1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年江西省高考数学（文科）模拟试卷（年江西省高考数学（文科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 2 （5 分）设 x，yR，若复数+ 是纯虚数，则点 P（x，y）一定满足（ ） Ayx B = 1 Cyx D = 1 3 （5 分）2018 年小明的月工资为 6000 元，各种途占比如图 1 所示，2019 年小明的月工资 的各种用途占比如图
2、2 所示， 已知 2019 年小明每月的旅行费用比 2018 年增加了 525 元， 则 2019 年小明的月工资为（ ） A9500 B8500 C7500 D6500 4 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1、F2过 F2垂 直 x 轴的直线与双曲线 C 的两渐近线的交点分别是 M、N，若MF1N 为正三角形，则该 双曲线的离心率为（ ） A 21 3 B3 C13 D2+3 5 （5 分）已知 =（1，2） ， =（2，t） ，若| + | |，则 t 为（ ） A1 B1 C1 D0 6 （5 分）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与
3、 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P （ 3 5， 4 5）则 sin（）（ ） A 4 5 B4 5 C 3 5 D3 5 7 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C D 8 （5 分）已知 A（x1，0） ，B（x2，0）两点是函数 f（x）2sin（x+）+1（0， （0，） ）与 x 轴的两个交点，且满足|x1x2|min= 3，现将函数 f（x）的图象向左平移 6个 单位，得到的新函数图象关于 y 轴对称，则 的可能取值为（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 9 （5 分）明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道著名
4、的题目： “一百馒头一百僧， 大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了 此题的一个算法执行如图的程序框图，则输出的 n（ ） A25 B45 C60 D75 10 （5 分）设 a（1 4） 1 3，blog52，clog85，则（ ） Aabc Bbca Ccba Dcab 第 3 页（共 17 页） 11 （5 分） 在边长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 过 AB 中点 E 的直线 l 与直线 A1D1， 直线 BC1分别交于点 M，N，则 MN 的长为（ ） A5 B42 C6 D43 12 （5 分）若椭圆 2 36 + 2 16 =
5、 1上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2的连线互相垂直，则 PF1F2的面积为（ ） A36 B16 C20 D24 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知函数 f （x） lnx+x2， 则曲线 yf （x） 在点 （1， f （1） ） 处的切线方程为 14 （5 分）在数列an中，a11，an+12nan，则数列an的通项公式 an 15 （5 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 sinC2sinA，且（ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，则 cosB 16 （5
6、 分）已知圆柱侧面展开图是个矩形，这个矩形的对角线为 l，且与底面的夹角为 ， 则圆柱的侧面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知an是公差为 1 的等差数列，数列bn满足 b11，2= 1 2，anbn+1+bn+1 nbn （1）求数列bn的通项公式； （2）设 cnbnbn+1，求数列cn的前 n 项和 Sn 18 （12 分） “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特 色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百 姓了解国家动态， 紧跟时代脉
7、博的热门 APP， 某市宣传部门为了解全民利用 “学习强国” 了解国家动态的情况， 从全市抽取 2000 名人员进行调查， 统计他们每周利用 “学习强国” 的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图 （1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数； （2） 宣传部为了了解大家利用 “学习强国” 的具体情况， 准备采用分层抽样的方法从8， 10和10，12组中抽取 50 人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的 50 人中选 5 人参加一个座谈会 现从参加座谈会的 5 人中随机抽取两人发言， 求10， 12 小组中至少有 1 人发言的概率？ 第 4 页（共
