1、 第 1 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（13） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x+1）0，Bx| 1 2 1，则BA（ ） A （1，0 B （1，0） C （，1 D （，0 2 （5 分）在复平面内，复数 5 1+2对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）一条渔船以 6km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 2km/h， 则这条渔船实际航行的速度大小为（ ） A210km/h B42km/h
2、 C23km/h D3km/h 4 （5 分）已知函数( + 1) = + 2，则（ ） Af（x）x2+2x+1 Bf（x）x22x+3（x1） Cf（x）x22x+1 Df（x）x2+2x+3（x1） 5 （5 分）现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖有人走访了四人， 甲说： “乙、丁都未获奖” ，乙说： “是甲或丙获奖” ，丙说： “是甲获奖” ，丁说： “是乙获 奖” ，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 6 （5 分）已知点 M（4，2） ，抛物线 x24y，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线， P 为抛物线上一点，过 P 做
3、PQl，点 Q 为垂足，过 P 作抛物线的切线 l1，l1与 l 交于点 R，则|QR|+|MR|的最小值为（ ） A1 + 25 B25 C17 D5 7 （5 分）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机 取出 2 只，则恰有 1 只测量过该指标的概率为（ ） A2 3 B3 5 C2 5 D1 5 8 （5 分）已知三次函数() = 3 3 + 2 32 + (0）有两个零点，若方程 ff（x） 0 有四个实数根，则实数 a 的范围为（ ） A(0， 6 8 ) B(0， 32 8 ) C( 6 8 ，+ ) D( 6 8 ， 32 8 ) 二多
4、选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）药理学中有如下内容： 第 2 页（共 20 页） （1）半数致死量（LD50）表示在规定时间内，通过指定感染途径，使一定体重或年龄 的某种动物半数死亡所需最小细菌数或毒素量 （2）半数有效量（ED50）在量反应中是指能引起 50%最大反应强度的药物剂量；在质 反应中是指能引起 50%实验动物出现阳性反应的药物剂量 （3） 治疗指数 （TI） 为药物的安全性指标 通常将半数致死量 （LD50） 与半数有效量 （ED50） 的比值称为治疗指数 基于以上内容，下列说法正确的是（ ） ALD50 越
5、小，药物毒性越大 BTI 越小，药物安全度越高 C同一药物的 LD50 与 ED50 的比值越大，药物安全度越低 D同一药物的 LD50 与 ED50 的比值越大，药物安全度越高 10 （5 分）下列命题中正确的是（ ） A函数 = (1 2) 2在区间（0，1）上有且只有 1 个零点 B若函数 f（x）x2+ax+b，则(1+2 2 ) (1)+(2) 2 C如果函数 = + 1 在a，b上单调递增，那么它在b，a上单调递减 D若函数 yf（x）的图象关于点（a，b）对称，则函数 yf（x+a）b 为奇函数 11 （5 分） 已知 a， b 为两条不同直线， ， ， 为三个不同平面， 下列说
6、法正确的有 （ ） A若 ，则 B若 a，b，则 ab C若 a，b，ab，则 D若 a，ab，则 b 12 （5 分）函数 f（x）Asin（x+）的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 f（x）的 图象交于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（ ） A函数 f（x）的最小正周期是 2 B函数 f（x）的图象关于点（4 3 ，0）成中心对称 第 3 页（共 20 页） C函数 f（x）在（ 5 12 ， 6）单调递增 D 函数 f （x） 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 再向右平移 3后关 于 y 轴对称 三填空题（共三填空题（共 4
7、小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 sin（+ 6）= 1 3，（0，） ，则 cos（2 2 3 ） 14 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为 半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若|MN|b，则 C 的离心率 为 15 （5 分）已知非零向量 ， 满足| |4| |，且（ 2 ） ，则 与 的夹角为 16 （5 分）已知正四棱锥的底面边长为 4cm，侧面积为 24cm2，则该四棱锥的体积是 cm3 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满
