1、定积分第一节 定积分的概念与性质1abxyoA?曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线 y f(x)(f(x)0)、x轴与两条直轴与两条直线线x a、x b所围所围成成.实例实例1 1 （求曲（求曲边梯边梯形形的面积）的面积）一、问题的提出y f(x)2abxyxoabyo用矩形面积近用矩形面积近似似取取代代曲曲边边梯梯形形面面积积显然，小矩形显然，小矩形越越多多，矩矩形形总总面面积积越越接接近近 曲边梯形面积曲边梯形面积（四（四个小矩形）个小矩形）（九（九个小矩形）个小矩形）3曲边梯形如图曲边梯形如图所所示示，在在区区间间a,b内内插插入若入若干干 个个分分点点，a x0 x1 x2 xn 1
2、 xn b,oaxi 1 i xixn 1 bxyx1把把区区间间a,b 分分成成 n 个个小小区区间间 xi 1,xi，长长度度为为 xi xi xi 1;在每个小区在每个小区间间 xi 1,xi 上任取一上任取一点点 ，i以以 xi 1,xi 为底为底，f(i)为高的为高的小小矩形矩形面面积为积为Ai f(i)xi4nA f(i)xii 1当分割无限加细,记小区间的最大长度 或者(x)x maxx1,x2,xn 趋近于零(x 0或者 0)时，曲边梯形面积曲边梯形面积的的近近似似值值为为曲边梯形面积曲边梯形面积为为 A lim f(i)xin 0 i 15实例实例2 2 （求变（求变速直速直
3、线线运动的运动的路路程）程）设某物体作直设某物体作直线运线运动动，已知已知速速度度v v(t)是是时间间时间间隔隔 T1,T2 上上 t 的一个连续函数，的一个连续函数，且且 v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程思路思路：把整段：把整段时时间间分分割割成成若若干干小小段段，每每小小段上段上 速度看作不变速度看作不变，求求出出各各小小段段的的路路程程再再相相加加，便，便 得到路程的近得到路程的近似似值值，最最后后通通过过对对时时间间的的无无限细限细 分过程求得路分过程求得路程程的的精精确确值值6（1）分割）分割T1 t0 t1 t2 tn 1 tn T2 t
4、i ti ti 1 si v(i)ti部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和ns v(i)tii 1 max t1,t2,tn（3）取极限）取极限s lim v(i)tin 0 i 1路程的精确值路程的精确值7定定义义 设函设函数数 f(x)在在a,b上有上有界界，在在a,b中中任任意意插插入入记记 x maxx1,x2,xn，如如果果不不论论对对a,b若干若干个个分分点点a x x x x x b012n 1n把区把区间间a,b分分成成n个个小小区区间间，各小各小区区间间的的长长度度依依次次为为 xi xi xi 1，(i 1,2,)，在各在各小小区区间间上上任任取取一
5、一点点 i（i xi），作乘作乘积积 f(i)xin并作并作和和S f(i)xi，i 1(i 1,2,)二、定积分的定义8怎样怎样的的分分法法，也不也不论论在在小小区区间间 xi 1,xi 上上 a积分下限积分下限f(x)dx I lim f(i)xibn 0 i 1被被 积积 函函 数数被被 积积 表表 达达 式式积积 分分 变变 量量a,b 积积分分区区间间点点 i 怎怎样样的的取取法法，只要只要当当 x 0 时时，和和S 总总趋趋于于确定确定的的极极限限I，我们称这个极我们称这个极限限 I 为函为函数数 f(x)在区在区间间a,b上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分和积分和
6、9注意：注意：（1）积分值仅积分值仅与与被积函被积函数数及积分及积分区区间有关间有关，而与积分而与积分变变量的字量的字母母无无关关.abbf(x)dx af(t)dt af(u)dub（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和 i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当函当函数数 f(x)在区在区间间a,b上的定积分存上的定积分存在在时时，称称 f(x)在区在区间间a,b上上可积可积.10当当函函数数 f(x)在在区区间间a,b上连续上连续时时，称称 f(x)在在区区间间a,b上可上可积积.定理定理1 1定理定理2 2设设函函数数 f(x)在区在区间间a,b 上有上有界界，且 只 有 有
