1、 第 1 页（共 19 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（29） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 3 （5 分） 已知向量 ， ， 其中| | = 2，| = 2， 且( ) ， 则与 的夹角是 （ ） A 6 B 4 C 2 D 3 4 （5 分）等比数
2、列an的前 5 项的和 S510，前 10 项的和 S1050，则它的前 20 项的和 S20（ ） A160 B210 C640 D850 5 （5 分）在ABC 中，A60，AC= 2，BC= 6，则 C（ ） A30 B45 C60 D90 6 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 L，A、B 是抛物线上的两个动点， 且满足AFB= 3设线段 AB 的中点 M 在 L 上的投影为 N，则 | | 的最大值是（ ） A2 3 B1 C3 2 D1 6 7 （5 分）从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 则抽得的第一张卡
3、片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（ ） A2 5 B3 5 C3 8 D5 8 8 （5 分）已知正四面体 ABCD 的棱长为3，则其外接球的体积为（ ） A8 3 B92 8 C82 9 D9 2 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） “微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号用户 通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况 某人根据 2018 年 1 月至 2018 年 11 月期 间每月离步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图根据该折线图，下列 结论正确的是（ ） 第 2 页（共
4、 19 页） A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 10 月 C月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳 10 （5 分）已知函数 f（x）sinxcosx，g（x）是 f（x）的导函数，则下列结论中正确的 是（ ） A函数 f（x）的值域 g（x）的值域不相同 B把函数 f（x）的图象向右平移 2个单位长度，就可以得到函数 g（x）的图象 C函数 f（x）和 g（x）在区间（ 4， 4）上都是增函数 D若 x0是函数 f（x）的极值点，则 x0是函数 g（x）的零点 11 （5 分）关于函数 f（x
5、）= 2+1 1 ，正确的说法是（ ） Af（x）有且仅有一个零点 Bf（x）的定义域为x|x1 Cf（x）在（1，+）单调递增 Df（x）的图象关于点（1，2）对称 12 （5 分）棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M、N 分别在线段 AB1、BC1上运 动（不包括线段端点） ，且 AMBN以下结论正确的是（ ） 第 3 页（共 19 页） AAA1MN B若点 M、N 分别为线段 AB1、BC1的中点，则由线 MN 与 AB1确定的平面在正方体 ABCDA1B1C1D1上的截面为等边三角形 C四面体 MBCN 的体积的最大值为 1 24 D直线 D1M 与直线 A1N
6、的夹角为定值 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x0，1时，f（x）x+2， 则 f（3 2） 14（5 分） 已知 （x2+1）（x2） 9a0+a1 （x1） +a2（x1） 2+a11 （x1） 11， 则 a1+a2+a3+ +a11的值为 15（5 分） 已知双曲线 x2 2 =1的焦点到渐近线的距离为1， 则双曲线的离心率为 16 （5 分）已知函数 f（n）n2cos（n） ，数列an满足 anf（n）+f（n+1） （nN+） ，则 a1+a2
7、+a2n 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在等差数列an和正项等比数列bn中，a11，b12，且 b1，a2，b2成等差 数列，数列bn的前 n 项和为 Sn，且 S314 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）令= ， （1）ndnncn+n，求数列dn的前项和为 Tn 18 （12 分）在cos2B3sinB+202bcosC2ac = :1 3 三个条件中任选一 个，补充在下面问题中，并加以解答， 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 ，且 a，b，c 成等差数 列，则ABC 是否为等边三角形？若是，写出
