2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（7）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年河南省高考数学（理科）模拟试卷（年河南省高考数学（理科）模拟试卷（7） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A= *| +2 1 0+，Bx|ylog2（x22x3），则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x1 Cx|2x1 Dx|1x1 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3:2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 3 （5 分）某甲、乙两人练习跳绳，每人练习 10 组，每组 40 个每组计数的茎叶图如图， 则下面结论中错

2、误的一个是（ ） A甲比乙的极差大 B乙的中位数是 18 C甲的平均数比乙的大 D乙的众数是 21 4 （5 分）设 A（2，1） ，B（4，1） ，则以线段 AB 为直径的圆的方程是（ ） A （x3）2+y22 B （x3）2+y28 C （x+3）2+y22 D （x+3）2+y28 5 （5 分）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的大 小为（ ） A30 B45 C60 D75 6 （5 分）若 ( 2 ， 3 2 )，且 sin+cos= 2 3，cos2（ ） A214 9 B 214 9 C 5 9 D5 9 7 （5 分）已知数列an中，a1= 1

3、 2，an+11 1 ，利用下面程序框图计算该数列的项时， 若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（ ） 第 2 页（共 21 页） An2 015 Bn2 018 Cn2 020 Dn2 021 8 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，| 2）的最小正周期是 ，把它图象向 右平移 3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数现有下列结论： 函数 f（x）的图象关于直线 x= 5 12对称 函数 f（x）的图象关于点（ 12，0）对 称 函数 f（x）在区间 2， 12上单调递减 函数 f（x）在 4， 3 2 上有 3 个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 9

4、（5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲 同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（ ） A24 B12 C8 D6 10 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a10 且6 5 = 11 13，当 Sn 取最大值时，n 的值 为（ ） A9 B10 C11 D12 11 （5 分）如图，半径为 6 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为 球的体积的3 8，则这两个圆锥高之差的绝对值为（ ） 第 3 页（共 21 页） A2 B4 C6 D8 12 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右

5、焦点分别为 F1，F2，O 为 坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF2分别交双曲线 C 左、右支于另 一点 M，N，|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C7 D23 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知多项式3( + 1)2= ( 1)5+ 1( 1)4+ 2( 1)3+ +a4（x1） +a5，则 a5 ，a4 14 （5 分）已知函数 f（x）= 1 ，0 + ，0 ，若 g（x）f（x）kx 有两个不等的零点， 则实数 k 的取值范围为 1

6、5（5分） 已知向量 ， 满足| |2， | |3， 且已知向量 ， 的夹角为60，（ ） （ ） 0， 则| |的最小值是 16 （5 分）已知 f（x）是 R 上的增函数，若关于 x 的方程 f（b）f（|2x1|）有且只有一 个实根，则实数 b 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）等差数列的前 n 项和为 Sn，已知 a3+a722，S648 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列* 1 +的前 n 项和为 Tn，求 Tn 18 （12 分） “绿水青山就是金山银山” ， “建设美丽中国”已成

7、为新时代中国特色社会主义 生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗 生长情况，在这些树苗中随机抽取了 120 株测量高度（单位：cm） ，经统计，树苗的高度 均在区间19，31内，将其按19，21） ，21，23） ，23，25） ，25，27） ，27，29） ，29， 31分成 6 组， 制成如图所示的频率分布直方图 据当地柏树苗生长规律， 高度不低于 27cm 第 4 页（共 21 页） 的为优质树苗 （1）求图中 a 的值； （2）已知所抽取的这 120 株树苗来自于 A，B 两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质树苗 20 非

8、优质树苗 60 合计 将列联表补充完整， 并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A， B两个试验区有关系， 并说明理由； （3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取 4 株，其中优质树苗的株数为 X，求 X 的分布列和数学期望 EX 附：参考公式与参考数据：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828 19 （12 分） 如图， 在梯形 ABCP 中， CPAB， CPBC， ABBC= 1 2CP， D 是 CP 的中点， 将PAD 沿 AD 折起得到图（二） ，点 M

