1、 三湘名校教育联盟三湘名校教育联盟 2019 届高三第三次大联考届高三第三次大联考 理科数学理科数学 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.已知全集实数集R，集合 2 30Ax xx， 21 x Bx，则()AB R A. (03,)， B. (0,1 C. 3 ， D. 1)， 2.已知i为虚数单位，若复数 2 2 ai zaR i 的实部与虚部相等，则a的值为（ ） A
2、. 2 B. 3 2 C. 2 3 D. 2 3.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗， 店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x，则 一开始输入的 x 的值为( ) A. 3 4 B. 7 8 C. 15 16 D. 31 32 4.已知向量0,2OA，1,OBt，且OA OB OA，则OA与AB的夹角为( ) A. 6 B. 3 4 C. 3 D. 5 12 5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ） A. 2 3 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4 6.已知 1 2
3、017 2017a ， 2018 log2019b， 2019 log2018c ，则a，b，c的大小关系为( ) A. abc B. acb C. bac D. cba 7.函数 cosx f x x 的部分图象可能是( ) A. B. C. D. 8.直线l： 1ykx与圆O： 22 4xy交于A，B两点，当AOB的面积最大时，弦AB所对的劣弧 长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 5 6 9.已知函数 sin0,0, 2 f xAxA 的部分图象如图所示，则函数 cosg xAx图象的一个对称轴方程可能为( ) A. 0x B. 2x C. 10x D. 14x 10.
4、小姜同学有两个盒子A和B，最初盒子A有 6 枚硬币，盒子B是空的.在每一回合中，她可以将一枚硬币 从A盒移到B盒，或者从A盒移走K枚硬币，其中K是B盒中当前的硬币数.当A盒空时她获胜.则小姜可 以获胜的最少回合是( ) A. 三回合 B. 四回合 C. 五回合 D. 六回合 11.定义“穿杨二元函数”如： ( , )248 n C a naaaa 个 .例如：3,43 6 12 2445C .若 aZ ，满足 ,C a nn，则整数n值为( ) A. 0 B. 1 C. 0或 1 D. 不存在满足条件的n 12.正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，动点M在线段 1 CC上，动点P
5、在平面 1111 DCBA上，且AP 平 面 1 MBD.线段AP长度的取值范围为( ) A. 1,2 B. 1, 3 C. 3 ,2 2 D. 6 , 2 2 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题纸上把答案填在答题纸上. 13.设关于 , x y的不等式组 , 4, 2 yx x ykx 表示的平面区域为，若 ( ,), ( , ), ( ,)ABC1 23 023中有且仅有两个点 在内，则k的最大值为_ 14.数学老师准备命制一道解三角形的练习题，完成了题目部
6、分信息如下：在ABC中，a、b、c分别是 角A、B、C的对边，已知45A， 2 2b ，求边c.显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c 只有一解，那么a的可能取值是_.（只需填写一个合适的答案） 15.过抛物线C： 2 2xy焦点F直线与抛物线交于M，N两点，点P在抛物线C的准线上，若PMN 是等边三角形，则PMN的面积为_. 16.已知集合,|1 40,140,N,NAs tstst .若BA， 且对任意, a bB，, x yB， 均有0axby，则集合B中元素个数的最大值为_. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位三、解答题：解答应写出文
7、字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位 置置.本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. 17.设数列 n a满足 1 123 242n n aaaan . （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 2 log nn aa的前n项和. 18.如图 1，在矩形ABCD中，2AB ，4BC ，E为AD的中点，O为BE中点将ABE 沿BE折起 到ABE ，使得平面ABE 平面BCDE（如图 2） （1）求证：AOCD ； （2）求直线AC与平面A DE 所成角的正弦值； （3）在线段AC上是否存在点P，使得/ /OP平面A DE ? 若存在，求出 A P A C 的
8、值；若不存在，请说明 理由 19.为迎接 2022 年冬奥会，某市组织中学生开展冰雪运动培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记X表示学生的考核成绩，并规定85X 为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生 中随机抽取了 30名学生的考核成绩，并作成如图所示的茎叶图： （1）从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率； （2）从图中考核成绩满足70,79X 的学生中任取 3 人，设Y表示这 3 人中成绩满足8510X 的人 数，求Y的分布列和数学期望； （3）根据以往培训数据，规定当 85 10.5 10 X P 时培训有效.请你根据图
9、中数据，判断此次冰雪培训 活动是否有效，并说明理由. 20.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Nab ab 经过点 (0,1)C，且离心率为 2 2 . （1）求椭圆N的方程； （2）若点A、B在椭圆N上，且四边形CADB是矩形，求矩形CADB的面积S的最大值. 21.已知函数 2 lnf xaxxax . （1）若 f x在其定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）证明： f x在区间0,1恰有一个零点. 选考题，共选考题，共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答. 选修选修 4- -4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程是 2 2x ，曲线C的参数方程为 2cos , 22sin x y （为参数） ， 以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）射线OM：（其中 5 0 12 ）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求 | | OP OM 的 取值范围 选修选修 4- -5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知0a，0b，0c .若函数 f xxaxbc的最小值为 2. (1)求a b c 的值； (2)证明： 1119 4abbcca .
