2020年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（2）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷年湖南省高考数学（理科）模拟试卷 2 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 Uy|yex，集合 Ax|ln（x1）0，则UA（ ） A （，02，+） B2，+） C （0，12，+） D （1，02，+） 2 （5 分）设复数 z 满足2+ = 1则|等于（ ） A3 2 B 10 2 C 2 2 D2 3 （5 分）若“xR，使得 sinx3cosxa”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ） A2，2 B （2，2） C （，22，+）

2、 D （，2）（2，+） 4 （5 分）已知函数 yf（x）在区间（，0）内单调递增，且 f（x）f（x） ，若 a f（1 2 3） ，bf（2 1.2） ，cf（1 2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Bbca Cbac Dabc 5（5 分） 若| | = 4，| | = 2， 与 的夹角为 30o， 则 在 方向上的投影向量的长度是 （ ） A23 B3 C2 D4 6 （5 分）我国古代有着辉煌的数学研究成果， 周牌算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙 子算经 、 缉古算经等 10 部专著是了解我国古代数学的重要文献这 10 部专著中有 5 部产生与魏晋南北朝时

3、期某中学拟从这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文化”课外阅 读教材则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（ ） A7 9 B2 9 C4 9 D5 9 7（5 分） 二项式 （mx1） 3 （m0） 展开式的第二项的系数为3， 则 0 exdx 的值为 （ ） Ae1 Be+1 C1e D1 1 8 （5 分）设 x，y 满足约束条件 0 2 0 1 0 ，则 z2x+y 的最大值是（ ） A0 B3 C4 D5 9 （5 分）衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目标， 拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖

4、金 y（单位：万元） 第 2 页（共 19 页） 随经营利润 x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超 过利润的 20%下列函数模型中，符合该点要求的是（ ） （参考数据：1.0151004.432，lg111.041） Ay0.04x By1.015x1 Cytan（ 19 1） Dylog11（3x10） 10 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F2，P 为双 曲线 C 上一点，Q 为双曲线 C 渐近线上一点，P，Q 均位于第一象限，且 2 = 2 ， 1 2 =0，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 1

5、 B3 + 1 C13 2 D13 +2 11 （5 分）已知 A 是函数 f（x）sin（2020x+ 6）+cos（2020x 3）的最大值，若存在实 数 x1，x2使得对任意实数 x，总有 f（x1）f（x）f（x2）成立，则 A|x1+x2|的最小值 为（ ） A 1010 B 2020 C 3030 D 4040 12 （5 分）如图，已知棱长为 l 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M 分别是 AB、AD、 AA1的中点，又 P、Q 分别在线段 A1B1，A1D1上，且 A1PA1Qx，0x1，设面 MEF 面 MPQl，则下列结论中不成立的是（ ） Al面 ABCD

6、BlAC C当 x= 1 2时，面 MEF面 MPQ D当 x 变化时，l 是定直线 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）mlnx 图象与函数 g（x）2图象在交点处切线方程相同， 则 m 的值为 第 3 页（共 19 页） 14 （5 分）已知ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a+b2c，3c5b， 则 A 15 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 在第 一象限交于点 M，与抛物线 C 的准线交于点 N，过点 M 作抛

7、物线 C 的准线的垂线，垂足 为 H若|MF|2|NF|，| = 65，则抛物线 C 的标准方程是 16 （5 分）已知 m 为整数，若对任意 x（3，+） ，不等式(3) 1 恒成立，则 m 的最大值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知等差数列an的公差 d2，其前项和为 Sn，且等比数列bn满足 b1a1， b2a4，b3a13 （）求数列an的通项公式和数列bn的前项和 Bn； （）记数列* 1 +的前项和为 Tn，求 Tn 18 （12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，DEAB，ACBC，平面 D

8、AC平面 ABC，BC 2AC4，AB2DE，DADC （1）若点 F 为 BC 的中点，证明：EF平面 ABC； （2） 若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60， 求平面 DCE 与平面 ABC 所成的角 （锐角） 的余弦值 19 （12 分）如图，椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，设 A，B 分别为椭圆 C 的右顶点，下顶点，OAB 的面积为 1 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知不经过点 A 的直线 l：ykx+m（k0，mR）交椭圆于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点为 M，若|PQ|2|AM|，求证：直线 l 过定点 第 4 页（共 19

9、 页） 20 （12 分）若方程 f（x）x 有实数根 x0，则称 x0为函数 f（x）的一个不动点已知函数 f（x）ex lnx+（a+1）xalnx（aR） （1）若 ae，求证：f（x）有唯一不动点； （2）若 f（x）有两个不动点，求实数 a 的取值范围 21 （12 分） 绿水青山就是金山银山 近年来， 祖国各地依托本地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念， 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道 某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚

