1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年河南省高考数学（文科）模拟试卷（年河南省高考数学（文科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设函数 y= 9 2的定义域为 A，函数 yln（3x）的定义域为 B，则 AB （ ） A （，3） B （一 8，3） C3 D3，3） 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）1i，则复数 z 的共轭复数在复平面 上对应的点为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，0） D （0，1） 3 （5 分）已知命题 p：xR，x2x+10；
2、命题 q：xR，x2x3，则下列命题中为真命 题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 4 （5 分）设 m、n 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 mn，n，则 m B若 m，n，则 mn C若 mn，n，则 m D若 m，mn，则 n 5 （5 分）随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体“空巢老人” 这 些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱为此，社区志愿者开展了 “暖巢行动” ，其中 A，B 两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则 A 小区“空巢老人” 年龄的平均数和 B 小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（ ） A83.5；83
3、 B84；84.5 C85；84 D84.5；84.5 6 （5 分）更相减损术出自九章算术 ，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半 之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之如 图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术” 若执行该程序框图，则输出的 a 的 值为（ ） 第 2 页（共 19 页） A14 B12 C7 D6 7（5 分） 已知平面向量 ， 满足| | = 2，| | = 1， 且(2 ) ( + 2 ) = 9， 则向量 ， 的 夹角 为（ ） A2 3 B 2 C 3 D 6 8 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1的一条渐
4、近线与直线 3xy+50 垂直，则双曲线 C 的离心率等于（ ） A2 B 10 3 C10 D22 9 （5 分）函数 f（x）= 2 2|4的图象大致为（ ） A B C D 10 （5 分）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦 茨提出了著名的劳伦茨曲线， 如图所示 劳伦茨曲线为直线 OL 时， 表示收人完全平等 劳 伦茨曲线为折线 OKL 时， 表示收人完全不平等 记区域 A 为不平等区域， a 表示其面积； 第 3 页（共 19 页） S 为OKL 的面积将 Gini= ，称为基尼系数对于下列说法： Gini 越小，则国民分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的
5、函数为 yf（x） ，则对x（0，1） ，均有() 1； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y11 2（x0，1） ，则 Gini= 2 1； 其中正确的是（ ） A B C D 11 （5 分）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体” ，如图所示，是由边数 不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美将正方体沿交于一顶点的三 条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多 面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体 为二十四等边体若二十四等边体的棱长为2，则该二十四等边体外接球的表面积为 （ ）
6、A4 B6 C8 D12 12 （5 分）已知函数() = 4 2+2 1的图象与 g（x）2sinx 的图象在8，10有 k 个交 点，分别记作（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xk，yk） ，则 =1 (+ ) =（ ） A9 B10 C19 D20 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 4 页（共 19 页） 13 （5 分）已知幂函数 ymxn（m，nR）的图象经过点（4，2） ，则 mn 14 （5 分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a、b，则直线 ax+by0 与圆（x2） 2+y2 2 有公共点的概率为 1
7、5 （5 分）在ABC 中，BC= 2，B= 4，则 AB+2AC 的最小值为 16 （5 分）东汉王充论衡宜汉篇 ： “且孔子所谓一世，三十年也 ” ，清代段玉裁说 文解字注 ： “三十年为一世按父子相继曰世 ” “一世”又叫“一代” ，到了唐朝，为 了避李世民的讳， “一世”方改为“一代” ，当代中国学者测算“一代”平均为 25 年另 据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家庭企业的平均寿命其实只有 24 年，其中只有 约 30%的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的 13%，只 有 5%的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值根据上述材料，可以推断美国 学者认为
