1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集 Ux|x0，Mx|1exe2，则UM（ ） A （1，2） B （2，+） C （0，12，+） D2，+） 2 （5 分）若复数 z 满足 z（1i）2i（i 是虚数单位） ，则|z|为（ ） A1 3 B1 2 C1 4 D1 5 3 （5 分）已知 ，（0，） ，则“sin+sin 1 3”是“sin（+） 1 3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件
2、 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）若 = (9 4) 1 2，b3log83， = (2 3) 1 3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba Babc Cbac Dcab 5 （5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多 边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” 利用“割圆术”刘徽得到了圆周率 精确到小数点后两位的近似值 3.14， 这就是著名的 “徽率” 如图是利用刘徽的 “割圆术” 思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（ ） （参考数据：3 1.732，sin150.2588，sin7.50.1305） A
3、12 B24 C36 D48 6 （5 分） 由 0， 1， 2， 3， 4， 5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为 （ ） A288 B360 C480 D600 第 2 页（共 20 页） 7 （5 分）如图，B 是 AC 上一点，分别以 AB，BC，AC 为直径作半圆从 B 作 BDAC， 与半圆相交于 DAC6， = 22，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影 部分的概率是（ ） A2 9 B1 3 C4 9 D2 3 8 （5 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45
4、5 C4 D16 5 9 （5 分） 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 是底面 ABCD 上 （含边界） 一动点， 满足 A1PAC1，则线段 A1P 长度的取值范围（ ） A 6 2 ，2 B 6 2 ，3 C1，2 D2，3 10 （5 分） 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 为 A1D1的中点， 若三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A12 B21 2 C41 4 D10 11 （5 分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量 = ， = ，其中 =（1，2） ， =（2，1） ，平面区域 D 由
5、所有满足 = + ， （01）的点 P（x，y）组成， 点 P 使得 zax+by（a0，b0）取得最大值 3，则1 + 2 的最小值是（ ） A3+22 B42 C2 D3 12 （5 分）若函数 f（x）mx2+4mx+30 在 R 上恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A0，2 3） B0，3 4） C （3 4，+） D （0，2 3） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 正项等比数列an满足1+ 3= 5 4， 且 2a2， 1 2 4， a3成等差数列， 则 （a1a2） （a2a3） （anan+1）取
6、得最小值时的 n 值为 第 3 页（共 20 页） 14 （5 分）若 a= 3 0 ，则(2 ) 6）展开式的常数项为 15 （5 分）已知抛物线 y24x 上有三点 A，B，C，直线 AB，BC，AC 的斜率分别为 3，6， 12，则ABC 的重心坐标为 16 （5 分）已知函数 f（x）= 1 2 2 1 +1，若 f（4m）f（m）84m，则实数 m 的取 值范围为 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知函数() = 3 + 2 + 1 （1）求 f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，
7、C 的对边，若 f（C）2，a+b4，且ABC 的面积为 3 3 ，求ABC 外接圆的半径 18 （12 分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初中毕业 学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的 有效措施某市 2018 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心 球、1 分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分某学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情 况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图（如图） ，且
