1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分） 设全集为 R， 集合 Ax|3x3， Bx|x24x50， 则 ARB （ ） A （3，0） B （3，1 C （3，1） D （3，3） 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3:2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 3 （5 分）某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有 6 名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内 外的观众可以通
2、过网络平台给每位参赛选手评分某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分 情况如表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照70，80） ，80， 90） ，90，100分组，绘成频率分布直方图如图： 嘉宾 A B C D E F 评分 96 95 96 89 97 98 嘉宾评分的平均数为1，场内外的观众评分的平均数为2，所有嘉宾与场内外的观众评 分的平均数为，则下列选项正确的是（ ） A = 1+2 2 B 1+2 2 C 1+2 2 D12 1+2 2 4 （5 分）如图，已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右顶点为 A，O 为坐标原点， 以 A 为圆心的圆与双曲线 C
3、 的某渐近线交于两点 P，Q若PAQ60且 =3 ， 则双曲线 C 的离心率为（ ） 第 2 页（共 22 页） A23 3 B 7 2 C 39 6 D3 5 （5 分）设 xR，ax24x+4，b2x26x+5，则（ ） Aab Bab Cab Dab 6 （5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余 3 件为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件， 至少有一件次品的概率为（ ） A0.4 B0.6 C0.7 D0.8 7 （5 分）数列an是公差为 2 的等差数列，Sn为其前 n 项和，且 a1，a4，a13成等比数列， 则 S4（ ） A8 B12 C16 D24 8 （5 分）在
4、( + 4 + 4 3) 3的展开式中含 x3项的系数为（ ） A80 B120 C160 D224 9 （5 分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A17 4 B1717 24 C17 2 D1717 8 10 （5 分）函数 f（x）= 3 2|+2在，上的图象大致为（ ） 第 3 页（共 22 页） A B C D 11 （5 分）设 0，函数 f（x）sinxcos+cosxsin（0，| 2）的图象经过点 （0， 1 2） ，将该函数的图象向右平移 6个单位后所得函数图象关于 y 轴对称，则 的最 小值是（ ） A1 B2 C3 D4 12（5 分） 已知
5、抛物线 y24x 上一点 M 到焦点的距离为 3， 则点 M 到 y 轴的距离为 （ ） A1 2 B1 C2 D4 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数() = 2，1 ( + 3)， 1，则 f（2） 14 （5 分）已知矩形 ABCD 的边长为 AB2，BC3，E 为 BC 边上靠近点 B 的三等分点， 第 4 页（共 22 页） 则 = 15（5分） 表面积为43的正四面体的各个顶点都在同一个球面上， 则此球的体积为 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，当 n2 时，an+2Sn1
6、n，则 S2021的值 为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，已知 a2，A= 3 （1）若ABC 的面积等于23 3 ，证明ABC 是直角三角形； （2）求ABC 面积的最大值 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面ABC 是正三 角形，ABAA13，AE= 1 3 ，1 = 1 3 11 （1）求证：A1E平面 BCF； （2）求直线 AA1与平面 BCF 所成角的正弦值 19 （12 分）新水污染防治法已
7、由中华人民共和国第十二届全国人民代表大会常务委员 会第二十八次会议于 2017 年 6 月 27 日通过，自 2018 年 1 月 1 日起施行.2018 年 3 月 1 日，某县某质检部门随机抽取了县域内 100 眼水井，检测其水质总体指标 罗斯水质指数 02 24 46 68 810 水质状况 腐败污水 严重污染 污染 轻度污染 纯净 （1）求所抽取的 100 眼水井水质总体指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表） （2）由直方图可以认为，100 眼水井水质总体指标值 Z 服从正态分布 N（，2） ， 利用该正态分布，求 Z 落在（5.21，5.99）内的概率； 第