8、“一代”应为 年 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知各项均为正数的数列an的前 n 项和为 S，若 a11，Snan+1 （1）求数列an的通项公式 （2）若 bnnan+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）在改革开放 40 年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 （I）根据表中数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程 =
9、 x+a （II）根据线性回归方程预测 2020 年该地区该农产品的年产量 附：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归直线 = x+a 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = （参考数据： 6 =1 （xi） （yi）2.8，计算结果保留到小数点后两位） 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1B1B平面 ABC，D 是 AC 的中点 （）求证：B1C平面 A1BD； （）若A1ABACB60，ABBB1，AC2，BC1，求三棱锥 CAA1B 的体 积 第 5 页（共 19 页） 20 （12
10、 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点为 F1，过点 F1且与 x 轴垂直的 直线被椭圆截得的线段长为2，且 F1与短轴两端点的连线相互垂直 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若圆 O：x2+y2a2上存在两点 M，N，椭圆 C 上存在两个点 P，Q 满足：M，N， F1三点共线，P，Q，F1三点共线，且 =0，求四边形 PMQN 面积的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）= +( )，曲线 yf（x）在点（e，f（e） ）处的切线方程 为 y= 1 （）求实数 a 的值，并求 f（x）的单调区间； （）求证：当 x0 时，f（x）x1 四解答题（共四解答题
11、（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线 C：4cos，直线 l 的参数方程为： = 3 + 2 = 1 + （t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 分别 交于 M，N 两点 （1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； （2）若点 P（3，1） ，求 1 | 1 |的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）5 的解集； （2）x0R，f（x0）|2a+1|，求 a 的取值范围
12、第 6 页（共 19 页） 2020 年河南省高考数学（文科）模拟试卷（年河南省高考数学（文科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设函数 y= 9 2的定义域为 A，函数 yln（3x）的定义域为 B，则 AB （ ） A （，3） B （一 8，3） C3 D3，3） 【解答】解：由 9x20，得3x3， A3，3， 由 3x0，得 x3， B（，3） AB3，3） 故选：D 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）1i，则复数 z 的共轭
13、复数在复平面 上对应的点为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，0） D （0，1） 【解答】解：由 z（1+i）1i， 得 = 1 1+ = (1)2 (1+)(1) = ， = 复数 z 的共轭复数在复平面上对应的点为 （0， 1） ， 故选：D 3 （5 分）已知命题 p：xR，x2x+10；命题 q：xR，x2x3，则下列命题中为真命 题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【解答】解：x2x+1（x 1 2） 2+3 4 0 恒成立，故命题 p：xR，x2x+10 为假命 题， 当 x1 时，x2x3，成立，即命题 q：xR，x2x3，为真命题， 则pq 为真，其余
14、为假命题， 故选：B 4 （5 分）设 m、n 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 mn，n，则 m B若 m，n，则 mn C若 mn，n，则 m D若 m，mn，则 n 第 7 页（共 19 页） 【解答】解：线面平行的判定定理中要求直线 m，所以 A 错误； m，n，则 mn 或 m，n 异面，所以错误； 根据线面垂直的判定定理，可知 C 不正确； 根据线面垂直的性质定理可知选项 D 正确 故选：D 5 （5 分）随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体“空巢老人” 这 些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱为此，社区志愿者开展了 “暖
15、巢行动” ，其中 A，B 两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则 A 小区“空巢老人” 年龄的平均数和 B 小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（ ） A83.5；83 B84；84.5 C85；84 D84.5；84.5 【解答】解：由茎叶图知，A 小区“空巢老人”年龄的平均数是 = 1 8 （78+78+81+84+85+85+90+91）84； B 小区“空巢老人”年龄按从小到大的顺序排列为 76，82，83，84，85，86，86，92； 它的中位数是1 2 （84+85）84.5 故选：B 6 （5 分）更相减损术出自九章算术 ，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半 之，不可半者
