1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知 Ax|x210，By|yex，则 AB（ ） A （0，+） B （，1 C1，+） D （，11，+） 2 （4 分） （1i） （3i）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （4 分）已知 q 是等比数列an的公比，首项 a10，则“0q1”是“数列an是递增 数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也
2、不必要条件 4 （4 分）太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物； 从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人 知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示 的阴阳鱼图案中， 阴影部分可表示为 A （x， y） |x2+ （y1） 21 或 2 + 2 4 2+ ( + 1)2 1 0 ， 设 点（x，y）A，则 zx+2y 的最大值与最小值之差是（ ） A2 + 5 B2 + 25 C2 + 35 D2 + 45 5 （4 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B 第 2 页（共
3、 18 页） C D 6 （4 分）设 0a1，已知随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 若() = 1 6，则 a（ ） A1 2 B1 3 C1 4 D1 5 7 （4 分）已知 ， 为两个不重合的平面，m，n 为两条不重合的直线，且 m，n， 记直线 m 与直线 n 的夹角和二面角 m 均为 1，直线 n 与平面 所成的角为 2， 则下列说法正确的是（ ） A若 01 6，则 122 B若 6 1 4，则 tan 12tan2 C若 4 1 3，则 sin1sin2 D若 3 1 2，则 cos1 3 4cos2 8 （4 分）已知双曲线： 2 2 2 2
4、 = 1的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是双曲线上一点，满 足|PF1|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是（ ） A2 B3 C5 D3 9 （4 分）已知 aR，函数 f（x）= 2 + ，1 ， 1 ，则函数 yf（x）的零点个数不可 能为（ ） A0 B1 C2 D3 10 （4 分）已知数列an满足：a11，+1= 1 2+1 ( ) （1）数列an是单调递减数列； （2）对任意的 nN*，都有 1 3； 第 3 页（共 18 页） （3）数列*| 1 2 |+是单调递减数列； （4）对任意的 nN*，都有|+1 | 2 3 ( 6 11) 1 则上述
5、结论正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 36 分）分） 11 （6 分）已知 a，b，c 均为正实数，若 2alog2a 1，2blog 1 2 b， （1 2） clog2c则 a， b，c 的大小关系为 （用“连接） 12 （6 分） 九章算术中有这样的描述： “今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤四丈” ， 其中“广”是东西走向的意思， “袤”是南北走向的意思若有几何体的三视图如图，则 该几何体的体积为 ，表面积为 （不需填单位） 13 （6 分）( 3 2 ) 4的展开式中，常数项是 14（6分） 在ABC中， 内角A， B，
6、 C的对边分别为a， b， c， 满足 = 3， = 1 4，为BAC 的角平分线，且 = 10，则 b 15 （4 分）设直线 yx+2a 与圆 x2+y22ay20 相交于 A，B 两点，若| = 23，则 a 16 （4 分）某公司销售部派 5 人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市工作，要求每 个城市都有人去，每人只去一个城市，且在这 5 人中甲、乙不去广州，则不同的分派方 案共有 种 （用数字作答） 17（4 分） 在ABC 所在的平面上有一点 P， 满足 + + = ， 则 = 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 第 4 页（共 18 页） 18