7、限 个且 只 有 有 限 个 第 一第 一 类类 的的 间 断 点，间 断 点，则则 f(x)在在区区间间a,b上可上可积积.三、存在定理11f(x)0,af(x)dx Ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积f(x)0,af(x)dx A曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值bA1A2A3A4A4A2 A3f(x)dx A1b a四、定积分的几何意义12几何几何意义：意义：它它是是介介于于 x 轴、函轴、函数数 f(x)的的图图形形及及两两条条 直直线线 x a,x b 之之间间的的各各部分部分面面积的积的代代数数和和 在在 x 轴轴上上方方的的面积面积取取正号正号；在在 x 轴轴下下方方的的面面
8、 积积取取负负号号 13例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分x dx.102 解解 将将0,1n等等分分，分分点点为为x i，(i 1,2,n)ni小区小区间间 xi 1,xi 的的长长度度 xi取取 i xi，(i 1,2,n)，(i 1,2,n)n1n f(i)xii 1 i xii 1n2x x,i 12 i in 14ni 1 n 2 i 1n i 2 n3 i 1 n 161n(n 1)(2n 1)n3 1 ,1 2 1 16 n n x 0 n x dx 102 xiin 0 i 1 lim 2 n lim 1 1 1 2 1 1.n n 6 315五、定积分 的性质1
9、6证证 a f(x)g(x)dxnb lim f(i)g(i)xi 0 i 1 lim f(i)xi lim g(i)xinn 0 i 1 0 i 1 af(x)dx a g(x)dx.（此性质可以（此性质可以推推广广到到有有限限多多个个函函数数作作和和的的情情况况）bbbbb性质性质1 1 a f(x)g(x)dx af(x)dx a g(x)dx.17 a kf(x)dx k af(x)dxk(bb为为常常数数).证证 a kf(x)dx lim kf(i)xibn 0 i 1 lim k f(i)xinni 1 0 k lim f(i)xi 0 i 1 k af(x)dx.b性质性质2
10、218 abcbf(x)dx af(x)dx cf(x)dx.补补充充：不：不论论 a,b,c的相对位置如的相对位置如何何,上式总成上式总成立立.例例 若若 a则则a b c,cf(x)dx af(x)dx b f(x)dxcb abf(x)dx af(x)dx b f(x)dxcccb af(x)dx cf(x)dx.（定积分对于（定积分对于积积分分区区间间具具有有可可加加性）性）性性质质3 3假假设设a c b19性质性质4 4 1 dx badx b a.b a则则 af(x)dx 0.b(a b)证证 f(x)0,f(i)0,(i 1,2,n)xi 0,n f(i)xi 0,i 1 m
11、ax x1,x2,xn i in 0 i 1f()x lim f(x)dx 0.ba性质性质5 5如果如果在在区区间间a,b上上 f(x)0，20例例 1 1比较积分比较积分值值 e dx 和和x 20 xdx 的大的大小小.20解解令令 f(x)ex x,x 2,0 f(x)0,(ex x)dx 0,0 2 e dx x 20 xdx,0 2 于于是是 e dx x 20 xdx.20 可以可以直接作直接作出出答案答案21性质性质5 5的的推论：推论：（1）如果在区如果在区间间a,b上上 f(x)g(x)，证证f(x)g(x),g(x)f(x)0,a g(x)f(x)dx 0,a g(x)d
12、x af(x)dx 0,bbb于是于是f(x)dx bb ag(x)dx.a则则f(x)dx g(x)dx.(a b)bb a a22f(x)dx f(x)dx.(a b)b a ab证证 f(x)f(x)f(x),f(x)dx,f(x)dx f(x)dx b abb a a 即即f(x)dx f(x)dx.b a ab说明说明：|f(x)|在区在区间间a,b上上的的可积性是显然可积性是显然的的.性质性质5 5的的推论：推论：（2）23设设M 及及m分别是函数分别是函数证证a m f(x)M,a mdx af(x)dx a Mdx,bbbm(b a)f(x)dx M(b a).ba（此性质可用