8、17 页） 19 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，BAD90，AB4，AD2，DC 3， 点 E 在 CD 上，且 DE2， 将ADE 沿 AE 折起，得到四棱锥 DABCE（如图 2） （1）求四棱锥 DABCE 的体积的最大值； （2） 在线段 BD 上是否存在点 P， 使得 CP平面 ADE？若存在， 求 的值； 若不存在， 请说明理由 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）经过点 A（1，2） ，直线 l 过抛物线 C 焦点 F 且与抛物线交于 M、N 两点，抛物线的准线与 x 轴交于点 B （1）求实数 p 的值； （2）若 =4，求直线 l
9、的方程 21 （12 分）已知函数 f（x）（x+1）lnx+（1k）x+1 （1）当 x1 时，不等式 f（x）0 恒成立，求实数 k 的取值范围： （2）证明：n2，nN，ln5+ln11+ln（n2+n1）n2+ 2 +1 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； 第 5 页（共 17 页） （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2+|
10、2的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数() = 4(2+ 1) + （kR）为偶函数 （1）求 k 的值； （2）若函数() = 4()+ 1 4+ 4 1，x0，log25，是否存在实数 m 使得 g（x）的 最小值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 17 页） 2020 年江西省高考数学（文科）模拟试卷（年江西省高考数学（文科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3
11、，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）设 x，yR，若复数+ 是纯虚数，则点 P（x，y）一定满足（ ） Ayx B = 1 Cyx D = 1 【解答】解：由+ = (+)(+) ()(+) = 1 2+1 + + 2+1 是纯虚数， 1 = 0 + 0 ，得 x0，y= 1 故选：B 3 （5 分）2018 年小明的月工资为 6000 元，各种途占比如图 1 所示，2019 年小明的月工资 的各种用途占比如图 2 所示， 已知 2019 年小明每月的旅行费
12、用比 2018 年增加了 525 元， 则 2019 年小明的月工资为（ ） A9500 B8500 C7500 D6500 【解答】解：由图 1 知 2018 年小明旅行月支出为：600035%2100 元， 2019 年小明每月的旅行费用比 2018 年增加了 525 元， 2019 年小明每月的旅行费用为 2625 元， 第 7 页（共 17 页） 由图 2 知 2019 年小明的月工资为：2625 35% =7500 元 故选：C 4 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1、F2过 F2垂 直 x 轴的直线与双曲线 C 的两渐近线的交点分
13、别是 M、N，若MF1N 为正三角形，则该 双曲线的离心率为（ ） A 21 3 B3 C13 D2+3 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的渐近线方程为 bxay0， xc 时，y ， MF1N 为正三角形， 2c= 3 2 2 ， a= 3 2 b， c= 7 2 b， e= = 21 3 故选：A 5 （5 分）已知 =（1，2） ， =（2，t） ，若| + | |，则 t 为（ ） A1 B1 C1 D0 【解答】解：根据题意， =（1，2） ， =（2，t） ，则 + =（3，2+t） ， =（1， 2t） ， 若| + | |，则有 9+（2+t）21+
14、（2t）2， 解可得：t1； 故选：C 6 （5 分）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P （ 3 5， 4 5）则 sin（）（ ） A 4 5 B4 5 C 3 5 D3 5 【解答】解：角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P 第 8 页（共 17 页） （ 3 5， 4 5） 则 sin（）sin= 4 5 故选：A 7 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0+， 1 +1 = 1 2 +1 1+，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+