10、拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价 格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值

11、，应如何定价？ 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 23已知函数 f（x）= | 6| + | 的定义域为 R 第 5 页（共 19 页） （1）求实数 m 的取值范围； （

12、2） 设t为m的最大值， 实数a， b， c满足a2+b2+c2t 试证明： 1 2+1 + 1 2+1 + 1 2+1 1 第 6 页（共 19 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷年湖南省高考数学（理科）模拟试卷 2 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 Uy|yex，集合 Ax|ln（x1）0，则UA（ ） A （，02，+） B2，+） C （0，12，+） D （1，02，+） 【解答】解：Uy|y0，Ax|1x2， UA（0，12，+） 故选：C 2

13、（5 分）设复数 z 满足2+ = 1则|等于（ ） A3 2 B 10 2 C 2 2 D2 【解答】解：因为 z= 2+ 1 = 1 2 3 2 ，所以 = 1 2 + 3 2 ， 所以|=( 1 2) 2+ (3 2) 2 = 10 2 ， 故选：B 3 （5 分）若“xR，使得 sinx3cosxa”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ） A2，2 B （2，2） C （，22，+） D （，2）（2，+） 【解答】解：若“xR，使得 sinx3cosxa， 则 sinx3 =2( 3) =a 要有解， 2( 3)2，2， a2，2， 故选：A 4 （5 分）已知函数 yf（x）在区

14、间（，0）内单调递增，且 f（x）f（x） ，若 a f（1 2 3） ，bf（2 1.2） ，cf（1 2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Bbca Cbac Dabc 【解答】解：根据题意，函数 yf（x）满足 f（x）f（x） ，则函数 f（x）为偶函数， 又由函数 yf（x）在区间（，0）内单调递增，则 f（x）在（0，+）上递减， 第 7 页（共 19 页） af（1 2 3）f（log23） ，bf（2 1.2） ，cf（1 2）f（2 1） ， 又由 2 1.2211log 23， 则 bca， 故选：B 5（5 分） 若| | = 4，| | = 2， 与 的

15、夹角为 30o， 则 在 方向上的投影向量的长度是 （ ） A23 B3 C2 D4 【解答】解： 在 方向上的投影为| |， = | |= 423 2 2 = 23， 在 方向上的投影向量的长度是23 故选：A 6 （5 分）我国古代有着辉煌的数学研究成果， 周牌算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙 子算经 、 缉古算经等 10 部专著是了解我国古代数学的重要文献这 10 部专著中有 5 部产生与魏晋南北朝时期某中学拟从这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文化”课外阅 读教材则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（ ） A7 9 B2 9 C4 9 D5 9 【

16、解答】解：设所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件 A， P（）= 5 2 10 2 = 2 9， 所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为： P（A）1P（）1 2 9 = 7 9 故选：A 7（5 分） 二项式 （mx1） 3 （m0） 展开式的第二项的系数为3， 则 0 exdx 的值为 （ ） Ae1 Be+1 C1e D1 1 【解答】解：二项式（mx1）3（m0）展开式的第二项的系数为3 1 （1） m23， m1， 则 0 exdx= 1 0 exdxex| 0 1 =e1e0e1， 故选：A 第 8 页（共 19 页） 8 （5 分）设 x，

17、y 满足约束条件 0 2 0 1 0 ，则 z2x+y 的最大值是（ ） A0 B3 C4 D5 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件表示的平面区域 ， 得到如图阴影部分及其内部， 其中 A（2，1 ） ，B（1，1） ，O 为坐标原点 设 zF（x，y）2x+y，将直线 l：z2x+y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值 z最大值F（ 2，1）22+15 故选：D 9 （5 分）衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目标， 拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 y（单位：万元） 随经营利润 x（单位：万元

18、）的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超 过利润的 20%下列函数模型中，符合该点要求的是（ ） （参考数据：1.0151004.432，lg111.041） Ay0.04x By1.015x1 Cytan（ 19 1） Dylog11（3x10） 【解答】解：对于函数：y0.04x，当 x100 时，y43，不符合题意； 对于函数：y1.015x1，当 x100 时，y3.4323，不符合题意； 对于函数：ytan（ 19 1） ，不满足递增，不符合题意； 对于函数：ylog11（3x10） ，满足 x（6，100，增函数， 且 ylog11 （310010）log1129

