1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年四川省高考数学（文科）模拟试卷（年四川省高考数学（文科）模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 a+bi（a，bR）是1; 1:的共轭复数，则 a+b（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 2 （5 分）设集合 A0，2，B1，0，2，则 AB（ ） A0 B1，2 C2，0 D2，1，0， 2 3 （5 分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为5 6和 3 4，两个零件是否 加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A1
2、 2 B1 3 C 5 12 D1 6 4 （5 分）已知 sin2cos，则:3 2 22;2 =（ ） A 1 6 B1 6 C 1 7 D1 7 5 （5 分）如图，在 RtABC 中， = 2， = 6，AC4，D 在 AC 上 AD：DC3：1， 当AED 最大时，AED 的面积为（ ） A3 2 B2 C3 D33 6 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，0 2） ，f（x1）1，f（x2）0，若 |x1x2|min= 1 2，且 f（ 1 2）= 1 2，则 f（x）的单调递增区间为（ ） A, 1 6 + 2， 5 6 + 2-， B, 5 6 + 2， 1 6
3、+ 2-， C, 5 6 + 2， 1 6 + 2-， D,1 6 + 2， 7 6 + 2-， 7 （5 分）过点（3，2）作圆（x1）2+y21 的两条切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 的方程为（ ） 第 2 页（共 19 页） A2x+2y30 Bx+2y30 C2x+y30 D2x+2y+30 8 （5 分）已知函数 f（x）x3mx2+nx+2 在区间0，1上单调递减，则 m2+n2的最小值是 （ ） A9 5 B1 C2 D11 5 9 （5 分）如图所示，在正方体 AC1中，棱长为 2，点 M 在 DD1上，点 N 在面 ABCD 上， MN2， 点 P 为 MN 的中点，
4、 则点 P 的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积为 （ ） A 12 B 6 C 3 D 2 10 （5 分）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a= 3，bcosAsinB， 则 A（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 11 （5 分） 九章算术 中记载， 堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱， 阳马指底面为矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在堑堵 ABCA1B1C1中，ACBC，AA12，当阳 马 BACC1A1体积为4 3时，堑堵 ABCA1B1C1 的外接球的体积的最小值为（ ） A4 3 B82 3 C32 3 D642 3 12 （5 分）设 F1、F
5、2分别为双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点，A 为双 第 3 页（共 19 页） 曲线的左顶点，以 F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M，N 两点，且满足MAN 120，则该双曲线的离心率为（ ） A 21 3 B 19 3 C2 3 D73 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 = (2，1)， = (4，)，若 ，则|2 + | = 14 （5 分）已知 x1，x2，x10的平均值为 10，方差为 2，则 2x11，2x21，2x10 1 的平均值为 方差为 15 （5 分
6、）曲线 y= 1 + 2 在 x1 处的切线方程为 16 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线 l：x= 5 4，点 M 在抛物线 C 上，点 A 在准线 l 上，若 MAl，直线 AF 的倾斜角为 3，则|MF| 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）等差数列的前 n 项和为 Sn，已知 a3+a722，S648 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列* 1 +的前 n 项和为 Tn，求 Tn 18 （12 分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分 类，从