8、5 页（共 22 页） 将频率视为概率，若某乡镇抽查 5 眼水井的水质，记这 5 眼水井水质总体指标值位于 （6，10）内的井数为 X，求 X 的分布列和数学期望 附： 计算得所抽查的这 100 眼水井总体指标的标准差为= 0.152 0.39； 若 ZN （，2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2）0.9544 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 3 2 且经过点(1， 3 2 ) （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A、B，以 OA、OB 为邻边的平行四 边形 OAMB 的顶点 M 在椭圆
9、 C 上，求直线 l 的方程 21 （12 分）设函数 f（x）alnx+x，g（x）ex+x （）讨论函数 f（x）的单调性； （）令 h（x）f（x）g（x） ，当 a2 时，证明 h（x）2ln24 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直
10、线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）= 1 3|xa|， （aR） （1）当 a2 时，解不等式|x 1 3|+f（x）1； （2）设不等式|x 1 3|+f（x）x 的解集为 M，若 1 3， 1 2M，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2020 年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分）
11、 1 （5 分） 设全集为 R， 集合 Ax|3x3， Bx|x24x50， 则 ARB （ ） A （3，0） B （3，1 C （3，1） D （3，3） 【解答】解：Ax|3x3，Bx|1x5， RBx|x1 或 x5，ARB（3，1 故选：B 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3:2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 【解答】 解： 因为 3:2 = 1 ， 所以 zi （1i） （3+2i） 5i， 所以 = 1 5， 1 + 5， 故选：D 3 （5 分）某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有 6 名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内
12、外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分 情况如表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照70，80） ，80， 90） ，90，100分组，绘成频率分布直方图如图： 嘉宾 A B C D E F 评分 96 95 96 89 97 98 嘉宾评分的平均数为1，场内外的观众评分的平均数为2，所有嘉宾与场内外的观众评 分的平均数为，则下列选项正确的是（ ） A = 1+2 2 B 1+2 2 第 7 页（共 22 页） C 1+2 2 D12 1+2 2 【解答】解：1= 96+95+96+89+97+98 6 95.17， 2=750.2+850
13、.3+950.588， 由于场外有数万人观众，则2 1+2 2 1 故选：C 4 （5 分）如图，已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右顶点为 A，O 为坐标原点， 以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q若PAQ60且 =3 ， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A23 3 B 7 2 C 39 6 D3 【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程 为 y= x，A（a，0） ， P（m， ） ， （m0） ， 由 =3 ，可得 Q（3m，3 ） ， 圆的半径为 r|PQ|=42+ 422 2 =2m ， PQ 的中点为 H（2m，2 ） ， 由 AHPQ，可得
14、2 (2;) = ， 解得 m= 3 22，r= 2 A 到渐近线的距离为 d= | 2+2 = ， 则|PQ|22 2=r， 即为 d= 3 2 r，即有 = 3 2 2 第 8 页（共 22 页） 可得 = 3 2 ， e= =1 + 2 2 =1 + 3 4 = 7 2 另解：可得PAQ 为等边三角形， 设 OPx，可得 OQ3x，PQ2x， 设 M 为 PQ 的中点，可得 PMx，AM= 42 2= 3x， tanMOA= = 3 2 = ， 则 e=1 + ( ) 2 = 7 2 故选：B 5 （5 分）设 xR，ax24x+4，b2x26x+5，则（ ） Aab Bab Cab D
15、ab 【解答】解：ba2x26x+5（x24x+4）x22x+1（x1）20， ab 故选：D 6 （5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余 3 件为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件， 至少有一件次品的概率为（ ） A0.4 B0.6 C0.7 D0.8 【解答】解：记 5 件产品的编号分别为 1，2，3，a，b，其中 1，2，3 为合格品， 从 5 件产品中选 2 件的事件的结果有 12，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab 共 10 种， 满足条件的基本事件有 1a，1b，2a，2b，3a，3b，ab 共 7 种， 故所求的概率为 = 7 10 = 0.7 故