8、规定 计分规则如表： 每分钟跳绳个数 155，165） 165，175） 175，185） 185，+） 得分 17 18 19 20 （1）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率； （2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N（，2） ，用样本数据的 平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 S2169（各组数据用中点值代 替） 根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个 数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增 加 10 个，现利用所得正态分布模型： （）预
9、估全年级恰好有 2000 名学生时，正式测试每分钟跳 182 个以上的人数； （结果 四舍五入到整数） （）若在全年级所有学生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 195 个以上的人数 第 4 页（共 20 页） 为 ，求随机变量 的分布列和期望 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（ 2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974 19 （12 分）如图，在四棱柱 ABCDABCD中，底面 ABCD 为等腰梯形，DAABBC 1，DC2平面 DCCD平面 ABCD，四边形 DCCD为菱形，DDC60 （）求证：DABC； （）求 DA与平面
10、BCCB所成角的正弦值 20 （12 分）椭圆 M 的中心在坐标原点 O，左、右焦点 F1，F2在 x 轴上，抛物线 N 的顶点 也在原点 O，焦点为 F2，椭圆 M 与抛物线 N 的一个交点为 A （3，26） （）求椭圆 M 与抛物线 N 的方程； （）在抛物线 M 位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点 B，使得AF1B 的外接圆圆心在 x 轴上？若存在，求出 B 点坐标；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数() = + 1 2 2( ) 第 5 页（共 20 页） （1）若函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 4x2y30，求实数 a 的值； （2）当
11、 a0 时，证明函数 g（x）f（x）（a+1）x 恰有一个零点 22 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = = （t 为参数） ，点 A（1，0） ， B （3， 3） ， 若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点， x 轴正方向为极轴， 且长度单位相同， 建立极坐标系 （1）求直线 AB 的极坐标方程； （2）求直线 AB 与曲线 C 交点的极坐标 第 6 页（共 20 页） 2020 年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每
12、小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集 Ux|x0，Mx|1exe2，则UM（ ） A （1，2） B （2，+） C （0，12，+） D2，+） 【解答】解：Ux|x0，Mx|0x2， UM2，+） 故选：D 2 （5 分）若复数 z 满足 z（1i）2i（i 是虚数单位） ，则|z|为（ ） A1 3 B1 2 C1 4 D1 5 【解答】解：由 z（1i）2i，得 z= (1)2 = 2 = 1 2， |z|= 1 2 故选：B 3 （5 分）已知 ，（0，） ，则“sin+sin 1 3”是“sin（+） 1 3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条
13、件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：，（0，） ，sin（+）sincos+cossinsin+sin 1 3， ，（0，） ，则“sin+sin 1 3”是“sin（+） 1 3”的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）若 = (9 4) 1 2，b3log83， = (2 3) 1 3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba Babc Cbac Dcab 【解答】解： = (9 4) 1 2= 3 2， b3log83log2328 = 3 2， = (2 3) 1 3（2 3） 01， a，b，c 的大小关系是 cab 故选：D 第 7 页（共 20 页） 5 （5 分）公元