8、证明；若不是，说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项 解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由 3 个人依次出场解密，每人限定时 间是 1 分钟内， 否则派下一个人.3 个人中只要有一人解密正确， 则认为该团队挑战成功， 否则挑战失败根据甲以往解密测试情况，抽取了甲 100 次的测试记录，绘制了如下的 频率分布直方图 （1）若甲解密成功所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并求出甲在 1 分钟内解密成 功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自
9、各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的 概率分别为 PnP1（ 9 10） n1+1 10 （n1，2，3） ，其中 Pi表示第 i 个出场选手解密成 功的概率，并且 P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立 求该团队挑战成功的概率； 该团队以 Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派 出的人员数目 X 的分布列与数学期望 20（12 分） 如图， 已知多面体 ABCDA1B1C1D1， AA1， BB1， CC1， DD1均垂直于平面 ABCD， ADBC，ABBCCDAA1CC12，BB11，ADDD14 （）证明：A1C1平面 CDD
10、1C1； （）求直线 BC1与平面 A1B1C1所成角的正弦值 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，中心在原点的椭圆 C 经过点( 33 2 ，1)，其右焦 点与抛物线2= 45的焦点重合 第 5 页（共 19 页） （）求椭圆 C 的标准方程； （）设点 M（m，0）为长轴上的一个动点，过点 M 作斜率为2 3的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，试判断|MA|2+|MB|2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 22 （12 分）已知函数() = 1 (1) + ( 1)，其中 nN*，a 为常数 （）当 n2 时，求函数 f（x）的极值； （）当 a1 时，
11、证明：对任意的正整数 n，当 x2 时，有 f（x）x1 第 6 页（共 19 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（29） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3
12、+2i 【解答】解： = 2+3 = (2+3)() 2 = 3 2， = 3 + 2 故选：B 3 （5 分） 已知向量 ， ， 其中| | = 2，| = 2， 且( ) ， 则与 的夹角是 （ ） A 6 B 4 C 2 D 3 【解答】解：由| | = 2，| = 2，且( ) ， 所以（ ） =0，即 2 =0， 所以 = 2 =2， 所以 cos= | | |= 2 22 = 2 2 ； 又 0， 所以 = 4， 即 与 的夹角是 4 故选：B 4 （5 分）等比数列an的前 5 项的和 S510，前 10 项的和 S1050，则它的前 20 项的和 S20（ ） 第 7 页（共
13、19 页） A160 B210 C640 D850 【解答】解：由等比数列的性质可知 S5，S10S5，S15S10，S20S15成等比数列， 即 10，40，S1550，S20S15成等比数列 可知：其公比为 4， S2010+40+160+640850 故选：D 5 （5 分）在ABC 中，A60，AC= 2，BC= 6，则 C（ ） A30 B45 C60 D90 【解答】解：由正弦定理得： = ， 6 600 = 2 ， = 1 2， 又ab，AB，且 0B， B300， C1800AB900， 故选：D 6 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 L，A、B 是抛物
14、线上的两个动点， 且满足AFB= 3设线段 AB 的中点 M 在 L 上的投影为 N，则 | | 的最大值是（ ） A2 3 B1 C3 2 D1 6 【解答】解：设|AF|a，|BF|b，连接 AF、BF， 由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|， 在梯形 ABPQ 中，2|MN|AQ|+|BP|a+b 由余弦定理得， |AB|2a2+b22abcos60a2+b2ab， 配方得，|AB|2（a+b）23ab， 又ab（: 2 ）2， （a+b）23ab（a+b）2 3 4（a+b） 2=1 4（a+b） 2 得到|AB| 1 2（a+b） | | 1， 第 8 页（共 19 页）
