1、 点阵中的规律教学实录教学目标： 1、经历探索点阵中规律的过程，能从不同角度观察点阵图，体会数与图形之间的联系；能对发现的规律作出说明。 2、培养观察、比较、抽象、概括能力。 3、让学生经历探索点阵中规律的过程，激发学生探索的欲望，感受数形结合的数学思想。教学重点：不同角度探究发现点阵中的规律，感受数形结合思想。教学难点：独立发现同一点阵中不同的规律。课前准备：题单、PPT、智慧教室。教学过程：一、视频引入，激发兴趣(由人抽象出规则排列的点，从而得出点阵)师：当你们两、三岁的时候，在我们中国北京鸟巢举行了一场巨大的盛会，我们一起来看看。（2008奥运会开幕式片段）师：在刚才的视频当中，什么留给
2、你的印象最深刻？生：当他们围成圈的时候，一个一个移动，像一个个点子在动。生：它所表达的那种场面很壮观。生：开始时，地上亮着的灯很漂亮。师：在刚才的这段视频当中，我们每个人关注的角度不同，留下的印象也可能不一样。师:当我们把击缶而歌的演员看作一个个点的时候，就成了这样一个有规则的图形，这就是一个点阵，我们的太极演员也摆成了一个圆阵，今天我们就一起来研究点阵中的规律。（板书课题）二、探索点阵中的规律1、从简单情形开始找规律 。（课件依次出示点阵图：1，4，9，16）师：首先让我们从简单的情形开始，第1个点阵一共有几个点？生：1个师：猜，第二个点阵？生：2个生：3个师：（课件出示）几个？生：4个。师
3、：继续猜，第三个点阵有几个点？生：8个 生：7个师：（课件出示）几个？生：9个师：如果照这样下去，第四个点阵呢？生：16个师：为什么你的猜测越来越准？2、初识规律。生1：因为我找到了一个规律。我们把第一个点阵标号为1，它的点子个数就是11=1，第二个点阵标号为2，点子个数就是22=4，第三个点阵标号为3，点子个数就是33=9，第四个点阵标号为4，点子个数就是44=16。生2：你是怎么发现这个规律的？生1：它是按一定顺序排列的，比如第4个点阵就是44，第6个点阵就是66，依次下去。生3：你是怎么看到这个规律的？生1：第1个点阵只有1个点子，看不出什么，我们看第2个点阵，我们把它横着分割，它一个有
4、2排，每排2个，第3个点阵，我们横着分割，发现它有3排，有3个3，第4个点阵分成4排，44=16个。生4：像这种有规律的点阵，其实可以用序号乘序号。生5：其实它就是一个正方形，只不过把我们正方形边长改成了点子数。我们用边长点子个数乘边长点子个数就可以得到真个图形的点子个数。 师：照你们这个规律下去，第n个这样的点阵会有多少个点子呢？生：第n个这样的点阵会有nn个点。师：像1，4，9，16n的平方，这些数都可以写成两个相同数相乘的形式，我们就把这样的数叫做平方数。平方数还能摆成什么形状？生：正方形师:我们也可以说他们是正方形数。在2000多年前，我们的数学家毕达哥拉斯就特别喜欢把数用石子摆成形状
5、来研究，这是我们数学当中经常会用到的一种方法：数形结合 。3、自主探究规律。（1）师：我们通过横着去观察找到点阵中的规律，你能找到点阵中的其他规律吗？（出示自学要求）自主学习要求：换个角度观察点阵图写出对应的算式找到点阵图中的规律（2）学生在平板上独立 探究。（3）小组交流讨论。小组预展要求：我观察的角度是我写出的算式是我发现的规律是4、全班交流，揭示规律。 （1）分小组进行汇报本小组学习情况。生：接下来由我们小组为大家分享。26号：下面请出示26号。（主屏幕展示26号学生机平板）我们首先把这4幅点阵标上序号，依次是第1、2、3、4幅。第1个点阵就是11=1，第2个点阵竖着观察发现它有2列，每
6、列有2个所以就用22=4，第3个点阵竖着观察发现它有3列，每列有3个所以就用33=9，第4个点阵竖着观察发现它有4列，每列有4个所以就用44=16。我们发现的规律就是序号列数=点子数。30号：请出示30号。第1个点阵图只有1个点，没有什么特别的，第2个点阵，我用斜线分开，我们就会发现中间2个，两边各1个，算式表达就是1+2+1=4，我们用同样的方法看第3个点阵，发现它的算式是1+2+3+2+1=9，我们继续用这个规律看第4个点阵，发现它的算式是1+2+3+4+3+2+1=16。生：我也是这样观察的 ，我找到的规律是从1开始加，加到中间斜线里这个数，再依次加回去，一直加到1。生：我也是这样观察的
7、，我找到的规律是从1开始加一直加到它的序号然后再加回去，得到的结果就是它的点子个数。生：我还有一种方法：中间数中间数=点子数师：刚才同学们说这组算式有一个特点，从1开始连续自然数相加，然后加回来，发现这个规律的举手。（全班举手）这样一组数列也可以称作对称数列。比如我们的第4个点阵，中间是4，两边的数是对称的。照这样的规律写下去，第n个点阵应该如何表示？生：1+2+3+n+3+2+1生：我觉得中间应该添上(n-1),再加n，然后加(n-1)，最后加3加2加1。28号：下面请出示28号。我先跟大家分享一下我是拐弯思考的，第一个点阵它只有1个点，所以它就是1，我们再看第二个点阵，我从这个地方拐弯把它
