1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年河南省高考数学（文科）模拟试卷（年河南省高考数学（文科）模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 满足 z+2iR，z 的共轭复数为，则 z =（ ） A0 B4i C4i D4 2 （5 分）已知集合 Ax|1 2 2x2，Bx|x22x+ 3 4 0，则 A（RB）（ ） A B （1，1 2） C （1 2，1） D （1，1 3 （5 分）若向量 =（x4，2）与向量 =（1，1）平行，则| |（ ） A22 B2 C2 D8 4 （5 分）如图，
2、已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右顶点为 A，O 为坐标原点， 以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q若PAQ60且 =3 ， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A23 3 B 7 2 C 39 6 D3 5 （5 分）已知函数 f（x）= 1 4， 0 1 + 3，0，在等差数列a n中，a77，a911，则 f （a8）（ ） A1 B2 C3 D4 6 （5 分）下列命题为真命题的个数是（ ） xx|x 是无理数，x2是无理数； 若 =0，则 = 0 或 = 0 ； 命题“若 x2+y20，xR，yR，则 xy0“的逆否命题为真命题； 函数 f（x
3、）= 是偶函数 A1 B2 C3 D4 7 （5 分）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P 第 2 页（共 19 页） （ 3 5， 4 5）则 sin（）（ ） A 4 5 B4 5 C 3 5 D3 5 8 （5 分）口袋中有形状和大小完全相同的 5 个球，编号分别为 1，2，3，4，5，若从中一 次随机摸出两个球，则摸出的两个球编号之和不小于 6 的概率为（ ） A0.4 B0.5 C0.6 D0.7 9 （5 分）函数() = 21的大致图象是（ ） A B C D 10 （5 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC4，ACBC，
4、CC15，D，E 分别是 AB，B1C1的中点，则异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为（ ） 第 3 页（共 19 页） A 3 3 B1 3 C 58 29 D387 29 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）是奇函数，且 f（x）在（，0）上是减函数， f（2）0，则不等式 xf（x+2）0 的解集是（ ） A （，22，+） B4，20，+） C （，42，+） D （，40，+） 12 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，其上顶点为 B，右顶点为 A，O 为原点，点 P 在椭圆上运动，若 = + ，则下列判断错误的是（ ） A 和 不可能相等
5、 B+ 可能为零 C 可能为正数也可能为负数 D 可能为零 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知函数 f （x） x2+2f （1） lnx， 则曲线 yf （x） 在 x1 处的切线斜率为 14（5 分） 已知实数 x， y 满足约束条件 2 + 1 0 2 + 4 0 ， 则 z3x+y 的取值范围为 15 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，a11，且 S4a51，则公比 q 16 （5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球 的半径为 三解答题（共三解答题（共
6、 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）某班主任利用周末时间对该班级 2019 年最后一次月考的语文作文分数进行统 计， 发现分数都位于 2055 之间， 现将所有分数情况分为20， 25） ， 25， 30） ， 30， 35） ， 35，40） ，40，45） ，45，50） ，50，55共七组其频率分布直方图如图所示，已知 m 2n （1）求频率分布直方图中 m，n 的值： （2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 （每组数据用该组区间中点值 第 4 页（共 19 页） 作为代表） 18（12 分） ABC 的内角 A、 B、