15、时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1+，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 8 （5 分）已知 A（x1，0） ，B（x2，0）两点是函数 f（x）2sin（x+）+1（0， （0，） ）与 x 轴的两个交点，且满足|x1x2|min= 3，现将函数 f（x）的图象向左平移 6个 单位，得到的新函数图象关于 y 轴对称，则 的可能取值为（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 【解答】解：由题意，|x1x2|min= 3，设 x1x2，可得 x1= 3 + 2， A （x1， 0） ， B （x2， 0） 两点是函数 f （x） 与 x 轴的两个交点， 可得函数 f （x） 关
16、于 x= 1+2 2 对称， 即（x1+x2）+2+2k； 将 B 点带入函数 f（x） ，可得 sin（x2+）= 1 2，令 x2+= 6， 由消去 x1，令 k0，得：4； 函数 f （x） 的图象向左平移 6个单位， 得到的新函数图象关于 y 轴对称， 即 6 += 2 + ， 可得 = 5 6 第 9 页（共 17 页） 故选：D 9 （5 分）明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧， 大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了 此题的一个算法执行如图的程序框图，则输出的 n（ ） A25 B45 C60 D75 【解答】
17、解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，且 2 + 3(100 ) = 100， 解得 n75 故选：D 10 （5 分）设 a（1 4） 1 3，blog52，clog85，则（ ） Aabc Bbca Ccba Dcab 【解答】解：a（1 4） 1 3=4 1 3401， blog52log551，clog85log881， = 5 2 8 5 = 2 5 8 5 = 2 5 32 5 =3 （2 5） 23（ 5 2）2， 5 255 1 2 = 1 2，0（5 2）21 4，03（5 2）23 4 1，即 0 5 2 8 51， 第 10 页（
18、共 17 页） log52log851（1 4） 1 3， bca 故选：B 11 （5 分） 在边长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 过 AB 中点 E 的直线 l 与直线 A1D1， 直线 BC1分别交于点 M，N，则 MN 的长为（ ） A5 B42 C6 D43 【解答】解：如图所示， 过 AB 中点 E 的直线 l 与直线 A1D1，直线 BC1分别交于点 M，N，则点 M 必然与点 D1 重合| |C1N|2|BC1|42 |MN|=22+ (42)2=6 故选：C 12 （5 分）若椭圆 2 36 + 2 16 = 1上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2的连线互
19、相垂直，则 PF1F2的面积为（ ） A36 B16 C20 D24 【解答】解：椭圆的方程： 2 36 + 2 16 = 1，则 a6，b4，c= 2 2=25 由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|2a12，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2（2c）280， |PF1|PF2|32 PF1F2的面积= 1 2|PF1|PF2|16 PF1F2的面积为 16， 故选：B 第 11 页（共 17 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）lnx+x2，则曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切
20、线方程为 3x y20 【解答】解：易知 f（1）1，故切点为（1，1） ， () = 1 + 2， 故 f（1）3， 所以切线方程为 y13（x1） ， 即 3xy20 即为所求 故答案为：3xy20 14 （5 分）在数列an中，a11，an+12nan，则数列an的通项公式 an ，为奇数 1，为偶数 【解答】解：an+12nan， an+1+an2n，an+an12（n1） （n2）， 得：an+1an12 （n2） ，又a11， 数列an的奇数项为首项为 1，公差为 2 的等差数列， 当 n 为奇数时，ann， 当 n 为偶数时，则 n1 为奇数，an2（n1）an12（n1）（n1