7、（14 分）已知函数() = 2( + 3) 1 2 （）若 f（x+）为偶函数，且 （0，） ，求 ； （）在ABC 中，角 A 满足 f（A）1，sinB2sinC，a2，求ABC 的面积 19（15 分） 如图， 已知多面体 ABCDA1B1C1D1， AA1， BB1， CC1， DD1均垂直于平面 ABCD， ADBC，ABBCCDAA1CC12，BB11，ADDD14 （）证明：A1C1平面 CDD1C1； （）求直线 BC1与平面 A1B1C1所成角的正弦值 20 （15 分）已知数列an的前 n 项和= 2+1 2 （1）求an的通项公式； （2）记= +1 ，求bn的前 n
8、项和 Tn 21 （15 分）如图，设 F1，F2是椭圆 C： 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点，直线 y kx（k0）与椭圆 C 交于 A，B已知椭圆 C 的焦距是 2，四边形 AF1BF2的周长是 42 （）求椭圆 C 的方程； （）直线 AF1，BF1分别与椭圆 C 交于 M，N，求MNF1面积的最大值 22 （15 分）已知函数 f（x）ax+lnx，g（x）f（x） （xlnx）x2，aR （）讨论 f（x）的单调性； （）若 aZ，且函数 g（x）只有一个零点，求 a 的最小值 第 5 页（共 18 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（4）
9、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知 Ax|x210，By|yex，则 AB（ ） A （0，+） B （，1 C1，+） D （，11，+） 【解答】解：Ax|x1 或 x1，By|y0， AB1，+） 故选：C 2 （4 分） （1i） （3i）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：（1i） （3i）24i， （1i） （3i）在复平面内对应的点的坐标为（2，4） ，位于第四象限 故选：D 3 （4 分）已知 q 是等比数
10、列an的公比，首项 a10，则“0q1”是“数列an是递增 数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：在等比数列an中，+1 = 11 ( 1)，10，若数列an是递 增数列，则 0q1；反之，若 0q1，则+1 = 11( 1)0，数列an 是递增数列，所以“0q1”是“数列an是递增数列”的充要条件 故选：C 4 （4 分）太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物； 从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人 知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”
11、在如图所示 的阴阳鱼图案中， 阴影部分可表示为 A （x， y） |x2+ （y1） 21 或 2 + 2 4 2+ ( + 1)2 1 0 ， 设 点（x，y）A，则 zx+2y 的最大值与最小值之差是（ ） 第 6 页（共 18 页） A2 + 5 B2 + 25 C2 + 35 D2 + 45 【解答】解：如图，作直线 x+2y0，当直线上移与圆 x2+（y1）21 相切时，zx+2y 取最大值， 此时，圆心（0，1）到直线 zx+2y 的距离等于 1，即 |2| 5 =1， 解得 z 的最大值为：2+5， 当下移与圆 x2+y24 相切时，x+2y 取最小值， 同理 | 5 =2，即
12、z 的最小值为25 所以：zx+2y 的最大值与最小值之差是： （2+5）（25）2+35 故选：C 5 （4 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 第 7 页（共 18 页） 【解答】解：当 x时， 0+， 1 +1 = 1 2 +1 1+，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1+，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 6 （4 分）设 0a1，已知随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 若() = 1 6，则 a（ ） A1 2 B1 3 C1 4 D1 5 【解答】解
13、：E（X）0 1 3 +a 1 3 +1 1 3 = 1+ 3 ， D（X）（1+ 3 ）2 1 3 +（a 1+ 3 ）2 1 3 +（1 1+ 3 ）2 1 3 = 1 27（a+1） 2+（2a1）2+（a2）2=2 9（a 2a+1）=1 6，解得 a= 1 2 故选：A 7 （4 分）已知 ， 为两个不重合的平面，m，n 为两条不重合的直线，且 m，n， 记直线 m 与直线 n 的夹角和二面角 m 均为 1，直线 n 与平面 所成的角为 2， 则下列说法正确的是（ ） A若 01 6，则 122 B若 6 1 4，则 tan 12tan2 C若 4 1 3，则 sin1sin2 D若