7、C 的对边分别为 a、 b、 c， 设 （sinBsinC） 2sin2AsinBsinC （1）求 A； （2）当 a6 时，求其面积的最大值，并判断此时ABC 的形状 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 为矩形且 AD2AB4，平 面 PAD平面 ABCD，且PAD 是正三角形，E 是 AD 的中点 （1）证明：CE平面 PBE； （2）求点 E 到平面 PBC 的距离 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线 C 上的点到准线的最小距 离为 2 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若过点 F 作互相垂直的两条直线 11，
8、l2，l1与抛物线 C 交于 A，B 两点，l2与抛物 线 C 交于 C，D 两点，M，N 分别为弦 AB，CD 的中点，求|MF|NF|的最小值 21 （12 分）已知函数 f（x）a（xe）ex 1（aR） ，g（x）x1 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a1 且 x1 时，求证：f（x）g（x） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 第 5 页（共 19 页） 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C
9、 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2:|2的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x1|+|x+m|，g（x）x+2 （）当 m1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （）当 xm，1 2）时 f（x）g（x） ，求 m 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年河南省高考数学（文科）模拟试卷（年河南省高考数学（文科）模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 满足 z
10、+2iR，z 的共轭复数为，则 z =（ ） A0 B4i C4i D4 【解答】解：z+2iR，设 z+2iaR， 则 za2i， 则 z =a2i（a+2i）4i 故选：C 2 （5 分）已知集合 Ax|1 2 2x2，Bx|x22x+ 3 4 0，则 A（RB）（ ） A B （1，1 2） C （1 2，1） D （1，1 【解答】解： = *| 1 1+， = *| 1 2 3 2+， = *| 1 2或 3 2+， () = (1， 1 2) 故选：B 3 （5 分）若向量 =（x4，2）与向量 =（1，1）平行，则| |（ ） A22 B2 C2 D8 【解答】解：向量 =（x4
11、，2）与向量 =（1，1）平行， ;4 1 = 2 ;1，解得 x2， =（2，2） ， | |= (2)2 + 22=22 故选：A 4 （5 分）如图，已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右顶点为 A，O 为坐标原点， 以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q若PAQ60且 =3 ， 则双曲线 C 的离心率为（ ） 第 7 页（共 19 页） A23 3 B 7 2 C 39 6 D3 【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程 为 y= x，A（a，0） ， P（m， ） ， （m0） ， 由 =3 ，可得 Q（3m，3 ） ， 圆的半径为 r|PQ|=42
12、+ 422 2 =2m ， PQ 的中点为 H（2m，2 ） ， 由 AHPQ，可得 2 (2;) = ， 解得 m= 3 22，r= 2 A 到渐近线的距离为 d= | 2+2 = ， 则|PQ|22 2=r， 即为 d= 3 2 r，即有 = 3 2 2 可得 = 3 2 ， e= =1 + 2 2 =1 + 3 4 = 7 2 另解：可得PAQ 为等边三角形， 设 OPx，可得 OQ3x，PQ2x， 设 M 为 PQ 的中点，可得 PMx，AM= 42 2= 3x， tanMOA= = 3 2 = ， 则 e=1 + ( ) 2 = 7 2 故选：B 第 8 页（共 19 页） 5 （5
13、 分）已知函数 f（x）= 1 4， 0 1 + 3，0，在等差数列a n中，a77，a911，则 f （a8）（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：在等差数列an中，a77，a911，可得 a8= 7+11 2 =9， 所以 f（a8）f（9）1+log393 故选：C 6 （5 分）下列命题为真命题的个数是（ ） xx|x 是无理数，x2是无理数； 若 =0，则 = 0 或 = 0 ； 命题“若 x2+y20，xR，yR，则 xy0“的逆否命题为真命题； 函数 f（x）= 是偶函数 A1 B2 C3 D4 【解答】解：对于（1）中，当 x= 2时，x22 为有理数，故错；对于（2）若
