1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年吉林省高考数学年吉林省高考数学（理科）（理科）模拟试卷（模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 2 （5 分）设复数 z 满足2+ = 1则|等于（ ） A3 2 B 10 2 C 2 2 D2 3 （5 分）下列与函数 y= 1 定义域和单调性都相同的函数是（ ） Ay2 2 Bylog2（1 2） x Cylog21 Dyx 1 4 4 （
2、5 分）已知等差数列an中，3a52a7，则此数列中一定为 0 的是（ ） Aa1 Ba3 Ca8 Da10 5 （5 分）已知| | |= 2，且（ 2 ）与 垂直，则与 的夹角是（ ） A 3 B 6 C3 4 D 4 6 （5 分） 高中数学课程标准 （2017 版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了 比较甲、 乙两名高二学生的数学核心素养水平， 现以六大素养为指标对二人进行了测验， 根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，则下面叙 述正确的是 （注：雷达图（RadarChart） ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart） ，可用
3、于对 研究对象的多维分析） （ ） 第 2 页（共 20 页） A甲的数据分析素养高于乙 B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 7 （5 分）设 ， ， 是非零向量，已知命题 p：若 = 0， = 0，则 = 0；命题 q：若 ， ，则 ，下列命题中真命题是（ ） A （p）（q） Bp（q） Cpq Dpq 8（5 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 cos2B+ 1 2sin2B1， 0B 2， 若| + |3，则16 的最小值为（ ） A16 3 （22） B16 3 （2+2） C16
4、（22） D16（2+2） 9 （5 分）从 1，2，3，4，5 中，每次任选两个不同的数字组成一个两位数，在所组成的两 位数中偶数有（ ） A10 个 B9 个 C12 个 D8 个 10 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F， 且 EF= 2 2 ，则下列结论中错误的个数是（ ） （1）ACBE （2）若 P 为 AA1上的一点，则 P 到平面 BEF 的距离为 2 2 （3）三棱锥 ABEF 的体积为定值 （4）在空间与 DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条 （5）过 CC1的中点与直线 AC1所成角为 40并且与平面 B
5、EF 所成角为 50的直线有 2 条 A0 B1 C2 D3 第 3 页（共 20 页） 11（5分） 已知函数y2x在区间0， 1上的最大值为a， 则抛物线 2 12 =ax的准线方程是 （ ） Ax3 Bx6 Cx9 Dx12 12 （5 分）已知定义在 R 上的可导函数 f（x） ，对于任意实数 x 都有 f（x）f（x）2x 成立， 且当 x （， 0时， 都有 f （x） 2x+1 成立， 若 f （2m） f （m1） +3m （m+1） ， 则实数 m 的取值范围为（ ） A （1，1 3） B （1，0） C （，1） D （ 1 3，+） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，
6、满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约条条件 2 + 2 2 0 2 2 ，则 zx+y 的最大值为 14 （5 分）若 1 0 （ax2）dx= 5 3，则 a 15 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+ 6） （0）在区间，2）上的值小于 0 恒成立， 则 的取值范围是 16 （5 分）三棱锥 ABCD 的顶点都在同一个球面上，满足 BD 过球心 O，且 BD22， 三棱锥 ABCD 体积的最大值为 ；三棱锥 ABCD 体积最大时，平面 ABC 截球 所得的截面圆的面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分
