1、 蚌埠市 2020 届高三年级第三次教学质量检查考试 数学数学（理工类理工类） 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 2 54xxAx ，集合0Bx x，则 R AC B （ ） A.1,0 B.1,4 C
2、.1,4 D.0,4 2.已知 i 为虚数单位，则复数 2 2i的共轭复数为（ ） A.54i B.54i C.3 4i D.34i 3.已知等差数列 n a中，前 n 项和 n S满足 103 42SS，则 7 a的值是（ ） A.3 B.6 C.7 D.9 4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的 增长率.2020 年 2 月 29 日人民网发布了我国 2019 年国民经济和社会发展统计公报图表，根据 2019 年居民 消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是（ ） A.2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比
3、有涨有跌 B.2019 年我国居民每月消费价格中 2 月消费价格最高 C.2019 年我国居民每月消费价格逐月递增 D.2019 年我国居民每月消费价格 3 月份较 2 月份有所下降 5.已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 离心率为 3，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A. 2 2 yx B.2yx C.2 2yx D. 2 4 yx 6.已知向量a，b的夹角为 2 3 ，1,2a ， 20aab，则b等于（ ） A.5 B.2 5 C. 15 3 D. 2 15 3 7.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳 动课
4、程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.学 校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课” ，聘请“织补匠人”李阿姨给同学们传授织补技艺。高一年级有 6个班， 李阿姨每周一到周五只有下午第2节课的时间可以给同学们上课， 所以必须安排有两个班合班上课， 高一年级 6 个班“缝纫体验课”的不同上课顺序有（ ） A.600 种 B.3600 种 C.1200 种 D.1800 种 8.函数 sin2f xx的图象是由函数 cos 20g xx的图象向右平移 6 个单位长度后得 到，则下列是函数 yg x的图象的对称轴方程的为（ ） A. 12 x B. 6 x
5、 C. 3 x D.0x 9.已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 5 ，左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过左焦点 1 F作直线与椭圆 在第一象限交点为 P，若 12 PFF为等腰三角形，则直线 1 PF的斜率为（ ） A. 4 2 7 B. 7 2 8 C.4 5 D. 8 2 7 10.已知函数 f x的图象如图所示，则函数 f x的解析式可能是（ ） A.1yxx B.cos 42 x yx C.sin 4 x yx D.11yxxx 11.开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小 明同学每天中午都会在食堂提供
6、的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份 15 元，面食套 餐的价格是每份 10 元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐， 假如第 1 天小明选择了米饭套餐，第 n 天选择米饭套餐的概率 n p，给出以下论述： 小明同学第二天一定选择面食套餐； 3 0.68p ； 11 0.20.8 12, nnn pppnnN ； 前 n 天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 2525253 216165 n n . 其中正确的是： （ ） A. B. C. D. 12.已知函数 1 ln20 ex ax f xxaxa ， 若函数 f x在区间0,内存在零
7、点， 则实数a的取 值范围是（ ） A.0,1 B.1, C.0,e D.3, 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知命题:pxR ， 使得 2 cossin1xxm ， 若命题 p 是假命题， 则实数 m 的取值范围是_. 14.已知函数 2 1 2,1 2 1 log,1 2 x x f x xx ，若 2f a ，则a_. 15.已知 5 1 2 a xx xx 的展开式中各项系数和为 2，则其展开式中常数项是_. 16.如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三
8、角形演化而成.设其中 的 第 一 个 直 角 12 OA A是 等 腰 三 角 形 ， 且 12231 1 nn A AA AA A ， 则 ， 23 2,3, n OAOAOAn，现将 12 OA A沿 2 OA翻折成 2 OPA，则当四面体 23 OPA A体积最大 时，它的侧面有_个直角三角形；当 3 1PA 时，四面体 23 OPA A外接球的体积为_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 如图所示，ABC的
9、内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，它的外接圆半径为 2 3 3 ，且 sin4sin3 coscABaC. （1）求角 A 的大小； （2）求ABC周长的最大值. 18.（12 分） 随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到 了人们的青睐， 更被网友们评为 “新四大发明” 之一.随着人们消费观念的进步， 许多人喜欢用信用卡购物， 考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世蚂蚁花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支 付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求.为了调查使 用蚂蚁花呗“赊购