14、 =0， 可以有 ，故错；对于（3）命题“若 x2+y20，xR，yR，则 xy0“是真命 题，则它的逆否命题为真命题，故对；对于（4）f（x）= =f（x） ，且函数定 义域（，0）（0，+）关于原点对称，则函数 f（x）是偶函数，故对，综上真命 题有 2 个 故选：B 7 （5 分）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P （ 3 5， 4 5）则 sin（）（ ） 第 9 页（共 19 页） A 4 5 B4 5 C 3 5 D3 5 【解答】解：角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P （ 3 5， 4 5） 则
15、sin（）sin= 4 5 故选：A 8 （5 分）口袋中有形状和大小完全相同的 5 个球，编号分别为 1，2，3，4，5，若从中一 次随机摸出两个球，则摸出的两个球编号之和不小于 6 的概率为（ ） A0.4 B0.5 C0.6 D0.7 【解答】解：从 5 个球中一次随机摸出两个球的情况有： （1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （2，3） ， （2，4） ， （2，5） ， （3，4） ， （3，5） ， （4， 5）共 10 种， 其中两个球的编号之和不小于 6 的有： （1，5） ， （2，4） ， （2，5） ， （3，4） ， （3，5） ， （4，5）
16、共 6 种， 故所求概率 P= 6 10 = 0.6， 故选：C 9 （5 分）函数() = 21的大致图象是（ ） A B 第 10 页（共 19 页） C D 【解答】解：函数 f（x）的定义域为xR|x1，且为偶函数，排除选项 C，D； 当 x（1，）时，f（x）0，排除 B， 故选：A 10 （5 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC4，ACBC，CC15，D，E 分别是 AB，B1C1的中点，则异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为（ ） A 3 3 B1 3 C 58 29 D387 29 【解答】解：可知 CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为
17、x，y，z 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，则： C（0，0，0） ，B（0，4，0） ，A（4，0，0） ，D（2，2，0） ，E（0，2，5） ， = (0， 2，5)， = (2，2，0)， ， = | | | = 4 2922 = 58 29 ， 异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为 58 29 故选：C 第 11 页（共 19 页） 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）是奇函数，且 f（x）在（，0）上是减函数， f（2）0，则不等式 xf（x+2）0 的解集是（ ） A （，22，+） B4，20，+） C （，42，+） D （，40，+） 【解答】解：
18、根据题意，设 g（x）f（x+2） ，g（x）的图象可以由 f（x）的图象向左平 移 2 个单位得到的， 函数 f（x）是 R 上的奇函数，则函数 g（x）的图象关于点（2，0）对称， 则 g（0）f（2）0，g（4）f（2）0， 则 g（x）的草图如图： 故 xf（x+2）0xg（x）0 0 () 0或 0 () 0； 则有 x4 或 x2； 即 x 的取值范围为（，42，+） ； 故选：C 12 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，其上顶点为 B，右顶点为 A，O 为原点，点 P 第 12 页（共 19 页） 在椭圆上运动，若 = + ，则下列判断错误的是（ ） A
19、和 不可能相等 B+ 可能为零 C 可能为正数也可能为负数 D 可能为零 【解答】解：设 P（acos，bsin） ，A（a，0） ，B（0，b） 由 = + ，得 cos，sin，0，2， 当 = 4时， 和 相等， 当 +cos+sin= 2( + 4)，当 = 3 4 时，值为 0； cossin= 2( + 4)，所以可能为正也可能为负， 显然可能为 0， 所以错误的为 A 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）x2+2f（1）lnx，则曲线 yf（x）在 x1 处的切线斜率为 2 【解
