1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（19） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 2 （5 分）若（4mi） （m+i）0，其中 i 为虚数单位，则实数 m 的值为（ ） A2 B4 C4 D2 3 （5 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 4 （5 分）我国南宋
2、数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释 二项展开式的系数规律，去掉所有为 1 的项，依次构成 2，3，3，4，6，4，5，10，10， 5，6，则此数列的前 50 项和为（ ） A2025 B3052 C3053 D3049 5 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 6 （5 分）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷 2020 次，那么抛掷第 2019 次时出现正面向上 的概率是（ ） A 1 2019 B1 2 C 1 2020 D2019 2020 7 （5 分）过点 P（5，3）作圆 O： （x2）2+（y1）
3、225 的切线 l，直线 m：3xay 20 与直线 l 平行，则直线 l 与 m 的距离为（ ） A1 B2 C5 D29 5 8 （5 分）已知函数 f（x）= (1 3) + 2(0) ( 3)2+ 2( 0) ，在（，+）上是减函数，则实 数 a 的取值范围为（ ） 第 2 页（共 18 页） A （2，3） B1，3） C （1，3） D1，3 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有 50 名学生，在一次数学模拟考试中，三 个班的学生成绩的各分数段累计人数折线图如图所示根据图中的成
4、绩信息，下列结论中 正确的是（ ） A三个班的成绩的中位数，乙班最高，丙班最低 B三个班的平均成绩，丙班最低 C三个班中成绩在 60 分以下的人数，丙班最多；80 分以上的人数，乙班最多 D模拟考试的最高分出现在乙班 10 （5 分） 已知双曲线 C 过点 （3， 2） 且渐近线为 y 3 3 x， 则下列结论正确的是 （ ） AC 的方程为 2 3 y21 BC 的离心率为3 C曲线 yex 21 经过 C 的一个焦点 D直线 x2 10 与 C 有两个公共点 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是对角线 AC1上一动点，在点 P 从 顶点 A 移动到顶点 C
5、1的过程中，下列结论中正确的有（ ） 第 3 页（共 18 页） A二面角 PA1DB1的取值范围是0， 2 B直线 AC1与平面 A1DP 所成的角逐渐增大 C存在一个位置，使得 AC1平面 A1DP D存在一个位置，使得平面 A1DP平面 B1CD1 12 （5 分）设点 P 是曲线 yex3x+ 2 3上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围包含下列哪些（ ） A2 3 ，） B 2， 5 6 ） C0， 2） D0， 2） 5 6 ，） 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知( 3) = 1
6、3，则(2 + 3) + 2( 3 )的值为 14 （5 分）若 x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，则1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，BAC90， = = 22，PA2，PACPAB，则当球 O 的表面积最小时，三棱锥 PABC 的体积为 16（5 分） 已知 F 是抛物线 C： y24x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N， 若 M 为 FN 的中点，则|FN| 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）
7、17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ca（cosBsinB） （）求 A； （）已知 c= 10，BC 边上的高 AD1，求 b 的值 18 （12 分）设等比数列an的首项为 a，公比 q0 且 q1，前 n 项和为 Sn 第 4 页（共 18 页） （）当 a1 时，S1+1，S2+2，S3+1 三数成等差数列，求数列an的通项公式； （）对任意正整数 n，命题甲：Sn， （Sn+1+1） ，Sn+2三数构成等差数列 命题乙：Sn+1， （Sn+2+1） ，Sn+3三数构成等差数列求证：对于同一个正整数 n，命题甲与命题乙不能 同时为真命题 1