19、0log1113313， 结合图象，y= 1 5x 与 ylog11 （3x10）的图象如图所示： 第 9 页（共 19 页） 符合题意， 故选：D 10 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F2，P 为双 曲线 C 上一点，Q 为双曲线 C 渐近线上一点，P，Q 均位于第一象限，且 2 = 2 ， 1 2 =0，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 1 B3 + 1 C13 2 D13 +2 【解答】解：设 Q（m， m） ， （m0） ，P（s，t） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ， = 1 2 2 ，可得 +1 2 1+1 2 =s

20、， 1+1 2 =t， 由 P 在双曲线上，可得 (+1 2) 2 9 4 2 22 9 4 22 =1， 化为 c2+4mc9a2， m= 922 4 ， 由1 2 =0，可得 + = 1， 即 c2m2= 22 2 ， 即 c2m2 2+2 2 =m2 2 2， 可得 ma， 第 10 页（共 19 页） 则 4ca9a2c2， 由 e= 可得 e 2+4e90， 可得 e2+13（负的舍去） ， 故选：C 11 （5 分）已知 A 是函数 f（x）sin（2020x+ 6）+cos（2020x 3）的最大值，若存在实 数 x1，x2使得对任意实数 x，总有 f（x1）f（x）f（x2）成

21、立，则 A|x1+x2|的最小值 为（ ） A 1010 B 2020 C 3030 D 4040 【解答】解：f（x）f（x）sin（2020x+ 6）+cos（2020x 3） ， = 3 2 sin2020x+ 1 2cos2020x+ 1 2cos2020x+ 3 2 sin2020x， sin2020x+cos2020x 2sin（2020x+ 6） ， Af（x）max2， 又存在实数 x1，x2，对任意实数 x 总有 f（x1）f（x）f（x2）成立， f（x2）f（x）max2，f（x1）f（x）min2， 由图象可知|1+2 2 |的最小值为函数 f（x）的最大负零点 x0的

22、绝对值|x0|，则 x0= = 6 2020， |x1+x2|的最小值为 T= 1 2 = 2020，又 A2|（ 6 2020）2|= 3030， 故最小值为： 3030， 故选：C 12 （5 分）如图，已知棱长为 l 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M 分别是 AB、AD、 AA1的中点，又 P、Q 分别在线段 A1B1，A1D1上，且 A1PA1Qx，0x1，设面 MEF 面 MPQl，则下列结论中不成立的是（ ） 第 11 页（共 19 页） Al面 ABCD BlAC C当 x= 1 2时，面 MEF面 MPQ D当 x 变化时，l 是定直线 【解答】解：A棱长为 l

23、 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M 分别是 AB、AD、 AA1的中点， 又 P、Q 分别在线段 A1B1、A1D1上，且 A1PA1Qx，0x1， PQEF，面 MEF面 MPQl，PQEF，lEF， l平面 ABCD，EF平面 ABCD，l面 ABCD，故 A 正确； B，lEF，EFAC，lAC 成立，故 B 正确； C当 x= 1 2时，面 MEF 与平面 ABCD 所成的二面角 满足：tan= 1 2 2 4 = 2， 4， 根据对称性可得平面 MEF 与平面 MPQ 所成二面角的大小：2 2，此时平面 MEF 与平 面 MPQ 不垂直，不正确； DM 是 AA1的中

24、点，lEF，当 x 变化时，l 是定直线，故 D 正确 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）mlnx 图象与函数 g（x）2图象在交点处切线方程相同， 则 m 的值为 e 第 12 页（共 19 页） 【解答】解：设函数 f（x）和 g（x）的交点为（x0，y0） ，则 由 f（x）mlnx，得() = ， f（x）在（x0，y0）处的切线方程的斜率1= 0， 同理，函数 g（x）在（x0，y0）处的切线方程的斜率2= 0 0 ， f（x）和 g（x）在交点处切线方程相同， k1k2，即 0

25、= 0 0 ， 又 y0f（x0）mlnx0，0= (0) = 20， 由解得，me 故答案为：e 14 （5 分）已知ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a+b2c，3c5b， 则 A 2 3 【解答】解：因为 = 7 3， = 5 3 ， = 2+22 2 = 2+(5 3) 2(7 3) 2 2(5 3) = 1 2， = 2 3 ， 故答案为：2 3 15 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 在第 一象限交于点 M，与抛物线 C 的准线交于点 N，过点 M 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足 为 H若|MF

