1、15-2 留数和留数定理一一、留数的定义和计算、留数的定义和计算二、二、留数定理留数定理三三*、函数在无穷远点的留数、函数在无穷远点的留数201010)()()(czzczzczfnn C0z)(zf设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;内的内的 Laurent 级数级数:)(zfRzz 00在在 nnzzczzc)()(0010z.的某去心邻域的某去心邻域0zRzz 00包含包含0z的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线C.一一 、留数的定义和计算、留数的定义和计算312 ic zzzczzzczcnCnCCd)(d)(d0010 CCnnzzzczzzcd)(d)(1010 Czzf
2、d)(积分积分0(高阶导数公式高阶导数公式)i 2的的系系数数级级数数中中负负幂幂项项101)(zzcLaurent0(柯西积分定理柯西积分定理)4zzficCd)(211 即即),(Res0zzf 0()f zz在的留数1.定义定义 记作记作.),(Res0zzf级级数数中中负负域域内内的的 Laurent.)(101的的系系数数幂幂项项 zzc为为中中心心的的圆圆环环在在即即0)(zzf包含包含0z的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 Czzfd)(的值的值i 2后所得的数后所得的数以以)(0zfz 为为函函数数的一个孤立奇点的一个孤立奇点,如果如果(Residue)
3、则沿则沿Rzzz 000的的某某个个去去心心邻邻域域内，内，除除.)(0的的留留数数在在zzf称为称为52.计算留数的一般公式计算留数的一般公式由由Laurent级数展开定理级数展开定理,定义留数的积分值是定义留数的积分值是f(z)在环在环域域 内内Laurent级数的负一次幂系数级数的负一次幂系数c-100zz10),(Re czzfs(1)(1)若若z0为函数为函数f(z)的可去奇点的可去奇点,(负幂项的项数为零负幂项的项数为零个个),则它在点则它在点z0的留数为零的留数为零.注：注：当当z0为为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时的孤立奇点时,若若 为偶为偶函数函数,则则f(z)在点在点
4、z0的去心邻域内的去心邻域内Laurent级数只含级数只含z-z0的偶次幂的偶次幂,其奇次幂系数都为其奇次幂系数都为0,得得 g0),(Re0zzfs dzzfiC216000(),lim()().Reszzf zzzzf z 如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那么那么0z)(zf规则规则1 1成成Laurent级数求级数求.1 c(2)如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点,)(zf(3)如果如果0z为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf)(zf展开展开则需将则需将7规则规则2 2 若若z0为为f(z)的的m级极点级极点,则对任意整数则对任意整数 有有mn)()(lim
5、)!1(1),(Re01100zfzzdzdnzzfsnnnzz说明说明 将函数的零阶导数看作它本身将函数的零阶导数看作它本身,规则规则1可可看作看作规则规则2当当n=m=1时的特殊情形时的特殊情形,且规则且规则2可取可取m=1.8规则规则3 3 如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP设设,)()()(zQzPzf)(zP及及)(zQ在在0z都解析，都解析，那么那么0z为为的一级极点的一级极点,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf 且有且有90z所所以以为为 的一级极点的一级极点,)(zf)()(lim),(Res000zfzzzzfzz 00)()()(lim0z
6、zzQzQzPzz .)()(00zQzP 0z所所以以的一级零点的一级零点,为为)(zQ)(1zQ0z的一级极点，的一级极点，为为0)(0 zP证证0)(,0)(00 zQzQ因因为为103.3.典型例题典型例题例例1 求求nzzezf)(在在0 z的留数的留数.解解阶极点，阶极点，的的是是因为因为nzfz)(0 0,Resnzze所以所以.)!1(1 n nznnnzzezzn110ddlim)!1(111例例2 求求6sin)()()(zzzzQzPzf 在在0 z的留数的留数.分析分析,0)0()0()0(PPP.0)0(P0 z是是zzsin 的三级零点的三级零点由规则由规则2得得.