9、为棱 PC 上的动点 （1）求证：平面 ADM平面 PDC； （2）若 AB2，二面角 PADC 为 135，点 M 为 PC 中点，求二面角 MACD 余弦值的平方 第 5 页（共 21 页） 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2+y24，A（2，0） ，线段 BC 的中点 是坐标原点 O，设直线 AB，AC 的斜率分别为 k1，k2，且12= 1 4 （1）求 B 点的轨迹方程； （2）设直线 AB，AC 分别交圆 O 于点 E、F，直线 EF、BC 的斜率分别为 kEF、kBC，已 知直线 EF 与 x 轴交于点 D（ 6 5，0）问：是否存在常数 ，使得 k

10、BCkEF？若存在， 求出 的值；若不存在，说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+a（x1） （aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a2 时证明函数 f（x）有唯一的零点 x0，且 x0（0，1 2） 且曲线 ye x 在点 （x0，e 0）处的切线也是曲线 y= 1 2x 2 的切线 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 = = 1 + （ 为参数） 以原 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2

11、）直线 l： = 1 + = （t 为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|最大时，直线 l 的直角坐标方程 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x+a|+|x2|（其中 aR） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）6 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）3a2|2x|恒成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2020 年河南省高考数学（理科）模拟试卷（年河南省高考数学（理科）模拟试卷（7） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分）

12、1 （5 分）设集合 A= *| +2 1 0+，Bx|ylog2（x22x3），则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x1 Cx|2x1 Dx|1x1 【解答】解：Ax|2x1，Bx|x22x30x|x1 或 x3， ABx|2x1 故选：A 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3:2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 【解答】 解： 因为 3:2 = 1 ， 所以 zi （1i） （3+2i） 5i， 所以 = 1 5， 1 + 5， 故选：D 3 （5 分）某甲、乙两人练习跳绳，每人练习 10 组，每组 40 个每组计数的茎叶图如图， 则

13、下面结论中错误的一个是（ ） A甲比乙的极差大 B乙的中位数是 18 C甲的平均数比乙的大 D乙的众数是 21 【解答】解：根据茎叶图知，甲组数据的极差是 37829，乙组数据的极差是 239 14，所以甲比乙的极差大，A 正确； 乙组数据按从小到大顺序排列后，排在中间两个数据是 18 和 19，所以乙的中位数是 18:19 2 =18.5，B 错误； 计算甲的平均数是甲 1 10 （8+12+13+20+22+24+25+26+27+37）21.4， 乙的平均数为乙= 1 10 （9+11+13+14+18+19+20+21+21+23）16.9， 所以甲的平均数大于乙的平均数，C 正确；

14、第 7 页（共 21 页） 由茎叶图知，乙的众数是 21，D 正确 故选：B 4 （5 分）设 A（2，1） ，B（4，1） ，则以线段 AB 为直径的圆的方程是（ ） A （x3）2+y22 B （x3）2+y28 C （x+3）2+y22 D （x+3）2+y28 【解答】解：弦长 AB= (4 2)2+ (1 + 1)2=22，所以半径为2，中点坐标（3，0） ， 所以圆的方程（x3）2+y22， 故选：A 5 （5 分）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的大 小为（ ） A30 B45 C60 D75 【解答】解：如图所示， 连接 AC，BD，相交于点 O

15、，连接 OP 四棱锥 PABCD 是正四棱锥， OP底面 ABCD PAO 是侧棱与底面所成的角 正四棱锥 PABCD 的底面边长为2， AO= 1 2AC1 在 RtOAP 中，tanPAO= = 3 1 PAO60 故选：C 6 （5 分）若 ( 2 ， 3 2 )，且 sin+cos= 2 3，cos2（ ） A214 9 B 214 9 C 5 9 D5 9 第 8 页（共 21 页） 【解答】解： ( 2 ， 3 2 )，可得 cos0， sin+cos= 2 3， 两边平方可得：1+sin2= 4 9，解得 sin22sincos= 5 9 0， sin0， （ 2，） ， sin