8、9 （12 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1，点 O 为棱 AB 的中点 （）求证：BC1平面 A1CO； （） 若ABC 是等边三角形， 且 ABAA1，A1AB60， 平面 AA1B1B平面 ABC， 求二面角 AA1CB 的余弦值 20 （12 分）为了了解某班学生喜好喝奶茶是否与性别有关，得到 22 列联表，其中数据 不完整 喜好喝奶茶 不喜好喝奶茶 合计 男生 10 20 女生 5 合计 50 （1）请将列联表补充完整； （2）能否有 99.5%的把握认为该班学生喜好喝奶茶与性别有关？说明你的理由 21 （12 分）函数 f（x）= 1 2x 2+（al）xxlnx， （1）若 f
9、（x）在定义域内为单调递增函数，求 a 的取值范围； （2）当 a3 时，关于 x 的方程 f（x）+b0 在区间（1，e上有且只有一实数根，求 b 的取值范围 22 （12 分）已知椭圆： 2 4 + 2= 1，其左右顶点分别为 A，B，上下顶点分别为 C，D圆 O 是以线段 AB 为直径的圆 第 5 页（共 18 页） （1）求圆 O 的方程； （2）若点 E，F 是椭圆上关于 y 轴对称的两个不同的点，直线 CE，DF 分别交 x 轴于点 M、N，求证： 为定值； （3）若点 P 是椭圆上不同于点 A 的点，直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q是否存在 点 P，使得 = 1 3 ？若
10、存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由 第 6 页（共 18 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（19） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4， 所以 AB1，2，3， 故选：A 2 （5 分）若（4mi） （m+i）0，其中 i 为虚数单位，则实数 m 的值为（ ） A2 B
11、4 C4 D2 【解答】解：（4mi） （m+i）5m+（4m2）i0， 0 4 2= 0 ，即 m2 故选：D 3 （5 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【解答】 解： 若 cos2= 1 3， 则 cos212sin 2， sin= 3 3 ， 则 cos2= 1 3” 是 “sin= 3 3 ” 的 不充分条件； 若 sin= 3 3 ，则 cos212sin2，cos2= 1 3，则 cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的必要条 件； 综上所述： “cos2= 1
12、3”是“sin= 3 3 ”的必要不充分条件 故选：B 4 （5 分）我国南宋数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释 二项展开式的系数规律，去掉所有为 1 的项，依次构成 2，3，3，4，6，4，5，10，10， 5，6，则此数列的前 50 项和为（ ） 第 7 页（共 18 页） A2025 B3052 C3053 D3049 【解答】 解： 2+ （3+3） + （4+6+4） + （11+11 2 + 11 3 + 11 4 + 11 5 ） 222+232+ +2102+ 1 2(2 11 2) = 4(291) 21 18+21013049 数列 2，3，3，4，
13、6，4，5，10，10，5，6，则此数列的前 50 项和为 3049 故选：D 5 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 【解答】解：| | = | | = 1， ， = 2 3 ， ( )2= 2 2 + 2 = 1 2 1 1 ( 1 2) + 1 =3， | | = 3 故选：D 6 （5 分）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷 2020 次，那么抛掷第 2019 次时出现正面向上 的概率是（ ） A 1 2019 B1 2 C 1 2020 D2019 2020 【解答】解：掷一枚均匀的硬币，每次正面向上的概率都是1 2， 连
14、续抛掷 2020 次，那么抛掷第 2019 次时出现正面向上的概率是1 2 故选：B 7 （5 分）过点 P（5，3）作圆 O： （x2）2+（y1）225 的切线 l，直线 m：3xay 20 与直线 l 平行，则直线 l 与 m 的距离为（ ） A1 B2 C5 D29 5 【解答】解：点 P（5，3）在圆 O： （x2）2+（y1）225 上， 第 8 页（共 18 页） 过点 P（5，3）圆 O： （x2）2+（y1）225 切线 l 方程为： （52） （x2）+（ 31） （y1）25，即 3x4y270， 直线 m：3xay20 与直线 l 平行，a4，直线 m 方程为：3x4y