7、，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）某校高一组织一次数学竞赛，选取 50 名学生成绩（百分制，均为整数） ，根据 这 50 名学生的成绩，绘制频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据分组区间为40， 50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100 （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2）估计选取的 50 名学生在这次数学竞赛中的平均成绩； （3）用分层抽样的方法在分数段为40，60）的学生成绩中抽取一个样本容量为 5 的样 本，再随机抽取 2 人的成绩，求恰有一人成绩在分数段50，60）内的概率 第 4 页（共 20 页） 18
8、（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 为等腰直角三角形，ABBC， AA12AB4， M， N 分别为 CC1， BB1的中点， G 为棱 AA1上一点， 若 A1B平面 MNG （）求线段 AG 的长； （）求二面角 BMGN 的余弦值 19 （12 分）已知数列an满足，a11，a24 且 an+24an+1+3an0（nN*） （）求证：数列an+1an为等比数列，并求出数列an的通项公式； （）设 bn2nan，求数列bn的前 n 项和 Sn 20 （12 分）已知 A，B 分别为椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）右顶点和上顶点，且直线 AB 的斜
9、率为 2 2 ，右焦点 F 到直线 AB 的距离为63 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 l：ykx+m（m1）与椭圆交于 M，N 两点，且直线 BM、BN 的斜率之和 为 1，求实数 k 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）xex2x （1）求函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程 （2）设函数 g（x）f（x）2lnx，对于任意 x（0，+） ，g（x）a 恒成立，求 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为 = 2
10、 + 2 = 2 （ 为参数） ，曲线 C2的参数方程为 = 8 + 3 4 = 3 4 （t 为参数） （）求 C1和 C2的普通方程； （）过坐标原点 O 作直线交曲线 C1于点 M（M 异于 O） ，交曲线 C2于点 N，求| |的 最小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|ax+1|+|x1| （）若 a2，解关于 x 的不等式 f（x）9； （）若当 x0 时，f（x）1 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020 年吉林省高考数学年吉林省高考数学（理科）（理科）模拟试卷（模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
11、 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）设复数 z 满足2+ = 1则|等于（ ） A3 2 B 10 2 C 2 2 D2 【解答】解：因为 z= 2+ 1 = 1 2 3 2 ，所以 = 1 2 + 3 2 ， 所以|=( 1 2) 2+ (3 2) 2 = 10 2 ， 故选：B 3 （5 分）下列与函数
12、 y= 1 定义域和单调性都相同的函数是（ ） Ay2 2 Bylog2（1 2） x Cylog21 Dyx 1 4 【解答】解： = 1 在定义域x|x0上单调递减， = 2 2 = 在定义域x|x0上单 调递增， = 2(1 2) 的定义域为 R， = 21 在定义域x|x0上单调递减， = 1 4的 定义域为x|x0 故选：C 4 （5 分）已知等差数列an中，3a52a7，则此数列中一定为 0 的是（ ） Aa1 Ba3 Ca8 Da10 【解答】解：等差数列an中，3a52a7， 3（a1+4d）2（a1+6d） ， 化为：a10 第 7 页（共 20 页） 则此数列中一定为 0
13、的是 a1 故选：A 5 （5 分）已知| | |= 2，且（ 2 ）与 垂直，则与 的夹角是（ ） A 3 B 6 C3 4 D 4 【解答】解：| | = | | = 2，( 2 ) ， ( 2 ) = 2 2 = 2 2 = 0， = 1， ， = | | |= 1 2，且0 ， ， 与 的夹角是 3 故选：A 6 （5 分） 高中数学课程标准 （2017 版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了 比较甲、 乙两名高二学生的数学核心素养水平， 现以六大素养为指标对二人进行了测验， 根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，则下面叙 述正确的是 （注
