1、2.2.5 大地线大地线1、大地线的定义与性质、大地线的定义与性质法截弧：法截弧：由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。相对法截弧：相对法截弧：A到B的法截弧与B到A的法截弧。由相对法截弧构成的椭球面三角形不是闭合图形。2.2.5 大地线（续大地线（续1）大地线的定义：大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线处处重合。大地线的性质：大地线的性质：1、大地线上任何点的密切平面就是该点 的法截面；2、曲面上连接任何两点的最短直线必为 大地线。3、大地线的测地曲率等于0曲线的测地曲率：曲线的测地曲率：曲线的曲率在曲面切平面上的投影。大地线的曲率：大地线的挠率
2、ANNAMAkg2222cos11sincosAANAAMNgcossincossin1122.2.5 大地线（续大地线（续2）2、大地坐标系中大地线的微分方程、大地坐标系中大地线的微分方程(1).大地线的二阶微分方程大地线的二阶微分方程以u,v 为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为：下标为相应的偏导数。22 22 22 222222222322FEGEFEEFESFEGFFFEGEFEGFEEGRFEGFFFGEGFEGFGGEQFEGGFGGFGPSdudvRdudvQdudvPduvduvuuvuuvvuvuvvuv2.2.5 大地线（续大地线（续3）对于椭球面，有：代入前面公式，得
3、：则旋转椭球面上大地线的微分方程为：BNGFME222cos 0 0 2 0 sincos222StVRQBBVP322222cossin2dBdLBBVdBdLVtdBLd2.2.5 大地线（续大地线（续4）(2).克莱劳定理克莱劳定理直角坐标系中的椭球面方程：01222222bZaYaXF椭球面法向量为：222222bZaYaXZFYFXFN以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为：222222dSZddSYddSXdn两者指向一致，即：222222222222dSZdbZdSYdaYdSXdaX2.2.5 大地线（续大地线（续5）由上式的前两个方程得：CdSdYXdSdXYdSYdXdSX
4、dY 02222积分得：将三维空间坐标与大地坐标的关系及其微分关系：dSdLLrLdSdrdSdYdSdLLrLdSdrdSdXLrLBNYLrLBNXBBBBBBcossin sincossinsincos coscoscos1代入 式，整理得：1CdSdLrB222.2.5 大地线（续大地线（续6）将关系：即：大地线上各点的平行圈半径与该点的大地线方位角正弦的乘积是常数。AdSdLrBsin代入上式，即得克莱劳定理：CArBsinBrdLrBAdSdAAMdBdL2.2.5 大地线（续大地线（续7）(3).大地线的一阶微分关系式大地线的一阶微分关系式BrdLrBAdSdAAMdBdLBNA
5、dSdLAdSBdLNMAdSdBAdSMdBcossin sincoscos cos由克莱劳定理，微分得：BBBBBBdrrAdrArAdAAdArAdrtancossin:0cossin则2.2.5 大地线（续大地线（续8）又如图所示：MdBdrBBMdBdrBsin代入上式，得：AdSNBdSMAABNBAMABNBdBAMdAsintancoscoscossinsin coscossinsin三个微分关系式可整理为：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos 32.2.5 大地线（续大地线（续9）3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程、以弧长和大地方位
6、角为参数的大地线方程 大地线始点坐标P0(B0,L0)，大地线上任何点的位置向量都可以展开成S,A的级数形式：5554443332221201241 6121sdsdsdsdsdsdsdsdsdsdsrrrrrrFrenet标架的坐标轴定义：x指向大地线的切向t，y指向大地线的主法向n，向内为正，z指向大地线的副法向b，构成左手系。000,LBPASLBP,xyz42.2.5 大地线（续大地线（续10）显然有：dsdrt 根据曲线论中的Frenet公式：nbbtnntggggdSdkdSdkdSd 由以上两式可求出各阶导数：23223243242545 32gggggggggggggggggd