15、20， 直线 l 与 m 的距离为： |27+2| 32+(4)2 =5， 故选：C 8 （5 分）已知函数 f（x）= (1 3) + 2(0) ( 3)2+ 2( 0) ，在（，+）上是减函数，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （2，3） B1，3） C （1，3） D1，3 【解答】解：f（x）在（，+）上是减函数， 1 30 30 2 2 ，解得 1a3， a 的取值范围为1，3） 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有 50 名学生，在一次数学模拟考试中，三 个班的学
16、生成绩的各分数段累计人数折线图如图所示根据图中的成绩信息，下列结论中 正确的是（ ） A三个班的成绩的中位数，乙班最高，丙班最低 B三个班的平均成绩，丙班最低 C三个班中成绩在 60 分以下的人数，丙班最多；80 分以上的人数，乙班最多 D模拟考试的最高分出现在乙班 第 9 页（共 18 页） 【解答】解：对于 A，由折线图得乙班成绩的中位数最大，丙班成绩的中位数最低，故 A 正确； 对于 B，由折线图得丙班的平均成绩最低，故 B 正确； 在 C 中，由折线图得，80 分以上的人数甲班最多，故 C 错误； 在 D 中，由折线图得最高分出现在甲班，故 D 错误 故选：AB 10 （5 分） 已知
17、双曲线 C 过点 （3， 2） 且渐近线为 y 3 3 x， 则下列结论正确的是 （ ） AC 的方程为 2 3 y21 BC 的离心率为3 C曲线 yex 21 经过 C 的一个焦点 D直线 x2 10 与 C 有两个公共点 【解答】解：设双曲线 C 的方程为 2 2 2 2 = 1，根据条件可知 = 3 3 ，所以方程可化 为 2 32 2 2 = 1， 将点（3，2）代入得 b21，所以 a23，所以双曲线 C 的方程为 2 3 2= 1，故 A 对； 离心率 e= = 2+2 2 =3+1 3 = 23 3 ，故 B 错； 双曲线 C 的焦点为（2，0） ， （2，0） ，将 x2 代
18、入得 ye010，所以 C 对； 联立 2 3 2= 1 2 1 = 0 ，整理得 y222y+20，则880，故只有一个公共点， 故 D 错， 故选：AC 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是对角线 AC1上一动点，在点 P 从 顶点 A 移动到顶点 C1的过程中，下列结论中正确的有（ ） 第 10 页（共 18 页） A二面角 PA1DB1的取值范围是0， 2 B直线 AC1与平面 A1DP 所成的角逐渐增大 C存在一个位置，使得 AC1平面 A1DP D存在一个位置，使得平面 A1DP平面 B1CD1 【解答】解：对于 A，当 P 与 A 重合时，二面角
19、 AA1DB1为 90，点 P 由 A 点移动 到 AC1中点的过程中，二面角 PA1DB1逐渐减小至 0， 由对称性可知，当 P 由 AC1中点移动到点 C1的过程中，二面角 PA1DB1由 0 逐渐增 大至 90，即 A 正确； 对于 B，当点 P 与 A 重合时，C1AD1即为所求，此时有 tanC1AD1= 11 1 = 2 2 ， 当 P 与 C1重合时， 连接 AD1， A1D 相交于点 M， 则AC1M 即为所求， 此时有 tanAC1M= 1 = 3 3 2 2 ， 所以AC1MC1AD1，即直线 AC1与平面 A1DP 所成的角并不是逐渐增大，所以 B 错 误； 第 11 页
20、（共 18 页） 对于 C，当点 P 为平面 A1BD 与直线 AC1的交点时，连接 AD1，则 A1DAD1， 又因为 C1D1平面 ADD1A1，A1D平面 ADD1A1，所以 A1DC1D1， 又 C1D1AD1D1，所以 A1D平面 AC1D1，所以 AC1A1D同理可得，AC1A1B 因为 A1DA1BA1，A1D平面 A1DP，A1B平面 A1DP，所以 AC1平面 A1DP，即 C 正确； 对于 D，当点 P 为平面 A1BD 与直线 AC1的交点时，因为 BDB1D1，BD平面 B1CD1， B1D1平面 B1CD1，所以 BD平面 B1CD1， 同理可得，A1B平面 B1CD
21、1，又因为 BDA1BB，BD平面 A1DP，A1B平面 A1DP， 所以平面 A1DP平面 B1CD1，即 D 正确 故选：ACD 12 （5 分）设点 P 是曲线 yex3x+ 2 3上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围包含下列哪些（ ） A2 3 ，） B 2， 5 6 ） C0， 2） D0， 2） 5 6 ，） 【解答】解：yex3x+ 2 3的导数为 ye x3， 由 ex0，可得切线的斜率 k 3， 由 tan 3，可得 0 2或 2 3 ， 第 12 页（共 18 页） 则 C，D 正确， 故选：CD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 2