14、 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多 边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” 利用“割圆术”刘徽得到了圆周率 精确到小数点后两位的近似值 3.14， 这就是著名的 “徽率” 如图是利用刘徽的 “割圆术” 思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（ ） （参考数据：3 1.732，sin150.2588，sin7.50.1305） A12 B24 C36 D48 【解答】解：模拟执行程序，可得： n6，S3sin60= 33 2 ， 不满足条件 S3.10，n12，S6sin303， 不满足条件 S3.10，n24，S12sin15120.25883
15、.1056， 满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24 故选：B 6 （5 分） 由 0， 1， 2， 3， 4， 5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为 （ ） A288 B360 C480 D600 【解答】解：根据题意，末位数字可以为 1、3、5，有 A31种取法，首位数字不能为 0， 有 A41种取法，再选 3 个数字，排在中间，有 A43种排法， 则五位奇数共有 A31A41A43288， 故选：A 7 （5 分）如图，B 是 AC 上一点，分别以 AB，BC，AC 为直径作半圆从 B 作 BDAC， 与半圆相交于 DAC6， = 22，在整个图形中随机
16、取一点，则此点取自图中阴影 第 8 页（共 20 页） 部分的概率是（ ） A2 9 B1 3 C4 9 D2 3 【解答】解：连接 AD，CD，可知ACD 是直角三角形， 又 BDAC，所以 BD2ABBC， 设 ABx（0x6） ，则有 8x（6x） ，得 x2，所以 AB2，BC4， 由此可得图中阴影部分的面积等于3 2 2 (1 2 2 + 22 2 ) = 2， 故概率 = 2 1 29 = 4 9， 故选：C 8 （5 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D16 5 【解答】
17、解：画出变量 x，y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 的可行域， 可发现 z（x3）2+y2的最小值是（3，0）到 2xy20 距离的平方 取得最小值：( 62 4+1) 2 = 16 5 第 9 页（共 20 页） 故选：D 9 （5 分） 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 是底面 ABCD 上 （含边界） 一动点， 满足 A1PAC1，则线段 A1P 长度的取值范围（ ） A 6 2 ，2 B 6 2 ，3 C1，2 D2，3 【解答】解：AC1平面 BDA1，所以点 P 的轨迹就是线段 BD，满足 A1PAC1， 所以 P 在 B 或 D 时 A1
18、P 最长为2，在 BD 中点时 A1P 最短为 6 2 ， 故选：A 10 （5 分） 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 为 A1D1的中点， 若三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A12 B21 2 C41 4 D10 【解答】解：取 AC 的中点 E，做 EFAF 与 F，连接 PF 可得 PFAF，过 E 做垂直于 面 ABC 的直线，由题意可得外接球的球心直线直线 EO 上，设球心为 O，过 O 做 OM 面 PAF 交于 M，由正方体性质可得，M 在 PF 上，四边形 OEFM 为矩形，MFOE，OM EF，PFAB2
19、，连接 PO，OC 可得都是外接球的半径， 由题意可得：CE= 2 2 AB= 2，EF= 2 =1， 在三角形 OEC 中，OC2OE2+EC2OE2+（2）22+OE2， 第 10 页（共 20 页） 在三角形 POM 中，OP2OM2+（PFFM）212+（2OE）2， 两式联立可得：2+OE21+（2OE）2，解得：OE= 3 4， 所以 OC22+（3 4） 2=41 16， 所以外接球的表面积 S4OC2= 41 4 ， 故选：C 11 （5 分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量 = ， = ，其中 =（1，2） ， =（2，1） ，平面区域 D 由所有满足 = + ， （