21、）n1， 数列an的通项公式= ，为奇数 1，为偶数， 故答案为：= ，为奇数 1，为偶数 15 （5 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 sinC2sinA，且（ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，则 cosB 3 4 【解答】解：sinC2sinA，c2a， （ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，（ba） （b+a）= 1 2 ，即2 2= 1 2 ， 2 2= 1 2 2 = 2，b22a2， cosB= 2+22 2 = 2+4222 22 = 3 4， 第 12 页（共 17 页） 故答案为：3 4 16 （5 分）已知圆
22、柱侧面展开图是个矩形，这个矩形的对角线为 l，且与底面的夹角为 ， 则圆柱的侧面积为 1 2l 2sin2 【解答】解：如图所示， 矩形 ABCD 中，ACl，ACB， 所以 ABlsin，BClcos， 所以矩形的面积为 S矩形ABBCl2sincos= 1 2l 2sin2， 即圆柱的侧面积为1 2l 2sin2 故答案为：1 2l 2sin2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知an是公差为 1 的等差数列，数列bn满足 b11，2= 1 2，anbn+1+bn+1 nbn （1）求数列bn的通项公式； （
23、2）设 cnbnbn+1，求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）由题意，可知 a1b2+b2b1， 即1 2a1+ 1 2 =1，解得 a11 又数列an是公差为 1 的等差数列， an1+n1n anbn+1+bn+1（n+1）bn+1nbn， 数列nbn是常数数列，即 nbn1b11， bn= 1 ，nN* （2）由（1）知，cnbnbn+1= 1 (+1) = 1 1 +1， 故 Snc1+c2+cn 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 第 13 页（共 17 页） 1 1 +1 = +1 18 （12 分） “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习
24、宣传习近平新时代中国特 色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百 姓了解国家动态， 紧跟时代脉博的热门 APP， 某市宣传部门为了解全民利用 “学习强国” 了解国家动态的情况， 从全市抽取 2000 名人员进行调查， 统计他们每周利用 “学习强国” 的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图 （1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数； （2） 宣传部为了了解大家利用 “学习强国” 的具体情况， 准备采用分层抽样的方法从8， 10和10，12组中抽取 50 人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的 50 人中选 5
25、人参加一个座谈会 现从参加座谈会的 5 人中随机抽取两人发言， 求10， 12 小组中至少有 1 人发言的概率？ 【解答】解： （1）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为 y， = 0.05 1 + 0.1 3 +0.255+0.37+0.159+0.111+0.05136.8， 设抽查人员利用“学习强国”的中位数为 y0.05+0.1+0.25+0.15（y6）0.5，解得 y= 20 3 ， 即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为 6.8，中位数为20 3 （2）8，10组的人数为 20000.15300 人，设抽取的人数为 a， 10，12组的人数为 20000.1200 人
26、，设抽取的人数为 b， 则 300 = 200 = 50 500，解得 a30，b20， 所以在8，10和10，12两组中分别抽取 30 人和 20 人， 第 14 页（共 17 页） 在抽取 5 人，两组分别抽取 3 人和 2 人，将8，10 组中被抽取的工作人员标记为 a，b， c，将10，12中的标记为 A，B 则抽取的情况如下：a，b，a，c，a，A，a，B，b，c，b，A，b，B，c， A，c，B，A，B共 10 种情况， 其中在10，12中至少抽取 1 人有 7 种，则 P= 7 10 19 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，BAD90，AB4，AD2，DC
27、 3， 点 E 在 CD 上，且 DE2， 将ADE 沿 AE 折起，得到四棱锥 DABCE（如图 2） （1）求四棱锥 DABCE 的体积的最大值； （2） 在线段 BD 上是否存在点 P， 使得 CP平面 ADE？若存在， 求 的值； 若不存在， 请说明理由 【解答】解： （1）由题意，要使得四棱锥 DABCE 的体积最大，就要使平面 ADE平 面 ABCE 设 G 为 AE 的中点，连接 DG， ADDE2，DGAE， 平面 ADE平面 ABCE，平面 ADE平面 ABCEAE，DG平面 ADE， DG平面 ABCE， ADE90，AD2，AE22，DG= 2， 四棱锥 DABCE 的体