14、：雷达图（RadarChart） ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart） ，可用于对 研究对象的多维分析） （ ） A甲的数据分析素养高于乙 B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：对于 A 选项，甲的数据分析为 3 分，乙的数据分析为 5 分，即甲的数据分 析素养低于乙，故选项 A 错误， 对于 B 选项，甲的数学建模素养为 3 分，数学抽象素养为 3 分，即甲的数学建模素养与 数学抽象素养同一水平，故选项 B 错误， 对于 C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象
15、、数学运算最差，故 选项 C 错误， 对于 D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整 体水平优于甲，故选项 D 正确， 故选：D 7 （5 分）设 ， ， 是非零向量，已知命题 p：若 = 0， = 0，则 = 0；命题 q：若 ， ，则 ，下列命题中真命题是（ ） A （p）（q） Bp（q） Cpq Dpq 【解答】解：因为 ， ， 是非零向量， 若 =0， =0，则 = ，即（ ） =0，则 =0 不一定成立，故命题 p 为假命题， 若 ， ，则，故命题 q 为真命题， 则 pq 为真命题，pq， （p）（q） ，p（q）都为假命题， 故选：C 8（5
16、分） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 cos2B+ 1 2sin2B1， 0B 2， 若| + |3，则16 的最小值为（ ） A16 3 （22） B16 3 （2+2） C16（22） D16（2+2） 【解答】解：cos2B+ 1 2sin2B1， 1+2 2 + 2 2 = 2 2 (2 + 4) + 1 2 = 1， 又 0B 2， (2 + 4) = 2 2 第 9 页（共 20 页） = 4， 又| + |3， a2+c22accosB9b2， b3， = 2+29 2 = 2 2 ， 2+ 2= 9 + 2 2， 9(2+2) 2 ，
17、当 = 9(2+2) 2 时，16 = 48 取得最小值 32162 3 故选：A 9 （5 分）从 1，2，3，4，5 中，每次任选两个不同的数字组成一个两位数，在所组成的两 位数中偶数有（ ） A10 个 B9 个 C12 个 D8 个 【解答】解：分两步，第一步确定个位有 2 种，第二步确定十位，有 4 种， 故共有 248 个， 故选：D 10 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F， 且 EF= 2 2 ，则下列结论中错误的个数是（ ） （1）ACBE （2）若 P 为 AA1上的一点，则 P 到平面 BEF 的距离为 2 2
18、 （3）三棱锥 ABEF 的体积为定值 （4）在空间与 DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条 （5）过 CC1的中点与直线 AC1所成角为 40并且与平面 BEF 所成角为 50的直线有 2 条 第 10 页（共 20 页） A0 B1 C2 D3 【解答】 解：对于 （1） ， AC平面 BB1D1D，又 BE平面 BB1D1D，ACBE故 （1） 正确 对于（2） ，AA1BB1，AA1平面 BB1DD1，BB1平面 BB1DD1， AA1平面 BB1DD1，即 AA1平面 BEF， 又正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， A1到平面 BEF 的距离为 A1到 B1D1的距
19、离 2 2 ， 若 P 为 AA1上的一点，则 P 到平面 BEF 的距离为 2 2 ，故（2）正确； 对于（3） ，SBEF= 1 2 2 2 1 = 2 4 ， 设 AC，BD 交于点 O，AO平面 BB1D1D，AO= 2 2 ， VABEF= 1 3 2 4 2 2 = 1 12，故（3）正确； 对于（4） ，由于平面 BDD1B1与直线 DD1，AC，B1C1都有交点， 则所求直线在平面 BDD1B1，由于平面 BDD1B1与直线 AC 交于 O， 与直线 C1B1交于 B1，连接 OB1，延长与 D1D 延长交于 Q，即为所求直线； 另外，将面 BDD1B1绕着 DD1进行旋转，则