16、cos= ( )2= 1 2 =1 + 5 9 = 14 3 ， 联立可得 cos= 214 6 ，可得 cos22cos212（2;14 6 ） 21= 214 9 故选：B 7 （5 分）已知数列an中，a1= 1 2，an+11 1 ，利用下面程序框图计算该数列的项时， 若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（ ） An2 015 Bn2 018 Cn2 020 Dn2 021 【解答】解：因为 a1= 1 2，an+11 1 ， 所以2= 1 1 1 = 1 2 = 1，3= 1 1 2 = 1 + 1 = 2，4= 1 1 3 = 1 1 2 = 1 2， 所以数列an是以 3 为

17、周期的周期数列，循环的三项分别是1 2 ， 1，2，即输出的数字 2 是循环数列中的第三项， 2015 3 = 671 2，2018 3 = 672 2，2020 3 = 673 1，2021 3 = 673 2， 只有选项 C 对应的余数是 1，不是 2， 第 9 页（共 21 页） 故选：C 8 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，| 2）的最小正周期是 ，把它图象向 右平移 3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数现有下列结论： 函数 f（x）的图象关于直线 x= 5 12对称 函数 f（x）的图象关于点（ 12，0）对 称 函数 f（x）在区间 2， 12上单调递减 函数

18、 f（x）在 4， 3 2 上有 3 个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【解答】解：最小正周期是 ， = 2 = 2， 它图象向右平移 3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ysin2（x 3）+为奇函数，则 = + 2 3 ，kZ， | 2， 则 = 3， () = (2 3)， 函数 f（x）的图象所有对称轴为 x= 5 12 + 2 ，kZ，关于直线 x= 5 12对称，对； 函数 f（x）的图象关于点（ 2 + 6，0） ，kZ 对称，不关于点（ 12，0）对称，错； 函数 f（x）所有单调递减区间 7 12 + ， 12 + Z， k0 时，在区间 7 1

19、2， 12上单调递减，在区间 2， 12上单调递减，对； 函数 f（x）零点为 = 2 + 6，kZ，则函数 f（x）在 4， 3 2 上有2 3 ， 7 6 共 2 个零点， 错， 故选：D 9 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲 同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（ ） A24 B12 C8 D6 第 10 页（共 21 页） 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： ，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有 2 种，乙的站法有 2 种， ，乙同学与老师相邻，则乙的站法有 2 种， ，将剩下的 2 人全排列，安排在剩

20、下的 2 个位置，有 A222 种情况， 则不同站法有 2228 种； 故选：C 10 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a10 且6 5 = 11 13，当 Sn 取最大值时，n 的值 为（ ） A9 B10 C11 D12 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，a10 且6 5 = 11 13， 1:5 1:4 = 11 13， 整理，得1= 21 2 ， Snna1+ (1) 2 = 21 2 + (1) 2 = 2 ( 11)2 121 4 当 Sn取最大值时，n 的值为 11 故选：C 11 （5 分）如图，半径为 6 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆

21、锥的体积之和为 球的体积的3 8，则这两个圆锥高之差的绝对值为（ ） A2 B4 C6 D8 【解答】 】解：设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r，上面圆锥的高为 h，则下面圆锥的高 为 2Rh， 在OO1C 中，有 R2r2+（Rh）2，得 r22Rhh2 两个圆锥体积和为 V1= 1 3 2 2 = 1 3 2 （2Rhh 2） 球的体积 V2= 4 3 3 第 11 页（共 21 页） 由题意， 1 2 = 1 32(2; 2) 4 3 3 = 3 8 所以 4h28Rh+3R20，即 h= 2 所以下面的圆锥的高为3 2 则这两个圆锥高之差的绝对值为|3 2 2|R6 故选：C 12

22、（5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为 坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF2分别交双曲线 C 左、右支于另 一点 M，N，|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C7 D23 3 【解答】解：由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a， |PF1|4a，|PF2|2a， MF2N60，F1PF260， 由余弦定理可得 4c216a2+4a224a2acos60， c= 3a， e= = 3 故选：B 第 12 页（共 21 页） 二填空题（共二填空题（共