22、0 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知( 3) = 1 3，则(2 + 3) + 2( 3 )的值为 5 3 【解答】解：cos（x 3）sin（x+ 6）= 1 3， cos（2x+ 3）+sin 2（ 3 x） cos（2x+ 3）+ 1(2 3 2) 2 = 1 2cos2x 3 2 sin2x+ 1 2 + 1 4cos2x 3 4 sin2x = 3 2cos（2x+ 3）+ 1 2 = 3 2 12sin2（x+ 6）+ 1 2 = 3 2 （12 1 9）+ 1 2 = 5 3 故答案为：5 3 14（5 分） 若 x2020a0+a1（x1） +a2（x1
23、） 2+a2020 （x1） 2020， 则1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = （4 3） 20201 【解答】解：x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020， 令 x1 得：a01； 令 x= 4 3得： （4 3） 2020a0+1 3 + 2 32 + + 2020 32020； 1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = (4 3) 2020 1； 故答案为：(4 3) 2020 1 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，BAC90， = = 22，PA2，PACPAB，则当球 O 的表面积最
24、小时，三棱锥 PABC 的体积为 43 3 第 13 页（共 18 页） 【解答】解：如图所示，当球心 O 为 BC 的中点时，球 O 的半径最小为 2，此时球的表 面积最小 又已知可得：平面 OAP平面 ABC， OA 边的高即为三棱锥 PABC 的高，高 h= 3 三棱锥 PABC 的体积 V= 1 3 3 1 2 (22)2= 43 3 故答案为：43 3 16（5 分） 已知 F 是抛物线 C： y24x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N， 若 M 为 FN 的中点，则|FN| 3 【解答】解：抛物线 C：y24x 的焦点 F（1，0） ，M 是 C 上
25、一点，FM 的延长线交 y 轴 于点 N若 M 为 FN 的中点， 可知 M 的横坐标为：1 2， 则|FM|= 1 2 +111 2， |FN|2|FM|211 2 =3 故答案为：3 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ca（cosBsinB） （）求 A； （）已知 c= 10，BC 边上的高 AD1，求 b 的值 【解答】解： （）ca（cosBsinB） ， 由正弦定理可得 sinCsinA（cosBsinB） ，可得 sinAcosB+sinBcosAsinAcosB
26、sinAsinB，可得 cosAsinB+sinAsinB0， B 为三角形内角，sinB0， tanA1， A（0，） ， 第 14 页（共 18 页） A= 3 4 （）S= 1 2bcsinA= 1 2ADa， 代入 c= 10，AD1，sinA= 2 2 ，可得 a= 5b， 由余弦定理可得 a2b2+c22bccosAb2+10+25b， 代入 a= 5b，可得 4b225b100， 解得 b= 5，或 b= 5 2 （舍去） ， b= 5 18 （12 分）设等比数列an的首项为 a，公比 q0 且 q1，前 n 项和为 Sn （）当 a1 时，S1+1，S2+2，S3+1 三数成
27、等差数列，求数列an的通项公式； （）对任意正整数 n，命题甲：Sn， （Sn+1+1） ，Sn+2三数构成等差数列 命题乙：Sn+1， （Sn+2+1） ，Sn+3三数构成等差数列求证：对于同一个正整数 n，命题甲与命题乙不能 同时为真命题 【解答】解： （）数列an是首项为 a1，公比 q0 且 q1 的等比数列， = 1，S1+11+12，S2+21+q+2q+3，S3+11+q+q2+12+q+q2， 又S1+1，S2+2，S3+1 三数成等差数列，2（S2+2）（S1+1）+（S3+1） ，2（q+3） 2+2+q+q2，化为 q2q20， 解得 q2，或 q1， q0，q2，= 2
28、1 所以数列an的通项公式为= 21 （）对任意正整数 n，命题甲：Sn， （Sn+1+1） ，Sn+2三数构成等差数列，2（Sn+1+1） Sn+Sn+2an+2an+1+2； 对任意正整数 n，命题乙：Sn+1， （Sn+2+1） ，Sn+3三数构成等差数列，2（Sn+2+1） Sn+1+Sn+3an+3an+2+2 若对于同一个正整数 n，命题甲与命题乙同时为真命题，则 an+3an+2an+2an+1 1+2 21+1+ 1= 0，又1 0， q22q+10，q1 与已知 q1 相矛盾 所以对于同一个正整数 n，命题甲与命题乙不能同时为真命题 19 （12 分）已知三棱柱 ABCA1B