7、kddddkkkkdSdSdSdSdSdkd kdkddkkkkdSdSdSdSdSdkdS rtrnntnbrtnbrt2.2.5 大地线（续大地线（续11）将上式代入大地线展开式 ，得Frenet标架下的三维坐标：443423223254432224161241612112018161SdSdkdSdkSkzSkkdSkdSdSdkSkySkSdSdkkSkSxgggggggggggggggg5ANNAMAkg2222cos11sincosAANAAMNgcossincossin112顾及公式：2.2.5 大地线（续大地线（续12）和：ANBdSdAMAdSdBsintan cos 求导得
8、：ANAtdSdAAdSdBBdSdAtNdSdAdSdkAdSdBdSdkBdSkdANAtdSdAAkdSdBBkdSdkggggggggg22222232222222cos31sincos3cos1cos3 2.2.5 大地线（续大地线（续13）代入Frenet标架下的三维坐标公式 ，得：542332242223322222544323222sin2412sin121cos231241 cos21cos12112018cos3cos161AStNASNzStANAStNSANySNSNAtSANSx2.2.5 大地线（续大地线（续14）将坐标系饶 y逆时针旋转A，得x”、y”、z”坐标系
9、，则有：SA000,LBPLBP,xyzzx zyxAAAAzyxcos0sin010sin0cos 以P0点为原点的地平坐标系(站心坐标系)x、y、z，与x”、y”、z”坐标系的关系为：A000,LBPLBP,xyzzxyyzzyxx 2.2.5 大地线（续大地线（续15）最后得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，称为Weingarten级数。4222332222254432322254423232222cos231241 2coscos121120sin3cossin cos16sinsin120coscos8124 cos16coscosStANSNAtSANzSNASNAAtSANA
10、ASySNASANtSANAASx62.2.5 大地线（续大地线（续16）法截弧为平面曲线，其挠率为0，同理可推得地平坐标系中的计算式为：42223322222544323222544323222cos231241 2coscos121120sin8cossin3 cos16sinsin120cos8cos3 cos16coscosStANSNAtSANzSNASNAAtSANAASySNASNAtSANAASx2.2.5 大地线（续大地线（续17）4、基于大地线的椭球面曲线坐标系、基于大地线的椭球面曲线坐标系(1).大地线极坐标系大地线极坐标系大地圆：大地圆：到极点具有相同大地线长 度的点所
11、构成的轨迹。由大地线长度和大地方位角可描述曲面点的位置 。As,rAdAsdsmdAdS0P如图所示：2222dAmdsdS对照第一基本形式，得：2 0 1mGFE由图中的微分直角三角形，得大地极坐标系中的微分关系式：sin1 sin1 cosdSdmmdSdmdSdAdSds2.2.5 大地线（续大地线（续18）大地线的归化长度 m 的计算公式：44233222120cos3161NSAtNSNSSm222AzAyAxGm由 式求出偏导数代入得：62.2.5 大地线（续大地线（续19）(2).测地坐标系测地坐标系 以过P0点的经线及其平行线为v曲线，过P0点与经线正交的一族大地线为u曲线，构
12、成的坐标格网称为测地坐标系测地坐标系测地坐标在v曲线方向用Sx，u曲线方向用Sy,xS00,LBxSd ydSdSyS222222xyxydsndssddsds即：2 0 1nGFE2.2.5 大地线（续大地线（续19）n 称为测地平行线的归化长度因子。222xxxxxszsysxGdssdn由 式求出对A偏导数，并顾及A=90，得：6xxxxxxsAAzszsAAysysAAxsx tNsAzAyNSNssAxyyyy223442226 0 1201612.2.5 大地线（续大地线（续20）根据球面角超的定义，在球面直角三角形 中，球面角超为：xs00,LBdSysxdsdAxPxPP PP
13、PPPxx 22222sinRsdsRsdsyxyx根据球面三角形的Legendre定理：322sin32sindAdsdAsxy32dAsdsyx77将 式代入上式，得：22311RssdsdAyyx2.2.5 大地线（续大地线（续21）代入测地平行线的归化长度因子公式，得：4422222360233611RsRsNsnyyy精确到二次项时的归化长度因子计算公式为：2221Rsny则与子午弧长相应的测地平行线的弧长为：2202202121RssdsRsndssyxsxysxxxx习习 题题1.纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？2.推导大地线的三个微分式。3.试述测地坐标系的定义？测地平行线是否等距？测地大地线是否等距？4.简述weingarten级数的推导步骤。