16、选：C 第 9 页（共 22 页） 7 （5 分）数列an是公差为 2 的等差数列，Sn为其前 n 项和，且 a1，a4，a13成等比数列， 则 S4（ ） A8 B12 C16 D24 【解答】解：数列an是公差 d 为 2 的等差数列，Sn为其前 n 项和，且 a1，a4，a13成等 比数列， 可得 a42a1a13，即（a1+6）2a1（a1+24） ， 解得 a13， 则 S44a1+6d43+6224 故选：D 8 （5 分）在( + 4 + 4 3) 3的展开式中含 x3项的系数为（ ） A80 B120 C160 D224 【解答】解：根据题意， （x+ 4 + 4 3） 3（x
17、+4 + 4 3） （x+ 4 + 4 3） （x+ 4 + 4 3） ，需要在 因式（x+ 4 + 4 3）各选取一项，相乘之后再相加； 若其展开式中出现含 x 3 项，有 2 种情况， 三个（x+ 4 + 4 3）因式中都选取 4 ，此时含 x 3 项的系数为 4364， 三个（x+ 4 + 4 3）因式中 x、 4 、 4 3各选取一次，此时含 x 3 项的系数为 C31C2144 96， 则其展开式中含 x 3 项的系数为 64+96160； 故选：C 9 （5 分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） 第 10 页（共 22 页） A17 4 B1717 24
18、 C17 2 D1717 8 【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分如图： 底面 BCD 是等腰三角形，边长为：2，5，5，外接圆的半径为 r，可得 r2（2r） 2+12，解得 r=5 4，三棱锥的外接球的半径为 R，R= 2+ (2 )2 =25 16 + 9 16 = 34 4 ， 外接球的表面积为：4 34 16 = 17 2 故选：C 10 （5 分）函数 f（x）= 3 2|+2在，上的图象大致为（ ） A 第 11 页（共 22 页） B C D 【解答】解：f（x）= ()3() 2|+()2 = 3 2|+2 = ()， 所以函数为奇函数，排除 B、C 选项，
19、 ( 4) = ( 4) 3 4 2 4+( 4) 2 0，所以排除 D 选项 故选：A 11 （5 分）设 0，函数 f（x）sinxcos+cosxsin（0，| 2）的图象经过点 （0， 1 2） ，将该函数的图象向右平移 6个单位后所得函数图象关于 y 轴对称，则 的最 小值是（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：由已知得 f（x）sin（x+） 由 f（0）= 1 2得 sin = 1 2， 因为| 2，所以 = 6所以 f（x）sin（x 6） 解法一： 将函数f （x） 的图象向右平移 6个单位后所得函数图象对应的函数为ysin （x 6） 6sin（x 6 6 ） 第 1
20、2 页（共 22 页） 由已知可得，所得函数为偶函数，所以 6 + 6 =k+ 2（kZ） ，解得 6k+2（kZ） 因为 0，所以 的最小值是 2 解法二：令 x 6 =k+ 2（kZ） ，解得 x= + 2 3（kZ） 所以函数 f（x）的图象的对称轴为直线 x= + 2 3（kZ） 将该函数的图象向右平移 6个单位后所得函数图象关于 y 轴对称，即函数 f（x）的图象的 一条对称轴向右平移 6个单位后与 y 轴重合， 故有 + 2 3 + 6 =0（kZ） ， 解得 （6k+4） （kZ） 因为 0，所以当 k1 时， 取得最小值 2 故选：B 12（5 分） 已知抛物线 y24x 上一
21、点 M 到焦点的距离为 3， 则点 M 到 y 轴的距离为 （ ） A1 2 B1 C2 D4 【解答】解：抛物线方程为 y24x 焦点为 F（1，0） ，准线为 l：x1， 设所求点坐标为 M（x，y） 作 MQl 于 Q 根据抛物线定义可知 M 到准线的距离等于 M、Q 的距离， 即 x+13，解之得 x2， 代入抛物线方程求得 y4， 故点 M 坐标为： （2，y） 即点 M 到 y 轴的距离为 2 故选：C 第 13 页（共 22 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数() = 2，1 ( + 3)，
22、 1，则 f（2） 2 【解答】解：由题意可得，f（2）f（1）f（4）log242 故答案为：2 14 （5 分）已知矩形 ABCD 的边长为 AB2，BC3，E 为 BC 边上靠近点 B 的三等分点， 则 = 7 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示； 则 A（0，2） ，B（0，0） ，C（3，0） ，E（1，0） ， 所以 =（1，2） ， =（3，2） ， 所以 =13+（2）（2）7 故答案为：7 15（5 分） 表面积为 43的正四面体的各个顶点都在同一个球面上， 则此球的体积为 6 第 14 页（共 22 页） 【解答】解：如图，将正四面体补形成一个正方体， 表面积为 43