14、 3 1 2，则 cos1 3 4cos2 【解答】解：如图所示，直线 BC 为 n，点 B 在平面 的投影为 O，作 BAm 于 A，连 接 OA，OC，则BCABAO1，BCO2， 设 ABa，则 = 1 ， = 1，2= = 1 1 = 21， 对 于A ， 若0 1 6 时 ， 则 1 22= 1 222 1 221=sin1（12sin1）0，故 sin1sin22， 第 8 页（共 18 页） 易知021 6，故 122，故选项 A 正确； 对于 B， 若 6 1 4时， 要证 tan 12tan2， 即 21 121 442 142， 即 211 3， 不恒成立，故选项 B 错误
15、； 对于 C，若 4 1 3时，则2 = 211，故选项 C 错误； 对于 D，若 3 1 2时，要证 cos1 3 4cos2，即1 21 9 16 (1 22)，即 21 7 9，不恒成立，故选项 D 错误； 故选：A 8 （4 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是双曲线上一点，满 足|PF1|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是（ ） A2 B3 C5 D3 【解答】解：设双曲线焦距为 2c，由题意得|PF1|F1F2|2c，所以|PF2|2c2a 如图，在等腰PF1F2中，21= 2 ， 又由 PF2与双曲线的一条渐
16、近线平行知21= ， 所以 2 = ， 解得 c3a， 则该双曲线的离心率 e3， 故选：D 9 （4 分）已知 aR，函数 f（x）= 2 + ，1 ， 1 ，则函数 yf（x）的零点个数不可 第 9 页（共 18 页） 能为（ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：令 f（x）0，得 ag（x）= 2 1，1； ， 1 当 x1 且 x0 时，g（x）= 2 1 = 1 1 ( 1 ) 2 = 1 (1 1 2) 2+1 4 ； 故其在（，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减； 且 g（0）0； 当 x1 时，g（x）= ，g（x）= 1 2 ； 故 g（x）在（1，e）上单调递增，在
17、（e，+）上单调递减，且 g（1）0 其余对应的 g（x）0 画出 yg（x）的图象如图所示 由图象可知，yg（x）与 ya 的交点个数可能是 0 个，1 个和两个；不可能是 3 个； 故选：D 10 （4 分）已知数列an满足：a11，+1= 1 2+1 ( ) （1）数列an是单调递减数列； （2）对任意的 nN*，都有 1 3； （3）数列*| 1 2 |+是单调递减数列； （4）对任意的 nN*，都有|+1 | 2 3 ( 6 11) 1 则上述结论正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：由题可知1= 1，2= 1 3，3 = 3 52，故（1）不正确； 第 10 页（
18、共 18 页） 由题意得 an0，则 |+11 2| |1 2| = 1 2+1 1，故数列*| 1 2 |+为单调递减数列，故（3） 正确； 因为1= 1，2= 1 3所以当 n3 时，| 1 2| 1 6，则 1 3 2 3，故 1 3 ( )， 故（2）正确； 因为|+2+1| |+1| = 2 2+3 6 11，所以|+1 | |2 1| ( 6 11) 1 = 2 3 ( 6 11) 1， 故（4）正确 综上，正确结论的个数为 3， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 36 分）分） 11 （6 分）已知 a，b，c 均为正实数，若 2alog2a 1，2b
19、log 1 2 b， （1 2） clog2c则 a， b，c 的大小关系为 abc （用“连接） 【解答】解：由题意可知，2= 1 2 ，(1 2) = 1 2 ，(1 2) = 2， 利用函数 y2x， y= (1 2) ， ylog 1 2 x， ylog2x 的图象交点的位置， 即可判断： abc， 故答案为：abc 12 （6 分） 九章算术中有这样的描述： “今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤四丈” ， 其中“广”是东西走向的意思， “袤”是南北走向的意思若有几何体的三视图如图，则 该几何体的体积为 60 ，表面积为 54+826 （不需填单位） 【解答】解：由题意可知，该几何体
