1、 第 1 页（共 17 页） 2021 年新高考数学模拟试卷年新高考数学模拟试卷 1 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A0，2，B1，0，2，则 AB（ ） A0 B1，2 C2，0 D2，1，0， 2 2 （5 分）复数 z 满足（2i）z|3+4i|（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A2+i B2i C2i D2+i 3 （5 分）已知 a（1 3） 2 3，b（1 2） 2 3，clog3，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 4 （5 分）已知向量| |1，| |
2、2， = 3，则向量 与向量 的夹角为（ ） A 6 B 4 C 3 D2 3 5 （5 分）已知等比数列an满足 a1+a26，a2+a312，则 a1的值为（ ） A1 B2 C3 D4 6 （5 分） 九章算术 “竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差 数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则上面第 1 节的容量为（ ） A13 22升 B14 33升 C26 33升 D1 升 7 （5 分）已知函数() = 3( 2 + 2)，若对于任意的 xR，都有 f（x1）f（x）f（x2） 成立，则|x1x2|的最小值为（ ） A4 B1 C1
3、2 D2 8 （5 分）已知函数() = (+) +1 （m0，nR）在（0，+）上不单调，若 mn 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A3，+） B4，+） C （，3 D （，4 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外的任一点，则“点 M 与点 A，B，C 共面”的充分条件的是（ ） A = 2 B = + 第 2 页（共 17 页） C = + 1 2 + 1 3 D = 1 2 + 1 3 + 1 6 10 （5 分）某人参加一次测试，在备选的 10 道题中，他能
4、答对其中的 5 道，现从备选的 10 题中随机抽出 3 题进行测试， 规定至少答对 2 题才算合格 则下列选项正确的是 （ ） A答对 0 题和答对 3 题的概率相同，都为1 8 B答对 1 题的概率为3 8 C答对 2 题的概率为 5 12 D合格的概率为1 2 11 （5 分）如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为 （ ） AACBD BAC截面 PQMN CACBD D异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 12 （5 分）下列四个图形中可能是函数 yf（x）图象的是（ ） A B C D 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分
5、20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 3 页（共 17 页） 13 （5 分）江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行江先生从 家到公交站或地铁站都要步行 5 分钟公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥 堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N（33，42） ，下车后从公交站步行到单位要 12 分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N （44，22） ，下地铁后从地铁站步行到单位要 5 分钟下列说法：若 8：00 出门，则乘 坐公交不会迟到；若 8：02 出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；若 8：06 出门，则乘坐公交上
6、班不迟到的可能性更大；若 8：12 出门，则乘坐地铁几乎不可能 上班不迟到从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是 参考数据：若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2 ）0.9544，P（3Z+3）0.9974 14 （5 分）已知首项为 3 的正项数列an满足（an+1+an） （an+1an）3（an+1） （an1） ， 记数列*2( 2 1)+的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn440 成立的 n 的最小值为 15 （5 分）若 22x2ax+1对任意的 x0，1成立，则正实数 a 的取值范围为 16 （5 分）已知椭圆 E： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的