10、”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注 册用户中各随机抽取 100 人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如下图所示. （1）由大数据可知，在 18 到 44 岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比 y 与年龄 x 成线性相关关系，利用 统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百 分比 y 与年龄 x 的线性回归方程（回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字） ； （2）该网站年龄为 20 岁的注册用户共有 2000 人，试估算该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的 人数； （3）已知该网店中
11、年龄段在 18-26 岁和 27-35 岁的注册用户人数相同，现从 18 到 35 岁之间使用花呗“赊 购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取 8 人，再从这 8 人中简单随机抽取 2 人调查他们每个月使用花呗 消费的额度，求抽取的两人年龄都在 18 到 26 岁的概率. 参考答案： 1 2 1 2 n ii i n i i x x y b n n x x y ，aybx. 19.（12 分） 如图四棱柱 1111 ABCDABC D中，/ADBC，ABAD，2ADABBC，M 为 1 AD的中点. （1）证明：/ /CM平面 11 AAB B； （2）若四边形 11 AAB B是菱形，且面 1
12、1 AAB B 面ABCD， 1 3 B BA ，求二面角 1 ACMA的余弦 值. 20.（12 分） 已知抛物线 2 :20C xpy p的焦点为 F，直线2ykx与抛物线 C 交于 A，B 两点，若1k ，则 l1 4 3BFAF. （1）求抛物线 C 的方程； （2）分别过点 A，B 作抛物线 C 的切线 1 l、 2 l，若 1 l， 2 l分别交 x 轴于点 M，N，求四边形ABNM面积的 最小值. 21.（12 分） 已知函数 ln 1x f x x . （1）分析函数 f x的单调性； （2）证明： 2 11 1ln3ln 212 nn n ，2n. （二）选考题：共 10 分
13、.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为 cos 1sin xt yt （其中 t 为参数， 3 4 ）.在以原点 O为 极 点 ， x轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 所 建 立 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 cos22cos2 sin2.设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点. （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知点0,1P，求 11 PAPB 的最大值. 23.选修 4-5：不等式选讲（1
14、0 分） 已知函数 f xxmx，xR. （1）若不等式 2 f xm对xR 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）若（1）中实数 m 的最大值为 t，且a b ct （a，b，c 均为正实数）. 证明： 111 9 abc . 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B D C A D A A C D B 二、填空题： 13. 9 , 4 14. 7 2 15.40 16.4， 4 3 （第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题： 17.（12 分） （1）由条件， 4 3 sin 3 cC， 4 3 sin 3 aA. 代入s
15、in4sin3 coscABaC，化简得： sinsin3 sinsincosCABAC， 2 分 sinsin3sin3sincosCAACAC sinsin3sincos3cossin3sincosCAACACAC 即sinsin3cossinCAAC， 4 分 0,Csin0C sin3cosAA，即tan3A，又0,A， 3 A . 6 分 （2）由2 sin a R A 知2a ，由余弦定理得 22 2cos4 3 bcbc ，即 2 34bcbc 8 分 2 2 343 2 bc bcbc 2 16bc， 10 分 4bc ，等号成立当且仅当2bc. max6abc 即ABC周长的
16、最大值为 6. 12 分 18.（12 分） （1）由题意， 223140 31 3 x ， 0.50.30.0822 375 y ， 2 分 所以 2222 22 22 0.531 0.340 0.083 31 3.78 75 0.023 2231403 31162 b ， 223.78 311.0 75162 a ，所求线性回归方程为0.0231.0yx . 5 分 （2）由（1）知，该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为0.023 20 1.00.54， 而2000 0.541080， 所以估计该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数为 1080 人. 7
17、分 （3）依题意，随机抽取 8 人，年龄在 18 到 26 岁之间有 5 人，年龄在 27-35 之间有 3 人，所以抽取的两人 年龄都在 18 到 26 岁的概率为 2 5 2 8 105 2814 C C . 12 分 19.（12 分） 取 1 AA的中点 N，连接MN，BN， M 为 1 AD的中点，/ /MNAD且 1 2 MNAD 又/ /BCAD， 1 2 BCAD ，所以/MNBC且MNBC， 所以四边形MNBC是平行四边形， 2 分 从而/ /CMBN，又BN 平面 11 AAB B，CM 平面 11 AAB B， 所以/ /CM平面 11 AAB B. 4 分 （2）取 1
