1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年广西省高考数学（理科）模拟试卷（年广西省高考数学（理科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z= 2+1（i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）随机变量 N（，2） ，若 P（1）0.3，P（15）0.4，则 （ ） A1 B2 C3 D4 3 （5 分）已知集合 Mx|yln（x1），Nx|x1，则（ ） AMNM BMNM CMN DMNN 4 （5 分）已知函数
2、f（x）sinx（sinx+cosx） （0） ，若函数 f（x）的图象与直线 y 1 在（0，）上有 3 个不同的交点，则 的范围是 A （1 2， 3 4 B （1 2， 5 4 C （5 4， 3 2 D （5 4， 5 2 5 （5 分）已知命题 p：x22x30，命题 q：xa，若 q 的一个充分不必要条件是 p，则 a 的取值范围是（ ） A3，+） B （3，+） C （，1 D （，1） 6（5 分） 若 a1， 实数 x， y 满足 axay4， 且当 xa， a3时， ym， 0， 则 m 的值是 （ ） A8 B6 C4 D2 7 （5 分）若数列an满足 a11，a21
3、，an+2an+an+1，则称数列an为斐波那契数列， 斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺 旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例作图规则是在以斐波那契数为边的正方 形拼成的长方形中画一个圆心角为 90的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如 图所示的 7 个正方形的边长分别为 a1，a2，a7，在长方形 ABCD 内任取一点，则该 点不在任何一个扇形内的概率为（ ） A1 103 156 B1 4 C1 17 26 D1 68 273 8 （5 分） 宋元时期， 中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶） 、 李（冶） 、杨（辉） 、 朱（世杰
4、）四大家” ，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱 第 2 页（共 21 页） 世杰平生勤力研习九章算术 ，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承 了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法 及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为 宗旨的算学启蒙 ，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半， 竹日自倍，松竹何日而长等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的 a，b 分别 为 3，1，则输出的 n（ ） A2 B3 C4 D5 9 （5 分）设 mln2，nlg2，则（ ） Amn
5、mnm+n Bmnm+nmn Cm+nmnmn Dm+nmnmn 10 （5 分） 如图， 过抛物线 y23x 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B， 交其准线 l 于点 C， 若|BC|2|BF|，且|AF|3，则|AB|（ ） A4 B6 C8 D10 11 （5 分）在一个数列中，如果nN*，都有 anan+1an+2k（k 为常数） ，那么这个数列叫 做等积数列，k 叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且 a11，a22，公积 第 3 页（共 21 页） 为 8，则 a1+a2+a2020（ ） A4711 B4712 C4713 D4715 12 （5 分）函数() = 2
6、 1，则（ ） A函数的最小值是 0无最大值 B函数的最大值是 1，无最小值 C函数的最小值是 0，最大值为 1 D函数无最大值，也无最小值 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 =（2，6） ， =（3，m） ，若| + | |，则 m 14 （5 分）某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 2400 人、高二 2000 人、高三 n 人中，抽取 90 人进行问卷调查已知高一被抽取的人数为 36，那么高三被抽 取的人数为 15 （5 分）点 P 在双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右支上，