13、（此性质可用于于估估计计积积分分值值的的大大致致范范围）围）曲边曲边梯形的面积梯形的面积 夹在两夹在两个矩形之间个矩形之间则则m(b a)f(x)dx M(b a).bf(x)在区在区间间a,b上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，性质性质6 624解解f(x),sin xxx2x2f(x)x cos x sin x cos x(x tan x)0 x,42 f(x)在在,上上单单调调下下降降,4 2 故故 x 为极为极大点大点，x 为极为极小小点点,42例例2 不计算定积不计算定积分分 估估计计 的大小的大小dxx sin x 242424M f()2 2,m f()2,42 b a ,2
14、44 2 sin xdx 2 2 ,441 2sin xdx 2.x 2x25证证性质性质7 7（Th5.Th5.1 1 定积分第一中值定理）定积分第一中值定理）如果函如果函数数 f(x)在闭区在闭区间间a,b上连续，上连续，则在积分区则在积分区间间a,b上至少存在一上至少存在一个个点点 ，f(x)dx Mb a m ba1 m(b a)f(x)dx M(b a)ba由闭区间上连由闭区间上连续续函函数数的的介介值值定定理理知知使使 af(x)dx f()(b a).(a b)积分中值积分中值公式公式b26在区在区间间a,b上至少存在一个上至少存在一个点点 ，使使f(x)dx,1 f()b ab
15、af(x)dx f()(b a).b a(a b)积分中值公式积分中值公式的的几几何何解解释：释：在区在区间间a,b上至少存在一上至少存在一xoab 个个点点 ，使得以区使得以区间间a,b为为即即yf()以曲以曲线线 y f(x)底边，底边，为曲边的曲边梯为曲边的曲边梯形形的面积的面积 等于同一底边而等于同一底边而高高为为 f()的一个矩形的面的一个矩形的面积积。27ThTh5.25.2(推推广广的的积积分分第第一一中中值值定定理）理）如果函如果函数数 f(x),g(x)在闭区在闭区间间a,b上连续，上连续，且且 g(x)在闭区在闭区间间a,b上可积且不变上可积且不变号号,则在积分区则在积分区
16、间间a,b上至少存在一个上至少存在一个点点 ，使使f(x)g(x)dx f()g(x)dx当g(x)1时,即为Th5.1bbaa28六、积分上限函数及其导数设设函函数数 f(x)在在区区间间a,b上上连连续续，并且并且设设x 为为a,b上的一点上的一点，考察定积分考察定积分 ax xf(x)dx af(t)dt记记 (x)af(t)dt.x积分上限函数积分上限函数如如果上果上限限x 在区在区间间a,b上任意变动，则上任意变动，则对对于于 每一个取定每一个取定的的x 值，定积分有一值，定积分有一个个对应对应值值，所以，所以 它它在在a,b上定义了一上定义了一个个函数函数，29ax xbxyf(t
17、)dto定理定理 如如果果 f(x)在在a,b上连续，则积分上限上连续，则积分上限的的函函数数(x)f(t)dt 在在a,b上具上具有有导数，且它的导数，且它的导导x a数是数是f(t)dt f(x)(a x b)(x)dx d xa 证证 (x x)x x a (x x)(x)af(t)dt af(t)dtx x x(x)x(x)af(t)dt.x30 x x xbf(t)dtf(t)dt f(t)dt x ax x xx a xf(t)dt,x x由积分中值定由积分中值定理得理得 f()x x 0,x f(),xlim limf()x0 x0 x (x)f(x).o x,x x,axy(x
18、)31计算计算下列导数下列导数t 2etttcosxxxdtdxdx dedtdx dedtd111222(3)(2)(1)32补补充充如如果果 f(t)连续连续，a(x)、b(x)可导，可导，则则F(x)f(t)dt 的导的导数数F (x)为为b(x)a(x)证证F(x)f(t)dt a(x)b(x)0 0 f(t)dt 0b(x)0f(t)dt,a(x)F (x)f b(x)b(x)f a(x)a(x)f(t)dt f b(x)b(x)f a(x)a(x)F (x)dxb(x)a(x)d33例例1 1求求 limx0.21cos x2xedt t 解解 e t d 1cos x2dt dx
19、dt,cos xt 21 e dx d(cos x)cos2 x e,sin x e cos2 xx21cos xlimx02dte t 2x2sin x e cosx limx0.1 2e 00分析：分析：这是这是型不定式，应用洛型不定式，应用洛必必达达法法则则.34定理定理2 2（原（原函函数数存存在在定定理理）如如果果 f(x)在在a,b上连上连续续，则积则积分分上上限限的函的函数数(x)原函数原函数.f(t)dt 就就是是 f(x)在在a,b上的一个上的一个x a定理的重要意定理的重要意义：义：（1）肯定了连）肯定了连续续函函数数的的原原函函数数是是存存在在的的.（2）初步揭示）初步揭