15、即| | 的最大值为 1 故选：B 7 （5 分）从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（ ） A2 5 B3 5 C3 8 D5 8 【解答】解：从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 基本事件总数 n4416， 抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有 10 种，分别为： （1，1） ， （2，1） ， （2，2） ， （3，1） ， （3，2） ， （3，3） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ， （
16、4， 4） ， 则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 p= 10 16 = 5 8 故选：D 8 （5 分）已知正四面体 ABCD 的棱长为3，则其外接球的体积为（ ） A8 3 B92 8 C82 9 D9 2 【解答】解：如图所示： 过 A 作 AE平面 BCD， 由于 ABBCCDADBD= 3，所以 =(3)2 ( 3 2 )2= 3 2， 所以 BE= 2 3 3 2 = 1， 利用勾股定理的应用解得 = 3 1 = 2 设外接球的半径为 r， 第 9 页（共 19 页） 则：12+ (2 )2= 2，解得：r= 32 4 ， 所以 V= 4 3 (3 2 4 )3
17、= 92 8 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） “微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号用户 通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况 某人根据 2018 年 1 月至 2018 年 11 月期 间每月离步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图根据该折线图，下列 结论正确的是（ ） A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 10 月 C月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳 【解答】解
18、：根据题意，依次分析选项： 在 A 中，2 月跑步里程比 1 月的小，8 月跑步里程比 7 月的小，11 月跑步里程比 10 月的 小，故 A 错误； 在 B 中，月跑步里程 10 月最大，故 B 正确； 第 10 页（共 19 页） 在 C 中，月跑步里程高峰期大致在 9、10 月从小到大依次为 2 月、8 月、3 月、4 月、1 月、5 月、7 月、6 月、11 月、9 月、10 月，故 C 正确； 在 D 中， 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月， 波动性更小， 变化比较平稳， 故 D 正确 故选：BCD 10 （5 分）已知函数 f（x）sinxcosx，g（x
19、）是 f（x）的导函数，则下列结论中正确的 是（ ） A函数 f（x）的值域 g（x）的值域不相同 B把函数 f（x）的图象向右平移 2个单位长度，就可以得到函数 g（x）的图象 C函数 f（x）和 g（x）在区间（ 4， 4）上都是增函数 D若 x0是函数 f（x）的极值点，则 x0是函数 g（x）的零点 【解答】解：函数 f（x）sinxcosx，g（x）f（x）cosx+sinx， 对于 A，f（x）= 2sin（x 4） ，值域是2，2； g（x）= 2sin（x+ 4） ，值域是2，2，它们的值域相同，所以 A 错误； 对于 B，函数 f（x）的图象向右平移 2个单位长度， 得 yf
20、（x 2）= 2sin（x 3 4 ） 2sin（x+ 4）的图象，不是 g（x）的图象，所以 B 错误； 对于 C，x（ 4， 4）时，x 4（ 2，0） ，f（x）是单调增函数； x（ 4， 4）时，x+ 4（0， 2） ，g（x）是单调增函数；所以 C 正确； 对于 D，若 x0是函数 f（x）的极值点，则 g（x0）0， 即 x0是函数 g（x）的零点，D 正确 故选：CD 11 （5 分）关于函数 f（x）= 2+1 1 ，正确的说法是（ ） Af（x）有且仅有一个零点 Bf（x）的定义域为x|x1 Cf（x）在（1，+）单调递增 Df（x）的图象关于点（1，2）对称 第 11 页（
