1、1上下1上下 第七章第七章 多元微分学多元微分学 空间曲面与曲线多元复合函数及隐函数求导法则偏微商与全微分多元函数的基本概念12上下2上下教学目的教学目的:本章重点本章重点:本章难点本章难点:偏导数与全微分的概念，多元复合函偏导数与全微分的概念，多元复合函数求导法则，多元函数极值求法数求导法则，多元函数极值求法.二元复合函数微分法，多元函数的极二元复合函数微分法，多元函数的极值与求法值与求法.2理解二元函数的定义，会求二元函数的定义域理解二元函数的定义，会求二元函数的定义域 了解二元函数的极限与连续概念 了解二元函数的极限与连续概念 理解二元函数偏导数定义，掌握多元复合函数求导法则 理解二元函
2、数偏导数定义，掌握多元复合函数求导法则 理解全微分概念，会求二元函数全微分理解全微分概念，会求二元函数全微分掌握多元函数的极值概念，会求多元函数的极值 掌握多元函数的极值概念，会求多元函数的极值 会使用拉格朗日乘数法求条件极值，会应用最小二乘法 会使用拉格朗日乘数法求条件极值，会应用最小二乘法 会解一些经济问题中的最优化问题 会解一些经济问题中的最优化问题 3上下3上下v目的要求目的要求 掌握复合函数求偏导法掌握复合函数求偏导法则，隐函数求偏导法则。则，隐函数求偏导法则。v重点重点 复合函数求偏导法则复合函数求偏导法则v难点难点 复合函数求偏导法则复合函数求偏导法则7.4 多元复合函数及隐函数
3、求导法则多元复合函数及隐函数求导法则34上下4上下一、一、复合函数求导法则复合函数求导法则定理定理 (1)u=(x,y),v=(x,y)的偏导数在点的偏导数在点 (x，y)处连续处连续;(2)函数函数z=f(u,v)的偏导数在的偏导数在(x,y)的对应点的对应点(u,v)处连续处连续.则复合函数则复合函数 z=f(x,y),(x,y)在在(x,y)处存在连续的偏导数，且处存在连续的偏导数，且7.4 多元复合函数及隐函数求导法则多元复合函数及隐函数求导法则45上下5上下xvvfxuufxz yvvfyuufyz z=fuvxyxy链式法则链式法则复合函数复合函数求导法则求导法则z=f(u,v)u
4、=u(x,y),v=v(x,y)56上下6上下解解,yxvxyu 令令,sinvezu 则则xvvfxuufxz 1cossin veyveuu)cos()sin(yxeyxyexyxy yvvfyuufyz 1cossin vexveuu)cos()sin(yxeyxxexyxy 注注:此题可不用链式法则来解此题可不用链式法则来解的的偏偏微微商商。求求例例)sin(yxezxy 导数导数67上下7上下解解22,uxy vxy 令令,vzu xvvfxuufxz 12lnvvvuxuu y 22222222()ln()xyx yxyyxyxy yvvfyuufyz 12lnvvvuyuu x
5、22222222()ln()xyxyxyxxyxy 幂指函数幂指函数注注:此题必须用链式法则来解此题必须用链式法则来解22()xyzxy 例例求求的的偏偏微微商商。导数导数78上下8上下.)(arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 解：解：xyvyxu ,22令令),(arctanvufuezv 则则xvvfxuufxz )11(22arctanarctanvuexevv )(2xy)(22222arctanyxyyxxexy )2(arctanyxexy 练习练习89上下9上下yvvfyuufyz xvueyevav1)11(22arctanarctan )(22222arcta
6、nyxxyxyexy )2(arctanxyexy .)(arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 xyvyxu ,22令令),(arctanvufuezv 则则910上下10上下)2(arctanxyexy dyyzdxxzdz )2()2(arctandyxydxyxexy .)(arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 xvvfxuufxz )2(arctanyxexy yvvfyuufyz 考研考研题目题目1011上下11上下几种常见的形式几种常见的形式（1）若）若z=f(u,v),u=u(x),v=v(x)只有一个自变量只有一个自变量 dxdvvfdxduufdx
7、dz uvxz=f)()(),(xzxvxufz 则则这时这时1112上下12上下(2)若若z=f(u),u=u(x,y),u是是一个中间变量一个中间变量z=fuxyxududfxz yududfyz yxzyxufz,),(1213上下13上下(3)若若z=f(u,x,y),u=(x,y)z=fuxyxyxfxuufxz yfyuufyz ),(),),(yxzyxyxfz 对于本形式，要注意以下几点：对于本形式，要注意以下几点：1314上下14上下 注意注意1.这里这里x,y具有具有双重双重身份：既作为自变身份：既作为自变量，也作为中间变量。量，也作为中间变量。2.:的的差差别别在在于于与