20、示了了积积分分学学中中的的定定积积分分与与原原函函数之数之间的联间的联系系.35定定理理 3 3（微积分基本（微积分基本公公式式）如如果果F(x)是连续函是连续函数数 f(x)在区在区间间a,b上上b的一个原函数，的一个原函数，则则 f(x)dx F(b)F(a).a又又(x)f(t)dt 也也是是 f(x)的一个原函的一个原函数数,x a已已知知F(x)是是 f(x)的一个原函数，的一个原函数，F(x)(x)Cx a,b证证七 牛顿莱布尼茨公式36令令x aF(a)(a)C,(a)af(t)dt 0aF(a)C,f(t)dt F(x)F(a),xa F(x)f(t)dt C,xa令令 x b
21、 f(x)dx F(b)F(a).ba牛牛顿顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式37f(x)dx F(b)F(a)F(x)ba 微积分基本公微积分基本公式式表表明：明：一个连续函数在区一个连续函数在区间间a,b上的定积分等于上的定积分等于 它的任意一个原它的任意一个原函函数在区数在区间间a,b上的增上的增量量.求定积分问题求定积分问题转转化化为为求求原原函函数数的的问问题题.b a注意注意当当a b时时，f(x)dx F(b)F(a)仍仍成成立立.ba38例例4 4求求 2(2cos x sin x 1)dx.0 原式原式 20 2sin x cos x x 3 .2f(x)dx.例例5 5设设 f(x
22、),求求 2 x0 x 1 51 x 220解解解解12f(x)dx 0f(x)dx 1f(x)dx 02在在1,2上上规规定定当当 x 1时时，f(x)5,原原式式 0 2 xdx 1512dx 6.xyo1239例例6 6求求 maxx,x2 dx.2 2解解由图形可知由图形可知f(x)maxx,x2 x2 2 x 0 x0 x 1,1 x 2 2 xdx 0 xdx 1x dx 原原式式 0 x2 2122.2 112xyoy x2y x1 240设 f(x)Ca,b,且 F(x)f(x),则有1.微积分基本公式a f(x)d x f()(b a)F()(b a)F(b)F(a)b积分中
23、值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式41定定理理假设假设（1 1）f(x)在在a,b上连续；上连续；（2 2）函函数数 x (t)在在 ,上上是是单单值值的的且且有有连连续续 导数；导数；（3 3）当当t 在区在区间间 ,上变化时上变化时，x (t)的值的值 在在a,b上变化上变化，且且 ()a、()b，则则 有有f (t)(t)dt.f(x)dx b a 八、换元公式42证证设设F(x)是是 f(x)的一的一个个原原函函数数，f(x)dx F(b)F(a),ba(t)F(t),(t)dF dx f(x)(t)f (t)(t),dxdt(t)是是 f (t)(t)的一个原函的一个原函数数.f
24、(t)(t)dt ()(),43 ()a、()b,()()F ()F ()F(b)F(a),f(x)dx F(b)F(a)()()ba f (t)(t)dt.注注意意当当 时，换元公式仍成时，换元公式仍成立立.44应用应用换元公换元公式式时应时应注注意意:（1）用用 x (t)把变把变量量 x换成新变换成新变量量t 时，积分限也时，积分限也 相应的改相应的改变变.（2）求求出出 f (t)(t)的一个原函的一个原函数数(t)后，不后，不 必必象计算不定积分那样再要象计算不定积分那样再要把把(t)变换成原变换成原 变变量量 x的函数，而只要把新变的函数，而只要把新变量量t 的上、下的上、下 限分
25、别代限分别代入入(t)然后相减就行然后相减就行了了.452cos5 x sin xdx.0例例1 1计算计算.xln xe 43edx例例2 2计算计算46例例1 1计算计算cos5 x sin xdx.20 2225cos5 xd(cos x)00cos6 x0cos x sin xdx (0 1)1.666 解凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。473 1)42 2(2 ln xln xd ln xx ln xe 4e 4ee dx 例例2 2 计计算算 解解原式原式3e 4e33.x ln xe 43edx48例例3 3 计计算算 3解解2xdx49