8、分 70 分）分） 17（10 分） 数列an中， 1= 1 2， = 2+1 (1 2) （nN*） ， 数列bn满足= 2 （nN*） （）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式； （）设= 2 ，求数列* 2 +2+的前 n 项和 Tn 18（12 分） 如图所示， 在ABC 中， 已知点 D 在边 BC 上， 且 = 0， cosDAB= 22 3 ， AB 32 （1）若 BC43，求 sinC 的值； （2）若 AC= 2，求 BC 边上的中线 AE 的长 19 （12 分）已知矩形 ABCD 中，AB2，AD3，在 AD 上取一点 E 满足 2AEED现将 CDE 沿
9、CE 折起使点 D 移动至 P 点处，使得 PAPB （1）求证：平面 PCE平面 ABCE； （2）求二面角 BPAE 的余弦值 第 4 页（共 20 页） 20 （12 分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国” ，提升全民文化修养，引领学生“读 经典，用经典” ，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目工作人员在前期的数据 采集中，在某高中学校随机抽取了 120 名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例 为 3：2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是 7：5，女生中喜欢阅读中国 古典文学和不喜欢的比例是 5：3 （1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有 95%的把握认为喜欢阅
10、读中国古典文学与 性别有关系？ 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文 学 不喜欢阅读中国古典 文学 总计 （2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文学 阅读交流实验人员已经从所调查的 120 人中筛选出 4 名男生和 3 名女生共 7 人作为代 表，这 7 个代表中有 2 名男生代表和 2 名女生代表喜欢中国古典文学现从这 7 名代表 中任选 3 名男生代表和 2 名女生代表参加座谈会，记 为参加会议的 5 人中喜欢古典文 学的人数，求 的分布列及数学期望 E（） 附表及公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)， = + + + P（K2k0） 0.05
11、0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分）已知 m 为实常数命题 p：x（1，2） ，x2+xm0；命题 q：函数 f（x） lnxmx 在区间1，2上是单调递增函数 第 5 页（共 20 页） （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题“p 或 q”为真命题，命题“p 且 q”为假命题，求实数 m 的取值范围 22 （12 分）已知函数 f（x）alnxx，且函数 f（x）在 x1 处取到极值 （1）求曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数() = (
12、)2 ()+ (01)，且函数 g（x）有 3 个极值点 x1，x2，x3（x1x2 x3） ，证明：ln（1+3 2 ） 1 2 第 6 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（13） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x+1）0，Bx| 1 2 1，则BA（ ） A （1，0 B （1，0） C （，1 D （，0 【解答】解：Ax|1x0，Bx|x0， BA（，1 故选：C 2 （5 分）在复平面内，复数 5 1+2对应的点
13、位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： 5 1+2 = 5(12) (1+2)(12) = 2 + ， 在复平面内，复数 5 1+2对应的点的坐标为（2，1） ，位于第一象限 故选：A 3 （5 分）一条渔船以 6km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 2km/h， 则这条渔船实际航行的速度大小为（ ） A210km/h B42km/h C23km/h D3km/h 【解答】解：如图所示， 渔船实际航行的速度为 = 船 + 水 ； 大小为 | |船 + 水 | = 62+22 210km/h 故选：A 第 7 页（共 20 页） 4 （5 分