20、与 AC，B1C1交点会发生改变， 将交点连接并延长，可得都相交的直线有无数条故（4）正确； 对于（5）由于过 CC1的中点与直线 AC1所成角为 40的直线有 2 条 并且这两条直线与平面 BEF 所成角为 50，故（5）正确； 故选：A 第 11 页（共 20 页） 11（5分） 已知函数y2x在区间0， 1上的最大值为a， 则抛物线 2 12 =ax的准线方程是 （ ） Ax3 Bx6 Cx9 Dx12 【解答】解：函数 y2x在区间0，1上是增函数，最大值为 a2， 抛物线 2 12 =2x 化为标准方程是 y224x， 则 2p24，p12， 2 = 6 抛物线 2 12 =2x 的
21、准线方程是 x6 故选：B 12 （5 分）已知定义在 R 上的可导函数 f（x） ，对于任意实数 x 都有 f（x）f（x）2x 成立， 且当 x （， 0时， 都有 f （x） 2x+1 成立， 若 f （2m） f （m1） +3m （m+1） ， 则实数 m 的取值范围为（ ） A （1，1 3） B （1，0） C （，1） D （ 1 3，+） 【解答】解：令 g（x）f（x）x2x， 则 g（x）g（x）f（x）x2+xf（x）+x2+x0， g（x）g（x） ，函数 g（x）为 R 上的偶函数 当 x（，0时，都有 f（x）2x+1 成立， g（x）f（x）2x10， 函数 g
22、（x）在 x（，0上单调递减，在0，+）上单调递增 f（2m）f（m1）+3m（m+1） ，即 f（2m）4m22mf（m1）（m1）2（m 1） ， g（2m）g（m1） ，因此 g（|2m|）g（|m1|） ， |2m|m1|， 化为：3m2+2m10， 第 12 页（共 20 页） 解得1 1 3 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约条条件 2 + 2 2 0 2 2 ，则 zx+y 的最大值为 4 【解答】解：由 x，y 满足约条条件 2 + 2 2 0 2 2 作出可行域如图： 化目
23、标函数 zx+y 为 yx+z， 由图可知，当直线 yx+z 过 A 时，z 取得最大值， 由 = 2 2 = 2，解得 A（2，2）时， 目标函数有最大值为 z4 故答案为：4 14 （5 分）若 1 0 （ax2）dx= 5 3，则 a 2 【解答】解： 1 0 （ax2）dx= 5 3，整理得 1 0 （ax2）dx= |0 1 1 3 3|01 = 5 3， 所以 1 3 = 5 3，解得 a2 故答案为：2 15 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+ 6） （0）在区间，2）上的值小于 0 恒成立， 则 的取值范围是 （5 6， 11 12 【解答】解：函数 f（x）sin（x+
24、 6） （0）在区间，2）上的值小于 0 恒成立， 故 f（x）的最大值小于零 第 13 页（共 20 页） 当 x，2） ，x+ 6+ 6，2+ 6） ，+ 6 ，且 2+ 6 2， 求得5 6 11 12， 故答案为： （5 6， 11 12 16 （5 分）三棱锥 ABCD 的顶点都在同一个球面上，满足 BD 过球心 O，且 BD22， 三棱锥 ABCD 体积的最大值为 22 3 ；三棱锥 ABCD 体积最大时，平面 ABC 截球 所得的截面圆的面积为 4 3 【解答】解：当 BD 过球心，所以BADBCD90， 所以 AO面 BCD，VABCD= 1 3 1 2 ，当 BCCD 时体积
25、最大， 因为 BD22，OA= 2，所以 BCCD2， 所以最大体积为：1 3 1 2 2 2 2 = 22 3 ； 三棱锥 ABCD 体积最大时，三角形 ABC 中，ABAC= 2+ 2=2BC， 设三角形 ABC 的外接圆半径为 r，则 2r= 2 3 2 ，所以 r= 2 3， 所以外接圆的面积为 Sr2= 4 3 ， 故答案分别为：22 3 ，4 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）某校高一组织一次数学竞赛，选取 50 名学生成绩（百分制，均为整数） ，根据 这 50 名学生的成绩，绘制频率分布直方图（如
26、图所示） ，其中样本数据分组区间为40， 50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100 （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2）估计选取的 50 名学生在这次数学竞赛中的平均成绩； （3）用分层抽样的方法在分数段为40，60）的学生成绩中抽取一个样本容量为 5 的样 本，再随机抽取 2 人的成绩，求恰有一人成绩在分数段50，60）内的概率 第 14 页（共 20 页） 【解答】解： （1）因为（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）101， 所以 a0.006， （2）由频率分布直方图可得平均数为 450.04+550.0