7、其左、右焦点分别为 F1， F2，直线 PF1与以坐标原点 O 为圆心、a 为半径的圆相切于点 A，线段 PF1的垂直平分 线恰好过点 F2，则该双曲线的渐近线的斜率为 16 （5 分）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同 的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名 优教师，则不同的分配方案共有 种 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验， 并获得了煤气开关旋 钮旋转的弧度数 x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据， 且作了一定的数据处理 （如表） ，
8、得到了散点图（如图） 10 1 ( )2 10 1 ( )2 10 1 ( )( ) 10 1 ( )( ) 1.47 20.6 0.78 2.35 0.81 19.3 16.2 表中= 1 2， = 1 10 10 1 （1） 根据散点图判断， ya+bx 与 = + 2哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋 转的弧度数 x 的回归方程类型？（不必说明理由） 第 4 页（共 21 页） （2）根据判断结果和表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （3）若旋转的弧度数 x 与单位时间内煤气输出量 t 成正比，那么 x 为多少时，烧开一壶 水最省煤气？ 附：对于一组数据（u1，v1） ，
9、 （u2，v2） ， （u3，v3） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = 18ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若5b4c，B2C （）求 cosB （）若 c5，点 D 为边 BC 上一点，且 BD6，求ADC 的面积 19底面 ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体若 DADH DB4，AECG3 （1）求证：EGDF； （2）求二面角 AHFC 的正弦值 20设椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，椭圆的上顶点为点 B，
10、点 A 为椭圆 C 上一点，且 31 + 1 = 0 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）若 b1，过点 F2的直线交椭圆于 M，N 两点，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程 第 5 页（共 21 页） 21已知函数 f（x）lnx，g（x）ax2（2a+1）x（a0 且 1 2） ，h（x）x 2+kx+3 （1）若函数 F（x）f（x）+g（x）在（0，e上的最大值为 1，求 a 的值； （2）若存在 (1 ，)使得关于 x 的不等式 2xf（x）+h（x）0 成立，求 k 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22直线 l 的参数方程为 = = （其中 t 为参数）
11、，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22mcos40（其中 m0） （1）点 M 的直角坐标为（2，2） ，且点 M 在曲线 C 内，求实数 m 的取值范围； （2）若 m2，当 变化时，求直线被曲线 C 截得的弦长的取值范围 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）x|2xa|，g（x）= 2 1 （aR） （1）若 a0，解不等式 f（x）a； （2）若 a1，对任意 t3，5，f（x）g（t）在 x3，5总存在两不相等的实数根， 求 a 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2020 年广西省高考数学（理科）
12、模拟试卷（年广西省高考数学（理科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z= 2+1（i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：z= 2+1 = (12) (1+2)(12) = 2 5 + 1 5， 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（2 5 ， 1 5） ，位于第一象限 故选：A 2 （5 分）随机变量 N（，2） ，若 P（1）0.3，P（15）0.4，则 （ ） A1 B
13、2 C3 D4 【解答】解：随机变量 N（，2） ，由 P（1）0.3，P（15）0.4， 得 P（5）0.3，由正态分布的对称性得 = 1+5 2 = 3 故选：C 3 （5 分）已知集合 Mx|yln（x1），Nx|x1，则（ ） AMNM BMNM CMN DMNN 【解答】解：Mx|x10x|x1，Nx|x1， MNN，MNM 故选：B 4 （5 分）已知函数 f（x）sinx（sinx+cosx） （0） ，若函数 f（x）的图象与直线 y 1 在（0，）上有 3 个不同的交点，则 的范围是 A （1 2， 3 4 B （1 2， 5 4 C （5 4， 3 2 D （5 4， 5