23、4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知多项式3( + 1)2= ( 1)5+ 1( 1)4+ 2( 1)3+ +a4（x1） +a5，则 a5 4 ，a4 16 【解答】解：令 x1 得 a54， 设 tx1，则 xt+1， 则多项式等价为（t+1）3（t+2）2t5+a1t4+a2t3+a4t+a5， 则 a4为一次项 t 的系数，则 a41 2 1 2 + 3 1 224+1216， 故答案为：4，16 14 （5 分）已知函数 f（x）= 1 ，0 + ，0 ，若 g（x）f（x）kx 有两个不等的零点， 则实数 k 的取值范围为 （，1

24、）（e，e+ 1 ） 【解答】函数 g（x）f（x）kx 有两个不等的零点，即方程 f（x）kx 有 2 个不等根， 因为 x0，所以也等价于() =k 有 2 个不等实根，根据条件令 h（x）= () = 1 1 2 ，0 + ，0 ， 因为 x0 时，h（x）1 1 2 1， x0 时，h（x）= 1 2 ，当 0xe 时，h（x）单调递增，当 xe 时，h（x）单调 递减， 且当 x+时，h（x）e， 作出函数 f（x）的图象如图： 第 13 页（共 21 页） 根据图象可知，k（，1）（e，e+ 1 ） ， 故答案为： （，1）（e，e+ 1 ） 15（5分） 已知向量 ， 满足| |

25、2， | |3， 且已知向量 ， 的夹角为60，（ ） （ ） 0， 则| |的最小值是 19;7 2 【解答】解：建立如图坐标系； 则 B（3，0） ，A（1，3） ， 设 C（x，y） ； 则 =（1，3） ， =（3，0） ； =（x，y） =（1x，3 y） ； =（3x，y） ； （ ） （ ）（1x） （3x）+（y） （3 y）0； 整理得： （x2）2+（y 3 2 ）2= 7 4； 即点 C 在以 D（2， 3 2 ）为圆心， 7 2 为半径的圆上； | |的最小值是：ODr= 22+ (3 2 )2 7 2 = 197 2 ； 故答案为：19;7 2 第 14 页（共 21

26、 页） 16 （5 分）已知 f（x）是 R 上的增函数，若关于 x 的方程 f（b）f（|2x1|）有且只有一 个实根，则实数 b 的取值范围是 b|b1 或 b0 【解答】解：y|2x1|的图象如下， f（x）是 R 上的增函数，方程 f（b）f（|2x1|）有且只有一个实根，所以 b|2x1|， 就是 yb 与 y|2x1|只有一个交点， 由图知，b1 或 b0； 故答案为：b|b1 或 b0 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）等差数列的前 n 项和为 Sn，已知 a3+a722，S648 （1）求数列an的

27、通项公式； （2）设数列* 1 +的前 n 项和为 Tn，求 Tn 【解答】解： （1）设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 21+ 8 = 22 61+ 65 2 = 48，解得 1= 3 = 2 an3+2（n1）2n+1，nN* 第 15 页（共 21 页） （2）由（1）知，Sn= (3+2+1) 2 =n（n+2） ， 则 1 = 1 (:2) = 1 2（ 1 1 :2） ， 故 Tn= 1 1 + 1 2 + + 1 = 1 2（1 1 3）+ 1 2（ 1 2 1 4）+ 1 2（ 1 1 :2） = 1 2（1+ 1 2 1 +1 1 +2） = (3+5) 4(+1)(

28、+2) 18 （12 分） “绿水青山就是金山银山” ， “建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义 生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗 生长情况，在这些树苗中随机抽取了 120 株测量高度（单位：cm） ，经统计，树苗的高度 均在区间19，31内，将其按19，21） ，21，23） ，23，25） ，25，27） ，27，29） ，29， 31分成 6 组， 制成如图所示的频率分布直方图 据当地柏树苗生长规律， 高度不低于 27cm 的为优质树苗 （1）求图中 a 的值； （2）已知所抽取的这 120 株树苗来自于 A，B 两个试验区，部分数据如下