27、6+650.22+750.28+85 0.22+950.1876.2； （3）学生成绩在50，60）的有：500.006103（人） ，记为 A1，A2，A3， 学生成绩在40，50）的有：500.004102（人） ，记为 B1，B2， 5 名学生中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种， 它们是A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3， B1，A3，B2，B1，B2， 又恰有一人成绩在50，60）的结果有 6， 故所求的概率为 p0.6 18 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 为等腰直角三角形，ABBC，
28、 AA12AB4， M， N 分别为 CC1， BB1的中点， G 为棱 AA1上一点， 若 A1B平面 MNG （）求线段 AG 的长； （）求二面角 BMGN 的余弦值 【解答】解： （）A1B平面 MNG，GN 在平面 MNG 内， 第 15 页（共 20 页） A1BGN， 设 A1B 交 GN 于点 E，在BNE 中，可得 = 1 = 2 4 16+4 = 45 5 ， 则1 = 1 = 16 + 4 45 5 = 65 5 ， 在A1GE 中，1 = 1 1 = 65 5 4 25 = 3，则 AG1； （）以 B1为坐标原点，B1B，B1C，B1A1所在直线分别为 x 轴，y 轴
29、，z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系， 则 B （4， 0， 0） ， M （2， 2， 0） ， G （3， 0， 2） ， N （2， 0， 0） ， 故 = (2，2，0)， = (1，0，2)， = (0，2，0)， = (1，0，2)， 设平面 BMG 的一个法向量为 = (，)，则 = 2 + 2 = 0 = + 2 = 0 ，可取 = (2，2，1)， 设平面 MNG 的一个法向量为 = (，)，则 = 2 = 0 = + 2 = 0 ，可取 = (2，0， 1)， 设二面角 BMGN 的平面角为 ，则| = | ，| = | | | = 5 5 ， 二面角 BMGN 的余弦值
30、为 5 5 第 16 页（共 20 页） 19 （12 分）已知数列an满足，a11，a24 且 an+24an+1+3an0（nN*） （）求证：数列an+1an为等比数列，并求出数列an的通项公式； （）设 bn2nan，求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】 （）证明：依题意，由 an+24an+1+3an0，可得 an+24an+13an，则 an+2an+13an+13an3（an+1an） a2a1413， 数列an+1an是以 3 为首项，3 为公比的等比数列 an+1an33n 13n，nN* 由上式可得，a2a131， a3a232， anan13n 1， 各项相加，可得：
31、 ana131+32+3n 1=313 13 = 1 23 n3 2， an= 1 23 n3 2 +a1= 1 23 n3 2 +1= 1 2 （3 n1） ，nN* （）由（）知，bn2nan2n1 2 （3 n1）n3nn 第 17 页（共 20 页） 构造数列cn：令 cnn3n 设数列cn的前 n 项和为 Tn，则 Tnc1+c2+c3+cn131+232+333+n3n， 3Tn132+233+（n1） 3n+n3n， 两式相减，可得： 2Tn31+32+33+3nn3n= 33+1 13 n3n= 23 2 3n 3 2， Tn= 23 4 3n+ 3 4 故 Snb1+b2+b
32、n （c11）+（c22）+（cnn） （c1+c2+cn）（1+2+n） Tn (+1) 2 = 23 4 3n+ 3 4 1 2n 21 2n 20 （12 分）已知 A，B 分别为椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）右顶点和上顶点，且直线 AB 的斜率为 2 2 ，右焦点 F 到直线 AB 的距离为63 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 l：ykx+m（m1）与椭圆交于 M，N 两点，且直线 BM、BN 的斜率之和 为 1，求实数 k 的取值范围 【解答】解： （1）= = 2 2 ， = 2，则 bc，直线 AB：bx+ayab0， |2| 3 = 63 3 ，