14、2 【解答】解：因为函数 f（x）sinx（sinx+cosx）= 1 2（1cos2x）+ 1 2sin2x= 2 2 sin （2 4）+ 1 2（0） ， 函数 f（x）的图象与直线 y1 在（0，）上有 3 个不同的交点； 即 2 2 sin（2 4）+ 1 2 =1 有 3 个根； sin（2 4）= 2 2 有三个根； 第 7 页（共 21 页） x（0，） ； 2 4（ 4，2 4） ； 2+ 4 2 4 2+ 3 4 5 4 3 2 故选：C 5 （5 分）已知命题 p：x22x30，命题 q：xa，若 q 的一个充分不必要条件是 p，则 a 的取值范围是（ ） A3，+） B
15、 （3，+） C （，1 D （，1） 【解答】解：由 x22x30 得1x3， q 的一个充分不必要条件是 p， a3， 故选：A 6（5 分） 若 a1， 实数 x， y 满足 axay4， 且当 xa， a3时， ym， 0， 则 m 的值是 （ ） A8 B6 C4 D2 【解答】解：axay4， ax+y4，则 yx+loga4， 显然函数 yx+loga4 为减函数， 当 xa，a3时，ym，0， + 4 = 0 3+ 4 = ，解得 = 2 = 6 故选：B 7 （5 分）若数列an满足 a11，a21，an+2an+an+1，则称数列an为斐波那契数列， 斐波那契螺旋线是根据斐
16、波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺 旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例作图规则是在以斐波那契数为边的正方 形拼成的长方形中画一个圆心角为 90的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如 图所示的 7 个正方形的边长分别为 a1，a2，a7，在长方形 ABCD 内任取一点，则该 点不在任何一个扇形内的概率为（ ） 第 8 页（共 21 页） A1 103 156 B1 4 C1 17 26 D1 68 273 【解答】解：由题意可得，数列an的前 8 项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21 长方形 ABCD 的面积为 1321273 6 个扇形的面积之和为 4 (
17、12+ 22+ 32+ 52+ 82+ 132) = 68 所求概率 P1 68 273 故选：D 8 （5 分） 宋元时期， 中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶） 、 李（冶） 、杨（辉） 、 朱（世杰）四大家” ，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱 世杰平生勤力研习九章算术 ，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承 了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法 及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为 宗旨的算学启蒙 ，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半， 竹日自
18、倍，松竹何日而长等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的 a，b 分别 为 3，1，则输出的 n（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a3，b1，n1 a= 9 2，b2 第 9 页（共 21 页） 不满足条件 ab，执行循环体，n2，a= 27 4 ，b4， 不满足条件 ab，执行循环体，n3，a= 81 8 ，b8， 不满足条件 ab，执行循环体，n4，a= 243 16 ，b16， 满足条件 ab，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：C 9 （5 分）设 mln2，nlg2，则（ ） Amnmnm+n Bmnm+nmn Cm+nmnmn Dm+nmnmn
19、【解答】解：0m1，0n1，mn， 1 1 = ; = 210 2 = 2 10 1， 故 mnmn， 所以 1 + 1 = 2(10)1，故 m+nmn， 由 m+nmn 故 m+nmnmn， 故选：D 10 （5 分） 如图， 过抛物线 y23x 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B， 交其准线 l 于点 C， 若|BC|2|BF|，且|AF|3，则|AB|（ ） 第 10 页（共 21 页） A4 B6 C8 D10 【解答】解：过 B 向准线做垂线垂足为 D，过 A 点做准线的垂线垂足为 E，准线与 x 轴 交点为 G， 根据抛物线性质可知|BD|BF| |BC|2|BF|，|BC