14、）已知函数( + 1) = + 2，则（ ） Af（x）x2+2x+1 Bf（x）x22x+3（x1） Cf（x）x22x+1 Df（x）x2+2x+3（x1） 【解答】解：设 = + 1( 1)，则 x（t1）2t22t+1， 因为( + 1) = + 2， 所以 f（t）t22t+3， 即 f（x）x22x+3（x1） 故选：B 5 （5 分）现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖有人走访了四人， 甲说： “乙、丁都未获奖” ，乙说： “是甲或丙获奖” ，丙说： “是甲获奖” ，丁说： “是乙获 奖” ，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁
15、【解答】解：若甲获奖，则乙，丙说的是真话，与题意矛盾； 若乙获奖，则丁说的是真话， 若丙获奖，则甲，乙说的是真话，与题意矛盾； 若丁获奖，则四人都是假话，与题意矛盾； 故选：B 6 （5 分）已知点 M（4，2） ，抛物线 x24y，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线， P 为抛物线上一点，过 P 做 PQl，点 Q 为垂足，过 P 作抛物线的切线 l1，l1与 l 交于点 R，则|QR|+|MR|的最小值为（ ） A1 + 25 B25 C17 D5 【解答】 解： 设 P （m， 2 4 ） ， 则过 P 的切线的斜率为： k= 2， Q （m， 1） ， kPQ= 2 ， kPQk
16、1， 根据抛物线的定义，|PF|PQ| l1为 FQ 的垂直平分线，|RF|RQ|， 第 8 页（共 20 页） |QR|+|MR|的最小值为|MF|= (4 0)2+ (2 1)2=5， 故选：D 7 （5 分）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机 取出 2 只，则恰有 1 只测量过该指标的概率为（ ） A2 3 B3 5 C2 5 D1 5 【解答】解：设其中做过测试的 3 只兔子为 a，b，c，剩余的 2 只为 A，B， 则从这 5 只兔子中任取 2 只的所有取法有： a，b，a，c，a，A，a，B， b，c，b，B，b，A， c，A，c，B
17、， A，B，共 10 种， 其中恰有 1 只做过测试的取法有 6 种， 所以恰有 1 只做过测试的概率为 p 6 10 = 3 5， 故选：B 8 （5 分）已知三次函数() = 3 3 + 2 32 + (0）有两个零点，若方程 ff（x） 0 有四个实数根，则实数 a 的范围为（ ） A(0， 6 8 ) B(0， 32 8 ) C( 6 8 ，+ ) D( 6 8 ， 32 8 ) 【解答】解：三次函数() = 3 3 + 2 32 + (0）有两个零点，且由 f（x） x2+2ax3a20 得 xa 或3a 故必有() = 0 (3)0 或(3) = 0 ()0 又若方程 ff（x）0
18、 有四个实数根，则 f（x）a 或 f（x）3a 共有四个根 第 9 页（共 20 页） 当前一组混合组成立时 = 5 3 3，做出图象（图）可知， 只需 0af（3a）即可，即93+ 93+ 93+ 5 3 3，解得 6 8 ； 当后一组混合组成立时 b9a3，做出图象（图）可知 图 只需 f（a）3a0 即可，即 3 3 + 3 33 93 3， 解得 32 8 取的并集可知，当 6 8 时 方程 ff（x）0 有四个根 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）药理学中有如下内容： 第 10 页（共 20 页）
19、（1）半数致死量（LD50）表示在规定时间内，通过指定感染途径，使一定体重或年龄 的某种动物半数死亡所需最小细菌数或毒素量 （2）半数有效量（ED50）在量反应中是指能引起 50%最大反应强度的药物剂量；在质 反应中是指能引起 50%实验动物出现阳性反应的药物剂量 （3） 治疗指数 （TI） 为药物的安全性指标 通常将半数致死量 （LD50） 与半数有效量 （ED50） 的比值称为治疗指数 基于以上内容，下列说法正确的是（ ） ALD50 越小，药物毒性越大 BTI 越小，药物安全度越高 C同一药物的 LD50 与 ED50 的比值越大，药物安全度越低 D同一药物的 LD50 与 ED50 的
20、比值越大，药物安全度越高 【解答】解：根据题目提供的药理学内容可以判断，LD50 越小，毒性越大， 同一药物的 LD50 与 ED50 的比值越大，药物安全性度越高 故选：AD 10 （5 分）下列命题中正确的是（ ） A函数 = (1 2) 2在区间（0，1）上有且只有 1 个零点 B若函数 f（x）x2+ax+b，则(1+2 2 ) (1)+(2) 2 C如果函数 = + 1 在a，b上单调递增，那么它在b，a上单调递减 D若函数 yf（x）的图象关于点（a，b）对称，则函数 yf（x+a）b 为奇函数 【解答】解：对 A，作出函数 y（1 2） x 和 yx2的图象，由图可知，它们在（0