7、右焦点为 F短轴的一个端点为 M，直 线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|+|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于4 5， 则椭圆 E 的离心率的取值范围是 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q（q0）的等比数 列，且 a1b12，a4+a525，a3b34 （）求数列an和bn的通项公式； （）设 cnan+2，求数列cn的前 n 项和 Sn 18（12分） 在锐角ABC中， 角A， B， C对应的边分别是 a， b， c， 且 cos2A+sin （3 2
8、 A） +10 （1）求角 A 的大小； （2）若ABC 的面积 S33，b3求 sinC 的值 19 （12 分）已知圆 C： （x+1）2+y28，定点 A（1，0） ，M 为圆上一动点，线段 MA 的垂 直平分线交 MC 于点 N，设点 N 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 方程； （2）若经过 F（0，2）的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 G，H（点 G 在点 F，H 之间） ， 第 4 页（共 17 页） 且满足 = 3 5 ，求直线 l 的方程 20 （12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上， BEEC1 （1）证明
9、：BE平面 EB1C1； （2）若 AEA1E，求二面角 BECC1的正弦值 21 （12 分） 从编号为 1， 2， 3， 4， ， 10 的 10 个大小、 形状相同的小球中， 任取 5 个球 如 果某两个球的编号相邻，则称这两个球为一组“好球” （1）求任取的 5 个球中至少有一组“好球”的概率； （2）在任取的 5 个球中，记“好球”的组数为 X，求随机变量 X 的概率分布列和均值 E （X） 22 （12 分）已知函数() = + 1 2( ) （）当 a2 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程： （）若 f（x）在区间1，2上单调递增，求 a 的取值范围； （）
10、求 f（x）在1，e上的最小值 第 5 页（共 17 页） 2021 年新高考数学模拟试卷年新高考数学模拟试卷 1 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A0，2，B1，0，2，则 AB（ ） A0 B1，2 C2，0 D2，1，0， 2 【解答】解：A0，2，B1，0，2， AB2，1，0，2 故选：D 2 （5 分）复数 z 满足（2i）z|3+4i|（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A2+i B2i C2i D2+i 【解答】解：由（2i）z|3+4i|5，得 z= 5
11、2 = 5(2+) (2)(2+) = 2 + ， = 2 故选：C 3 （5 分）已知 a（1 3） 2 3，b（1 2） 2 3，clog3，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 【解答】解：(1 3) 2 3(1 2) 2 3(1 2) 0 = 1，3log331； cba 故选：D 4 （5 分）已知向量| |1，| |2， = 3，则向量 与向量 的夹角为（ ） A 6 B 4 C 3 D2 3 【解答】解：| | = 1，| | = 2， = 3， ， = 3 2 ，且0 ， ， 向量 ， 的夹角为 6 故选：A 5 （5 分）已知等比数列an
12、满足 a1+a26，a2+a312，则 a1的值为（ ） A1 B2 C3 D4 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：由题意，设等比数列an的公比为 q，则 2+3 1+2 = (1+2) 1+2 =q= 12 6 =2 q2 将 q2 代入 a1+a26，即 a1+a1q6， 解得 a12 故选：B 6 （5 分） 九章算术 “竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差 数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则上面第 1 节的容量为（ ） A13 22升 B14 33升 C26 33升 D1 升 【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1
13、，a2，a9，且为等差数列， 根据题意得：a1+a2+a3+a43，a7+a8+a94， 即 4a1+6d3，3a1+21d4，43 得：66d7，解得 d= 7 66， 把 d= 7 66代入得：a1= 13 22， 故选：A 7 （5 分）已知函数() = 3( 2 + 2)，若对于任意的 xR，都有 f（x1）f（x）f（x2） 成立，则|x1x2|的最小值为（ ） A4 B1 C1 2 D2 【解答】解：函数() = 3( 2 + 2)，所以函数的周期 T= 2 2 = 4 对于任意的 xR，都有 f（x1）f（x）f（x2）成立，3f（x）3 则|x1x2|的最小值为 2 = 2 故
14、选：D 8 （5 分）已知函数() = (+) +1 （m0，nR）在（0，+）上不单调，若 mn 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A3，+） B4，+） C （，3 D （，4 【解答】解：f（x）= 1 (+1)(+) (+1)2 = 2+(+2)+1 (+1)2 函数() = (+) +1 （m0，nR）在（0，+）上不单调， 第 7 页（共 17 页） 函数 f（x）在（0，+）上存在极值点 x2+（mnm+2）x+10 有不相等的正的实数根 mmn20，（m2mn）240， 由0 化为： （mmn4） （1n）0， 40 1 0 ，或 40 1 0 ， 由 40 1 0 ，可得：