20、|2|BD|， C30，EAC60 又|AF|AE|， FEA60 |AF|AE|CF|3， |CF|2|GF|3，|BF|1， |AB|AF|+|BF|4 故选：A 11 （5 分）在一个数列中，如果nN*，都有 anan+1an+2k（k 为常数） ，那么这个数列叫 做等积数列，k 叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且 a11，a22，公积 为 8，则 a1+a2+a2020（ ） A4711 B4712 C4713 D4715 【解答】解：anan+1an+2k（k 为常数） ，且 a11，a22，公积为 8， anan+1an+28，a11，a22， 第 11 页（共 21 页
21、） 12a38，解得 a34， 24a48，a41， 同理可得：a52，a64 an+3an 则 a1+a2+a2020a1+（1+2+4）6734712 故选：B 12 （5 分）函数() = 2 1，则（ ） A函数的最小值是 0无最大值 B函数的最大值是 1，无最小值 C函数的最小值是 0，最大值为 1 D函数无最大值，也无最小值 【解答】解：函数() = 2 1， （x 1 2） ， 令 t= 2 1， （t0） ，则 t22x1， = 1 2 2+ 1 2， 那么 f（x）转化为 g（t）= 1 2 2 + 1 2 = 1 2 ( 1)2， 可知 g（t）的最小值为 0，没有最大值，
22、 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 =（2，6） ， =（3，m） ，若| + | |，则 m 1 【解答】解：向量 = (2， 6)， = (3，)，若| + | = | |，则 =0， 即 236m0，则 m1， 故答案为：1 14 （5 分）某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 2400 人、高二 2000 人、高三 n 人中，抽取 90 人进行问卷调查已知高一被抽取的人数为 36，那么高三被抽 取的人数为 24 【解答】解：高二年级抽取的人数为：2000 36 2400 =30
23、 人，则高三被抽取的人数 9036 3024， 故答案为：24 第 12 页（共 21 页） 15 （5 分）点 P 在双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右支上，其左、右焦点分别为 F1， F2，直线 PF1与以坐标原点 O 为圆心、a 为半径的圆相切于点 A，线段 PF1的垂直平分 线恰好过点 F2，则该双曲线的渐近线的斜率为 4 3 【解答】解：由线段 PF1的垂直平分线恰好过点 F2， 可得|PF2|F1F2|2c， 由直线 PF1与以坐标原点 O 为圆心、a 为半径的圆相切于点 A， 可得|OA|a， 设 PF1的中点为 M，由中位线定理可得|MF2|2a， 在直角三角形 P
24、MF2中，可得|PM|= 42 42=2b， 即有|PF1|4b， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， 即 4b2c2a，即 2ba+c， 即有 4b2（a+c）2， 即 4（c2a2）（a+c）2， 可得 a= 3 5c，b= 4 5c， 即有双曲线的渐近线方程 y x， 该双曲线的渐近线的斜率为4 3 故答案为：4 3 第 13 页（共 21 页） 16 （5 分）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同 的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名 优教师，则不同的分配方案共有 81 种 【解答】解：根据题意，分
25、2 步进行分析： ，在三个中学中任选 1 个，安排甲乙两人，有 C313 种情况， ，对于剩下的三人，每人都可以安排在 A、B、C 三个不同的乡镇中学中任意 1 个，则 剩下三人有 33327 种不同的选法， 则有 32781 种不同的分配方法； 故答案为：81 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验， 并获得了煤气开关旋 钮旋转的弧度数 x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据， 且作了一定的数据处理 （如表） ， 得到了散点图（如图） 10 1 ( )2 10 1 ( )2 10 1 ( )( ) 10 1 ( )( )
26、1.47 20.6 0.78 2.35 0.81 19.3 16.2 表中= 1 2， = 1 10 10 1 （1） 根据散点图判断， ya+bx 与 = + 2哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋 转的弧度数 x 的回归方程类型？（不必说明理由） 第 14 页（共 21 页） （2）根据判断结果和表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （3）若旋转的弧度数 x 与单位时间内煤气输出量 t 成正比，那么 x 为多少时，烧开一壶 水最省煤气？ 附：对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （u3，v3） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分