26、三角代换和根式代换50例例4 4计算计算解解12x1 x122dx.1令令 x sin t,x 1 t ,2x 12 t 6dx cos tdt,原式原式2226sin2 t cos tsin2 t66 cos t dt dt cot t(cot cot )(0 3)3 2 6 明显换元51例例 5 5 当当 f(x)在在 a,a上连上连续，且有续，且有 f(x)为偶函数为偶函数，则，则 af(x)dx 2 0f(x)dx；aa f(x)为奇函为奇函数，数，则则 af(x)dx 0.a证证f(x)dx f(x)dx f(x)dx,0a0a a a在在 a0f(x)dx 中中令令x t,52 a
27、f(x)dx af(t)dt 0f(t)dt,00a f(x)为偶为偶函函数数，则则f(t)f(t),af(x)dx 0f(x)dxf(t)dt;f(x)dx aa 0a 2 0a f(x)为奇为奇函函数数，则则 f(t)f(t),af(x)dx af(x)dx 0f(x)dx 0.a 0a在在 a0f(x)dx 中中令令x t,53奇函数奇函数例例6 6计算计算解解2 x x cos x dx.1 1 x21 12原原式式 11 1 x2122 xdx 11 1 x21x cos x dx偶函数偶函数 4 0dx1 1 x2 4 0(1 12 x 01 (1 x2)41x (1 1 x )d
28、x221 x)dx 4 412 1 x dx102 4 .单位圆的单位圆的面积面积54总结：总结：1、定、定积分公积分公式式2、定、定积分积分计计算方法算方法（直直接接代入，代入，凑凑微微分分，根式根式代换，三角代代换，三角代换换）3、根、根式和式和三三角代换为明角代换为明显显的代换，所的代换，所以以换换 元要元要换上下限换上下限4、介绍了介绍了积分上限积分上限函函数数5、积、积分上分上限限函数是原函数函数是原函数6、计、计算上算上限限函数的函数的导导数数55例例 7 7若若 f(x)在在0,1上连续，证明上连续，证明（1）f(sin x)dx f(cos x)dx;2200（2）0 xf(s
29、in x)dx f(sin x)dx.20 由此计由此计算算 0 1 cos2 x x sin x dx.证证（1）设设 x t2 dx dt,x 0 t ,2x t 0,256 20f(sin x)dx f sin t dt 022 2 0f(cos t)dt f(cos x)dx;20 x t257（2）x t dx dt,x 0 t ,x t 0,0 xf(sin x)dx (t)f sin(t)dt 0(t)f(sin t)dt,0 由此计由此计算算 0 1 cos2 x2 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx x sin x dx设设58xf(sin x)dx 0 f
30、(sin t)dt 0 tf(sin t)dt 0f(sin x)dx 0 xf(sin x)dx,f(sin x)dx.2 0 xf(sin x)dx 0 0 1 cos2 x x sin x dx sin x 2 0 1 cos2 x dx2 0 1 cos2 x 1 d(cos x)arctan(cos x)02.4 2)(244 0 59 avdu.定积分的分部定积分的分部积积分分公式公式九、分部积分公式设函设函数数u(x)、v(x)在区在区间间 a,b 上具有上具有连连续续导数，则有导数，则有 udv uvb abb a推导推导 uv u v uv,(uv)dx uv ,baba u
31、 vdx uv dx,baabb auv udv uv vdu.bababa60例例计算计算解解ln xdx.1e61例例2 2计算计算arcsin xdx.120 解解令令u arcsin x,dv dx,du dx,1 x2v x,120arcsin xdx x arcsin x 120 xdx 1 x2 120 2 61 1 d(1 x2)1 x120212 1 x 12 1202 1.122 3则则62例例3 3计算计算解解xe dxx10例例4 4 计算计算 x cos xdx1063例例5 5计算计算解解1edxx2ln x64一、无穷限的广义积分定定义义 1 1设函设函数数 f(
32、x)在区在区间间a,)上连上连续，续，取取b a，如果，如果极极限限 lim bb af(x)dx 存存在在，则称此，则称此极极限为函限为函数数 f(x)在无在无穷穷区区间间a,)上上的广的广义义积积分，记分，记作作 a f(x)dx.a f(x)dx lim bb af(x)dx当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收收敛；当极限不存在敛；当极限不存在 时，称广义积分发时，称广义积分发散散.第四节 广义积分65类似地，设函类似地，设函数数 f(x)在区在区间间(,b 上连上连续，续，取取a b，如果极，如果极限限 lim abaf(x)dx 存在，则称此极存在，则称此极限为限为函函