8、分开，就分成了1和3，第三个点阵我们继续用拐弯思考的方法，这样分开来，就是1+3+5=9，第四个点阵就分成1+3+5+7=16，从这些算式可以发现，它们相加数都是奇数，并且都是从1开始连续奇数相加，相加奇数的个数就是第几个点阵。谁对我的展讲有疑问和补充？生:我有补充 ，如果是序数也不是很好 ，我觉得这样说更好，每一个点阵个数都是从1开始加，都是连续的奇数，奇数的个数在于它每一个点阵中边长点子数是多少。生：我补充，我觉得你说的太麻烦，我认为从1开始加序数个连续奇数，我找到的就是这个规律。组：我们小组展讲完毕，谢谢大家。师：照这样的规律下去， 第n个点阵有多少个点？如何表示？生：第n个点阵从1开始
9、加n个连续奇数。（师板书）师：像这样的数列也可以说是奇数数列。这几个数列的答案都等于什么？生：nn。师：我也想跟大家分享我的方法，我们一起来看看。（课件出示）我是这样看的，谁弄明白啦？生：是转圈看的。师：第3个点阵算式是？生：3+2+2+1+1=9师：第4个点阵？生：4+3+3+2+2+1+1=16师：我是转圈观察的，我的规律是什么呢？生：我们可以从边长点子数依次加上两个点子数减1的数，一直加到1。师：如果第n个点阵呢？生：n+(n-1) +(n-1) +(n-2) +(n-2)+ +3+3+2+2+1+15、探索这几个算式之间的联系。1、师：刚才我们从不同角度去观察我们这组点阵图 ，找到了这
10、么多的规律，请聚光到第4个点阵，在小组内去讨论，你发现了什么？2、小组交流。3、全班交流。师：谁愿意分享你们小组的发现？生：我们小组发现了第一种是44，是横着观察的，每排有4个，有这样的4排。第二种1+2+3+4+3+2+1，是斜着思考的。第三种1+3+5+7，是拐弯思考的,4个连续的奇数。第四种4+3+3+2+2+1+1，它是转圈思考的。师：刚才他们小组在同一个点阵中从不同角度去观察、去思考，可能会得到不一样的规律，不一样的算式。生：我补充，我发现这些算式都可以写成44。师：我们这些算式都是表达的哪一个点阵？生：第四个点阵。师：既然我们表达的是同一个点阵，这些算式能不能都改写成44呢？生：能
11、，它们之间可以互相转化。师：利用我们点阵中的规律，运用我们数形结合的方法，还能找到我们数之间的规律。师：我们的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”说明我们数形结合的？生：重要性。师：在我们的数学学习中，经常会用到数形结合的方法，接下来就用我们找到的规律解决下面的作业。6、运用规律解决问题。（1）直接写答案。1+3+5+7+9+11+13+15=？师：你是如何快速算出这道题？生：从1开始有8个连续奇数相加，所以就用88=64（2）抢答。1+2+3+4+5+6+19+20+19+3+2+1=？师：如何快速算出这道题？生：从1开始连续加到20，再加回
12、来，我直接用2020=400三、巩固练习。师：这节课，我们从不同的角度对点阵图进行了观察，找到了规律，你能找出这一组长方形点阵中的规律吗？请独立完成。1、学生独立完成题单，能找到几种写几种。2、学生汇报。生：请出示30号。我是横着观察的，第一点阵有1排，每排有2个，算式是12=2，第二个点阵有2排，每排有3个，算式是23=6，第三个点阵是34=12的长方形，第四个点阵是45=20的长方形，我发现这组点阵的规律是前一个算式的后一个乘数是第二个点阵的前一个乘数。生：我有补充，请出示24号。我第一种观察方法和她一样，第二种我是拐弯思考的。第一个点阵是2，第二个点阵往外扩了一圈，是2+4=6,依次是2
13、+4+6，2+4+6+8，2+4+6+8+10，我发现他们的规律是：每一个点阵每列点的个数就是从2开始连续偶数相加的个数。我的第三种观察方法，我先在第一个点阵上面横着添上2个点，就变成22的方阵，第二个点阵我在上面添上3个点，就变成33的方阵，照这样下去，添加后每个点阵都变成了方阵，再减掉添加的点子数就得到实际的点子数。我发现的规律是：每排点子数乘每排点子数，再减掉添加的点子数就得到实际的点子数。生：我补充，我可以把你的规律简单化，每个点阵点子数实际就是n的平方减掉n。生：我有疑问，n是什么？生：n是它的序数。生：我有疑问，第一个点阵的序数是1，但它的算式是22。生：我觉得n应该是序数加1。生：我还有一种表达方式，序数为n，它的规律就是（n+1）的平方减（n+1）师：如果是第四个点阵，就是（4+1）的平方减（4+1）。四、小结。师：这节课我们学习了什么？生：点阵中的规律。师：谁来给大家分享一下自己的收获？生：我知道了怎样求点阵的个数以及求点阵个数的很多方法。生：我知道了黑板上的几种方法都可以写成n的平方。生：我知道了生活中很多时候都会用到数形结合的方法。师：在数学中经常都会用到数形结合的方法。生：在正方形点阵中是n个奇数的和，在长方形点阵中是n个偶数的和。五、欣赏生活中从不同角度观察的