20、01）的点 P（x，y）组成， 点 P 使得 zax+by（a0，b0）取得最大值 3，则1 + 2 的最小值是（ ） A3+22 B42 C2 D3 【解答】解： =（1，2） ， =（2，1） ，平面区域 D 由所有满足 = + ，点 P （x，y） = + 2 = 2 + 即 = 1 3 + 2 3 = 2 3 1 3 01 2 3 0 2 3 0 0， 0 第 11 页（共 20 页） 可得当 P（3，3）时 Z 取得最大值，3a+3b6，由基本不等式得1 + 2 =（1 + 2 ） （a+b） 3+ + 3 + 22，当且仅当 b= 2时“”成立， 12 （5 分）若函数 f（x）m
21、x2+4mx+30 在 R 上恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A0，2 3） B0，3 4） C （3 4，+） D （0，2 3） 【解答】解：mx2+4mx+30 在 R 上恒成立， 当 m0 时，30 恒成立； 当 m0 时，不等式不恒成立； 当 m0 且16m212m0， 即为 m0 且 0m 3 4， 即有 0m 3 4， 综上可得实数 m 的取值范围是 0m 3 4 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 正项等比数列an满足1+ 3= 5 4， 且 2a2， 1 2 4， a3成等差数列， 则
22、 （a1a2） （a2a3） （anan+1）取得最小值时的 n 值为 2 【解答】解：正项等比数列an的公比设为 q，1+ 3= 5 4，且 2a2， 1 2 4，a3成等差数 列， 第 12 页（共 20 页） 可得 a1+a1q2= 5 4，a42a2+a3，即 q 22+q，解得 q2，a1=1 4， 则 an= 1 42 n12n3，anan+12n32n222n5， 则 （ a1a2） （ a2a3） （ anan+1） 2 3 2 1 22n 5 2 32+2n5 2 (28) 2 =2 24 =2 (2)24， 当 n2 时， （a1a2） （a2a3） （anan+1）取得最
23、小值， 故答案为：2 14 （5 分）若 a= 3 0 ，则(2 ) 6）展开式的常数项为 240 【解答】解：若 a= 3 0 =ex|0 3 =eln3e02，则(2 ) 6 = (2 2 ) 6， 它的展开式通项公式为 Tr+1= 6 （2）rx123r，令 123r0，求得 r4， 可得它的 展开式的常数项为6 416240， 故答案为：240 15 （5 分）已知抛物线 y24x 上有三点 A，B，C，直线 AB，BC，AC 的斜率分别为 3，6， 12，则ABC 的重心坐标为 （ 35 432， 7 18） 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）
24、， 由1 2 = 41 2 2 = 42，两式相减得（y1y2） （y1+y2）4（x1x2） ， 所以直线 AB 的斜率 kAB= 12 12 = 4 1+2，因为 y1+y2= 4 3， 同理可得：kBC= 4 2+3，kAC= 4 1+3，y2+y3= 4 6 = 2 3，y1+y3= 4 12 = 1 3， 所以 y1+y2+y3= 7 6， 所以 y3= 1 6，y2= 5 6，y1= 1 2， 所以 x3= 1 144，x2= 25 144，x1= 1 16， 因此 x1+x2+x3= 35 144， 所以ABC 的重心坐标（ 35 432， 7 18） ， 故答案为： （ 35
25、432， 7 18） 16 （5 分）已知函数 f（x）= 1 2 2 1 +1，若 f（4m）f（m）84m，则实数 m 的取 第 13 页（共 20 页） 值范围为 2，+） 【解答】解：f（x）= 1 2 2 1 +1， f（x） 1 2 2= 1 +1， 设 g（x）f（x） 1 2 2= 1 +1， 则 g（x）= 1 +1 = 1 1+ = 1 +1 = g（x） ，即 g（x）是奇函数， g（x）= 1 +1 = +12 +1 = 1+ 2 +1，则 g（x）在（，+）上为减函数， f（x）= 1 2 2+g（x） f（4m）f（m）84m， 等价为1 2（4m） 2+g（4m）
26、g（m）1 2m 284m， 即 g（4m）g（m）+84m84m， 即 g（4m）g（m）0， 即 g（4m）g（m） g（x）在（，+）上为减函数， 4mm，即 m2， 即实数 m 的取值范围是2，+） ， 故答案为：2，+） 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知函数() = 3 + 2 + 1 （1）求 f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 f（C）2，a+b4，且ABC 的面积为 3 3 ，求ABC 外接圆的半径 【解答】解： （1）函数() = 3 + 2 + 1
27、= 3 2 2 + 1 2 2 + 3 2 = (2 + 6) + 3 2， 故最小正周期 = 2 2 = ； 令 2 + 2 2 + 6 3 2 + 2，解得： 6 + 2 3 + ，kZ 第 14 页（共 20 页） 故函数的单调递减区间为： 6 +k，2 3 +k，kZ （2）由 f（C）2，可得(2 + 6) = 1 2， 又 0C， 所以 6 2 + 6 13 6 ， 所以2 + 6 = 5 6 ，从而 = 3 由 S= 3 3 = 1 2absin 3，ab= 4 3， 由余弦定理有：c2（a+b）22ab2abcosC（a+b）23ab12， = 23，由正弦定理有： = 1 2