26、|2|NF|，| = 65，则抛物线 C 的标准方程是 y28x 【解答】 解： y28x 设 M （x1， y1） ， ( 2 ，2) 因为|MF|2|NF|， 所以| = 1+ 2 = 3， 所以1= 5 2 ，1= 5，则2= 5 2 因为 MHNH，所以( 2 ，5)，所以 | = 5 + 5 2 = 65，则 p4， 故抛物线 C 的标准方程是 y28x 故答案为：y28x 16 （5 分）已知 m 为整数，若对任意 x（3，+） ，不等式(3) 1 恒成立，则 m 的最大值为 1 第 13 页（共 19 页） 【解答】解法一：由对任意 x（3，+） ，不等式(3) 1 恒成立， x

27、e+3 时， 1 +3 1 即 e me+3， m1，这是满足题意的一个必要条件，又 m 为整数， 只需验证 m1 时，对任意的 x3，不等式式(3) 1 恒成立， 即证(3) 1 ， 即 ln（x3） 对任意的 x3 恒成立， 令 g（x）ln（x3） ，x3， () = 3+ (3)， 易得 g（x）在（e+3，+）上单调递减，在（3，e+3）上单调递增， 所以 g（x）g（e+3）= 3 0， 所以 ln（x3） 对应任意的 x3 时恒成立，故 m1 满足题意，即 m 的最大值 1 故答案为：1 法二：令 f（x）= (3) ，则() = 3(3) 2 ， 令 t（x）= 3 ( 3)，

28、则() = 3 (3)2 1 3 0， 所以 t（x）在（3，+）上单调递减， 又 t（7）0，t（8）0， 故存在 x0（7，8）使得 t（x0）= 0 03 ln（x03）0， 当 x（3，x0）时，t（x）0，即 f（x）0，f（x）单调递增，当 x（x0，+）时， t（x）0，即 f（x）0，f（x）单调递减， f（x）maxf（x0）= (03) 0 = 1 03 (1 5， 1 4)， 故 1 1 4，则 e m4，即 m 的最大值为 1 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知等差数列an的公差 d2，

29、其前项和为 Sn，且等比数列bn满足 b1a1， b2a4，b3a13 （）求数列an的通项公式和数列bn的前项和 Bn； 第 14 页（共 19 页） （）记数列* 1 +的前项和为 Tn，求 Tn 【解答】解： （I）由题意可得：ana1+2（n1） ，2 2 =b1b3，(1+ 6)2=a1（a1+24） ， 解得 a13 an3+2（n1）2n+1 设等比数列bn的公比为 q，则 q= 2 1 = 4 1 = 9 3 =3 数列bn的前项和 Bn= 3(31) 31 = 3 2 (3 1) （）由（I）可得：Sn= (3+2+1) 2 =n2+2n 1 = 1 2+2 = 1 2 (1

30、 1 +2) 数列* 1 +的前项和为 Tn= 1 2 ,(1 1 3) + ( 1 2 1 4) + ( 1 3 1 5) + + ( 1 1 1 +1) + ( 1 1 +2)- = 1 2 (1 + 1 2 1 +1 1 +2) = 3 4 2+3 2(+1)(+2) 18 （12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，DEAB，ACBC，平面 DAC平面 ABC，BC 2AC4，AB2DE，DADC （1）若点 F 为 BC 的中点，证明：EF平面 ABC； （2） 若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60， 求平面 DCE 与平面 ABC 所成的角 （锐角） 的余弦值 【解答】解

31、： （1）证明：取 AC 的中点 O，连接 EF，OF， 在DAC 中，DADC，DOAC， 由平面 DAC平面 ABC，且交线为 AC，得 DO平面 ABC， O，F 分别为 AC，BC 的中点，OFAB，且 AB2OF， 又 DEAB，AB2DE，且 OFDE， 四边形 DEFO 为平等四边形，EFDO， 第 15 页（共 19 页） EF平面 ABC （2）解：DO平面 ABC，ACBC， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，过点 O 与 CB 平行的直线为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直 角坐标系， 则 A（1，0，0） ，C（1，0，0） ，B（1，4，0） ， EF平面 ABC

32、，直线 BE 与平面 ABC 所成角为EBF60， DOEFBFtan6023，D（0，0，23） ，E（1，2，23） ， 取平面 ABC 的法向量 =（0，0，1） ， 设平面 DCE 的法向量 =（x，y，z） ， =（1，0，23） ， =（0，2，23） ， 则 = + 23 = 0 = 2 + 23 = 0 ，取 z1，得 =（23，3，1） ， cos ， = | |= 1 14 = 1 4， 平面 DCE 与平面 ABC 所成的角（锐角）的余弦值为1 4 19 （12 分）如图，椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，设 A，B 分别为椭圆 C 的右