27、别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = 【解答】解： （1） = + 2更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋转的弧度数 x 的回归方 程类型（1 分） （2）由公式可得： = 10 =1 ()() 10 =1 ()2 = 16.2 0.81 = 20，（3 分） = = 20.6 20 0.78 = 5，（5 分） 所以所求回归方程为 = 5 + 20 2（6 分） （3）设 tkx，则煤气用量 = = (5 + 20 2) = 5 + 20 25 20 = 20， （9 分） 当且仅当5 = 20 时取“” ，即 x2 时，煤气用量最小（11 分） 答：x 为 2 时，烧开一壶水最省
28、煤气 （12 分） 18ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若5b4c，B2C （）求 cosB （）若 c5，点 D 为边 BC 上一点，且 BD6，求ADC 的面积 【解答】解： （）由题意 B2C， 则 sinBsin2C2sinCcosC 第 15 页（共 21 页） 又5 = 4， 所以 = 2 = 2 = 25 5 （4 分） 所以 = 2 = 22 1 = 3 5 （6 分） （）因为 c5，5 = 4， 所以 = 45（7 分） 由余弦定理得，b2a2+c22accosB， 则80 = 2+ 25 2 5 3 5 ， 化简得，a26a550， 解得 a11，
29、或 a5（舍去） ，（9 分） 由 BD6 得，CD5， 由 = 25 5 ， 得 = 1 2 = 5 5 （10 分） 所以ADC 的面积 = 1 2 = 1 2 5 45 5 5 = 10（12 分） 19底面 ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体若 DADH DB4，AECG3 （1）求证：EGDF； （2）求二面角 AHFC 的正弦值 【解答】 （1）证明：连接 AC，由 可知四边形 AEGC 为平行四边形，所以 EG AC 由题意易知 ACBD，ACBF，所以 EGBD，EGBF， 因为 BDBFB，所以 EG平面 BDHF， 又 DF平面 BDHF，所以
30、EGDF （2）解：设 ACBDO，EGHFP， 第 16 页（共 21 页） 由已知可得：平面 ADHE平面 BCGF， 所以 EHFG，同理可得：EFHG， 所以四边形 EFGH 为平行四边形， 所以 P 为 EG 的中点，O 为 AC 的中点， 所以 ，从而 OP平面 ABCD， 又 OAOB， 所以 OA， OB， OP 两两垂直， 如图， 建立空间直角坐标系 Oxyz， OP3， DH4，由平面几何知识，得 BF2 则(23，0，0)，(23，0，0)，F（0，2，2） ，H（0，2，4） ， 所以 = (23，2，2)， = (23，2，2)， = (0，4， 2) 设平面 AFH
31、 的法向量为 = (，)， 由 = 0 = 0 ，可得23 + 2 + 2 = 0 4 2 = 0 ， 令 y1，则 z2， = 3，所以 = (3，1，2) 同理，平面 CFH 的一个法向量为 = (3，1，2) 设平面 AFH 与平面 CFH 所成角为 ， 则| = | | | = 3+1+4 88 = 1 4，所以 = 15 4 20设椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，椭圆的上顶点为点 B， 点 A 为椭圆 C 上一点，且 31 + 1 = 0 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）若 b1，过点 F2的直线交椭圆于 M，N 两点，求线段 MN
32、的中点 P 的轨迹方程 【解答】解： （1）设 A（x0，y0） ，B（0，b） ，F1（c，0） 第 17 页（共 21 页） 由 31 + 1 = 0 得30 + 4 = 0 30+ = 0 0= 4 3 0= 3 ，即( 4 3 ， 3)， 又A（x0，y0）在椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1上， ( 4 3) 2 2 + (1 3) 2 2 = 1，得 = 2 2 ，即椭圆 C 的离心率为 = 2 2 （2）由（1）知， = 2 2 又b1，a2b2+c2，解得 a22，b21， 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1 当线段 MN 在 x 轴上时，交点为坐标原点（0，0） 当
33、线段 MN 不在 x 轴上时，设直线 MN 的方程为 xmy+1，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 代入椭圆方程 2 2 + 2= 1中，得（m2+2）y2+2my10 点 F2在椭圆内部，0，1+ 2= 2 2+2， 则1+ 2= (1+ 2) + 2 = 4 2+2， 点 P（x，y）的坐标满足 = 2 2+2， = 2+2， 消去 m 得，x2+2y2x0（x0） 综上所述，点 P 的轨迹方程为 x2+2y2x0 21已知函数 f（x）lnx，g（x）ax2（2a+1）x（a0 且 1 2） ，h（x）x 2+kx+3 （1）若函数 F（x）f（x）+g（x）在（0，e上的最大值