28、 = 2 18 （12 分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初中毕业 学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的 有效措施某市 2018 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心 球、1 分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分某学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情 况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图（如图） ，且规定 计分规则如表： 每分钟跳绳个数 155，165） 165，175） 175，
29、185） 185，+） 得分 17 18 19 20 （1）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率； （2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N（，2） ，用样本数据的 平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 S2169（各组数据用中点值代 替） 根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个 数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增 加 10 个，现利用所得正态分布模型： （）预估全年级恰好有 2000 名学生时，正式测试每分钟跳 182 个以上的人数； （结
30、果 四舍五入到整数） （）若在全年级所有学生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 195 个以上的人数 为 ，求随机变量 的分布列和期望 第 15 页（共 20 页） 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（ 2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974 【解答】 （12 分） 解： （）两人得分之和不大于 35 分，即两人得分均为 17 分，或两人中 1 人 17 分，1 人 18 分， = 6 2+ 6 1 12 1 100 2 = 29 1650 （3 分） （） =1600.06+1700.12+1800.34+1900.30+2000
31、.1+2100.08185 （个）（5 分） 又2169，13，所以正式测试时，185，13，172 （ ） P （ 182 ） 1 10.6826 2 = 0.8413 ， 0.8413 2000 1682.6 1683 （人） （7 分） （）由正态分布模型，全年级所有学生中任取 1 人，每分钟跳绳个数 195 以上的概率 为 0.5， 即B （3， 0.5） ， P （0） = 3 0(1 0.5)3 = 0.125， P （1） = 3 10.5(1 0.5)2 = 0.375， P （2）= 3 20.52(1 0.5) = 0.375，P（3）= 330.53 = 0.125， 的
32、分布列为 0 1 2 3 P 0.125 0.375 0.375 0.125 E（）30.51.5 （12 分） 19 （12 分）如图，在四棱柱 ABCDABCD中，底面 ABCD 为等腰梯形，DAABBC 第 16 页（共 20 页） 1，DC2平面 DCCD平面 ABCD，四边形 DCCD为菱形，DDC60 （）求证：DABC； （）求 DA与平面 BCCB所成角的正弦值 【解答】方法一、 解： （）证明：连接 DB、BA，取 DC 中点 H，连接 DH、HB 等腰梯形 ABCD 中，DAABBC1，DC2 DCB60，DBBC 又在菱形 DCCD中，DDC60，DHBC 又平面 DCC
33、D平面 ABCD，交线为 DC，DH底面 ABCD DADAHB，DADAHB， 四边形 HBDA为平行四边形，DHAB AB底面 ABCD，ABBC， 又AB，DB 相交，BC平面 ADB， BCDA （）解：取 DC中点 K，连接 AH，HK，KA，AH，DB 相交于点 O， 连接 AO，显然平面 AHKA平面 BCCB BC平面 ADB，平面 BCCB平面 ADB， 平面 AHKA平面 ADB，交线为 AO， DAO 为 DA与平面 BCCB所成角 = = 1， = = 1 2， = 11 2 1+11 2 = 1 3， = 10 10 DA与平面 BCCB所成角的正弦值为 10 10
34、方法二、 第 17 页（共 20 页） 解： （）证明：取 DC 中点 O，连接 OD 四边形 DCCD为菱形，DDC60，ODCD 又平面 DCCD平面 ABCD，交线为 DC，OD底面 ABCD 以 O 为原点如图建立空间直角坐标系， 则 D（0，1，0） ，C（0，1，0） ，( 3 2 ， 1 2，0)，( 3 2 ， 1 2 ，0)，(0，0，3) = + = + = ( 3 2 ， 1 2，0) + (0，1，3) = ( 3 2 ， 3 2 ，3)， = ( 3 2 ， 1 2，0)， = 3 4 + 3 4 + 0 = 0，DABC （） = = (0，1，3)，设平面 BCC
