， a2， 2 2 2 ， x1（0， 2 2 ） ，x2（ 2 2 ，+） ， f（x2）2f（x1）= 222ax2+lnx22（122ax1+lnx1） = 22+212+lnx22lnx1+1 = 22+2( 1 22) 2 +l
38、nx2+2ln 1 22 +1= 22+ 1 222 + 3 2ln2 2 +1+2ln2， 令 t= 22，则 t 1 2， g（t）t+ 1 2 + 3 2lnt+1+2ln2， g（t）1 1 22 + 3 2 = 22+31 22 = (21)(1) 22 ， 当1 2 t1 时，g（t）0；当 t1 时，g（t）0， g（t）在（1 2，1）上单调递增，在（1，+）单调递减 g（t）maxg（1）= 1+42 2 f（x2）2f（x1）的最大值为1:42 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在直角坐标系
39、 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 = 3 4 = 12 5 + 9 5 （ 为参数） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ( + 3) = 3 （1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 第 22 页（共 23 页） （2）若直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，M（2，0） ，求|MP|+|MQ|的值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程 = 3 4 = 12 5 + 9 5 消去参数 得，曲线 C 的普 通方程为 2 25 + 2 9 = 1 ( + 3) = 3，3 + 23 = 0， 直线 l 的直角坐标方程
40、为3 + 23 = 0（5 分） （2）设直线 l 的参数方程为 = 2 1 2 = 3 2 （t 为参数） ， 将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 7t26t630，1+ 2= 6 7，12 = 9 点 M（2，0）在直线 l 上， | + | = |1 2| = (1+ 2)2 412=36 49 + 36 = 302 7 （10 分） 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 【解答】解： （1）f（x）|x3|2|x|，f（x）2， 当 x0 时，f（x）|x3|2|x|（3x）+2xx+3， 由 f（x）2，得 x+32，解得 x1，此时1x0 当 0x3 时，f（x）|x3|2|x|（3x）2x33x， 由 f（x）2，得 33x2，解得 1 3，此时0 1 3； 当 x3 时，f（x）|x3|2|x|（x3）2xx36， 此时不等式 f（x）2 无解， 综上，不等式 f（x）2 的解集为,1， 1 3- （2）由（1）可知，() =