21、共 19 页） 【解答】解：f（x）= 2+1 1 = 2(1)+3 1 =2+ 3 1，作出函数 f（x）图象如图： 由图象可知，函数只有一个零点，定义域为 x1，在（1，+）上单调递减，图象关于 （1，2）对称， 故 C 错误， 故选：ABD 12 （5 分）棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M、N 分别在线段 AB1、BC1上运 动（不包括线段端点） ，且 AMBN以下结论正确的是（ ） AAA1MN B若点 M、N 分别为线段 AB1、BC1的中点，则由线 MN 与 AB1确定的平面在正方体 ABCDA1B1C1D1上的截面为等边三角形 C四面体 MBCN 的体积的
22、最大值为 1 24 D直线 D1M 与直线 A1N 的夹角为定值 【解答】解：A作 NEBC，MFAB，垂足分别为 E，F，AMBN，NEMF， 四边形 MNEF 是矩形，MNFE，AA1面 AC，EF面 AC，AA1EF，AA1 MN，故 A 正确； B 点 M、 N 分别为线段 AB1、 BC1的中点， 则由线 MN 与 AB1确定的平面在正方体 ABCD A1B1C1D1上的截面为AB1C，为等边三角形，故 B 正确 第 12 页（共 19 页） C设 BNBC1，则 VMBCN= 1 3 dMBCN，又 AMBNBC1AB1， SBCN= 1 2 ， dMBCN （1） AB1， VM
23、BCN= 1 3 dMBCN= 1 6 (1 ) 1 24， 当且仅当 = 1 2时取得最大值，故 C 成立； D设 BNBC1，当 接近于 0 时，直线 D1M 与直线 A1N 的夹角近似于直线 D1A 和直 线 A1B 的夹角，接近于 3，当 接近于 1 时，直线 D1M 与直线 A1N 的夹角近似于直线 D1B1和直线 A1C1的夹角，接近于 2，故 D 不正确； 故选：ABC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x0，1时，f（x）x+2， 则 f（3
24、2） 5 2 【解答】解：依题意得 f（x）f（x）且 f（x+2）f（x） ， f（3 2）f（ 3 2）f（ 3 2 +2）f（1 2）= 1 2 +2= 5 2， 故答案为：5 2 14（5 分） 已知 （x2+1）（x2） 9a0+a1 （x1） +a2（x1） 2+a11 （x1） 11， 则 a1+a2+a3+ +a11的值为 2 【解答】 解： 已知(2+ 1)( 2)9= 0+ 1( 1) + 2( 1)2+ + 11( 1)11， 令 x1，可得 a02， 再令 x2，可得 02+a1+a2+a11，求得 a1+a2+a112， 故答案为：2 15（5 分） 已知双曲线 x2
25、 2 =1 的焦点到渐近线的距离为 1， 则双曲线的离心率为 2 【解答】解：根据条件可得 a21，b2m，则 c= 1 + ，渐近线方程为 y x， 第 13 页（共 19 页） 故焦点到渐近线距离 d= 2+2 = =b1， 故 c= 2， 所以离心率 e= 2 1 = 2， 故答案为：2 16 （5 分）已知函数 f（n）n2cos（n） ，数列an满足 anf（n）+f（n+1） （nN+） ，则 a1+a2+a2n 2n 【解答】解：函数 f（n）n2cos（n） ，数列an满足 anf（n）+f（n+1） （nN+） ， a2k1f（2k1）+f（2k）（2k1）2+（2k）24k
26、1 a2kf（2k）+f（2k+1）（2k）2（2k+1）24k1 a2k1+a2k2 a1+a2+a2n2n 故答案为：2n 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在等差数列an和正项等比数列bn中，a11，b12，且 b1，a2，b2成等差 数列，数列bn的前 n 项和为 Sn，且 S314 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）令= ， （1）ndnncn+n，求数列dn的前项和为 Tn 【解答】解： （1）等差数列an的公差设为 d，正项等比数列bn的公比设为 q，q0， a11，b12，且 b1，a2，b2成等差数列， 可得 2a2
27、b1+b2，即 2（1+d）2+2q，即 dq， 数列bn的前 n 项和为 Sn，且 S314，可得 2+2q+2q214，解得 q2，d2， 则 an2n1，bn2n； （2）= =2n+11， （1）ndnncn+nn2n+1， 则 dn2n （2）n， 前项和为 Tn2 （2）+44+6 （8）+2n （2）n， 2Tn24+4 （8）+616+2n （2）n+1， 相减可得 3Tn4+2（4+（8）+（2）n）2n （2）n+1 第 14 页（共 19 页） 4+24(1;(;2) 1) 1;(;2) 2n （2）n+1， 化简可得 Tn= 4 9 6+2 9 （2）n+1 18 （1
