1、 安庆市 2020 年高三第二次模拟考试 数学（理科） 第卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合10Ax x ， 2 560xxBx，则AB （ ） A.1,1 B.1,2 C.1,3 D.1,6 【考查目标】考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元二次不等式解集 的计算方法. 1.A.解析：1Ax x ，61Bxx ，所以11ABxx .故选 A. 2.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 3 1 i2z，则下列判断正确的是（ ） A.z 的虚部为 i B.2z C.2z
2、 z D. 2 2z 【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质. 2.C.解析： 3 22 1 i 1 i1 i z ， 其虚部为 1， A 错； 22 112z ， B 错；1 i 1 i2z z， C 正确； 2 2 1 i22zi，D 错误.故选 C. 3.设 p： 2 0log1x，q：21 x ，则 p 是 q 成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查考生的计算能力。 3.A.解析：p：12x，q：0x，而120xxx x，所以 p 是 q 成立的充分不必要条件.故
3、 选 A. 4.函数 2 sin 1 x f x x x 的大致图象是（ ） A.B. C.D. 【考查目标】考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图像的分析及计算能力。 4.A.解析： 函数 f x的定义域为xR x ， 且为偶函数， 排除选择 C， D； 当1,x时， 0f x ， 排除 B，故选 A. 5.等比数列 n a的前 n 项和为 n S.若 2 365 2a aa， 4 15 2 S ，则 24 aa（ ） A. 3 2 B. 5 2 C.32 D.40 【考查目标】考查等比数列的概念、通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查学生的逻辑思维能力和运 算求解能力。 5.B 解析
4、： 设公比为 q， 则 2 4 55 2aaa， 所以 5 4 1 2 a q a ， 4 1 1 15 12 aq q ， 解得 1 4a ， 2 2a ， 4 1 2 a ， 24 5 2 aa，故选 B. 6.改革开放 40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结 构明显优化.下图给出了 19832017 年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数 是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图.对所列年份进行分析，则下列结论错误 的是（ ） A.农村居民人均生活消费支出呈增长趋势 B.农村居民人均食品支出总额呈增长趋势 C.
5、2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快 D.2015 年到 2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率大于人均食品支出总额增长比率 【考查目标】考查统计图的应用，考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数据的能力. 6.D.解析：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故 A 正确；根据“农村居民人均食 品支出总额农村居民人均生活消费支出恩格尔系数” ， 212 283 492 736 895 942 2016 3408 7486 9050 67 61 61 56 52 50 52 49 42 43 142.04 172.63 300.12 412.16
6、465.4 471 1048.32 1669.92 3144.12 3891.5 计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故 B 正确； 71 209 244 159 47 1074 1392 4078 1564 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长 4078 元，为最快；故 C 正确；2015 年到 2017 年农村居 民人均生活消费支出增长比率为 90507486 20.892% 7486 ，人均食品支出 7486 总额增长比率为 9050 0.437486 0.42 23.771% 7486 0.42 ，故 D 错误选 D. 7.已知矩形ABCD，24ABAD，E
7、，F 分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使 120AEB，则过 A，B，C，D，E，F 六点的球的表面积为（ ） A. 5 2 B.5 C.10 D.20 【考查目标】考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以及分析问题和解 决问题的能力。 7.D 解析：方法一：折起的如图所示，其中 1 O， 2 O分别为正方形AEFD和BCFE的中心，O 为过 A，B， C，D，E，F 六点的球的球心，G 为EF中点，则 1 OO， 2 OO分别垂直于这两个平面，且 12 60OGOOGO ，所以 111 tan3OOOGOGO，而 1 1 2 2 O AAF，所以
8、 22 11 5OAOOO A，所以球的表面积为 2 420OA. 方法二：易知折叠后图形为三棱柱，将其补形为四棱柱，底面为菱形，且120AEB， 2HDHFHCGAGEGB，因此球心为GH的中点， 22 5DODHHO，所以球的 表面积为 2 420OA.故应选 D. 8.已知函数 2 2sinxf x（0）的最小正周期为，若将其图象沿 x 轴向右平移 m（0m）个单 位，所得图象关于 3 x 对称，则实数 m 的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 3 4 D. 【考查目标】本题考查考生对正弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单调性）的掌握情况.考查 考生对三角函数三种表征（零点
9、、对称轴、单调性）的理解与转换.考查考生对三角函数的数形结合思想、 基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力。 8.B.解析： cos21xf x，由其最小正周期为，有1，所以 cos21f xx，将其图象 沿 x 轴向右平移 m（0m）个单位，所得图象对应函数为cos 221yxm，其图象关于 3 x 对 称，则有 2 cos21 3 m ， 2 2 3 mk ，kZ， 32 k m ，kZ，由0m，实数 m 的最 小值为 3 .选 B. 9.今年（2020 年）是闰年.如图所示是判断 20003000（包括 2000，但不包括 3000）年中哪些年份是闰年的 程序框图，那么由框图可知，在