7、我做起“的知识问卷作答，随机抽出男女各 20 名同学的问卷进行打分，作出如图 所示的茎叶图，成绩大于 70 分的为“合格“ （I）由以上数据绘制成 22 联表，是否有 95%以上的把握认为“性别“与“问卷结果 “有关？ 男 女 总计 合格 不合格 第 4 页（共 19 页） 总计 （II）从上述样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男女学生问卷中任意选 2 个，求 这 2 个学生性别不同的概率 附： P（k2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 19
8、（12 分）如图所示，正三棱柱 A1B1C1ABC 中，A1A4，D，E 分别为 A1C1，BC1的中 点 （1）求证：DE平面 A1ABB1； （2）若三棱锥 EACD 的体积为 23，求该三棱柱底面边长 20 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2= 1(1)，直线 l：ykx+m 不经过椭圆上顶点 B，与椭 圆 C 交于 M，N 不同两点 （1）当 k1，m2 时，求椭圆 C 的离心率的取值范围； （2）若 a2，直线 BM 与 BN 的斜率之和为 2，证明：直线 l 过定点 21 （12 分）已知函数 f（x）ex2ax（aR） （1）若 f（x）的极值为 0，求实数 a 的值； （2
9、）若 f（x）2xlnx2x 对于 x（2，4）恒成立，求实数 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系，已知直线 l 的参数方程为 = 2 + = 3 3（t 为参数） ，圆 C 的极坐标方程为 +2cos 0 第 5 页（共 19 页） （）将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （）求圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（
10、x）|2x1|x+2|，g（x）|x+m|xm| （）解不等式 f（x）8； （）x1R，x2R 使得 f（x1）g（x2） ，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年四川省高考数学（文科）模拟试卷（年四川省高考数学（文科）模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 a+bi（a，bR）是1; 1:的共轭复数，则 a+b（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 【解答】解：1; 1: = (1;)2 (1:)(1;) = ;2 2 = i， a+
11、bi（i）i， a0，b1， a+b1， 故选：D 2 （5 分）设集合 A0，2，B1，0，2，则 AB（ ） A0 B1，2 C2，0 D2，1，0， 2 【解答】解：A0，2，B1，0，2， AB2，1，0，2 故选：D 3 （5 分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为5 6和 3 4，两个零件是否 加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A1 2 B1 3 C 5 12 D1 6 【解答】解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立， 所以两个零件中恰有一个一等品为： 两人一个为一个为一个一等品， 另一个不为一等品 P= 5 6 (1 3 4) +
12、 (1 5 6) 3 4 = 1 3， 故选：B 4 （5 分）已知 sin2cos，则:3 2 22;2 =（ ） A 1 6 B1 6 C 1 7 D1 7 【解答】解：sin2cos， 第 7 页（共 19 页） :3 2 22;2 = (;2):32 2(;2)2;2 = 2 72 = 1 7 故选：D 5 （5 分）如图，在 RtABC 中， = 2， = 6，AC4，D 在 AC 上 AD：DC3：1， 当AED 最大时，AED 的面积为（ ） A3 2 B2 C3 D33 【解答】解：AD：DC3：1， DC= 1 4AC1， SAEDSACESDEC = 1 2ACCE 1 2
13、DCEC = 1 2ACCE 1 2 1 4ACCE ACCE（1 2 1 8） = 3 8ACEC， AC4，CECB，ACDC3，ACDC4 而在 RtABC 中， = 2， = 6，AC4， 得 CB43AEDAECDEC， 设AEC， AEC， DEC， 有图知： 在ACE 中， tan= ， DEC 中 tan= tantan（）= 1 = ; 1: = (;) 2: = 3 2:4 = 3 : 4 3 2 4 = 3 4， 当且仅当 EC= 4 ， 第 8 页（共 19 页） 即 EC2 时，tan 最大， 即这时AED 最大，ADE 面积最大为3 8423； 故选：C 6 （5
14、分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，0 2） ，f（x1）1，f（x2）0，若 |x1x2|min= 1 2，且 f（ 1 2）= 1 2，则 f（x）的单调递增区间为（ ） A, 1 6 + 2， 5 6 + 2-， B, 5 6 + 2， 1 6 + 2-， C, 5 6 + 2， 1 6 + 2-， D,1 6 + 2， 7 6 + 2-， 【解答】解：设 f（x）的周期为 T，由 f（x1）1，f（x2）0，|x1x2|min= 1 2，得 4 = 1 2 = 2 = 2 2 = ， 由 f（1 2）= 1 2，得 sin（ 1 2+）= 1 2，即 cos= 1 2， 又 0