15、m 4 1 2 1，mn 4 1 ng（n） ， g（n）= (3)(1+) (1)2 ，可得：n1 时，函数 g（n）取得极小值即最小值，g（1） 33 由 40 1 0 ，可得：m 4 1 2 1，舍去 综上可得：3 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外的任一点，则“点 M 与点 A，B，C 共面”的充分条件的是（ ） A = 2 B = + C = + 1 2 + 1 3 D = 1 2 + 1 3 + 1 6 【解答】解： A.21101，因此点 M 与
16、点 A，B，C 不共面； B等式化为： = ，因此点 M 与点 A，B，C 共面 C.1+ 1 2 + 1 3 1，因此点 M 与点 A，B，C 不共面； D.1 2 + 1 3 + 1 6 =1，因此点 M 与点 A，B，C 共面 故选：BD 10 （5 分）某人参加一次测试，在备选的 10 道题中，他能答对其中的 5 道，现从备选的 10 题中随机抽出 3 题进行测试， 规定至少答对 2 题才算合格 则下列选项正确的是 （ ） A答对 0 题和答对 3 题的概率相同，都为1 8 第 8 页（共 17 页） B答对 1 题的概率为3 8 C答对 2 题的概率为 5 12 D合格的概率为1 2
17、 【解答】解：某人参加一次测试，在备选的 10 道题中，他能答对其中的 5 道， 现从备选的 10 题中随机抽出 3 题进行测试，规定至少答对 2 题才算合格 在 A 中，答对 0 题的概率为：P0= 5 3 10 3 = 1 12，答对 3 题的概率为：P3= 5 3 10 3 = 1 12， 对 0 题和答对 3 题的概率相同，都为 1 12，故 A 错误； 在 B 中，答对 1 题概率为 p1= 5 1 5 2 10 3 = 5 12，故 B 错误； 在 C 中，答对 2 题的概率为 p2= 5 2 5 1 10 3 = 5 12，故 C 正确； 在 D 中，合格的概率为 P= 5 2
18、5 1 10 3 + 5 3 10 3 = 1 2，故 D 正确 故选：CD 11 （5 分）如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为 （ ） AACBD BAC截面 PQMN CACBD D异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 【解答】解：因为截面 PQMN 是正方形，所以 PQMN、QMPN， 则 PQ平面 ACD、QM平面 BDA， 所以 PQAC，QMBD， 由 PQQM 可得 ACBD，故 A 正确； 由 PQAC 可得 AC截面 PQMN，故 B 正确； 第 9 页（共 17 页） 异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM
19、 所成的角，故 D 正确； 综上 C 是错误的 故选：ABD 12 （5 分）下列四个图形中可能是函数 yf（x）图象的是（ ） A B C D 【解答】解：AD都满足函数的定义， 在 B 中，当 x0 时有两个函数值与之对应，不满足函数对应的唯一性， 在 C 中，存在一个 x 有两个 y 与 x 对应，不满足函数对应的唯一性， 故选：AD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行江先生从 家到公交站或地铁站都要步行 5 分钟公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥
20、 堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N（33，42） ，下车后从公交站步行到单位要 12 分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N （44，22） ，下地铁后从地铁站步行到单位要 5 分钟下列说法：若 8：00 出门，则乘 坐公交不会迟到；若 8：02 出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；若 8：06 出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；若 8：12 出门，则乘坐地铁几乎不可能 上班不迟到从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是 参考数据：若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2 ）0.9544，P（3Z+3）0.9974
21、 【解答】解：设乘公交车所需时间为 X，乘地铁所需实际为 Y 对于，8：00 出门还是有可能会迟到，只是概率较小，故错； 第 10 页（共 17 页） 对于，P（X41）= 1 1(332833+24) 2 =0.9772P（Y48） 1 1(442244+22) 2 =0.9772 乘坐两种交通工具不迟到的概率一样， 故错； 对于，若 8：06 出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性为 P（X37） 1 1(33433+4) 2 =0.8413， 乘坐地铁不迟到的概率为 P （Y44） 0.50.8413 故 对； 对 于 ， 若 8 ： 12 出 门 ， 则 乘 坐 地 铁 上 班 迟 到 的