29、列联表： 试验区 试验区 合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计 70 50 120 将列联表补充完整， 并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A， B两个试验区有关系， 并说明理由； （3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取 4 株，其中优质树苗的株数为 X，求 X 的分布列和数学期望 EX 附：参考公式与参考数据：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828 第 16 页（共 21 页） 【解答】解： （1）根据频率直方图数据，有 2（a

30、2+2a+0.102+0.20）1， 解得 a0.025 （2）根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有 120（0.102+0.0252）30， 列联表如下： A 试验区 B 试验区 合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计 70 50 120 可得 K2= 120(10302060)2 70503090 = 72 7 10.310.828， 所以，没有 99.9%的把握认为优质树苗与 A，B 两个试验区有关系 （3）用样本估计总体，由题意，这批树苗为优质树苗的概率为 30 120 = 1 4 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，由题意知 X 服从二项分布 XB

31、（4，1 4） ， P（Xk）= 4 (1 4) (3 4) 4;， （k0，1，2，3，4） ， 即：P（X0）= (3 4) 4 = 81 256，P（X1）= 4 1(1 4)( 3 4) 3 = 27 64， P（X2）= 4 2(1 4) 2(3 4) 2 = 27 128，P（X3）= 4 3(1 4) 3(3 4) = 3 64， P（X4）= (1 4) 4 = 1 256 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 81 256 27 64 27 128 3 64 数学期望为 E（X）4 1 4 =1 第 17 页（共 21 页） 19 （12 分） 如图， 在梯形 ABCP

32、中， CPAB， CPBC， ABBC= 1 2CP， D 是 CP 的中点， 将PAD 沿 AD 折起得到图（二） ，点 M 为棱 PC 上的动点 （1）求证：平面 ADM平面 PDC； （2）若 AB2，二面角 PADC 为 135，点 M 为 PC 中点，求二面角 MACD 余弦值的平方 【解答】证明： （1）在图（一）梯形 ABCD 中， D 是 CP 的中点，AB= 1 2 ，CPAB， CDAB，CDAB， 四边形 ABCD 是平行四边形， CPBC，ADPC， 在图（二）中，ADPD，ADDC，AD平面 PCD， AD平面 ADM，平面 ADM平面 PDC 解： （2）由 AB2

33、 结合题意得 ABBCDPDC2， AD平面 PCD，ADPD，ADDC， PDC 为二面角 PADC 的平面角，PDC135， 由（1）的证明知平面 PDC平面 ABCD，且交线为 DC， Dz平面 ABCD，DA，DC，Dz 两两垂直， 分别以 DA，DC，Dz 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，P（0，2，2） ， M 为 PC 的中点，M（0，1 2 2 ， 2 2 ） ， =（2，2，0） ， =（0，1+ 2 2 ， 2 2 ） ， 设平面 MAC 的一个法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 + 2

34、 = 0 = (1 + 2 2 ) 2 2 = 0 ，令 y1，得 =（1，1，2 + 1） ， 第 18 页（共 21 页） 平面 ABCD 的一个法向量 =（0，0，1） ， |cos ， |=| | | |= 2+1 1+1+(2+1)2 = 2+1 5+22， 二面角 MACD 余弦值的平方为7:42 17 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2+y24，A（2，0） ，线段 BC 的中点 是坐标原点 O，设直线 AB，AC 的斜率分别为 k1，k2，且12= 1 4 （1）求 B 点的轨迹方程； （2）设直线 AB，AC 分别交圆 O 于点 E、F，直线 E

35、F、BC 的斜率分别为 kEF、kBC，已 知直线 EF 与 x 轴交于点 D（ 6 5，0）问：是否存在常数 ，使得 kBCkEF？若存在， 求出 的值；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）设 B（x，y） ，则 C（x，y） ，又 A（2，0） ， 1 2= 2 +2 = 2 24 = 1 4， 2 4 + 2= 1， 点 B 的轨迹方程为 2 4 + 2= 1 （y0） ； （2）由题意可知，直线 AB 的方程为：yk1 （x2） ， 联立方程 = 1 ( 2) 2 4 + 2= 1 ，消去 y 得：(412+ 1)2 1612 + 4(412 1) = 0， 2= 4(4121)