33、数数 f(x)在在无穷无穷区区间间(,b 上上的广的广义义积积 分，记分，记作作 f(x)dx.b bf(x)dx limab af(x)dx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发时，称广义积分发散散.66设函设函数数 f(x)在在区区间间(,)上上连连续续,如果如果0 广广义积义积分分 f(x)dx 和和 0f(x)dx 都都收敛，收敛，则则称称上上述两广义积分之和为函述两广义积分之和为函数数 f(x)在无穷区间在无穷区间(,)上的广义积分，记上的广义积分，记作作 f(x)dx.0 f(x)dx f(x)dx 0f(x)dx a
34、 b lim0af(x)dx lim b0f(x)dx极限存在称广义积分收敛；极限存在称广义积分收敛；否否则称广义积分发则称广义积分发散散.67例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解 1 sin 1 dx.22 x x 2 1 sin 1 dx x x2 2sind x 1 1x x 2 cos 1 cos 0 0 12 lim cos 1 cosxx lim F(x)F(a)x F()F(a)f(x)dx F(x)aa简记为68例例1 1 计算广义积计算广义积分分 .1 x2 dx解解 1 x2 dx 1 x20dx 0 1 x2dx 1 x0 1 limdx lima2a 0 1 x2b
35、b 1 dx arctan x 0 limaa b arctan x b0 lim lim arctana lim arctanb a b .2 2 69例例 3 3 证证明广明广义义积积分分 1 1dx 当当 p 1时时收敛，收敛，x p当当 p 1时时发发散散.证证(1)p 1,1 1 dx x p 1 1dx ln x x 1 ,p 1(2)p 1,1 1 dx xp 1 p 1 x 1 1 p,p 1 p 1 因此因此当当 p 1时广义积分收敛，其值时广义积分收敛，其值为为 1；p 1当当 p 1时广义积分发时广义积分发散散.70 o,i iJy$y()dbbo+cb/(z)dz71,
36、y(d.:i a.aJ(z)dz-J-J(z)dz72 Ac r BU X if.4ST J1.i*J1 I;-,;y,pJb/(,)dp2 z 4z 731 11 21174 f=o i l y r-s jk.r yG>*fJ 5.7pa l e*dx(o0)75t i 5.8e 2z176回回顾顾曲边梯形求面曲边梯形求面积积的的问题问题A af(x)dxb第五节、定积分应用曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线 y f(x)(f(x)0)、x 轴与轴与两两条条直直线线 x a、x b所围所围成成。abxyoy f(x)771、几何上的应用78面积79ax x dxb xy
37、oy f(x)A lim f(i)xi n 0 i 1 abf(x)dx a f(x)dx.bdA面面积积元元 素素80一一、平面图形的面、平面图形的面积积1.直角直角坐标情坐标情形形设曲线与直线及 x 轴所围曲边梯形面积为 A,则dA f(x)dxA f(x)dxbaOaxbxyy f(x)x dxyby f2(x)xay f1(x)Oxx d x f(x)f(x)dxA 右图所示图形，面积元素为dA f1(x)f2(x)dxba1281xyoy f(x)axx xbxyoy f1(x)y f(x)2ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积A abf(x)dx曲边梯形的面积曲边梯形的面积A a f2
38、(x)f1(x)dxbx x82f1(x)f2(x)dxA baybxa x x d xy f2(x)y f1(x)Oc f(x)f(x)dxca12 f(x)f(x)dxbc21A (y)(y)dydcy d yyOx (y)xy d x (y)cdA|f1(x)f2(x)|dx有时也会选 y 为积分变量dA|(y)(y)|dy83例例 1 1 计算由两条抛物计算由两条抛物线线 y2 x 和和y x2 所所围围成成的的 图形的面图形的面积积.解解（1）作图）作图（2）求出两曲）求出两曲线线的的交点交点(0,0)(1,1)（3）选选 x 为积分变量为积分变量x 0,1A (x x2)dx 10