16、，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之如 图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术” 若执行该程序框图，则输出的 a 的 值为（ ） 第 8 页（共 19 页） A14 B12 C7 D6 【解答】解：i1，a196，b126，a，b 均为偶数； a98，b63，i2，b 不为偶数； ab，ab，a35，b63，i2； ab，ab，b28，a35，i2； ab，ab，a7，b28，i2； ab，ab，b14，a7，i2； ab，ab，b7，a7，i2； ab，a14， 输出 a14， 故选：A 7（5 分） 已知平面向量 ， 满足| | = 2，| | = 1， 且(
17、2 ) ( + 2 ) = 9， 则向量 ， 的 夹角 为（ ） A2 3 B 2 C 3 D 6 【解答】解：| | = 2，| | = 1， (2 ) ( + 2 ) = 2 2 2 2 + 3 = 8 2 + 3 = 9， = 1， ， = | | |= 1 2，且0 ， ， ， = 3 第 9 页（共 19 页） 故选：C 8 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1的一条渐近线与直线 3xy+50 垂直，则双曲线 C 的离心率等于（ ） A2 B 10 3 C10 D22 【解答】解：双曲线： 2 2 2 2 = 1的渐近线方程为 y x 又直线 3xy+50 可化为 y3x+
18、5，可得斜率为 3 双曲线： 2 2 2 2 = 1的一条渐近线与直线 3xy+50 垂直， = 1 3， 22 2 = 1 9 双曲的离心率 e= = 10 3 故选：B 9 （5 分）函数 f（x）= 2 2|4的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：因为 f（x）= ()2 2|4 = 2 2|4 =f（x） ， 所以 f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，所以排除 A、B， 又 x2 时，f（x）0，所以排除 C 故选：D 10 （5 分）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦 茨提出了著名的劳伦茨曲线， 如图所示 劳伦茨曲线为直线 OL 时，
19、 表示收人完全平等 劳 第 10 页（共 19 页） 伦茨曲线为折线 OKL 时， 表示收人完全不平等 记区域 A 为不平等区域， a 表示其面积； S 为OKL 的面积将 Gini= ，称为基尼系数对于下列说法： Gini 越小，则国民分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的函数为 yf（x） ，则对x（0，1） ，均有() 1； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y11 2（x0，1） ，则 Gini= 2 1； 其中正确的是（ ） A B C D 【解答】解：对于，根据基尼系数公式 Gini= ，可得基尼系数越小，不平等区域的 面积 a 越小，国民分配越公平，所以正确； 对于，根据劳伦茨曲线为一条
20、凹向横轴的曲线，由图得x（0，1） ，均有 f（x）x， 可得() 1，所以错误； 对于，因为 a 0 1x（11 2）dx 0 1（x1）dx+ 0 11 2dx（1 2x 2 x）| 0 1 + 1 41 2= 1 2 + 1 4，S= 1 2，所以 Gini= = 4 1 2 1 2 = 2 1，所以正确 故正确 故选：B 11 （5 分）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体” ，如图所示，是由边数 不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美将正方体沿交于一顶点的三 条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多 面体，
21、它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体 为二十四等边体若二十四等边体的棱长为2，则该二十四等边体外接球的表面积为 （ ） 第 11 页（共 19 页） A4 B6 C8 D12 【解答】 解： 由已知根据该几何体的对称性可知， 该几何体的外接球即为底面棱长为2， 侧棱长为 2 的正四棱柱的外接球， (2)2= (2)2+ (2)2+ 22， = 2， 该二十四等边体的外接球的表面积 S4R2= 4 (2)2= 8， 故选：C 12 （5 分）已知函数() = 4 2+2 1的图象与 g（x）2sinx 的图象在8，10有 k 个交 点，分别记作（x1，y1） ，
22、 （x2，y2） ， （xk，yk） ，则 =1 (+ ) =（ ） A9 B10 C19 D20 【解答】解：() = 4 2+2 1，其定义域为 R，该函数在 R 上为减函数， 又 f（1+x）+f（1x）= 4 2+21+ 1 + 4 2+21 1 = 2 1+2 + 22 2+1 2 = 2(1+2) 1+2 2 = 0， f（x）的图象关于（1，0）对称； 又 g（x）2sinx 的周期 T= 2 = 2，且 g（1）0， g（x）的图象也关于（1，0）对称， 在同一坐标系中作出两个函数的图象如图， 在8，10内有 9 个周期， 故 =1 (+ ) =92+119 故选：C 第 12
23、 页（共 19 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知幂函数 ymxn（m，nR）的图象经过点（4，2） ，则 mn 1 2 【解答】解：函数 ymxn（m，nR）为幂函数，则 m1； 又函数 y 的图象经过点（4，2） ，则 4n2，解得 n= 1 2； 所以 mn1 1 2 = 1 2 故答案为：1 2 14 （5 分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a、b，则直线 ax+by0 与圆（x2） 2+y2 2 有公共点的概率为 7 12 【解答】解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（