15、 2， = 3，f（x）sin（x+ 3） 由 2 + 2 + 3 2 + 2， 得 5 6 + 2 1 6 + 2， f（x）的单调递增区间为, 5 6 + 2， 1 6 + 2-， 故选：B 7 （5 分）过点（3，2）作圆（x1）2+y21 的两条切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 的方程为（ ） A2x+2y30 Bx+2y30 C2x+y30 D2x+2y+30 【解答】解：圆（x1）2+y21 的圆心为 C（1，0） ，半径为 1， 以（3，2） 、C（1，0）为直径的圆的方程为（x2）2+（y1）22， 第 9 页（共 19 页） 将两圆的方程相减可得公共弦 AB 的方程 2
16、x+2y30， 故选：A 8 （5 分）已知函数 f（x）x3mx2+nx+2 在区间0，1上单调递减，则 m2+n2的最小值是 （ ） A9 5 B1 C2 D11 5 【解答】解：根据题意，函数 f（x）x3mx2+nx+2， 其导数 f（x）3x22mx+n， 若函数 f（x）x3mx2+nx+2 在区间0，1上单调递减， 则 f（x）3x22mx+n0 在0，1上恒成立， 必有(0) = 0 (1) = 3 2 + 0， 不等式组表示的可行域如图阴影部分， 则 m2+n2的几何意义是可行域内的点与原点距离的平方， 原点到直线 32x+y0 的距离 d= |3| 5 = 35 5 ， 则
17、 m2+n2的最小值是 d2= 9 5； 故选：A 9 （5 分）如图所示，在正方体 AC1中，棱长为 2，点 M 在 DD1上，点 N 在面 ABCD 上， MN2， 点 P 为 MN 的中点， 则点 P 的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积为 （ ） 第 10 页（共 19 页） A 12 B 6 C 3 D 2 【解答】解：如图可得，端点 N 在正方形 ABCD 内运动，连接 N 点与 D 点， 由 ND，DM，MN 构成一个直角三角形， 设 P 为 MN 的中点， 根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半， 得不论MDN 如何变化，P 点到 D 点的距离始终等于 1 故 P 点的轨迹
18、是一个以 D 为中心，半径为 1 的球的1 8 其体积 V= 1 8 4 3 13= 6 故选：B 10 （5 分）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a= 3，bcosAsinB， 则 A（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 【解答】解：a= 3，bcosAsinB， 3bcosAasinB， 第 11 页（共 19 页） 由正弦定理可得 sinAsinB= 3sinBcosA， B 是三角形内角，sinB0， tanA= 3， 由 A 是三角形内角，可得：A= 3 故选：D 11 （5 分） 九章算术 中记载， 堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱， 阳马指底面为
19、矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在堑堵 ABCA1B1C1中，ACBC，AA12，当阳 马 BACC1A1体积为4 3时，堑堵 ABCA1B1C1 的外接球的体积的最小值为（ ） A4 3 B82 3 C32 3 D642 3 【解答】解：设 ACx，BCy，则阳马 BA1ACC1体积 V= 1 3 2 = 4 3， xy2， 把堑堵 ABCA1B1C1补形为长方体， 则长方体的对角线长 L= 2+ 2+ 4 2 + 4 = 22， 当且仅当 xy= 2时上式取“” 堑堵 ABCA1B1C1的外接球的体积的最小值为4 3 (2)3= 82 3 故选：B 12 （5 分）设 F1、F2分别
20、为双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点，A 为双 曲线的左顶点，以 F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M，N 两点，且满足MAN 120，则该双曲线的离心率为（ ） A 21 3 B 19 3 C2 3 D73 3 【解答】解：不妨设圆与 y= x 相交且点 M 的坐标为（x0，y0） （x00） ，则 N 点的坐标 第 12 页（共 19 页） 为（x0，y0） ， 联立 y0= x0，0 2 + 02= 2得 M（a，b） ，N（a，b） ， 又A （a， 0） 且MAN120， 所以由余弦定理得4c2 （a+a） 2+b2+b22( + )2 + 2 bco