28、2 分）在cos2B3sinB+202bcosC2ac = :1 3 三个条件中任选一 个，补充在下面问题中，并加以解答， 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 ，且 a，b，c 成等差数 列，则ABC 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解：选择cos2B3sinB+20， 则：12sin2B3sinB+20， 化为：2sin2B+3sinB30， 解得 sinB= 3 2 ， 又 a，b，c 成等差数列， 2ba+c，B 为锐角 B= 3 b2a2+c22accosB（a+c）23ac， 化为
29、：b2ac (+ 2 )2=ac，可得 ac ABC 是等边三角形 故答案为： 19 （12 分）在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项 解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由 3 个人依次出场解密，每人限定时 间是 1 分钟内， 否则派下一个人.3 个人中只要有一人解密正确， 则认为该团队挑战成功， 否则挑战失败根据甲以往解密测试情况，抽取了甲 100 次的测试记录，绘制了如下的 频率分布直方图 （1）若甲解密成功所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并求出甲在 1 分钟内解密成 功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力
30、，甲，乙，丙解密成功的 第 15 页（共 19 页） 概率分别为 PnP1（ 9 10） n1+1 10 （n1，2，3） ，其中 Pi表示第 i 个出场选手解密成 功的概率，并且 P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立 求该团队挑战成功的概率； 该团队以 Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派 出的人员数目 X 的分布列与数学期望 【解答】解： （1）甲解密成功所需时间的中位数为 47， 0.015+0.0145+b5+0.0345+0.04（4745）0.5， 解得 b0.026， 0.043+0.0325+a5+0.010100.5
31、解得 a0.024 甲在 1 分钟内解密成功的频率是 f10.01100.9 （2）由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为 p10.9， 第二个出场选手解密成功的概率为 p20.9 9 10 + 1 10 1 =0.91， 第三个出场选手解密成功的概率为 p30.9 ( 9 10) 2 + 1 10 2 =0.929， 该团队挑战成功的概率为 p0.9+0.10.91+0.10.090.9290.999361 由知按 Pi从小到大的顺序的概率分别为 p1，p2，p3， 根据题意知 X 的可能取值为 1，2，3， 则 P（X1）0.9， P（X2）（10.9）0.910.091， P（
32、X3）（10.9） （10.91）0.009， 团队挑战成功所需派出的人员数目 X 的分布列为： X 1 2 3 P 0.9 0.091 0.009 第 16 页（共 19 页） E（X）10.9+20.091+30.0091.109 20（12 分） 如图， 已知多面体 ABCDA1B1C1D1， AA1， BB1， CC1， DD1均垂直于平面 ABCD， ADBC，ABBCCDAA1CC12，BB11，ADDD14 （）证明：A1C1平面 CDD1C1； （）求直线 BC1与平面 A1B1C1所成角的正弦值 【解答】 （）证明：如图，连接 AC， AA1CC1，且 AA1CC1， 四边形
33、 ACC1A1为平行四边形，即 A1C1AC 又底面 ABCD 为等腰梯形，且 ABBCCD2，AD4，ACCD CC1平面 ABCD，AC平面 ABCD， CC1AC 又 CDCC1C，AC平面 CDD1C1， A1C1平面 CDD1C1； （）解：法一、由题意得1= 22，延长 DC，D1C1，AB，A1B1交于点 G，取 CG 中点 M，连接 BM，AC BMACA1C1，BM平面 A1B1C1，A1C1平面 A1B1C1， BM平面 A1B1C1， 点 B 到平面 A1B1C1的距离和点 M 到平面 A1B1C1的距离相等 由（）知 A1C1平面 CDD1C1， 又 A1C1平面 A1
34、B1C1， 平面 A1B1C1平面 CDD1C1 过点 M 作 MHGD1于点 H，则 MH平面 A1B1C1， 即点 M 到平面 A1B1C1的距离为 = 2 2 设直线 BC1与平面 A1B1C1所成的角为 ， 第 17 页（共 19 页） 则 = 1 = 2 2 22 = 1 4， 即直线 BC1与平面 A1B1C1所成角的正弦值为1 4； 解法二、以 D 为坐标原点，DA 所在直线为 x 轴，过点 D 且垂直于平面 ADD1A1的直线 为 y 轴，DD1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(3， 3 ，0)，1(4，0，2)，1(3， 3 ，1)，1(1， 3 ，2)，