18、1 AB的中点 P，连接AP， 1 AB 四边形 11 AAB B为菱形，又 1 3 B BA ，易知APAB. 又面 11 AAB B 面ABCD，面 11 AAB B面ABCDAB，ADAB AD 平面 11 AAB B，ADAP 故AB，AD，AP两两垂直 6 分 以 A 为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系Axyz（如图所示） ，不 妨设4AB . 则0,0,0A，0,4,0D，4,2,0C， ， 1 2,0,2 3A ， 1,2, 3M ， 1 1,2,3AM ， 5,0, 3CM ，4,2,0AC 8 分 设平面 1 ACM的法向量为, ,mx
19、y z， 由 1 0 0 m AM m CM ，得 230 530 xyz xz ， 可得平面 1 ACM的一个法向量 5 3 1,2, 3 m ， 9 分 设平面ACM的法向量为 111 ,nx y z， 由 0 0 n AC n CM ，得 11 11 420 530 xy xz ， 可得平面ACM的一个法向量 5 3 1, 2, 3 n . 10 分 25 1 4 2 3 cos, 52525 1414 33 m n m n mn 11 分 所以二面角 1 ACMA的余弦值为 2 5 . 12 分 20.（12 分） （1）抛物线 2 20xpy p的焦点为0, 2 p F ， 设 11
20、 ,A x y， 22 ,B x y，则AB方程2ykx与抛物线方程联立， 整理得 2 240xpkxp， 12 2xxpk， 12 4x xp ， 2 分 2 22 12121 2 4416xxxxx xp kp 若1k ， 2 1212 4164 3BFAFyyk xxpp， 4 分 2p ，即抛物线 C 的方程为 2 4xy. 6 分 （2） （方法一） 由（1）知 2 4 x y 且 12 4xxk， 12 8x x ， 2 12 42xxk， 1 2 yx ， 所以切线 1 l的方程为 111 1 2 yyxxx即 2 11 11 24 yx xx， 同理切线 2 l的方程为 2 2
21、2 11 24 yx xx， 联立得 12 2 xx x ， 12 1 2 4 yx x 即切线 1 l与 2 l的交点为 12 , 2 2 xx P ， 由切线 2 111 11 : 24 lyx xx，得 1 ,0 2 x M ，同理可得 2 ,0 2 x N ， 8 分 2 12 12 11 222 2222 PMN xx Sxxk 又 222 12 14 12ABkxxkk， 点 P 到直线AB的距离为 12 2 22 4 24 2 11 k xx k d kk 22 1 422 2 PAB SAB dkk ， 10 分 四边形ABNM的面积 22222 4222222 23 PABP
22、MN SSSkkkkk 令 2 22tk，则 3 42Stt， 2t 时， 2 1220St 成立，S 单调递增， 当2t ，即0k 时，四边形ABNM的面积的最小值为6 2 12 分 （方法二） 由（1）知 2 4 x y 且 12 4xxk， 12 8x x ， 2 12 42xxk， 1 2 yx ， 所以切线 1 l的方程为 111 1 2 yyxxx即 2 11 11 24 yx xx， 同理切线 2 l的方程为 2 22 11 24 yx xx， 由切线 2 111 11 : 24 lyx xx，得 1 ,0 2 x M ，同理可得 2 ,0 2 x N ， 8 分 记直线:2AB
23、 ykx与 y 轴交点0,2T， 121212 11 22 OABOTAOTB SSSOTxxOT xxxx ， 3 1 111 111 22 216 OAM x SOMyyx ，同理 3 2 1 16 OBN Sx ， 四边形ABNM的面积 OABOAMOBN SSSS 3322 121212121122 11 1616 xxxxxxxxxx xx 3 1212 11 162 xxxx 10 分 记 12 4 2txx，则 3 11 162 Stt 2 31 0 162 St ，S 单调递增， 当4 2t 即0k 时，四边形ABNM面积的最小值为6 2. 12 分 21.（12 分） （1）
24、由题意得： f x的定义域为 1,00,，且 2 ln 1 1 x x x fx x ， 令 ln 1 1 x g xx x 则 2 1 x gx x ，1,0x时， 0g x； 0,x时， 0g x .即 g x在1,0上单调递增，在0,上单调递减. 因为 00g，则在1,0和0,上 0g x . 因为 2 0x ，所以在1,0和0,上 0fx， 即函数 f x在区间1,0和0,上单调递减. 4 分 （2）由（1）可知，当02x时， ln3 2 2 xff，即 ln3 ln1 2 x， 6 分 当2n时， 2 02 1n ，则 2ln3 ln 1 11nn ， 即 2ln3 ln 1ln1l
25、n1 11 nn nn ，所以 ln1ln1lnln2ln4 ln2ln3 ln1nnnn 111 ln31 122nn 整理得： 111 ln1lnln2ln1ln31 122 nn nn ， 即 2 11 1ln3ln 212 nn n ，2n，不等式得证. 12 分 22.（10 分） （1）根据题意得，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos22cos2 sin， 22 cossin2cos，即 2 2 cos， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 22 2xyx，即 2 2 11xy， 3 分 直线 l 的普通方程为tan10xy . 5 分 （2）联立直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角
26、坐标方程， 将 cos 1sin xt yt ，代入 2 2 11xy， 化简，得2 sin? cos10tt . 7 分 设点 A，B 所对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 1 2 1t t ， 12 2 cossin2 2cos 4 tt ， 3 , 4 ， 由（1）可知，曲线 C 是圆心1,0，半径为 1 的圆，点 P 在圆外， 由直线参数方程参数的几何意义知， 12 12 121 2 1111 2 2 tt tt PAPBttt t ，当且仅当 3 4 时取到. 即 11 PAPB 的最大值为2 2. 10 分 23.（10 分） （1）由题意， f xxmxxmxm. 3 分 只需 2 mm，解得11m . （2）由（1）可知，1a b c ， 所以 111abcabcabc abcabc 7 分 111 bcacab aabbcc 332229 bacacb abacbc . 当且仅当 1 3 abc时等号成立. 10 分