36、412+1 ，xB= 2(4121) 412+1 ，yB= 41 412+1， 直线 BC 的斜率 kBC= 0 0 = 21 4121， 联立方程 = 1( 2) 2+ 2= 4 ，消去 y 得：(1 + 12)2 412 + 412 4 = 0， 2= 4124 1+12 ，= 2(121) 1+12 ，= 4 1+12， 第 19 页（共 21 页） 直线 EF 的斜率 kEF= 0 +6 5 = 51 4121， = ;21 412;1 412;1 ;51 = 2 5， kBC= 2 5kEF， 存在常数2 5，使得 kBC= 2 5kEF 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+a

37、（x1） （aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a2 时证明函数 f（x）有唯一的零点 x0，且 x0（0，1 2） 且曲线 ye x 在点 （x0，e 0）处的切线也是曲线 y= 1 2x 2 的切线 【解答】解： （1）函数的定义域 R，f（x）ex+a， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，此时函数在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0 可得 xln（a） ， 故函数在（ln（a） ，+）上单调递增，在（，ln（a） ）上单调递减； （2）当 a2 时，由（1）可知 f（x）ex+2（x1）在 R 上单调递增， 因为 f（0）10，f（1 2）= 10，

38、故函数 f（x）有唯一的零点 x0 (0， 1 2)，满足 0 = 2 20 曲线 yex在（x0，0）处的切线方程为 y0= 0（xx0）， 代入化简可得，y2（1x0）x+2（1x0）2， 由 y= 1 2 2可得 yx，则x2（1x0） ， 若切线 l 也为曲线 y= 1 2 2的切线，则必有切点（2x02，2（1x0）2） ， 又当x2（1x0）时， 1 2(20 2)2= 2（x01）2， 故曲线 yex在（0，0）处的切线也是 y= 1 2 2的切线 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系中

39、，曲线 C 的参数方程为 = = 1 + （ 为参数） 以原 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； 第 20 页（共 21 页） （2）直线 l： = 1 + = （t 为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|最大时，直线 l 的直角坐标方程 【解答】解： （1）由曲线 C 的参数方程 = = 1 + （ 为参数） ， 可得曲线 C 的普通方程为 x2+（y1）21， xcos，ysin， 曲线 C 的极坐标方程为（cos）2+（sin1）21， 即 2sin0 （2）直线： = 1 + = （t 为参数）表示的是过点（1，0）的直线， 曲

40、线 C 的普通方程为 x2+（y1）21， 当|AB|最大时，直线 l 经过圆心（0，1） 设直线 l 的直角坐标方程为 ykx+b 把点（1，0） ， （0，1）分别代入 ykx+b， 得 + = 0 = 1 ， = 1 = 1 直线 l 的直角坐标方程为 x+y10 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x+a|+|x2|（其中 aR） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）6 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）3a2|2x|恒成立，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，函数 f（x）|2x1|+|x2|； 则不等式为|2x1|+

41、|x2|6； 当 x2 时，原不等式为 2x1+x26，解得：x3； 当1 2 2时，原不等式为 2x1+2x6，解得：x5此时不等式无解； 当 1 2时，原不等式为 12x+2x6，解得：x1； 原不等式的解集为x|x1 或 x3； （2）不等式 f（x）3a2|2x|即为|2x+a|+|x2|3a2|2x|； 即关于 x 的不等式|2x+a|+2|x2|3a2恒成立； 而|2x+a|+2|x2|2x+a|+|2x4|（2x+a）（2x4）|a+4|； |a+4|3a2； 第 21 页（共 21 页） a+43a2或 a+43a2； 解得1 4 3或 a； 所以 a 的取值范围是,1， 4 3