21、s 120， 化简得 7a23c2，求得 e= 21 3 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 = (2，1)， = (4，)，若 ，则|2 + | = 10 【解答】解：根据题意，向量 = (2，1)， = (4，)， 若 ，则 = 8+y0，解可得 y8； 则 2 + =（0，10） ， 故|2 + |10； 故答案为：10 14 （5 分）已知 x1，x2，x10的平均值为 10，方差为 2，则 2x11，2x21，2x10 1 的平均值为 19 方差为 8 【解答】解：x1，x2，x10的平均值
22、为 =10，方差为 s22， 则 2x11，2x21，2x101 的平均值为 =2 1210119； 方差为 S222s2428 故答案为：19，8 15 （5 分）曲线 y= 1 + 2 在 x1 处的切线方程为 x+2y30 【解答】解：由已知= 1 2 + 1 2， |1= 1，|1= 1 2 所以切线方程为 1 = 1 2 ( 1)， 即：x+2y30 故答案为：x+2y30 16 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线 l：x= 5 4，点 M 在抛物线 C 第 13 页（共 19 页） 上，点 A 在准线 l 上，若 MAl，直线 AF 的倾斜角为 3，则|
23、MF| 5 3 【解答】解：抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线 l：x= 5 4，抛物线 C：y 2 5x 点 M 在抛物线 C 上，点 A 在准线 l 上，若 MAl，且直线 AF 的倾斜角为 3，直线 AF 的 斜率 kAF= 3，设|MF|m， 可得 m+ 1 2m= 5 2， |MF|= 5 3 故答案为：5 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）等差数列的前 n 项和为 Sn，已知 a3+a722，S648 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列* 1 +的前 n 项和为 Tn，求 Tn
24、 【解答】解： （1）设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 21+ 8 = 22 61+ 65 2 = 48，解得 1= 3 = 2 an3+2（n1）2n+1，nN* （2）由（1）知，Sn= (3+2+1) 2 =n（n+2） ， 则 1 = 1 (:2) = 1 2（ 1 1 :2） ， 故 Tn= 1 1 + 1 2 + + 1 第 14 页（共 19 页） = 1 2（1 1 3）+ 1 2（ 1 2 1 4）+ 1 2（ 1 1 :2） = 1 2（1+ 1 2 1 +1 1 +2） = (3+5) 4(+1)(+2) 18 （12 分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织
25、了高三年级学生参与了“垃圾分 类，从我做起“的知识问卷作答，随机抽出男女各 20 名同学的问卷进行打分，作出如图 所示的茎叶图，成绩大于 70 分的为“合格“ （I）由以上数据绘制成 22 联表，是否有 95%以上的把握认为“性别“与“问卷结果 “有关？ 男 女 总计 合格 不合格 总计 （II）从上述样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男女学生问卷中任意选 2 个，求 这 2 个学生性别不同的概率 附： P（k2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d
26、 【解答】解： （I）根据茎叶图填写 22 联表，如下； 男 女 总计 合格 10 16 26 第 15 页（共 19 页） 不合格 10 4 14 总计 20 20 40 计算 K2= 40(1041016)2 26142020 = 360 91 3.9563.841， 所以有 95%以上的把握认为“性别“与“问卷结果“有关； （II）从茎叶图中的数据知，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男生是 4 人，记为 a、b、 c、d， 女生是 2 人，记为 E、F，从这 6 人中任意选 2 人，基本事件是： ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、
27、EF 共 15 种， 其中这两个学生性别不同的是 aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF 共 8 种， 所以所求的概率值是 P= 8 15 19 （12 分）如图所示，正三棱柱 A1B1C1ABC 中，A1A4，D，E 分别为 A1C1，BC1的中 点 （1）求证：DE平面 A1ABB1； （2）若三棱锥 EACD 的体积为 23，求该三棱柱底面边长 【解答】 （1）证明：分别取 A1B1，B1B 的中点 M，N，连接 DM，MN，EN， 则 DMB1C1，ENB1C1，DMEN，且 DMEN= 1 2B1C1， 四边形 DMNE 为平行四边形，则 DEMN， MN平面 A1ABB1，