22、 概 率 为 P （ Y 38 ） = 1(443244+32) 2 =0.0013，故正确 故填： 14 （5 分）已知首项为 3 的正项数列an满足（an+1+an） （an+1an）3（an+1） （an1） ， 记数列*2( 2 1)+的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn440 成立的 n 的最小值为 21 【解答】解：依题意，由（an+1+an） （an+1an）3（an+1） （an1） ，可得 +1 2 = 4 2 3， 故+1 2 1 = 4 2 3 1 = 4 2 4 = 4( 2 1)， 令= 2 1，则 bn+14bn， 1= 1 2 1 = 8， 数列bn是以 8 为首
23、项，4 为公比的等比数列 = 1 41=822n 222n+1，nN* 2( 2 1) = 2= 222+1=2n+1， 数列*2( 2 1)+是以 3 为首项，2 为公差的等差数列 = (3+2+1) 2 =n2+2n， 令 n2+2n4400，即（n+22） （n20）0， 解得 n20 或 n22（舍去） ， 使得 Sn440 成立的 n 的最小值为 21 故答案为：21 15（5 分） 若 22x2ax+1对任意的 x0， 1成立， 则正实数 a 的取值范围为 (2，+ ) 【解答】解：22x2ax+1对任意的 x0，1成立， （2x1）lg2（x+1）lga， 4 (2)0， 第 1
24、1 页（共 17 页） 引入函数() = 4 (2)， 讨论：当 4 = 0时，a4，此时 f（x）lg8，满足题设； 当 4 0时，0a4，且 4 (2)0，24； 当 4 0时，a4，且0 4 (2)0，a4 综上，所求实数 a 的取值范围是(2，+ ) 16 （5 分）已知椭圆 E： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点为 F短轴的一个端点为 M，直 线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|+|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于4 5， 则椭圆 E 的离心率的取值范围是 (0， 3 2 【解答】解：如图所示， 设 F为椭圆的左焦点，连接 AF，BF，则四边
25、形 AFBF是平行四边形， 4|AF|+|BF|AF|+|AF|2a，a2 取 M（0，b） ，点 M 到直线 l 的距离不小于4 5， |4| 32+42 4 5，解得 b1 e= =1 2 2 1 1 22 = 3 2 椭圆 E 的离心率的取值范围是（0， 3 2 故答案为：(0， 3 2 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q（q0）的等比数 列，且 a1b12，a4+a525，a3b34 （）求数列an和bn的通项公式； 第 12 页（共 17 页） （）设 cnan+2，求数列c
26、n的前 n 项和 Sn 【解答】解： （）数列an是公差为 d 的等差数列，a12，a4+a525， a1+3d+a1+4d25，得 d3 an2+3（n1）3n1， a38 a3b34，3= 1 2 12= 1 2， b12，q0， = 1 2 = 2 (1 2) 1 = (1 2) 2； （）cnan+2，Sn是数列cn的前 n 项和， Snc1+c2+cna1+2+a2+2+an+2（a1+a2+an）+（2+2+2） = (2+31) 2 + 2 = 3 2 2 + 5 2 18（12分） 在锐角ABC中， 角A， B， C对应的边分别是 a， b， c， 且 cos2A+sin （3
27、 2 A） +10 （1）求角 A 的大小； （2）若ABC 的面积 S33，b3求 sinC 的值 【解答】解： （1）cos2A+sin（3 2 A）+10 cos2AcosA+10，可得：2cos2AcosA0，解得：cosA= 1 2，或 cosA0， ABC 为锐角三角形， cosA= 1 2， 可得：A= 3 （2）SABC= 1 2bcsinA= 1 2bc 3 2 =33，可得：bc12， 又 b3，可得：c4， 在ABC 中，由余弦定理可知，a2b2+c22bccosA16+9234 1 2 =251213， a= 13， 在ABC 中，由正弦定理可知： = ，可得：sinC
28、= = 43 2 13 = 239 13 第 13 页（共 17 页） 19 （12 分）已知圆 C： （x+1）2+y28，定点 A（1，0） ，M 为圆上一动点，线段 MA 的垂 直平分线交 MC 于点 N，设点 N 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 方程； （2）若经过 F（0，2）的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 G，H（点 G 在点 F，H 之间） ， 且满足 = 3 5 ，求直线 l 的方程 【解答】解： （1）设点 N 的坐标为（x，y） ， NP 是线段 AM 的垂直平分线， 又点 N 在 CM 上，圆 C： （x+1）2+y28，半径是 r22， 丨 NC 丨r丨 NM