33、= 2，b1 因此，椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1； （2）设点 M（x1，y1） 、N（x2，y2） ， 第 18 页（共 20 页） 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立 = + 2 2 + 2= 1， 消去 y 并整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m220， 0，由韦达定理得1+ 2= 4 22+1，12 = 222 22+1 + = 212+(1)(1+2) 12 = 1， （2k1）x1x2+（m1） （x1+x2）0， （1m）2（1+m）4k0，又 m1，2km+12，k1， 16k28m2+816（2kk2）0，0k2， 实数 k 的取值范围是（1，2） 21
34、 （12 分）已知函数 f（x）xex2x （1）求函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程 （2）设函数 g（x）f（x）2lnx，对于任意 x（0，+） ，g（x）a 恒成立，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）（x+1）ex2， 由导数的几何意义可得，f（x）在（1，f（1） ）处切线斜率 k2e2，且 f（1）e2， 故 f（x）在（1，f（1） ）处切线方程为 ye+2（2e2） （x1）即 y2（e1）xe； （2）因为 g（x）xex2x2lnx，则 g（x）（x+1）ex2 2 ， 易得 g（x）在（0，+）上单调递增，且 g（1）0，(1 2)0， 故存在
35、m (1 2，1)使得 g（m）（m+1）e m22 =0，即 mem2， 所以 lnm+mln2， 当 x（0，m）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减，当 x（m，+）时，g（x） 0，函数 g（x）单调递增， 故当 xm 时，g（x）取得最小值 g（m）mem2m2lnm22ln2， 故 a22ln2 综上可得，a 的范围a|a22ln2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为 = 2 + 2 = 2 （ 为参数） ，曲线 C2的参数方程为 第 19 页（共 20 页） = 8 + 3
36、 4 = 3 4 （t 为参数） （）求 C1和 C2的普通方程； （）过坐标原点 O 作直线交曲线 C1于点 M（M 异于 O） ，交曲线 C2于点 N，求| |的 最小值 【解答】解： （）由 = 2 + 2 = 2 （ 为参数） ，消去参数 ，可得 C1的参数方程为 （x2）2+y24； 由 = 8 + 3 4 = 3 4 （t 为参数） ，得 = 8 2 2 = 2 2 ，消去参数 t，可得 C2的普通方程为 x+y 8； （） 如图， 圆 C1的极坐标方程为 4cos， 直线 C2的极坐标方程为 cos+sin8， 即 = 8 +， 设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为 （ 4 2
37、） ， 则| | = 8 |+| 4| = 2 |2+| = 4 |2+2+1| = 4 |2(2+ 4)+1| 4 2， 4 2+ 4 5 4 |2(2 + 4) + 1|1，1 + 2， 则| |的最小值为 4 2+1 = 4(2 1) 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|ax+1|+|x1| （）若 a2，解关于 x 的不等式 f（x）9； 第 20 页（共 20 页） （）若当 x0 时，f（x）1 恒成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （）当 a2 时，f（x）|2x+1|+|x1|= 3，1 + 2， 1 2 1 3， 1 2 ， 则 f（x
38、）9 等价为1 39或 1 2 1 + 29 或 1 2 39 ， 解得 1x3 或 1 2 x1 或3x 1 2， 综上可得原不等式的解集为（3，3） ； （）当 x0 时，f（x）1 恒成立， 即为 1f（x）min， 当 a0 时，f（x）|x1|，其最小值为 f（1）0，不符题意； 当 a0，即a0 时，f（x）|ax+1|+|x1|a|x+ 1 |+|x1|（a1）|x+ 1 |+（|x 1|+|x+ 1 |） ， 当a10，f（x）有最小值，且为|1+ 1 |，又|1+ 1 |1 不恒成立； 当 a0，x0 时，f（x）ax+1+|x1 的最小值为 f（1）a+1|1 恒成立， 综上可得，a 的范围是（0，+）