33、顶点，下顶点，OAB 的面积为 1 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知不经过点 A 的直线 l：ykx+m（k0，mR）交椭圆于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点为 M，若|PQ|2|AM|，求证：直线 l 过定点 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）有题意可得 = 3 2 ，1 2 =1，c2a2b2，解得：a24，b21， 所以椭圆的方程为： 2 4 +y21； （2）证明：由（1）可得 A（2，0） ，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 直线与椭圆联立可得： = + 2+ 42 4 = 0，整理可得： （1+4k 2）x2+8kmx+4m240， 0， x1+

34、x2= 8 1+42，x1x2= 424 1+42 ，y1+y2k（x1+x2）+2m= 82 1+42 +2m= 2 1+42， 因为线段 PQ 的中点为 M，若|PQ|2|AM|，所以可得以 PQ 为直径的圆过 A 点 所以 =0， （x12，y1） （x22，y2）0，可得 x1x22（x1+x2）+4+y1y20，即 4（1+k2）x1x2+ （km2） （x1+x2）+m2+40， 可得 12k2+16km+5m20，解得：k= 1 2，k= 5 6m， 所以直线为：y= 1 2m（x2） ，或 y= 5 6（x 6 5） ， 所以直线 l 过定点（2，0）或（6 5，0） ， 而直

35、线不过 A 点， 所以直线 l 过（6 5，0） 20 （12 分）若方程 f（x）x 有实数根 x0，则称 x0为函数 f（x）的一个不动点已知函数 f（x）ex lnx+（a+1）xalnx（aR） （1）若 ae，求证：f（x）有唯一不动点； （2）若 f（x）有两个不动点，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）证明：当 ae 时，由 f（x）x 得 + = 0，令 () = + (0)， 则() = 2 + = (1)(1) 2 ，易知 ex 1x 在（0，+）上恒成立， 故当 x（0，1）时，F（x）0，F（x）在（0，1）上单调递减， 当 x（1，+）时，F（x）0，F（x）

36、在（1，+）上单调递增， F（x）minF（1）ee+eln10， 第 17 页（共 19 页） 方程 + = 0有唯一实数根 x01，故 f（x）有唯一不动点； （2）f（x）有两个不动点等价于函数() = + 在（0，+）上有两个不同的零 点， 令 = ，则有 h（x）g（t）t+alnt，函数 h（x）有两个零点等价于函数 g（t） 在（e，+）上有唯一零点， 即方程1 = 在（e，+）上有唯一解， 考虑() = ()，因() = 1 2 0，故 h（t）在（e，+）上单调递增，且 () = 0， 故 1 1 0， ae 21 （12 分） 绿水青山就是金山银山 近年来， 祖国各地依托本

37、地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念， 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道 某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价 格每下调 1 元，游

38、客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 【解答】 解： （1） 当收费为 20 元时， 照片被带走的可能性为 0.3， 不被带走的概率为 0.7， 设每个游客的利润为 Y1元，则 Y1是随机变量，其分布列为： Y1 15 5 P 0.3 0.7 E（Y1）150.350.71（元） ， 第 18 页（共 19 页） 则 5000 个游客的平均利润为 5

39、000 元， 当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为 0.3+0.05100.8，不被带走的概率为 0.2， 设每个游客的利润为 Y2，则 Y2是随机变量，其分布列为： Y2 5 5 P 0.8 0.2 E（Y2）50.850.23（元） ， 则 5000 个游客的平均利润为 5000315000（元） ， 该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元 （2）设降价 x 元，则 0x15，照片被带走的可能性为 0.3+0.05x， 不被带走的可能性为 0.70.05x， 设每个游客的利润为 Y 元，则 Y 是随机变量，其分布列为： Y 15x 5 P 0.3+0.05x 0.70.05x

40、 E（Y）（15x）（0.3+0.05x）5（0.70.05x）0.0569（x7）2， 当 x7 时，E（Y）有最大值 3.45 元， 当定价为 13 元时，日平均利润取最大值为 50003.4517250 元 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C

41、的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【解答】 解：（） 椭圆C以极坐标系中的点 （0， 0） 为中心、 点 （1， 0） 为焦点、（2， 0） 为一个顶 点 所以 c1，a= 2，b1， 所以椭圆的方程为 2 2 + 2= 1，转换为极坐标方程为2= 2 1+2 （） 直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 第 19 页（共 19 页） 所以 2 + 2 = 0 2 2 + 2= 1 ，整理得 9x216x+60， 所以1+ 2= 16 9 ，12= 6 9， 所以| = 1 + (2)2|x1x2|= 5(1+ 2)2 412= 10 9 2 23已知函数 f（x）= | 6| + | 的定义域为 R （1）求实数 m