21、，1）上 有且只有 1 个交点，所以 A 正确； 对 B，作出函数 f（x）x2+ax+b 的图象，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由图可知， 第 11 页（共 20 页） 点 D（1+2 2 ，(1)+(2) 2 ）总在点 C（1+2 2 ，(1+2 2 )）的上方，所以 f（1+2 2 ） (1)+(2) 2 ，所以 B 正确； 对 C，因为函数 yx+ 1 为奇函数，所以函数 yx+ 1 在a，b上单调递增，在b，a 上也单调递增，所以 C 错误； 对 D，根据函数 yf（x）的图象关于点（a，b）对称，所以 f（x+a）+f（ax）2b， 于是 f（x+a）b+f（ax）b
22、0， 所以函数 yf（x+a）b 为奇函数 故选：ABD 11 （5 分） 已知 a， b 为两条不同直线， ， ， 为三个不同平面， 下列说法正确的有 （ ） A若 ，则 B若 a，b，则 ab C若 a，b，ab，则 D若 a，ab，则 b 【解答】解：a，b 为两条不同直线， 为三个不同平面， A，则 或相交，因此不正确； Ba，b，则 ab，因此正确； Ca，b，ab，则 ，正确； Da，ab，则 b，或 b因此不正确 故选：BC 12 （5 分）函数 f（x）Asin（x+）的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 f（x）的 图象交于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法
23、中正确的是（ ） 第 12 页（共 20 页） A函数 f（x）的最小正周期是 2 B函数 f（x）的图象关于点（4 3 ，0）成中心对称 C函数 f（x）在（ 5 12 ， 6）单调递增 D 函数 f （x） 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 再向右平移 3后关 于 y 轴对称 【解答】解：由对称性得 C（ 3，0） 2 = 3 ( 6) = 2， T，= 2 =2； 函数 yf（x）对称中心为（ 6 + 2 ，0） （kZ） ， 所以 f（x） 的图象关于点（4 3 ，0）对称； f（x）Asin（2x+ 3）由 x（ 5 12， 6） ，得 2x+ 3（ 2
24、，0） ，所以函数 yf（x）在 （ 5 12， 6）上单调递增， 函数 yf（x）图象上所有点横坐标扩大到原来 2 倍得 yAsin（x+ 3） ，再向右平移 3得 g （x）Asinx，明显 g（x）不关于 y 轴对称， 综上选 BC 故选：BC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 sin（+ 6）= 1 3，（0，） ，则 cos（2 2 3 ） 7 9 【解答】解：因为 cos（ 3）cos（+ 6 2）sin（+ 6）= 1 3， 所以 cos（2 2 3 ）2cos2（ 3）12 ( 1 3) 2 1=
25、7 9 故答案为： 7 9 第 13 页（共 20 页） 14 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为 半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若|MN|b，则 C 的离心率 为 23 3 【解答】解：右顶点为 A（a，0） ，一条渐近线方程为 bxay0， 圆的圆心为（a，0） ，半径为 b， 设 A 到渐近线的距离为 d， 可得 22 2=b，解得 d= 3 2 b， 由 d= 2+2 = 3 2 b， 化简可得 a23b2， 可得 e= =1 + 2 2 = 23 3 故答案为：23 3 15 （5
26、 分）已知非零向量 ， 满足| |4| |，且（ 2 ） ，则 与 的夹角为 3 【解答】解：由非零向量 ， 满足| |4| |，且（ 2 ） ， 所以 （ 2 ）= 2 2 =0， 求得 =2 2 ， 所以 与 的夹角的余弦值为 cos | | | = 2| |2 4| | | = 1 2， 又 0， 所以与的夹角为 3 故答案为： 3 16 （5 分）已知正四棱锥的底面边长为 4cm，侧面积为 24cm2，则该四棱锥的体积是 165 3 cm3 【解答】解：正四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 边长为 4cm，侧面积为 24cm2， 第 14 页（共 20 页） 侧面斜高 SE= 1 4