35、 1 = (2，0，2)，11 = (3， 3 ，0)，11 = (2，0，1) 设平面 A1B1C1的法向量 = (，)， 由 11 = 3 + 3 = 0 11 = 2 + = 0 ，令 x1，得 = (1， 3 ，2) 设直线 BC1与平面 A1B1C1所成的角为 ， 则 = | 1， | = 2 2222 = 1 4， 即直线 BC1与平面 A1B1C1所成角的正弦值为1 4 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，中心在原点的椭圆 C 经过点( 33 2 ，1)，其右焦 点与抛物线2= 45的焦点重合 （）求椭圆 C 的标准方程； 第 18 页（共 19 页） （）设点 M（
36、m，0）为长轴上的一个动点，过点 M 作斜率为2 3的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，试判断|MA|2+|MB|2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 【解答】解： （）由题意知椭圆 C 的两个焦点1(5，0)，2(5，0) 设椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)由 27 42 + 1 2 = 1 2 2= 5 解得， 2 = 9 2= 4 故椭圆 C 的标准方程是 2 9 + 2 4 = 1 （）由题意可设直线 l 的方程为 = 2 3 ( ) 联立 = 2 3 ( ) 2 9 + 2 4 = 1 消去 y 得，2x22mx+m290 因为（2m）28（m29）0
37、，所以 (32，32) 因为点 M（m，0）为椭圆 C 长轴上的一个动点，所以 m（3，3） 此时0设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则1+ 2= ，12= 29 2 于 是 |MA|2+|MB|2= (1 )2+ 12+ (2 )2+ 2 2 = 13 9 (1 )2+ 13 9 (2 )2= 13 9 (12+ 22) 26 9 (1+ 2) + 26 9 2= 13 9 (1+ 2)2 212 26 9 (1+ 2) + 26 9 2= 13 故|MA|2+|MB|2为定值 13 22 （12 分）已知函数() = 1 (1) + ( 1)，其中 nN*，a 为常数 （）当 n
38、2 时，求函数 f（x）的极值； （）当 a1 时，证明：对任意的正整数 n，当 x2 时，有 f（x）x1 【解答】解： （）解：由已知得函数 f（x）的定义域为x|x1， 当 n2 时，() = 1 (1)2 + ( 1)，所以() = 2(1)2 (1)3 （1）当 a0 时，由 f（x）0 得1= 1 +2 1，2 = 1 2 1， 此时() = (1)(2) (1)3 当 x（1，x1）时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（x1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增 （2）当 a0 时，f（x）0 恒成立，所以 f（x）无极值 第 19 页（共 19 页） 综上所述，n2 时，
39、 当 a0 时，f（x）在 = 1 +2 处取得极小值，极小值为(1 + 2 ) = 2 (1 + 2 ) 当 a0 时，f（x）无极值 （）证法一：因为 a1，所以() = 1 (1) + ( 1) 当 n 为偶数时， 令() = 1 1 (1) ( 1)， 则() = 1 + (1)+1 1 1 = 2 1 + (1)+1 0（x2） 所以当 x2，+）时，g（x）单调递增， 又 g（2）0， 因此() = 1 1 (1) ( 1) (2) = 0恒成立， 所以 f（x）x1 成立 当 n 为奇数时，要证 f（x）x1，由于 1 (1;) 0，所以只需证 ln（x1）x1， 令 h（x）x
40、1ln（x1） ， 则() = 1 1 1 = 2 1 0（x2） ， 所以当 x2，+）时，h（x）x1ln（x1）单调递增，又 h（2）10， 所以当 x2 时，恒有 h（x）0，即 ln（x1）x1 命题成立 综上所述，结论成立 证法二：当 a1 时，() = 1 (1) + ( 1) 当 x2 时，对任意的正整数 n，恒有 1 (1;) 1， 故只需证明 1+ln（x1）x1 令 h（x）x1（1+ln（x1） ）x2ln（x1） ，x2，+） ， 则() = 1 1 1 = 2 1， 当 x2 时，h（x）0，故 h（x）在2，+）上单调递增， 因此当 x2 时，h（x）h（2）0，即 1+ln（x1）x1 成立 故当 x2 时，有 1 (1;) + ( 1) 1 即 f（x）x1