34、为 1，求 a 的值； （2）若存在 (1 ，)使得关于 x 的不等式 2xf（x）+h（x）0 成立，求 k 的取值范围 【解答】解： （1）函数 F（x）f（x）+g（x）lnx+ax2（2a+1）x，x（0，e， () = 1 + 2 (2 + 1) = 22(2+1)+1 ， 令 u（x）2ax2（2a+1）x+1（2ax1） （x1） ， 则 u（x）过（0，1） ， （1，0）两点， 因为 a0 且 a 1 2，所以 1 2 1， 所以函数 u（x）与 x 轴交于不同的两点（ 1 2，0） ， （1，0） ， 当 1 2 0时，即 a0 时， 第 18 页（共 21 页） 在区间（
35、0，1）上，u（x）0，F（x）0，F（x）单调递增， 在区间（1，e）上，u（x）0，F（x）0，F（x）单调递减， 所以 F（x）maxF（1）ln1+a12（2a+1）1a11， 解得 a2， 当 0 1 21 时，即 a 1 2时， 在区间（0， 1 2） ， （1，e）上，u（x）0，F（x）0，F（x）单调递增， 在区间（ 1 2，1）上，u（x）0，F（x）0，F（x）单调递减， F（ 1 2）ln 1 2 +a（ 1 2） 2（2a+1）1 2 =ln 1 2 1 2 1 2 1， 因为此时 0 1 2 1，F（ 1 2）0，不会是最大值 1， 若 F（x）maxF（e）lne
36、+ae2（2a+1）e1+ae22aee1， 解得 a= 1 2与 a 1 2矛盾， （舍） 当 1 1 2e，即 1 2 1 2时， 在区间（0，1） ， （ 1 2，e）上，u（x）0，F（x）0，F（x）单调递增， 在区间（1， 1 2）上，u（x）0，F（x）0，F（x）单调递减， 若 F（x）maxF（1）a11，解得 a2，与 1 2 1 2矛盾， （舍） 若 F（x）maxF（e）1+ae22aee1， 解得 a= 1 2，符合 1 2 1 2 当 e 1 2，即 0a 1 2时， 在区间（0，1）上，u（x）0，F（x）0，F（x）单调递增， 在区间（1，e）上，u（x）0，F
37、（x）0，F（x）单调递减， F（x）maxF（1）a11，解得 a2， （舍） 综上所述：a2 或 1 ;2 （2）存在 (1 ，)使得关于 x 的不等式 2xf（x）+h（x）0 成立， 存在 (1 ，)使得关于 x 的不等式 2xlnx+x2+kx+30 成立， 第 19 页（共 21 页） 存在 (1 ，)使得关于 x 的不等式 k 2+2+3 成立， 令 v（x）= 2+2+3 ， v（x）= (21 +2+2)(2+2+3) 2 = 2+23 2 ， 所以在区间（1 ，1）上，v（x）0，v（x）单调递增， 在区间（1，e）上，v（x）0，v（x）单调递增， v（1 ）2 1 3，
38、v（e）2e 3 ， v（1 ）v（e）（2 1 3）（2e 3 ）1+e+ 2 0， 所以 v（1 ）v（e） ， 所以 k2e 3 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22直线 l 的参数方程为 = = （其中 t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22mcos40（其中 m0） （1）点 M 的直角坐标为（2，2） ，且点 M 在曲线 C 内，求实数 m 的取值范围； （2）若 m2，当 变化时，求直线被曲线 C 截得的弦长的取值范围 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为 22mcos40（其中 m0） ，
39、曲线 C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为 x2+y22mx40， 即（xm）2+y2m2+4， 由点 M 在曲线 C 的内部可得（2m）2+22m2+4，解得 m1， 即实数 m 的取值范围是（1，+） （5 分） （2）直线 l 的极坐标方程为 ，代入曲线 C 的极坐标方程并整理可得 24cos40， 设直线 l 与曲线 C 的两个交点对应的极径分别为 1，2，则 1+24cos，124 则直线 l 与曲线 C 截得的弦长为 |12|= (1+ 2)2 412= 162 + 164，42， 即直线 l 与曲线 C 截得的弦长的取值范围是4，42 （10 分） 第 20 页（共 21 页）
40、五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）x|2xa|，g（x）= 2 1 （aR） （1）若 a0，解不等式 f（x）a； （2）若 a1，对任意 t3，5，f（x）g（t）在 x3，5总存在两不相等的实数根， 求 a 的取值范围 【解答】解： （1）a0，f（x）在(， 2-单调递增， 在, 2 ， 4-单调递减，在, 4 ，+ )单调递增， 若( 4) = 2 8 a 即8a0 时， 令 x（a2x）a 解得：1= 28 4 ， 不等式的解为： 28 4 ， 若( 4) = 2 8 a 即 a8 时，令 x（2xa）a， 解得：1，2= 2+8 4 不等式的解为：; 2;8 4 ;2:8 4 或 :2:8 4 ， 综上：8a0 不等式的解集为：x| 28 4 ， a8 不等式的解为：x|;