20、答】解：() = 2 + 2(1) ， f（1）2+2f（1） ， 解得 f（1）2 故答案为：2 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 2 + 1 0 2 + 4 0 ，则 z3x+y 的取值范围为 5， 9 【解答】解：作出所对应的可行域（如图阴影） ， 第 13 页（共 19 页） 变形目标函数可得 y3x+z，作出直线 y3x， 经平移直线知，当直线过点 C（1，2）时，z3x+y 取最小值 5， 当直线过点 A（2，3）时，z3x+y 取最大值 9， 故 z3x+y 的取值范围为：5，9 故答案为：5，9 15（5 分） 记 Sn为等比数列an的前 n 项和， a11， 且
21、 S4a51， 则公比 q 2 或1 【解答】解：由题意可得 q1， 因为 a11，且 S4a51， 所以1; 4 1; = 4 1， 则可得（1q4） （2q）0， 故 q2 或 q1 故答案为：2 或1 16 （5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球 的半径为 21 6 【解答】解：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上， 所以该三棱柱为正三棱柱 如图所示 第 14 页（共 19 页） 该几何体的外接球的球心为 O，AB= 2 3 2 (1 2) 2 = 3 3 ， OA= 2， 所以 = =( 3 3 )2+ ( 2)
22、2 =7 2 12 = 21 6 ， 故答案为： 21 6 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）某班主任利用周末时间对该班级 2019 年最后一次月考的语文作文分数进行统 计， 发现分数都位于 2055 之间， 现将所有分数情况分为20， 25） ， 25， 30） ， 30， 35） ， 35，40） ，40，45） ，45，50） ，50，55共七组其频率分布直方图如图所示，已知 m 2n （1）求频率分布直方图中 m，n 的值： （2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 （每组数据用该组区间中点值 作
23、为代表） 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： = 2 (0.01 + 0.03 + 0.06 + + 0.03+ + 0.01) 5 = 1， 解得 m0.04，n0.02 （2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为： （22.50.01+27.50.03+32.50.06+37.50.04+42.50.03+47.50.02+52.50.01）5 第 15 页（共 19 页） 36.25 （0.01+0.03+0.06）50.5， 该班级这次月考语文作文分数的中位数为 35 18（12 分） ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 设 （sinBsinC） 2s
24、in2AsinBsinC （1）求 A； （2）当 a6 时，求其面积的最大值，并判断此时ABC 的形状 【解答】解： （1）根据题意， （sinBsinC）2sin2AsinBsinC， 由正弦定理可得： （bc）2a2bc， 变形可得：b2+c2a2bc， 则 cosA= 2+22 2 = 1 2， 又由 0A，则 A= 3； （2）根据题意，若 a6，则 a2b2+c22bccosAb2+c2bc36， 变形可得：bc36， 则有 S= 1 2bcsinA= 3 4 bc93， 当且仅当 bc 时等号成立，此时ABC 为等边三角形 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四
25、边形 ABCD 为矩形且 AD2AB4，平 面 PAD平面 ABCD，且PAD 是正三角形，E 是 AD 的中点 （1）证明：CE平面 PBE； （2）求点 E 到平面 PBC 的距离 【解答】 （1）证明：ABCD 为矩形且 AD2AB，E 为 AD 的中点， ABE 和CDE 都是等腰直角三角形， AEBDEC= 4，得BEC= 2， 第 16 页（共 19 页） BECE 连接 PE，PAD 是等边三角形，E 是 AD 的中点， PEAD 又平面 PAD平面 ABCD，PE平面 PAD，平面 PAD平面 ABCDAD PE平面 ABCD 又 CE平面 ABCD，CEPE 又 BEPEE，
26、BE，PE平面 PBE CE平面 PBE； （2）解：AD2AB4，侧面 PAD 是正三角形，E 是 AD 的中点， AEDE2， 由勾股定理可得 BECE= 22+ 22= 22，PE= 42 22= 23， PBPC= 2+ 2=(23)2+ (22)2= 25 = 1 2 4 (25)2 22= 8，设点 E 到平面 PBC 的距离为 h， 由 VPBECVEPBC，得1 3 8 = 1 3 1 2 4 2 23， 即 h= 3 点 E 到平面 PBC 的距离为3 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线 C 上的点到准线的最小距 离为 2 （1）求抛物线