29、 丨， 丨 NC 丨+丨 NM 丨r22丨 AC 丨， 点 N 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为： 2 2 + 2 2 = 1（ab0） ， 2a22，即 a= 2，c1， 由 b2a2c21， 椭圆的方程为： 2 2 + 2= 1， 曲线 E 方程： 2 2 + 2= 1； （2）设 G（x1，y1） ，H（x2，y2） ， 当直线 GH 斜率存在时，设直线 GH 的斜率为 k 则直线 GH 的方程为：ykx+2， = + 2 2 2 + 2= 1，整理得： （ 1 2 +k2）x2+4kx+30， 由0，解得：k2 3 2， 第 14 页（共 17 页） x1+x2= 4
30、 1 2+ 2，x1x2= 3 1 2+ 2， 又 =（x1，y12） ， =（x2，y22） ， = 3 5 ， x1= 3 5x2， 整理得：3 5 （ 5 1+22） 2=6 1+22，即 k 223 2， 解得：k2， 直线 l 的方程为：y2x+2， 当直线 GH 斜率不存在时，直线的 l 方程为 x0， = 1 3 与 = 3 5 矛盾， 故直线 GH 斜率不存在时，直线方程不成立， 直线 l 的方程为：y2x+2 20 （12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上， BEEC1 （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若
31、AEA1E，求二面角 BECC1的正弦值 【解答】证明： （1）长方体 ABCDA1B1C1D1中，B1C1平面 ABA1B1， B1C1BE，BEEC1， BE平面 EB1C1 解： （2）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AEA1E1，BE平面 EB1C1，BEEB1，AB1， 第 15 页（共 17 页） 则 E（1，1，1） ，A（1，1，0） ，B1（0，1，2） ，C1（0，0，2） ，C（0，0，0） ， BCEB1，EB1面 EBC， 故取平面 EBC 的法向量为 = 1 =（1，0，1） ， 设平面 ECC1 的法向量 =（x，y，z） ， 由 1 =
32、0 = 0 ，得 = 0 + + = 0，取 x1，得 =（1，1，0） ， cos ， = | |= 1 2， 二面角 BECC1的正弦值为 3 2 21 （12 分） 从编号为 1， 2， 3， 4， ， 10 的 10 个大小、 形状相同的小球中， 任取 5 个球 如 果某两个球的编号相邻，则称这两个球为一组“好球” （1）求任取的 5 个球中至少有一组“好球”的概率； （2）在任取的 5 个球中，记“好球”的组数为 X，求随机变量 X 的概率分布列和均值 E （X） 【解答】解： （1）从 10 个球中任取 5 个球共有10 5 = 252种取法， 设事件 A 表示“至少有一组好球”
33、，则表示“5 个球不相邻” ， P（）= 6 5 10 5 = 1 42， 任取的 5 个球中至少有一组“好球”的概率为 P（A）1P（）1 1 42 = 41 42 （2）依题意，X 的可能取值为 0，1，2，3，4， 第 16 页（共 17 页） P（X0）= 6 5 10 5 = 1 42， P（X1）= 6 1 5 2 10 5 = 5 21， P（X2）= 6 2 4 1 10 5 + 6 1 5 2 10 5 = 10 21， P（X3）= 6 2+ 6 2 10 5 = 5 21， P（X4）= 6 1 10 5 = 1 42， X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1
34、42 5 21 10 21 5 21 1 42 EX= 0 1 42 + 1 5 21 + 2 10 21 + 3 5 21 + 4 1 42 =2 22 （12 分）已知函数() = + 1 2( ) （）当 a2 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程： （）若 f（x）在区间1，2上单调递增，求 a 的取值范围； （）求 f（x）在1，e上的最小值 【解答】解： （）当 a2 时，() = 2 + 1 2，(1) = 1 2，() = 2 1 22， (1) = 3 2， 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 1 2 = 3 2( 1)， 即 3x2y2
35、0 （）() = 21 22 ，f（x）在区间1，2上是单调递增函数， f（x）0 在 x1，2上恒成立， 只需2 1 0 4 1 0，解得 1 2， 所以，当 1 2时，f（x）在区间1，2上是单调递增函数 （）() = 21 22 ， 当 a0 时，f（x）0 在 x1，e上恒成立， f（x）在区间1，e上是单调递减函数， 第 17 页（共 17 页） ()= () = + 1 2 当0 1 2时， 1 2 ，f（x）0 在 x1，e上恒成立， f（x）在区间1，e上是单调递减函数， ()= () = + 1 2 当 1 2 1 2时，1 1 2， 令 f（x）0，解得1 1 2， 令 f（x）0，解得 1 2 ， f（x）在区间(1， 1 2)上单调递减函数，在区间( 1 2，)上单调递增函数， ()= ( 1 2) = (1 2) 当 1 2时，f（x）0 在 x1，e上恒成立， f（x）在区间1，e上是单调递增函数， ()= (1) = 1 2 综上，()= + 1 2 1 2 (1 2) 1 2 1 2 1 2 1 2