24、a，b） 有（1，1） 、 （1，2） 、 （1，3） 、 （6，6） ，共 36 种， 其中满足直线 ax+by0 与圆（x2）2+y22 有公共点， 即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径 r，可得 |2| 2+2 2， 化简得 ab，满足条件的（a，b）有数组情况如下： a1 时，b1、2、6，共 6 种情况；a2 时，b2、3、6，共 5 种情况； a3 时，b3、4、6，共 4 种情况；a4 时，b4、5、6，共 3 种情况； a5 时，b5、6，共 2 种情况；a6 时 b6，1 种情况 总共有 6+5+4+3+2+121 种 因此，所求的概率 P= 21 36 = 7 12
25、故答案为： 7 12 第 13 页（共 19 页） 15 （5 分）在ABC 中，BC= 2，B= 4，则 AB+2AC 的最小值为 3 + 1 【解答】解：因为 B= 4，A+B+C，所以 A+C= 3 4 ， 则 C= 3 4 A， (0， 3 4 )， 由正弦定理得， = = ， 所以 AB= = 2(3 4 ) ，AC= = 22 2 = 1 ， 所以 AB+2AC= 2(3 4 ) + 2 = 2(3 4 3 4 )+2 = +2 = +2 +1， 设 y= +2 ， (0， 3 4 )， 则 y= (+2)(+2)() 2 = 222 2 = 12 2 ， 由 y0 得，12cos
26、A0，cosA= 1 2，则 A= 2 3 ， 当 (0， 2 3 )时，y0，函数 y 在(0， 2 3 )上是减函数， 当 (2 3 ， 3 4 )时，y0，函数 y 在(2 3 ， 3 4 )上是增函数， 当 A= 2 3 时，函数 y= +2 取到最小值是 1 2+2 3 2 =3， AB+2BC 的最大值为3 + 1 故答案为：3 + 1 16 （5 分）东汉王充论衡宜汉篇 ： “且孔子所谓一世，三十年也 ” ，清代段玉裁说 文解字注 ： “三十年为一世按父子相继曰世 ” “一世”又叫“一代” ，到了唐朝，为 了避李世民的讳， “一世”方改为“一代” ，当代中国学者测算“一代”平均为
27、 25 年另 据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家庭企业的平均寿命其实只有 24 年，其中只有 约 30%的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的 13%，只 有 5%的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值根据上述材料，可以推断美国 学者认为“一代”应为 20 年 【解答】解：设美国学者认为一代为 x 年，由题意可知企业寿命的频率分布表为： 第 14 页（共 19 页） 家庭企业寿命 频率 （0，x 52% （x，2x 30% （2x，3x 13% （3x，4x 5% 故家庭企业的平均寿命为：0.520.5x+0.31.5x+0.132.5x+0.053.5x24
28、， 解得 x20 故答案为：20 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知各项均为正数的数列an的前 n 项和为 S，若 a11，Snan+1 （1）求数列an的通项公式 （2）若 bnnan+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）由题意，由 Snan+1，可得 当 n2 时，Sn1an， 两式相减，得 anSnSn1an+1an，即+1 =2， a11，a2S11， 当 n2 时，an2n 2， 验证 n1 时不成立， 数列an的通项公式为 an= 1， = 1 22， 2 （2）由（1）知，bn
29、n2n 1，nN* Sn11+22+322+423+n2n 1， 2Sn12+122+223+（n1） 2n 1+n2n， 两式相减，可得 Sn1+2+22+23+2n 1n2n=12 12 n2n（1n） 2n1， Sn（n1） 2n+1 18 （12 分）在改革开放 40 年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 第 15 页（共 19 页） 年份代码 x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 （I）根据表中数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程 = x+a （II）根
30、据线性回归方程预测 2020 年该地区该农产品的年产量 附：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归直线 = x+a 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = （参考数据： 6 =1 （xi） （yi）2.8，计算结果保留到小数点后两位） 【解答】 解：（1） 由题意可知： = 1+2+3+4+5+6 6 = 3.5， = 6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.4 6 = 7， 6 =1 ( )2= (2.5)2+ (1.5)2+ (0.5)2+ 0.52+ 1.52+ 2.52= 17.5， 所以 = =1 ()()
31、=1 ()2 = 2.8 17.5 = 0.16， 又 = = 7 0.16 3.5 = 6.44， 故 y 关于 x 的线性回归方程为 = 0.16 + 6.44 （2）由（1）可得，当年份为 2020 年时， 年份代码 x7，此时 = 0.16 7 + 6.44 = 7.56 所以可预测 2020 年该地区该农产品的年产量约为 7.56 万吨 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1B1B平面 ABC，D 是 AC 的中点 （）求证：B1C平面 A1BD； （）若A1ABACB60，ABBB1，AC2，BC1，求三棱锥 CAA1B 的体 积 【解答】 （）证明：连