7、sinddlim)!13(10),(Res63220 zzzzzzfz的三级极点，的三级极点，是是所以所以)(0zfz 计算较麻烦计算较麻烦.12如果利用如果利用Laurent展开式求展开式求1 c较方便较方便:!5!31sin5366zzzzzzzz.!510,sinRes16 czzz,!5!313 zz解解13注意注意:0z如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时,可直接展开可直接展开Laurent级数求级数求1 c来计算留数来计算留数.66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.!51 2.在应用规则在应用规则2时
8、时,取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便.6 m 1.在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m但有时把但有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取1414例例3 3求下列函数在指定点处的留数求下列函数在指定点处的留数(1),;(1),;51)1()(zezfz00z解解：是函数是函数 的一级零点的一级零点,00z1ze 又是函数又是函数 的五级零点的五级零点.5z于是它是于是它是 的四级极点的四级极点,)(1zf24m5n!41)1(lim!410),(Res4401zzedzd
9、zf可用可用规则规则 计算计算其留数其留数,其中其中 ,为了为了计算简便计算简便应当应当取其中取其中 ,这时有这时有 1515另解：另解：在点在点 的去心邻域的去心邻域 内的内的Laurent级数为级数为 ,其中其中 的项的系数为的项的系数为 ,从而也从而也有有 .)(1zf00z z04n!411c!410),(Res11czf例例3 3求下列函数在指定点处的留数求下列函数在指定点处的留数(1),;(1),;51)1()(zezfz00z 1!6!5!4!3!21116543255zzzzzzzzez,!6!51!41!31!211234 zzzzz16(2),;(2),;2()sin(1)
10、fzz 00z解解：在点在点 的去心邻域的去心邻域 内的内的LaurentLaurent级数为级数为 00z2()fz z0012)!12()1(1sinnnnnzz显然显然 为它的本性奇点为它的本性奇点,其中其中 的项的系的项的系数为数为 ,于是得于是得00z0n11c10,1sinRes1cz17(3),.(3),.23()sinfzzz 00z解解：显然：显然 是是 的一级极点的一级极点;可是可是不能用规则不能用规则 求其留数求其留数,由规则由规则 得得00z23()sinfzzz 31223000(),0lim(sin)lim(22sin cos)1lim1cos2Res (LHosp
11、ital)zzzfzzzzzzz 法则18思考：思考：有关因式分解问题？有关因式分解问题？31)3)(1(2 zBzAzzz132 zzzA)3)(1(2)1(lim1 zzzzz22)3(31)3)(1(2 zCzBzAzzz1.2.312 zzzB223)3)(1(2)3(lim zzzzz19二、留数定理二、留数定理定理定理1 若函数若函数f(z)在正向简单闭曲线在正向简单闭曲线C上处处解析，上处处解析，在在C的内部除有限个孤立奇点的内部除有限个孤立奇点z1,z2,zn外解析，外解析，则有则有Cnkkzzfsidzzf1),(Re2)(留数概念的重要性在于下面的留数定理留数概念的重要性在
12、于下面的留数定理.它使它使得一些积分的计算变得十分容易得一些积分的计算变得十分容易.20例例4.4.计算下列积分计算下列积分(1)(1)221)1(Izzzzdze解解：被积函数：被积函数 的奇点的奇点 和和 都在圆都在圆 的内部的内部,由规则由规则1,21,2可得以下结果可得以下结果 ;于是由留数定理得积分值为于是由留数定理得积分值为21()(1)zf zez z 0z1z2z1(),01Res f z 1(),10Res f z ii201 2I121(2)(2)222sin2)1(Izzzzdze解解：在圆在圆 的内部有一的内部有一个二级极点个二级极点 和两个一级极点和两个一级极点 ,)
13、1()(22sin2zzezfz2z0ziz于是利用留数的计算规则于是利用留数的计算规则 和和 得得211)12(cos1lim )1(lim0),(Res22sin02sin02zzzzezezfzzzz 2i)1()i(lim i),(Res1ish22sini2ezzezzfzz1212sin1isheeiieeii ii i22(2)(2)222sin2)1(Izzzzdze1ish-sin(-i)2sini22sini22i-2i1)(lim )1()i(lim i),(Reseeizzezzezzfzzzz最后由留数定理得积分值为最后由留数定理得积分值为)1shsin(1 2 )(
14、i 211 2I1ish-1ish2ieei23例例5 计算计算积分积分 Czzz,d14C为正向圆周为正向圆周:.2 z解解 被积函数被积函数14 zz有四个一级极点有四个一级极点i ,1都都在圆周在圆周2 z的内部的内部,所以所以 Czzzd14 1),(Res1),(Res2 zfzfi),(Res),(Resizfizf 由规则由规则3,414)()(23zzzzQzP Czzzd14.0414141412 i24例例6 计算积分计算积分 Cdzzzzz,)3)(1(23C为正向圆周为正向圆周:.2 z解解 除除,0 z)3)(1(2)(3 zzzzzf被积函数被积函数点外点外,无其他
15、奇点，无其他奇点，3,13 z在圆外。在圆外。1),(Res0),(Res2zfzfi 所以所以 Cdzzzzz)3)(1(2325)3)(1(2)1(lim1),(Res31 zzzzzzfz21)3)(1(2lim210),(Res0 zzzzfz因此因此iidzzzzzC27)212714(2)3)(1(23 3111lim410 zzz)3(1)1(1lim21330 zzz2714 261 1 若若z0为函数为函数f(z)的的可去奇点可去奇点，(负幂项的项数为零负幂项的项数为零个个)，则它在点，则它在点z0的留数为零的留数为零.2 2 当当z0为为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时
16、，若的孤立奇点时，若 为偶为偶函数，则函数，则f(z)在点在点z0的留数为零的留数为零.g0),(Re0zzfs小结：留数的计算小结：留数的计算 3 若若z0为为f(z)的一级极点，则有的一级极点，则有)()(lim),(Re000zfzzzzfszz4 若若z0为为f(z)的的m级极点，则对任意整数级极点，则对任意整数 有有mn)()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdnzzfsnnnzz275 设设f(z)=P(z)/Q(z)，其中，其中P(z)和和Q(z)在点在点z0都解析。都解析。若若 ，Q(z0)=0且且 ，则，则z0为为f(z)的一的一级极点，且有级极点，且有)()(),(Re000zQzPzzfs0)(0zP0)(0zQ6 由由Laurent级数展开定理，级数展开定理，留数等于留数等于f(z)在环域在环域 内内Laurent级数的负一次幂系数级数的负一次幂系数c-100zz28第第五五章章作业作业：P1831.（1）（2）（6）（7）8.（1）（2）（4）（7）9.（1）（）（2）13.（1）（）（3）（5）