35、B的法向量为 = (，)， 则 = + 3 = 0 = 3 2 + 1 2 = 0 ，取 y3，得 = (3，3， 3)， | ， | = 63 615 = 10 10 DA与平面 BCCB所成角的正弦值为 10 10 第 18 页（共 20 页） 20 （12 分）椭圆 M 的中心在坐标原点 O，左、右焦点 F1，F2在 x 轴上，抛物线 N 的顶点 也在原点 O，焦点为 F2，椭圆 M 与抛物线 N 的一个交点为 A （3，26） （）求椭圆 M 与抛物线 N 的方程； （）在抛物线 M 位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点 B，使得AF1B 的外接圆圆心在 x 轴上？若存在，求
36、出 B 点坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （）设椭圆的方程为 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，抛物线的方程为 y22px（p 0） ， A （3，26）在抛物线上，可得 246p，即 p4，可得抛物线 N 的方程为 y28x； 由题意可得椭圆的 c2，即 F1（2，0） ，F2（2，0） ， 由椭圆的定义可得 2a|PF1|+|PF2|=(3 + 2)2+ (26)2+(3 2)2+ (26)2=7+5 12，即 a6， 可得 b2a2c232，则椭圆 M 的方程为 2 36 + 2 32 =1； （）在抛物线 M 位于椭圆内（不含边界）的段曲线上，假设存在点 B，使得AF1B
37、 的外接圆圆心 H 在 x 轴上， 可设 H（t，0） ，由外接圆的圆心 H 在线段 F1A 的垂直平分线上，也在线段 F1B 的垂直平 分线上， 设 B（2m2，4m） ， （02m23） ，由 k 1= 26 5 ，可得线段 F1A 的垂直平分线的斜率为 5 26， 第 19 页（共 20 页） 且线段F1A的中点坐标为 （1 2， 6） ， 线段F1A的垂直平分线的方程为y6 = 5 26 （x 1 2） ， 可令 y0，可得 x= 29 10，即有 t= 29 10； 同理可得线段 F1B 的垂直平分线方程为 y2m= 1+2 2 （xm2+1） ， 代入 H（29 10，0）可得2m
38、= 1+2 2 （29 10 m2+1） ， 化为 10m4+11m2390，解得 m2= 3 2（ 13 5 舍去） ， 这与 02m23 矛盾，故不存在这样的 B 点，使得AF1B 的外接圆圆心 H 在 x 轴上 21 （12 分）已知函数() = + 1 2 2( ) （1）若函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 4x2y30，求实数 a 的值； （2）当 a0 时，证明函数 g（x）f（x）（a+1）x 恰有一个零点 【解答】解： （1）函数() = + 1 2 2( )的导数为 () = + ， 由切线的斜率为 2 得 f（1）a+12 a1； （2）证明：() = +
39、 1 2 2（a+1）x，x0， () = + ( + 1) = ()(1) ， 当 0a1 时， 由 g（x）0 得 0xa 或 x1，g（x）0 得 ax1， g（x）在（0，a）上递增，在（a，1）上递减，在（1，+）上递增 又() = + 1 2 2 ( + 1) = ( 1 2 1)0，g（2a+2）aln（2a+2）0， 当 0a1 时函数 g（x）恰有一个零点； 当 a1 时，g（x）0 恒成立，g（x）在（0，+）上递增 又(1) = 1 2 20，g（4）ln40， 所以当 a1 时函数 g（x）恰有一个零点； 当 a1 时， 由 g（x）0 得 0x1 或 xa，g（x）0
40、 得 1xa， g（x）在（0，1）上递增，在（1，a）上递减，在（a，+）上递增 第 20 页（共 20 页） 又(1) = 1 2 0，g（2a+2）aln（2a+2）0， 当 a1 时函数 g（x）恰有一个零点 综上，当 a0 时，函数 g（x）f（x）（a+1）x 恰有一个零点 22 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = = （t 为参数） ，点 A（1，0） ， B （3， 3） ， 若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点， x 轴正方向为极轴， 且长度单位相同， 建立极坐标系 （1）求直线 AB 的极坐标方程； （2）求直线 AB 与曲线 C 交点的极坐标 【解答】解： （1）由点 A（1，0） ，B（3，3） ， 所以直线 AB 的直角坐标方程为：3 + 2 3 = 0，（2 分） 化为极坐标方程是：3 + 2 = 3；（4 分） （2）曲线 C 的参数方程是 = = （t 为参数） ， 消去参数，化为普通方程是：y2x（y0） ；（6 分） 由3 + 2 = 3 2= ( 0) ，解得 = 1 3 = 3 3 ， 即交点的直角坐标为(1 3， 3 3 )；（8 分） 化为极坐标是：(2 3， 3)（10 分）