20、是一个底面为等腰梯形的横放的直四棱柱（如图所 示） 易知，底面是上底为 2，下底为 4，高为 5 的等腰梯形，故底面= 1 2 (2 + 4) 5 = 15 第 11 页（共 18 页） 梯形的腰长为52+ 11= 26 又因为柱体的高为 4，故侧面积侧= (2 + 4 + 226) 4 = 24 + 826 故表面积为表= 2底+ 侧= 54 + 826 该几何体的体 VS底h15460 故答案为：60 54 + 826 13 （6 分）( 3 2 ) 4的展开式中，常数项是 8 【解答】解：二项式( 3 2 ) 4的展开式的通项公式为 Tr+1= 4 （ 3 ）4 r （2）rxr= 4
21、（2）rx 44 3 令 x 的幂指数44 3 =0，解得 r1， 展开式中的常数项为： T2= 4 1 （2）18 故答案为：8 14（6分） 在ABC中， 内角A， B， C的对边分别为a， b， c， 满足 = 3， = 1 4，为BAC 的角平分线，且 = 10，则 b 6 【解答】解：记 A2， cosA= 1 4 =2cos21， cos= 10 4 （负值舍） ， 在ABD 中，BD29+102 3 10 10 4 ， BD2，由角平分线定理可知 = ， DC= 2 3b， 在ACD 中，cos= 10 4 = 2+(10) 2(2 3) 2 210 第 12 页（共 18 页）
22、 b3 或 b6， 经检验 b6 符合题设 故答案为：6 15 （4 分）设直线 yx+2a 与圆 x2+y22ay20 相交于 A，B 两点，若| = 23，则 a 2 【解答】解：x2+y22ay20 可化为 x2+（ya）22+a2， 由题意可知，圆心（0，a）到直线 xy+2a0 的距离 d= | 2 由直线与圆相交的性质可知，AB22 2=22+ 2 1 2 2=23， 解可得 a= 2 故答案为：2 16 （4 分）某公司销售部派 5 人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市工作，要求每 个城市都有人去，每人只去一个城市，且在这 5 人中甲、乙不去广州，则不同的分派方 案共有 12
23、6 种 （用数字作答） 【解答】解：因为甲、乙不去广州， 则若去广州的有 1 个人，则有3 1 4 2 3 3 =108， 若去广州的有 2 个人，则有3 2 3 3 =18， 共有 126 种， 故答案为 126 17（4 分） 在ABC 所在的平面上有一点 P， 满足 + + = ， 则 = 1 2 【解答】解：由 + + = 可得 + + = ， 则 = 2 =| | |cosAPB， =| | |cos（APB）2| | |cosAPB 则 = 1 2 第 13 页（共 18 页） 故答案为： 1 2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 18 （14 分
24、）已知函数() = 2( + 3) 1 2 （）若 f（x+）为偶函数，且 （0，） ，求 ； （）在ABC 中，角 A 满足 f（A）1，sinB2sinC，a2，求ABC 的面积 【解答】解： （）() = 2(1 2 + 3 2 ) 1 2 = 2 + 3 1 2 = 12 2 + 3 2 2 1 2 = (2 6)， 则( + ) = (2 + 2 6)， 由 f（x+4）为偶函数可知(0 + ) = (2 6) = 1，所以2 6 = 2 + ( )， 解得 = 3 + 2 ( ) 又因为 （0，） ，所以 = 3或 5 6 （）由（）得() = (2 6) = 1 = 3，sinB
25、2sinCb2c， 所以由余弦定理得 = 2+22 2 = 2 33， = 4 33， 所以ABC 的面积 = 1 2 = 1 2 4 33 2 33 3 2 = 2 33 19（15 分） 如图， 已知多面体 ABCDA1B1C1D1， AA1， BB1， CC1， DD1均垂直于平面 ABCD， ADBC，ABBCCDAA1CC12，BB11，ADDD14 （）证明：A1C1平面 CDD1C1； （）求直线 BC1与平面 A1B1C1所成角的正弦值 第 14 页（共 18 页） 【解答】 （）证明：如图，连接 AC， AA1CC1，且 AA1CC1， 四边形 ACC1A1为平行四边形，即
26、A1C1AC 又底面 ABCD 为等腰梯形，且 ABBCCD2，AD4，ACCD CC1平面 ABCD，AC平面 ABCD， CC1AC 又 CDCC1C，AC平面 CDD1C1， A1C1平面 CDD1C1； （）解：法一、由题意得1= 22，延长 DC，D1C1，AB，A1B1交于点 G，取 CG 中点 M，连接 BM，AC BMACA1C1，BM平面 A1B1C1，A1C1平面 A1B1C1， BM平面 A1B1C1， 点 B 到平面 A1B1C1的距离和点 M 到平面 A1B1C1的距离相等 由（）知 A1C1平面 CDD1C1， 又 A1C1平面 A1B1C1， 平面 A1B1C1平