27、 24 1 24 =3， 设高为 SO，则 OE2，SO= 2 2= 9 4 = 5， 该四棱锥的体积是 V= 1 3 正方形 = 1 3 16 5 = 165 3 故答案为：165 3 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17（10 分） 数列an中， 1= 1 2， = 2+1 (1 2) （nN*） ， 数列bn满足= 2 （nN*） （）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式； （）设= 2 ，求数列* 2 +2+的前 n 项和 Tn 【解答】解： （）证明：由= 2+1 (1 2) ，即2 = 2+1+1 1 而= 2，bnbn+11，即 b
28、n+1bn1 又 b12a11，数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列， 于是= 1 + ( 1) 1 = = 2，= 2； （）= 2 = 22= ， 2 +2 = 2 (+2) = 1 1 +2， = (1 1 3) + ( 1 2 1 4) + ( 1 3 1 5) + + ( 1 1 1 +1) + ( 1 1 +2) = 1 + 1 2 1 +1 1 +2 = 3 2 1 +1 1 +2 18（12 分） 如图所示， 在ABC 中， 已知点 D 在边 BC 上， 且 = 0， cosDAB= 22 3 ， AB 32 （1）若 BC43，求 sinC 的值； （2）若 AC= 2，
29、求 BC 边上的中线 AE 的长 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）由条件可得 sinBACsin（90+DAB）cosDAB= 22 3 ， 在ABC 中， 32 = 43 22 3 ，则 sinC= 3 3 （2）由（1）sinBAC= 22 3 ， BAC 为钝角， cosBAC= 1 3， 由 = 1 2（ + ） ，可得（ ）2= 1 4（ + ）2， 又 AC= 2，AB32， （ ）2= 1 4（| |2+| |2+2| | |cosBAC）= 1 418+2+232 2 （ 1 3） 4， AE2 19 （12 分）已知矩形 ABCD 中，AB2，AD3，在 A
30、D 上取一点 E 满足 2AEED现将 CDE 沿 CE 折起使点 D 移动至 P 点处，使得 PAPB （1）求证：平面 PCE平面 ABCE； （2）求二面角 BPAE 的余弦值 【解答】解： （1）证明：依题意可得：PEPC2， 分别取线段 AB，CE 的中点 O，M，连接POM 的三边， 则 POAB，PMCE，而 OM 为梯形 ABCE 的中位线， 有 OMBC，BCABOMAB， 第 16 页（共 20 页） 且 POOMO，故：AB平面 POM， ABPM，且 AB 不与 CE 平行， 综上所述，PM平面 ABCE， PM平面 PCE，平面 PCE平面 ABCE （2）解：过点
31、O 作与 PM 平行线作 z 轴，分别以 OA，OM 为 x，y 轴建立空间直角坐标 系 则 A（1，0，0） ，B（1，0，0） ，E（1，1，0） ，(0，2，2)， = (1， 2， 2)， = (2，0，0)， = (0，1，0)， 设向量 = (，) 平面，则有 2 2 = 0 2 = 0 ， 令 y1，得： = (0，1， 2)， 同理：平面 PAE 的法向量 = (2，0，1)，得 ， = 2 3 ， 故二面角 BPAE 的余弦值为 2 3 20 （12 分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国” ，提升全民文化修养，引领学生“读 经典，用经典” ，某广播电视台计划推出一档“阅读经
32、典”节目工作人员在前期的数据 采集中，在某高中学校随机抽取了 120 名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例 为 3：2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是 7：5，女生中喜欢阅读中国 古典文学和不喜欢的比例是 5：3 （1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与 性别有关系？ 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文 学 不喜欢阅读中国古典 第 17 页（共 20 页） 文学 总计 （2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文学 阅读交流实验人员已经从所调查的 120 人中筛选出 4 名男生和 3 名女生共 7
33、人作为代 表，这 7 个代表中有 2 名男生代表和 2 名女生代表喜欢中国古典文学现从这 7 名代表 中任选 3 名男生代表和 2 名女生代表参加座谈会，记 为参加会议的 5 人中喜欢古典文 学的人数，求 的分布列及数学期望 E（） 附表及公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)， = + + + P（K2k0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）补充完整的 22 列联表如下所示， 男生 女生 合计 喜欢阅 读中国古 典文学 42 30 72 不喜欢 阅读中国 古典文学 30 1
