1、第五章第五章定积分及其应用 6 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用5.6 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 若能把某个量表示若能把某个量表示成定积分成定积分,我们就可以我们就可以计算了计算了.回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(问题的提出问题的提出曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 一、定积分应用的微元法一、定积分应用的微元法A面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（1）把把 区区 间间,ba分分 成成n个个 长长
2、 度度 为为ix 的的 小小 区区 间间，相相 应应 的的 曲曲 边边 梯梯 形形 被被分分 为为n个个 小小 窄窄 曲曲 边边 梯梯 形形，第第i 小小 窄窄 曲曲 边边 梯梯 形形 的的 面面积积 为为iA，则则 niiAA1.（2）计算）计算iA 的近似值的近似值iiixfA )(iix （3）求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA （4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(ab xyo)(xfy 提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并
3、取dxxfA)(，于是于是 dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxx dA面积微元面积微元对以上过程进行简化对以上过程进行简化:这种简化以后的定积分方法叫这种简化以后的定积分方法叫“微元法微元法”微元法的一般步骤：微元法的一般步骤：两边积分两边积分 badxxfF)()(3说明：当所求量说明：当所求量 F 符合下列条件符合下列条件（1）F 是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）F 对对于于区区间间 ba,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部分分区区间间，则则 F 相相应应地地分分成成许许
4、多多部部分分量量，而而 F 等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iF 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf)(；就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量 F xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(121.直角坐标系情形直角坐标系情形xxxx x 二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积上曲线上曲线下曲线下曲线)(xfy abxoy.,)(上有正有负上有正有负在在baxfxx+dxdxxfdA)(时时0)(.1x
5、f时时0)(.2xfdxxfdA)(总之总之dxxfdA)(babadxydxxfA)(x+dxx例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(面积微元面积微元dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 可直接由公式得到可直接由公式得到x+dxx求面积的一般步骤：求面积的一般步骤：1.作图求交点作图求交点.2.用定积分表示面积用定积分表示面积.3.求出定积分的值求出定积分的值.微元法微元法公式法公式法解解由公
6、式得：由公式得：63sin dxxA233)cos(cos6003 xx例例2.6,3sin 积积轴轴围围成成的的平平面面图图形形的的面面及及与与直直线线求求由由曲曲线线xxxxy 60036003sinsinsinsin xdxxdxdxxdxx可直接从几何可直接从几何意义上得到意义上得到xy=sinxoy3 6 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选x
7、 吗？吗？选选 为积分变量为积分变量x8,22,0 xdxxxA 20)2(2.18)4(282 dxxxO y B A 4-2 y x y+dy 选选 为积分变量为积分变量y4,2 ydyyydA 242.18)24(42242 dyyydAAxy22 4 xyyy+dy说明说明:合理选择积分变量会使计算简单合理选择积分变量会使计算简单.一般地一般地:y+dyyoyx)(yx dc dcdyyA)(dcxdyoyx)(2yx dc)(1yx y+dyy dcdyyyA)()(21 右曲线右曲线左曲线左曲线例例4.15 22平面图形的面积平面图形的面积所围成的所围成的和和求抛物线求抛物线yxy
8、x 解解 如图求得交点为如图求得交点为)21,45()21,45(21 BB和和oxy1B2BA25yx 21yx 取取y为积分变量为积分变量21,21 ydyyys 2121225)1(32345)1(2210321022 yydyyy如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.（相当于定积分的换元）（相当于定积分的换元）babadxy
9、dxxfA)(由由知知例例 5 5 求求椭椭圆圆12222 byax的的面面积积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 设由曲线设由曲线)(r及射线及射线 、围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)(在在,上连续，且上连续，且0)(xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积为曲边扇形的面积为:.)(212 dA 2.极坐标系情形极坐标系情形)(r 221rA 圆扇形的面积
10、为圆扇形的面积为例例 6 6 求双纽线求双纽线 2cos22a 所围平面图形所围平面图形的面积的面积.解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A例例 7 7 求求心心形形线线)cos1(ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积)0(a.解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1(02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0求在直角坐标系下、参数方程形求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下式下、极坐标
11、系下平面图形的面积平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于有助于简化积分运算）简化积分运算）总结总结微元法微元法xy xy oyxxey ey oyx2xy 32 xyoyx2xy 1 yoyx22xy 10)(dxxxA eydyA1lndxxxA 312)32(10)2(dyyyA思考题思考题 设设曲曲线线)(xfy 过过原原点点及及点点)3,2(，且且)(xf为为单单调调函函数数，并并具具有有连连续续导导数数，今今在在曲曲线线上上任任取取一一点点作作两两坐坐标标轴轴的的平平行行线线，其其中中一一条条平平行行线线与与x轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积是是另另一一条条平平行行线线与与y轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积的的两两倍倍，求求曲曲线线方方程程.请列出请列出f(x)所满足的关系式所满足的关系式