39、1x3 3 0 3 223 x .13 y x2x y2（4）代公式代公式 A a f2(x)f1(x)dxb84例例 2 2计算计算由由曲曲线线 y2 2x和和直线直线 y x 4所围所围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点 y2 2 x y x 4(2,2),(8,4).选选 y 为积分变量为积分变量 y 2,4dA y 4 y dy2 2 A dA 18.4 2 y2 2xy x 485解题解题步骤：步骤：(1)画出草图；(2)求出交点；(3)选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。86Ox x d x ayb例例3.求椭圆解解:利用对称性,有 d A y dx所围
40、图形的面积.A 40y d x 4b0a利用椭圆的参数方程x a cos t(0 t 2)y b sin t应用定积分换元法得 4ab 202sin t dt 4ab 2 2 ab1 当 a=b 时得圆面积公式x1 aaxd x287二二、立体、立体体体积积V A(x)d xbabxax1.已知已知平行截平行截面面面面积积函函数数的的立立体体体积体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),上连续,则对应于小区间dV A(x)d x因此所求立体体积为的体积元素为A(x)88(R x R)V 202(R x)tan d xR 122 2 tan R2 x 1 x3 R30例例1.一平面经过半
41、径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成 角,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.x2 y2 R2垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为解解:如图所示取坐标系,则圆的方程为A(x)1(R2 x2)tan2利用对称性O x R(R2 x2)xy(R2 x2 tan )89ORx(x R2 y2)(x,y)yR思考思考:可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?A(y)2x y tan 2 tan yV 2 tan 0 y提示提示:R2 y2RR2 y2 dy(y tan )90旋转旋转体体就是由一就是由一个个平平面面图图形形绕绕这这平平面内面内 一条直线旋转一条直
42、线旋转一一周周而而成成的的立立体体这这直直线线叫叫做做 旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体的体积91Oxyd x (y)2 f(x)dxV ba当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2(y)dyV d cyc yabxxyabOy f(x)2.旋旋转转体的体积体的体积当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有x92一般一般地地，如如果果旋旋转体转体是是由由连连续曲续曲线线 y f(x)、直直线线 x a、x b 及及x 轴所轴所围围成的成的曲曲边边梯梯形形绕绕 x 轴旋轴旋转转一一周周而而成成的立的立体体，体体积为积为多多少少？取积取积分分变变量量为为x，x a,b
43、xx dxxyo旋转体的体积为旋转体的体积为 f(x)dxV ba2 y f(x)93类类似似 地地，如如果果 旋旋 转转体体 是是由由 连连 续续曲曲 线线x (y)、直直线线 y c、y d 及及y 轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕 y 轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xoydx (y)c (y)dy2 V dc94Y 轴X 轴ca xby f(x)y g(x)V a f(x)g(x)dx22bf(x)g(x)0(y)(y)22dyV d(y)(x)0X 轴Y 轴x (y)x (y)cd95xa xyb例例1.计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:利用直角坐标方程则 2 b a(a2 x2)dxa2 0V 20 y dx2(利用对称性)0 2 b a2 x 1 x3 a2 23a 4 ab23Oa296例例 计计算算由由两条两条抛抛物物线线 y2 x和和 y x 2所所围围成成的的 图图形形的的围绕围绕轴轴的的旋旋转体转体的的体体积积.解解x y2y x21(x)2 (x2)2)dx0 xV 97