27、 C 的方程； （2）若过点 F 作互相垂直的两条直线 11，l2，l1与抛物线 C 交于 A，B 两点，l2与抛物 线 C 交于 C，D 两点，M，N 分别为弦 AB，CD 的中点，求|MF|NF|的最小值 【解答】解： （1）因为抛物线 C 上的点到准线的最小距离为 2，所以 2 = 2， 第 17 页（共 19 页） 解得 p4， 故抛物线 C 的方程为：y28x； （2）由（1）可知焦点为 F（2，0） ， 由已知可得 ABCD，所以两直线 AB，CD 的斜率都存在且均不为 0， 设直线 AB 的斜率为 k，则直线 CD 的斜率为 1 ， 故直线 AB 的方程为 yk（x2） ， 联立
28、方程 2 = 8 = ( 2)，消去 x 得：ky 28y16k0， 设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则1+ 2= 8 ， 因为 M（xM，yM）为弦 AB 的中点，所以= 1 2 (1+ 2) = 4 ， 由 yMk（xM2） ，得= + 2 = 4 2 + 2， 故点 M（ 4 2 + 2，4 ） ， 同理可得：N（4k2+2，4k） ， 故|NF|= (42+ 2 2)2+ (4)2=42(1 + 2)，|MF|= 16 4 + 16 2 = 41+2 2 ， 所以|MF|NF|= 41+2 2 42(1 + 2) =16 1+2 | =16 （|k|+ 1 |） 16 2
29、| 1 | =32， 当且仅当|k|= 1 |，即 k1 时，等号成立， 所以|MF|NF|的最小值为 32 21 （12 分）已知函数 f（x）a（xe）ex 1（aR） ，g（x）x1 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a1 且 x1 时，求证：f（x）g（x） 【解答】解： （1）由题意，得 f（x）aex 1+（xe）ex1aex1（1+xe）1 分 若 a0，令 f（x）0，得 xe1，令 f（x）0，得 xe1 故函数 f（x）在（，e1）上单调递减，在（e1，+）上单调递增；2 分 若 a0，令 f（x）0，得 xe1，令 f（x）0，得 xe1 故函数 f（x）在（
30、，e1）上单调递增，在（e1，+）上单调递减；3 分 若 a0，令 f（x）0，为常量函数，不存在单调性4 分 第 18 页（共 19 页） （2）证明：当 a1 时，f（x）（xe）ex 1，则证 f（x）g（x） ，即证（xe）ex1 x1， 不等式两端同时除以 ex，即证; ;1 ，得:1 + 1，5 分 记函数 p（x）= +1 + ，则 p（x）= + 1 = 1 设 q（x）= 1 e xx，6 当 x1 时，q（x）ex 110，所以函数 q（x）在（1，+）上单调递增 所以当 x1 时，q（x）q（1）= 1 e 1108 分 所以 p（x）0， 所以函数 p（x）在（1，+）
31、上单调递增 所以 p（x）p（1）= 1+1 + 1 = 3 1， 即:1 + 1 成立， 故 f（x）g（x）得证12 分 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2:|2的值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 4 + 2= 1， 转换为
32、极坐标方程为 42sin2+2cos24即2= 4 32+1 （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ， 设 P（1，） ，则 Q（2， 2） ， 所以 |2|2 |2:|2 = 1 1 |2: 1 |2 = 1 1 12: 1 22 = 1 3 4 2:1 4: 3 4 2:1 4 = 4 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x1|+|x+m|，g（x）x+2 第 19 页（共 19 页） （）当 m1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （）当 xm，1 2）时 f（x）g（x） ，求 m 的取值范围 【解答】解： （）当 m1 时，|2x1|+|x1|3， 等价为 1 2 1 + 13或 1 2 1 2 1 + 1 1 或 1 2 1 2 + 1 1 ， 解得 1x 5 3或 1 2 x1 或 1 3 x 1 2， 则原不等式的解集为（ 1 3， 5 3） ； （）当 xm，1 2）时 f（x）g（x） ， 即为 12x+x+m（x+2）0，即 m2x+1 在 xm，1 2）恒成立， 可得 m2m+1，可得 m 1 3，但m 1 2，即 m 1 2， 可得 m 的取值范围为（ 1 2， 1 3）