29、1C1，点 O 为棱 AB 的中点 第 15 页（共 18 页） （）求证：BC1平面 A1CO； （） 若ABC 是等边三角形， 且 ABAA1，A1AB60， 平面 AA1B1B平面 ABC， 求二面角 AA1CB 的余弦值 【解答】解： （）连接 AC1交 AC 于 M，连结 OM， 棱柱 ABCA1B1C1知，四边形 ACC1A1为平行四边形，M 为 AC 的中点， 又O 为 AB 的中点，BC1OM， OM平面 A1CO，BC1平面 A1CO， BC1平面 A1CO， （）ABC 是等边三角形，且 ABAA1，A1AB60， AOAB，COAB， 又平面 AA1B1B平面 ABC，A
30、1O平面 ABC， A1OCO， 以 O 为坐标原点，直线 OC，OA，OA1所在方向建立如图所示的空间直角坐标系： 设 ACABBCAA12，则 C（3，0，0） ，A（0，1，0） ，B（0，1，0） ，A1（0， 0，3） ， 设平面 A1AC 的法向量为1=（x1，y1，z1） ，则1，11， 1 = 0 1 1= 0， 第 16 页（共 18 页） =（3，1，0） ，1=（0，1，3） ， 31 1= 0 1+ 31= 0， 令 y1= 3，得 x1，z11，即1=（1，3，1） ， 设平面 A1BC 的法向量为2=（x2，y2，z2） ， 则21，2， 即21=0，2 =0， =
31、（3，1，0） ，1=（0，1，3） ， 32 + 2= 0 2+ 32= 0， 2=（1，3，1） ， 所以 cos1，2= 12 |1|2 | = 1 5， 由题意可知，二面角 AA1CB 为锐角，其余弦值为1 5， 20 （12 分）为了了解某班学生喜好喝奶茶是否与性别有关，得到 22 列联表，其中数据 不完整 喜好喝奶茶 不喜好喝奶茶 合计 男生 10 20 女生 5 合计 50 （1）请将列联表补充完整； （2）能否有 99.5%的把握认为该班学生喜好喝奶茶与性别有关？说明你的理由 【解答】解： （1）列联表补充如下： 喜好喝奶茶 不喜好喝奶茶 合计 男生 10 20 30 女生 1
32、5 5 20 合计 25 25 50 （2）K2= 50(50300)2 25253020 = 25 3 8.3337.879， 有 99.5%的把握认为该班学生喜好喝奶茶与性别有关 第 17 页（共 18 页） 21 （12 分）函数 f（x）= 1 2x 2+（al）xxlnx， （1）若 f（x）在定义域内为单调递增函数，求 a 的取值范围； （2）当 a3 时，关于 x 的方程 f（x）+b0 在区间（1，e上有且只有一实数根，求 b 的取值范围 【解答】解： （1）定义域（0，+） ， 由题意可得，f（x）x+a2lnx0 在（0，+）上恒成立， 故 a2+lnxx 在（0，+）上恒
33、成立， 令 g（x）2+lnxx，x0， 则 g（x）= 1 ， 易得 0x1 时，g（x）0，g（x）单调递增，当 x（1，+）时，函数单调递减， 故 g（x）maxg（1）1， 所以 a1； （2）a3 时，f（x）= 1 2x 2+2xxlnx， f（x）x+1lnx， 令 h（x）x+1lnx，则 h（x）1 1 = 1 ， 易得，x（1，e时，h（x）0，函数 h（x）单调递增， 故 h（x）h（1）2，即 f（x）0 恒成立， 故 f（x）在（1，e上单调递增， 所以5 2 =f（1）f（x）f（e）= 1 2 2 + 2 1， 故5 2 b 1 2 2+ 2 1， 所以 12e
34、1 2 2 5 2 22 （12 分）已知椭圆： 2 4 + 2= 1，其左右顶点分别为 A，B，上下顶点分别为 C，D圆 O 是以线段 AB 为直径的圆 （1）求圆 O 的方程； （2）若点 E，F 是椭圆上关于 y 轴对称的两个不同的点，直线 CE，DF 分别交 x 轴于点 M、N，求证： 为定值； （3）若点 P 是椭圆上不同于点 A 的点，直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q是否存在 第 18 页（共 18 页） 点 P，使得 = 1 3 ？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由 【解答】解： （1）由题意得：A（2，0） ，B（2，0） ， 圆 O 的圆心为原点，半径为
35、2， 圆 O 的方程是 x2+y24； （2）由题意可知：C（0，1） ，D（0，1） ，设 E（x0，y0） ，则 F（x0，y0） ， （x01） ， 直线 CE 的方程是： 1 01 = 0，点 M（ 0 01，0） ， 同理点 N（ 0 0+1，0） ， 又点 E（x0，y0）在椭圆 2 4 + 2= 1上，0 2 4 + 02= 1 = 02 021 = 02 0 2 4 = 4， （3）显然直线 AP 的斜率存在，设其方程为：yk（x+2） ， 联立方程 = ( + 2) 2 4 + 2= 1 ，化简得： （1+4k2）x2+16k2x+16k240， 设 P（x1，y1） ，则 x1+（2）= 162 1+42， 所以|AP|= 1 + 2|x1（2）|= 1 + 2 4 1+42， 因为圆心 O 到直线 AP 的距离 d= |2| 1+2， 所以|AQ|24 2 =4 1 1+2， 假设存在点 P，使得 = 1 3 ，则|AQ|4|AP|， 所以 4 1 1+2 =41 + 2 4 1+42，化简得：4+4k 21+4k2，此方程在实数范围内无解， 故原假设错误，即不存在点 P，使得 = 1 3