8、与xfxz 前一个把前一个把x看作自变量，看作自变量，后一个把后一个把x看作中间变量。看作中间变量。xfxuufxz yfyuufyz z=fuxyxy1415上下15上下例例 设设z=xy+et,x=sint,y=cost.求求 dtdztfdtdyyfdtdxxfdtdz tyyetxxtyx )sin(lncos1cos12cos1(sin)cos(sin)lnsin.ttttttte 解解1516上下16上下例例 设设u=f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求求yuxu ,u=fyxzxyxzzfxfxu zfyxxxf )cos(222yzzfyfyu .)cos(222zf
9、yxyyf 解解练习练习1617上下17上下例例 设设z=f(x2-y2,exy),f 有连续偏导数有连续偏导数求求yzxz ,z=fuvyxxy则则设设,22xyevyxu xvvfxuufxz xyyevfxuf 2vfyeufxxy 2.2vfxeufyyzxy 解解1718上下18上下例例 设设z=f(x2-y2,exy),f 有连续偏导数求有连续偏导数求2zy x z=fuvyxxy则则设设,22xyevyxu .2vfxeufyyzxy 解解2()zzy xxy)2(vfxeufyxxy 2222222()()xyxyxyfufvffyexyeuxu vxvvfufvxev uxv
10、x z=fuvyxxy1819上下19上下例例解解 yzfuxy vxyyxvxyu ,令令yyyxyxyfx)()(1 yvvyvyuufx )()()(1 1)()()(1 vyvxufx _,).()(12 xyzfyxyxyfxz则则具有二阶连续微商，具有二阶连续微商，导数导数,1920上下20上下)()()(vyvuf 2zy x)(yzx xvvyxvvxuuf )()()()(11)()(yxyvyuf )()()(yxyyxxyf y yz例例),(yxvxyu _,).()(12 xyzfyxyxyfxz则则具有二阶连续微商，具有二阶连续微商，导数导数,2021上下21上下解
11、法二解法二1)()()(1 yxyyxxxyfxyz )()()(yxyyxxyf )()()(yxyyxxyf y 例例 yxz2_,).()(12 xyzfyxyxyfxz则则具有二阶连续微商，具有二阶连续微商，导数导数,2122上下22上下隐函数微分法隐函数微分法(1.二元方程确定的一元隐函数二元方程确定的一元隐函数)设设F(x,y)=0确定确定y是是x的可微函数的可微函数y=y(x),则则 Fx,y(x)0,可知，可知，F通过通过y是是x的函数。的函数。0 dxdyFFdxdFyxFxyx，则则有有若若0 yF.yxFFdxdy 二、复合函数微分法的应用二、复合函数微分法的应用利用复合
12、函数微分法利用复合函数微分法2223上下23上下022.1 dxdyyxyxdxdy 222.(,)1F x yxy令令,2,2yFxFyx 则则yxyxFFdxdyyx 22的的函函数数的的微微商商，所所确确定定的的如如求求xyx122 导数导数2324上下24上下例的的函函数数，是是确确定定设设方方程程xyyxxy1 .dxdy求求解1),(yxxyyxF设设1,1,xyFyFx yxFFdxdy 则则.11 xy练习练习2425上下25上下2.三元方程确定的二元隐函数三元方程确定的二元隐函数设设F(x,y,z)=0确定确定z是是x,y的函数的函数,根据链式法则有根据链式法则有0 xzFF
13、zx0 yzFFzy，则则若若0 zF.,zyzxFFyzFFxz Fxyzxy2526上下26上下例例),(333yxfzaxyzz 确确定定设设方方程程.,yzxz 求求解解333),(axyzzzyxF 设设.33,3,32xyzFxzFyzFzyx 时时，当当0332 xyzzxFFxz xyzyz3332 ,2xyzyz zyFFyz xyzxz3332 .2xyzxz 2627上下27上下例例,0 xyzez设设2.zx y 求解,),(xyzezyxFz 令令.,xyeFxzFyzFzzyx zxFFxz ,xyeyzz zyFFyz .xyexzz 2)()()(xyexyze
14、yzyzyzxyezzz .)(32222xyezyxexyzzezzz 2zx y ()zyx 2728上下28上下小节小节xvvfxuufxz yvvfyuufyz 复合函数求导法则复合函数求导法则.,zyzxFFyzFFxz 隐函数求导法则隐函数求导法则设设F(x,y,z)=0确定确定z是是x,y的函数的函数,根据链式法则有根据链式法则有作业作业:5.3节节 1,3(1),5,92829上下29上下补充：补充：关于齐次函数的欧拉定理关于齐次函数的欧拉定理欧拉定理欧拉定理：),(),(),(yxfttytxfyxfm 满满足足若若次次齐齐次次函函数数为为则则称称myxf),(),(),(),(yxmfyxyfyxxfyx 有偏微商，则有有偏微商，则有次齐次函数次齐次函数设设),(yxfm导数导数,2930上下30上下31上下31上下谢谢观看！2020