23、的正四面体， 正四面体棱长为 a， 3 4 a2= 3，解得 a2， 正方体的棱长是2， 又球的直径是正方体的对角线，设球半径是 R， 2R= 6， R= 6 2 ， 球的体积为4 3（ 6 2 ）3= 6 故答案为：6 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，当 n2 时，an+2Sn1n，则 S2021的值 为 1011 【解答】解：因为数列an的前 n 项和为 Sn，a11，当 n2 时，an+2Sn1n， SnSn1+2Sn1nSn+Sn1n； Sn+1+Snn+1； 可得：Sn+1Sn1； 即Sn的奇数项以及偶数项均是公差为 1 的等差数列； 又 S1a11， 且
24、 2021210111 为奇数项的第 1011 项 S2n11011 故答案为：1011 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，已知 a2，A= 3 第 15 页（共 22 页） （1）若ABC 的面积等于23 3 ，证明ABC 是直角三角形； （2）求ABC 面积的最大值 【解答】解： （1）ABC 中，a2，A= 3， a2b2+c22bccosA， 即 4b2+c22bc 1 2， b2+c2bc4； 又ABC 的面积等于23 3 ， S= 1 2bcsi
25、nA= 3 4 bc= 23 3 ， bc= 8 3； 由解得 b2= 4 3，c 2=16 3 （不妨设 bc） ； a2+b2c2， ABC 是直角三角形； （2）ABC 中，a2b2+c22bccosA， 4b2+c22bc 1 2 2bcbcbc， bc4， ABC 的面积 S= 1 2bcsinA 1 2 4 3 2 = 3， ABC 面积的最大值为3 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面ABC 是正三 角形，ABAA13，AE= 1 3 ，1 = 1 3 11 （1）求证：A1E平面 BCF； （2）求直线 AA1与平面 BCF 所
26、成角的正弦值 第 16 页（共 22 页） 【解答】解： （1）证明：在线段 BC 上取一点 G使 = 1 3连结 EGFG 在ABC 中因为 = 1 3 ， = 1 3 所以 = 2 3 ， = 2 3 所以 = = 2 3 所以，EGAC 且 = 2 3 因为1 = 1 3 11，11 所以1 = 2 3 11= 2 3且1 所以 EGA1F 且 EGA1F 故四边形 A1FGE 为平行四边形，所以 A1EFG 又 A1E平面 BCF，FG平面 BCF 所以 A1E平面 BCF （2）以 B 为坐标原点，Bx，BC，BB 所在直线分别为 x，y，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因
27、为底面ABC 是正三角形，ABAA13AE= 1 3 1 = 1 3 11 所以点(0.0.0)(0.3.0)( 3 2 ， 5 2 ，3) 则 = (0.3.0). = ( 3 2 ， 5 2 ，3) 设平面 BCF 的法向量为 =（x，y，z） 第 17 页（共 22 页） 由 = (，) (0，3，0) = 0 = (，) ( 3 2 ， 5 2 ，3) = 3 2 + 5 2 + 3 = 0 令 = 3得平面 BCF 的一个法向量为 = (6.0 3) 又1 = (0，0，3) 设直线 AA1与平面 BCF 所成角的大小为 则 = | | | | = | (0，0，3)(6，0，3)
28、339 | = 13 13 所以直线 AA1与平面 BCF 所成角的正弦值为 13 13 19 （12 分）新水污染防治法已由中华人民共和国第十二届全国人民代表大会常务委员 会第二十八次会议于 2017 年 6 月 27 日通过，自 2018 年 1 月 1 日起施行.2018 年 3 月 1 日，某县某质检部门随机抽取了县域内 100 眼水井，检测其水质总体指标 罗斯水质指数 02 24 46 68 810 水质状况 腐败污水 严重污染 污染 轻度污染 纯净 第 18 页（共 22 页） （1）求所抽取的 100 眼水井水质总体指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表）
29、（2）由直方图可以认为，100 眼水井水质总体指标值 Z 服从正态分布 N（，2） ， 利用该正态分布，求 Z 落在（5.21，5.99）内的概率； 将频率视为概率，若某乡镇抽查 5 眼水井的水质，记这 5 眼水井水质总体指标值位于 （6，10）内的井数为 X，求 X 的分布列和数学期望 附： 计算得所抽查的这 100 眼水井总体指标的标准差为= 0.152 0.39； 若 ZN （，2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2）0.9544 【解答】解： （1）根据题意 =120.025+320.10+520.125+720.200+92 0.055.6； （2）由（1）知 5.6，又=
30、 0.152 0.39， P（5.21Z5.99）P（5.60.39Z5.6+0.39）P（Z+）0.6826； 这 5 眼水井水质总体指标值位于（6，10）内的概率 P2（0.200+0.05）= 1 2， 故随机变量 XB（5，1 2） ， P（X0）= (1 2) 5 = 1 32，P（X1）= 5 1(1 2) 5 = 5 32，P（X2）= 5 2 (1 2) = 5 16，P（X 3）= 5 3 (1 2) 5 = 5 16，P（X5）= 5 5 (1 2) 5 = 1 32 所以随机变量 X 的概率分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 1 32 5 32 5 16 5 16