32、结 AB1交 A1B 于点 O，则 O 为 AB1的中点， D 是 AC 的中点，ODB1C， 第 16 页（共 19 页） 又 OD平面 A1BD，B1C平面 A1BD， B1C平面 A1BD； （）解：AC2，BC1，ACB60， AB2AC2+BC22ACBCCOSACB3，得 = 3 AC2AB2+BC2，得 ABBC 又平面 AA1B1B平面 ABC，平面 AA1B1B平面 ABCAB，BC平面 AA1B1B A1AB60，ABBB1AA1，1= 3 1= 1 2 1 1 = 33 4 1= 1 3 1 = 1 3 33 4 = 3 4 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 +
33、2 2 =1（ab0）的右焦点为 F1，过点 F1且与 x 轴垂直的 直线被椭圆截得的线段长为2，且 F1与短轴两端点的连线相互垂直 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若圆 O：x2+y2a2上存在两点 M，N，椭圆 C 上存在两个点 P，Q 满足：M，N， F1三点共线，P，Q，F1三点共线，且 =0，求四边形 PMQN 面积的取值范围 【解答】 解：（1） 设右焦点为 F1（c， 0） ， 令 xc， 可得 yb1 2 2 = 2 ， 可得2 2 =2， 由 F1与短轴两端点的连线相互垂直，可得 bc， 且 a2b2c2，解得 a= 2，bc1， 则椭圆方程为 2 2 +y21； （2）圆
34、 O 的方程为 x2+y22， =0，即 PQNM， 当 MN 的斜率不存在时，PQ 的斜率为 0，此时|MN|2，|PQ|22，四边形 PMQN 的面 积为1 2 222 =22； 当 MN 的斜率为 0 时， |MN|22， |PQ|= 2， 四边形 PMQN 的面积为1 2 2 22 =2； 第 17 页（共 19 页） 当 MN 的斜率存在且不为 0 时，MN 的方程设为 yk（x1） ，k0， 由 O 到直线 MN 的距离为 d= | 1+2，|MN|22 2 =22+ 2 1+2， PQMN，可设 PQ：y= 1 （x1） ，联立椭圆方程 x 2+2y22，可得（2+k2）x24x
35、+2 2k20， （0 成立） ， xP+xQ= 4 2+2，xPxQ= 222 2+2 ，|PQ|= 1 + 1 2( + )2 4= 22(1+2) 2+2 ， 则 四 边 形PMQN的 面 积S = 1 2 |MN| |PQ| =2+ 2 1+2 22(1+2) 2+2 = 2 2 1+2 2+2 =221 1 2+2， 由 0 1 2+2 1 2，可得 2 2 1 1 2+2 1，即 2S22， 综上可得，四边形 PMQN 的面积的取值范围是2，22 21 （12 分）已知函数 f（x）= +( )，曲线 yf（x）在点（e，f（e） ）处的切线方程 为 y= 1 （）求实数 a 的值
36、，并求 f（x）的单调区间； （）求证：当 x0 时，f（x）x1 【解答】解： （I）() = +，() = + (+)2 ， () = (+)2 ， 又曲线 yf（x）在点（e，f（e） ）处的切线方程为 = 1 ，f（e）0，即 a0 () = +(0)， () = 1 2 ， 令 f（x）0，得 1lnx0，即 0xe； 令 f（x）0，得 1lnx0，即 xe， 所以 f（x）的单调增区间是（0，e） ，单调减区间是（e，+） （II）证明：当 x0 时，要证 f（x）x1，即证 lnxx2+x0， 令 g（x）lnxx2+x（x0） ， 第 18 页（共 19 页） 则() = 1
37、 2 + 1 = 1+22 = (1)(2+1) ， 当 0x1 时，g（x）0，g（x）单调递增； 当 x1 时，g（x）0，g（x）单调递减， 所以 g（x）g（1）0，即当 x0 时，f（x）x1 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线 C：4cos，直线 l 的参数方程为： = 3 + 2 = 1 + （t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 分别 交于 M，N 两点 （1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； （2）若点 P（3，1）
38、，求 1 | 1 |的值 【解答】解： （1）曲线 C：4cos，24cos， 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24x， 即（x2）2+y24， 直线 l 的参数方程为： = 3 + 2 = 1 + （t 为参数） ， 直线 l 的普通方程为：x2y50 （2）直线 l 的参数方程为： = 3 + 2 = 1 + （t 为参数） ， = 3 + 2 5 = 1 + 1 5 ， 代入 x2+y24x，得 t2+ 2 5 2 = 0 1+ 2= 2 5 ，12= 2， 1 | 1 | = 1 |1| 1 |2| = |2|1| |1|2| = |2+1| |12| = 5 5 五解答题（共五解
39、答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）5 的解集； （2）x0R，f（x0）|2a+1|，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）|x1|+|x+2|； 当 x2 时，f（x）2x1； 令 f（x）5，即2x15，解得3x2； 第 19 页（共 19 页） 当2x1 时，f（x）3； 显然 f（x）5 成立，2x1； 当 x1 时，f（x）2x+1； 令 f（x）5，即 2x+15，解得 1x2； 综上所述，不等式的解集为x|3x2； （2）因为 f（x）|xa|+|x+2|（xa）（x+2）|a+2|； 又x0R，有 f（x）|2a+1|成立； 所以只需|a+2|2a+1|； （a+2）2（2a+1）2； 化简可得 a210，解得 a1，或 a1； a 的取值范围为（，11，+）