27、面 CDD1C1 过点 M 作 MHGD1于点 H，则 MH平面 A1B1C1， 即点 M 到平面 A1B1C1的距离为 = 2 2 设直线 BC1与平面 A1B1C1所成的角为 ， 则 = 1 = 2 2 22 = 1 4， 即直线 BC1与平面 A1B1C1所成角的正弦值为1 4； 解法二、以 D 为坐标原点，DA 所在直线为 x 轴，过点 D 且垂直于平面 ADD1A1的直线 为 y 轴，DD1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(3， 3 ，0)，1(4，0，2)，1(3， 3 ，1)，1(1， 3 ，2)， 第 15 页（共 18 页） 1 = (2，0，2)，11
28、= (3， 3 ，0)，11 = (2，0，1) 设平面 A1B1C1的法向量 = (，)， 由 11 = 3 + 3 = 0 11 = 2 + = 0 ，令 x1，得 = (1， 3 ，2) 设直线 BC1与平面 A1B1C1所成的角为 ， 则 = | 1， | = 2 2222 = 1 4， 即直线 BC1与平面 A1B1C1所成角的正弦值为1 4 20 （15 分）已知数列an的前 n 项和= 2+1 2 （1）求an的通项公式； （2）记= +1 ，求bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）数列an的前 n 项和= 2+1 2， 可得 a1S12，anSnSn12n， （n2）
29、， 综上可得 an2n， （nN*） ； （2）= +1 =（n+1） （1 2） n， 前 n 项和 Tn21 2 +31 4 + +（n+1） （1 2） n， 第 16 页（共 18 页） 1 2Tn2 1 4 +31 8 + +（n+1） （1 2） n+1， 相减可得1 2Tn1+ 1 4 + 1 8 + +（1 2） n（n+1） （1 2） n+1 1+ 1 4(1 1 21) 11 2 （n+1） （1 2） n+1， 化简可得 Tn3（n+3） （1 2） n 21 （15 分）如图，设 F1，F2是椭圆 C： 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点，直线 y kx（k0
30、）与椭圆 C 交于 A，B已知椭圆 C 的焦距是 2，四边形 AF1BF2的周长是 42 （）求椭圆 C 的方程； （）直线 AF1，BF1分别与椭圆 C 交于 M，N，求MNF1面积的最大值 【解答】解： （）由题意可得 2c2，4a42，b2a2c2， 解得：a22，b21， 椭圆的方程为： 2 2 + 2=1 （）设 A（x0，y0） ， （x00，y00） ，B（x0，y0） ， 则直线 AF1： + 1 = 1+1 0 ，直线 BF1： + 1 = 0+1 0 ， 联立 2 2 + 2= 1 + 1 = 0+1 0 ，得,(0+1 0 )2+ 2-2 2(0+1) 0 1 = 0，
31、又0 2 2 + 02=1，代入化简得(20+ 3)2 2(0+ 1)0 02=0， y0yM= 02 20+3， = 0 20+3， = 0+1 0 1 = 0+1 20+3 1， 同理，得= 0 20+3，xN= 0+1 20+3 1， 第 17 页（共 18 页） 设直线 MN 与 x 轴交于 E（t，0） ， 由 M，N，E 三点共线得 kMEkNE，得 t= 4 3， 1= 1 2 |1| | | = 0 9402 = 0 1+802 2 8 ， 当0= 2 4 时，取等号 MNF1面积的最大值为 2 8 22 （15 分）已知函数 f（x）ax+lnx，g（x）f（x） （xlnx
32、）x2，aR （）讨论 f（x）的单调性； （）若 aZ，且函数 g（x）只有一个零点，求 a 的最小值 【解答】解： （）由题意可知 x0，() = + 1 当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，f（x）在(0， 1 )上单调递增，在( 1 ， + )上单调递减 （） 解法一： 由题意可知 x0， 且() = ( + )( ) 2= 0 ( + )(1 ) = 1 令 = ， (， 1 -， 则（a+t） （1t）1 记 （t）t2+（a1）t+1a0， （*） 当 a1 时，a+t0，1t0，与（a+t） （1t）1 相矛盾，此时（*）式无解； 当 a0 时，（t）
33、t2t+10 无解； 当 a1 时， （*）式的解为 t0，此时 g（x）0 有唯一解 x1； 当 a2 时，12 = 1 0 1+2= 1 0， (1 ) = 1 2 + ( 1)(1 1) 1 2 + 1 10， 所以（*）式只有一个负根 t0，g（x）0 有唯一解，故 a 的最小值为 1 解法二：由题得() = ( + )( ) 2= 0 ( + )(1 ) = 1， 令 = ，则 = 1 1 第 18 页（共 18 页） 再令 k1t，则 + 1 = + 1 记 = + 1 ， = 1 ， 函数 = + 1 和函数 = 1 的图象如图所示： 当 a+12，即 a1 时，显然不成立； 当 a+12，即 a1 时，由 aZ，得方程 + 1 = + 1 存在唯一解 k0，且 k01 此时 = 1 亦存在唯一解 x0 综上，a 的最小值为 1