34、8 48 合计 72 48 120 所以2= 120(42183030)2 72487248 = 0.2083.841， 所以没有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系 （2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为 m，女生中喜欢古典文学的人数 为 n， 则 m+n，且 的可能取值为 2，3，4， P（2）P（m1，n1）= 2 1 2 2 2 1 1 1 4 3 3 2 = 1 3， P（3）P（m2，n1）+P（m1，n2）= 2 2 2 1 2 1 1 1 4 3 3 2 + 2 1 2 2 2 2 4 3 3 2 = 1 2， P（4）P（m2，n2）= 2 2 2
35、1 2 2 4 3 3 2 = 1 6， 第 18 页（共 20 页） 所以 的分布列为 2 3 4 P 1 3 1 2 1 6 则 E（）= 2 1 3 + 3 1 2 + 4 1 6 = 17 6 21 （12 分）已知 m 为实常数命题 p：x（1，2） ，x2+xm0；命题 q：函数 f（x） lnxmx 在区间1，2上是单调递增函数 （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题“p 或 q”为真命题，命题“p 且 q”为假命题，求实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）命题 p：x（1，2） ，x2+xm0， p 真，可得 mx2+x 在 x（1，2）有解，
36、由 yx2+x 在 x（1，2）递增，可得 x2+x 的值域为（2，6） ， 则 2m6，可得 m 的范围是（2，6） ； （2）命题 q：函数 f（x）lnxmx 在区间1，2上是单调递增函数， q 真，可得 f（x）= 1 m0 在1，2恒成立， 即有 m 1 在1，2恒成立，由 1 1 2，1，可得 m 1 2， 命题“p 或 q”为真命题，命题“p 且 q”为假命题， 可得 p，q 中一真一假， 若 p 真 q 假，可得 26 1 2 ，解得 2m6； 若 p 假 q 真，可得 6或 2 1 2 ，解得 m 1 2 综上可得，m 的范围是（，1 2（2，6） 22 （12 分）已知函数
37、 f（x）alnxx，且函数 f（x）在 x1 处取到极值 （1）求曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数() = ()2 ()+ (01)，且函数 g（x）有 3 个极值点 x1，x2，x3（x1x2 x3） ，证明：ln（1+3 2 ） 1 2 【解答】解： （1）f（x）alnxx，f（x）= 1， 第 19 页（共 20 页） 函数 f（x）在 x1 处取到极值，f（1）a10，即 a1 则 f（x）lnxx，f（1）1， 曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 y1； （2）g（x）= ()2 ()+ = ()2 + = ()2 （0m1） ，
38、函数的定义域为（0，+）且 x1， g（x）= 2()()21 2 = ()(2+ 1) 2 ， 令 h（x）2lnx+ 1， h（x）= 2 2 ，h（x）在（0， 2 ）上单调递减，在（ 2 ，+）上单调递增； h（1）m10，h（2）2ln2+ 2 1ln4 + 2 0， h（x）在（1，2）内存在零点， 设 h（x0）0，x0m， 当 g（x）0 时，即 0xm，或 xx0，函数单调递增， 当 g（x）0 时，即 mxx0，函数单调递减， 当 xm 时，函数有极大值， 当 0m1 时，xm 是 f（x）极大值点； h（ 2 ）是 h（x）的最小值； g（x）有三个极值点 x1x2x3，
39、 h（ 2 ）2ln 2 +10，得 m 2 m 的取值范围为（0， 2 ） ， 当 0m 2 时，h（m）2lnm0，h（1）m10， x2m； 即 x1，x3是函数 h（x）的两个零点 21+ 1 1 = 0 22+ 2 1 = 0 ，消去 m 得 2x1lnx1x12x3lnx3x3； 令 （x）2xlnxx，（x）2lnx+1，（x）的零点为 x= 1 ，且 x1 1 x3 （x）在（0， 1 ）上递减，在（ 1 ，+）上递增 第 20 页（共 20 页） 要证明ln （1+3 2 ） 1 2， 即证x1+x3 2 ， 等价于证明x3 2 x1， 即 （x3） （ 2 x1） （x1）（x3） ，即证 （x1）（ 2 x1） 构造函数 F（x）（x）（ 2 x） ，则 F（ 1 ）0； 只要证明在（0， 1 上 F（x）单调递减， 函数 （x）在（0， 1 单调递减； x 增大时， 1 x 减小，（ 1 x）增大，（ 1 x）减小， （ 1 x）在（0， 1 上是减函数 （x）（ 2 x）在（0， 1 上是减函数 当 0a 2 时，x1+x3 2 即 ln（1+3 2 ） 1 2