28、积的最大值为= 1 3 2 (1+4)2 2 = 5 32 （2）过点 C 作 CFAE 交 AB 于点 F，则 = 1 3， 过点 F 作 FPAD 交 DB 于点 P，连接 PC，则 = 1 3 又CFAE，AE平面 ADE，CF平面 ADE，CF平面 ADE FPAD，AD平面 ADE，PF平面 ADE，FP平面 ADE 又CFFPF，AEADA，平面 ADE平面 CFP 第 15 页（共 17 页） CP平面 CFP，CP平面 ADE 在 BD 上存在点 P，使得 CP平面 ADE，且 = 3 4 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）经过点 A（1，2） ，直线 l 过
29、抛物线 C 焦点 F 且与抛物线交于 M、N 两点，抛物线的准线与 x 轴交于点 B （1）求实数 p 的值； （2）若 =4，求直线 l 的方程 【解答】解（1）由抛物线过 A（1，2）可得， （2）22p1，p2， （2）由（1）得抛物线的方程为：y24x，所以焦点 f（1，0） ，可得直线方程为 x1， 即 B 的坐标为（1，0） ， 由题意可得直线 l 的斜率不为 0， 设直线 l 的方程为： xmy+1， 设交点 M （x， y） ， N （x， y） ， 联立直线与抛物线的方程整理得：y24my40，y+y4m，yy4， 所以 =（x+1，y） （x+1，y）xx+（x+x）+1+
30、yy= ()2 16 +m（y+y）+2+1+yy （1+m2）yy+2m（y+y）+44（m2+2）+8m24m28， 又有 =4， 所以 4m284，解得：m1， 所以直线 l 的方程为：xy+1， 即直线方程为：x+y10 或 xy10 21 （12 分）已知函数 f（x）（x+1）lnx+（1k）x+1 （1）当 x1 时，不等式 f（x）0 恒成立，求实数 k 的取值范围： （2）证明：n2，nN，ln5+ln11+ln（n2+n1）n2+ 2 +1 【解答】 （1）解：不等式 f（x）0，等价于(+1)(1+) 第 16 页（共 17 页） 记() = (+1)(1+) = (1
31、+ 1 )(1 + )，() = 2 令 h（x）xlnx，则() = 1 1 ， x1，h（x）0，h（x）在1，+）上单调递增， h（x）h（1）10，从而 g（x）0， 故 g（x）在1，+）上单调递增 g（x）ming（1）2， 故 k2 （2）证明：由（1）可知当 x1 时，取 k2， （x+1）lnxx+10， 则(+1)(1+) 2，即 1 2 +1恒成立， 则当 x2 时，( 1) 1 2 恒成立，当且仅当 x2 时取等号 令 xn（n+1） ，则( + 1) 1 1 2 (+1) = 1 2(1 1 +1)， 当 n2 时，(2 3 1)1 2(1 2 1 3)， 当 n3
32、时，(3 4 1)1 2(1 3 1 4)， ( + 1) 11 2(1 1 +1)， 上式相加可得 ln（231）+ln（341）+( + 1) 1 1 2(1 2 1 +1) 即 ln5+ln11+(2+ 1) 2 + 2 +1，原不等式得证 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2+|2的值 【
33、解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 4 + 2= 1， 转换为极坐标方程为 42sin2+2cos24即2= 4 32+1 （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ， 第 17 页（共 17 页） 设 P（1，） ，则 Q（2， 2） ， 所以 |2|2 |2+|2 = 1 1 |2+ 1 |2 = 1 1 12+ 1 22 = 1 3 4 2+1 4+ 3 4 2+1 4 = 4 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数() = 4(2+ 1) + （kR）为偶函数 （1）求 k 的值； （2）若函数()
34、= 4()+ 1 4+ 4 1，x0，log25，是否存在实数 m 使得 g（x）的 最小值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）由函数 f（x）是偶函数可知，f（x）f（x） ， 4(2+ 1) + = 4(2+ 1) ， 4 2+1 2+1 = 2，即1 2 = 2对一切 xR 恒成立， = 1 4； （2）由（1）知，g（x）2x+m4x，令 t2x1，5，h（t）mt2+t， 当 m0 时，h（t）t 在1，5上单调递增，故 h（t）minh（1）0，不符； 当 m0 时，h（t）图象对称轴为 = 1 2 0，则 h（t）在1，5上单调递增，故 h （t）minh（1）0，则 m1（舍） ； 当 m0 时，h（t）图象对称轴为 = 1 2， （i）当 1 23，即 1 6时，h（t）minh（5）0，则 25m+50，解得 = 1 5； （ii）当 1 2 3，即 1 6 0时，h（t）minh（1）0，则 m+10，解得 m1 （舍） ； 综上，存在 = 1 5使得 g（x）的最小值为 0