28、DE平面 A1ABB1， DE平面 A1ABB1； （2）解：设该三棱柱的底面边长为 a，由正三棱柱可知，点 B 到平面 A1ACC1 的距离为 h= 3 2 而= 1 2 1 =2a， 第 16 页（共 19 页） ;= 1 2 ;= 1 2 1 3 = 1 6 2 3 2 = 23， 得 a212，则该三棱柱底面边长为 a= 23 20 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2= 1(1)，直线 l：ykx+m 不经过椭圆上顶点 B，与椭 圆 C 交于 M，N 不同两点 （1）当 k1，m2 时，求椭圆 C 的离心率的取值范围； （2）若 a2，直线 BM 与 BN 的斜率之和为 2，证明：
29、直线 l 过定点 【解答】解： （1）k1，m2，则直线 l：yx2， 由 2 2 + 2= 1 = 2 ， 得 （a2+1） x24a2x+3a20， 因椭圆 C 与直线 l 相交于 M， N 不同两点， 16a412a2（a2+1）0，a23 于是椭圆 C 的离心率 = 21 2 = 1 1 2 6 3 ， 故椭圆 C 的离心率范围为( 6 3 ，1) （2）a2，椭圆方程为 2 4 + 2= 1 设直线 l：ykx+m（斜率存在时） ，点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，上顶点 B（0，1） ， 联立 2 4 + 2= 1 = + ，得（14k2）x2+8kmx+4m240， 由
30、韦达定理得 1+ 2= 8 1+42 12= 424 1+42 ， 依题意有：kBM+kBN2，即+ = 11 1 + 21 2 = 1+1 1 + 2+1 2 = 2 + ( 1) ( 1 1 + 1 1) = 2 第 17 页（共 19 页） （3）证明：代入得：2 + ( 1) 8 424 = 2，化简得：mk1， 直线 l 为：ykx+k1k（x+1）1，即直线 l 过定点（1，1） 21 （12 分）已知函数 f（x）ex2ax（aR） （1）若 f（x）的极值为 0，求实数 a 的值； （2）若 f（x）2xlnx2x 对于 x（2，4）恒成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解：
31、 （1）由题得 f（x）ex2a， 当 a0 时，f（x）0 恒成立 f（x）在（，+）上单调递增，没有极值 当 a0 时，由 f（x）0，得 xln2a， 当 x（，ln2a）时，f（x）0，f（x）在（，ln2a）上单调递减 当 x（ln2a，+）时，f（x）0，f（x）在（ln2a，+）上单调递增， f（x）在 xln2a 时取到极小值， f（x）的极值为 0， f（ln2a）0， eln2a2aln2a0 即 2a（1ln2a）0， = 2， （2）由题得 ex2ax2xlnx2x 对于 x（2，4）恒成立， 2 + 2 2对于 x（2，4）恒成立， 令() = + 2 2，原问题转化
32、为 2aH（x）min，x（2，4） ， 又() = 2 2 ，令 G（x）exxex2x，则 G（x）exx20 在 x（2，4） 上恒成立， G（x）在（2，4）上单调递增， G（x）G（2）2e2e24e240， H（x）0，() = + 2 2在（2，4）上单调递增， () (2) = 2 2 + 2 22， 2 4 2 + 1， 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 18 页（共 19 页） 22 （10 分）在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系，已知直线 l 的参数方程为 = 2
33、 + = 3 3（t 为参数） ，圆 C 的极坐标方程为 +2cos 0 （）将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （）求圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值 【解答】解： （）直线 l 的参数方程为 = 2 + = 3 3（t 为参数） ，消去参数 t， 得直线 l 的普通方程为3x+y33 =0， +2sin0，两边同乘以 得 2+2cos0，得C 的直角坐标方程为（x+1）2+y21； （）因为圆心为 C（1，0） ， 所以点 C 到直线的距离为 d= |333| 2 =23， 所以圆上的点到直线距离的最小值为 23 1 五解答题（共五解答题（共
34、 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x1|x+2|，g（x）|x+m|xm| （）解不等式 f（x）8； （）x1R，x2R 使得 f（x1）g（x2） ，求实数 m 的取值范围 【解答】解： （）f（x）|2x1|x+2|= 3 ， 2 3 1， 2 1 2 3， 1 2 ， f（x）8，当 x2 时，3x8x5； 当2 1 2时，3x18x3，x； 当 1 2时，x38x11； 不等式的解集为（，5）（11，+） （）() = 3 ， 2 3 1， 2 1 2 3， 1 2 ， () (1 2) = 5 2，又 g（x）|x+m|xm|2|m|， x1R，x2R 使得 f（x1）g（x2） ， 2|m| 5 2，|m| 5 4， 第 19 页（共 19 页） 5 4 或 5 4， 实数 m 的取值范围为(， 5 4- , 5 4 ，+ )