31、 5 32 1 32 所以 E（X）6 1 2 =3 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 3 2 且经过点(1， 3 2 ) 第 19 页（共 22 页） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A、B，以 OA、OB 为邻边的平行四 边形 OAMB 的顶点 M 在椭圆 C 上，求直线 l 的方程 【解答】解： （1）由题意可知， 1 2 + 3 42 = 1 = 3 2 2= 2+ 2 ，解得 = 2 = 1 = 3 ， 椭圆 C 的方程为： 2 4 + 2= 1； （2）显然直线 l 的斜率存在，设直线
32、 l 的方程为：ykx+2，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程： = + 2 2 4 + 2= 1，消去 y 得： （1+4k 2）x2+16kx+120， 1+ 2= 16 1+42，12 = 12 1+42， y1+y2kx1+2+kx2+2k（x1+x2）+4= 4 1+42， 以 OA、OB 为邻边的四边形 OAMB 为平行四边形， + = ， =（x1+x2，y1+y2）= ( 16 1+42 ， 4 1+42)， 点 M 的坐标为( 16 1+42 ， 4 1+42)， 又点 M 在椭圆 C 上， ( 16 1+42) 2 + 4( 4 1+42) 2 = 4，
33、 化简得：16k456k2150， 解得：2= 15 4 ， = 15 2 ， 直线 l 的方程为：y= 15 2 + 2 21 （12 分）设函数 f（x）alnx+x，g（x）ex+x （）讨论函数 f（x）的单调性； （）令 h（x）f（x）g（x） ，当 a2 时，证明 h（x）2ln24 【解答】解： （）alnx+x，x0， f（x）= + 1 = + ， 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增， 第 20 页（共 22 页） 当 a0 时，令f（x）0 可得 xa， 当f（x）0 时，解得 xa， 令f（x）0 可得，0xa， 所以函数 f（x）在（a，+
34、）上单调递增，在（0，a）上单调递减， （）h（x）f（x）g（x）alnxex， 当 a2 时 h（x）2lnxex，h（x）= 2 ， 令 yh（x）= 2 ，则 = 2 2 0， 所以 h（x）在（0，+）上单调递减 取 x1= 1 2，x21，则( 1 2) = 4 0，h（1）2e0， 所以函数 h（x）存在唯一的零点0 (1 2，1)， 即(0) = 2 0 0=0， 所以当 x（0，x0） ，h（x）0，当 x（x0，+） ，h（x）0， 故函数 h（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+）单调递减， 所以当 xx0时，函数 h（x）取得极大值，也是最大值 h（x0）2lnx0
35、0， 由 2 0 0= 0可得0= 2 0， 两边同时取对数可得，x0ln2lnx0， 所以 lnx0ln2x0， 故 h（x0）2lnx00=2（ln2x0） 2 0 =2ln22（0+ 1 0） ， 由基本不等式可得0+ 1 0 20 1 0 =2，因为0 (1 2，1)， 所以0+ 1 0 2， 所以 h（x0）2ln22（0+ 1 0）2ln24， 又因为 h（x）h（x0） 即 h（x）2ln24， y= 1 2 = +8 2 所以当 a2 时，h（x）2ln24 成立 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）
36、 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 第 21 页（共 22 页） 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【解答】 解：（） 椭圆C以极坐标系中的点 （0， 0） 为中心、 点 （1， 0） 为焦点、（2， 0） 为一个顶 点 所以 c1，a= 2，b1， 所以椭圆的方程为 2 2 + 2= 1，转
37、换为极坐标方程为2= 2 1+2 （） 直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 所以 2 + 2 = 0 2 2 + 2= 1 ，整理得 9x216x+60， 所以1+ 2= 16 9 ，12= 6 9， 所以| = 1 + (2)2|x1x2|= 5(1+ 2)2 412= 10 9 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）= 1 3|xa|， （aR） （1）当 a2 时，解不等式|x 1 3|+f（x）1； （2）设不等式|x 1 3|+f（x）x 的解
38、集为 M，若 1 3， 1 2M，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）a2 时，f（x）= 1 3|x2|， 问题转化为解不等式|x 1 3|+ 1 3|x2|1， x2 时， x 1 3 + 1 3（x2）1， x 1 3 + 1 3x 2 3 1， 解得：x 3 2； 1 3 x2 时， x 1 3 + 1 3（2x）1， 第 22 页（共 22 页） 解得：x1，故 1x2； x 1 3时， 1 3 x+ 1 3（2x）1， 解得：x0， 综上，不等式的解集是：x|x0 或 x1； （2）|x 1 3|+ 1 3|xa|x 的解集包含 1 3， 1 2， x 1 3 + 1 3|xa|x， 故1|xa|1， 解得：1+ax1+a， 故 1 + 1 3 1 + 1 2 ，解得： 1 2 a 4 3