10、20003000 年中年份是闰年的个数是（ ） A.241 B.242 C.243 D.244 【考查目标】本题考查考生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法的含义和算法思想。 9.C.解析：根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被 4 整除但不能被 100 整除，或者能被 400 整除. 由2000143000n ， 得251n， 所以在 20003000 年中， 年份能被 4 整除个数是 250.同理可得， 在 20003000 年中，年份能被 100、400 整除个数分别是 10 和 3，所以闰年的个数为250 10 3243 ， 故应选 C. 10.已知抛物线 C： 2 2ypx
11、（0p ） 的焦点为 F， 准线与 x 轴交于点 K， 过点 K 作圆 2 2 2 24 pp xy 的切线，切点分别为点 A，B.若3AB ，则 p 的值为（ ） A.1 B.3 C.2 D.3 【考查目标】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和考生对 数量关系的分析能力。 10.C 解析：连接FA，因为 F 就是圆 2 2 2 24 pp xy 的圆心，所以FAKA，且 2 p FA . 又KFp，所以30AKF，那么60AKB， 所以AKB是等边三角形，所以 3 2 ABAKp. 又3AB ，所以2p .故应选 C. 11.棱长为 1 的正方体 111
12、1 ABCDABC D中， P， Q 分别为 11 C D，BC的中点， 现有下列结论： 1 PQBD； PQ平面 11 BB D D；PQ 平面 1 ABC；四面体 1 DPQB的体积等于 1 24 .其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【考查目标】本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以及空间几何体的 体积的计算，考查考生的空间想象能力和转化能力. 11.C.解析：取AD中点 M，连接 1 MD与MQ，则 11 MQDC，B 平面 11 MQC D，则PQ与 1 BD异面， 矛盾，故错误； 11 CQBC，矛盾，故错误； （另解：由结论 1 BD 平面 1
13、 ABC和知PQ， 1 BD不平行也可判断错误）. 111 11111 1 322224 DPQBCPQBP C QB VVV 三棱锥三棱锥三棱锥 ，故正确 （也可以这样判断： 过点B作 1 C Q的垂线， 垂足为H， 11 BHC D， 因此，BH 平面 1 D PQ， 5 5 BH ， 1 5 2 C Q ， 11 1111551 33222524 D PDQPQB SBHV 三棱锥 .或者 11111 1 11111 334224 DPQBDC QBP CBC QBQ SPVVVD 三棱锥三棱锥三棱锥 ）故选 C. 12.函数 lnf xxax恰有两个零点 1 x， 2 x，且 12 x
14、x.则 1 x所在区间为（ ） A. 3 1 0, e B. 32 11 , ee C. 2 1 1 , ee D. 1 ,1 e 【考查目标】本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用数 学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想. 12.D.解析： 方法一： 当0a时不符合题意； 当0a时， 考查函数 lng xx与 h xax图象易知， g x 与 h x图象在区间0,1上必有一个交点，则在区间1,上有且仅有一个公共点，当1,x时， lnaf xxx， 1 fx ax x ，则 f x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减，所以 m
15、ax 11 ln1f xf aa ，则只需 1 ln10 a ，故 1 e a ，当0,1x时， 1 ln e fxxx ，易 知 2 11 10 ee f ， 01 1 f e ，可知 1 1 ,1 e x . 方法二：令 ln0f xxax， ln ,1, ln ln ,01, x x x x a xx x x 作出图形如下， 可知函数 ln x y x 在1,e上单调递增，在e,上单调递减， ln x y x 在0,1上单调递减， 由题意可知， lne1 ee a ，而 32 32 32 111 lnlnln 1 eee 3e2ee 111 e eee 故应选 D. 第卷 二、填空题：本
16、题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 1, 3a ，1ab，a与ab的夹角为60，则a b_. 【考查目标】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查考生的逻辑思维能力和运 算求解能力。 13.解析：由于2a ， cos601aaba ab，所以 2 1aa b ，所以3a b. 14.等差数列 n a中， 216111 23aaaa， n S是其前 n 项和，则使 n S取最大值的 n 的值为_. 【考查目标】考查等差数列的概念，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力。 14.解析：方法 1：设公差为 d，由 216111 23aaaa得 1 3123
17、0dad ，故 161 150aad， 16171 2310aaad，即 1716 0aa ，所以16n时， n S取得最大值. 方法 2：设公差为 d，由 216111 23aaaa得 1 31230dad ，故0d ，且 1 31 15 2 a d ，又因为 2 1 22 n dd Snan ，其对应为二次函数 2 1 22 dd yxax 的图像开口向下，对称轴为 1 131,16 22 a x d ，故16n时， n S取得最大值. 15.鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质.如图，若点 C 为线段 AB的三等分点且2ACCB，分别以线段AB，AC，
18、BC为直径且在AB同侧作半圆，则这三个半圆周 所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以AB为直径的半圆内任取一点，则该点落 在鞋匠刀形内的概率为_. 【考查目标】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问 题和解决问题的能力。 15. 4 9 .解析：设 1 2ACr， 2 2BCr，则 12 22ABrr， 12 2rr，于是阴影部分的面积为： 2 22 12 12 1 2 222 rrr rr ，于是所求概率为 2 1 21 22 222 12122 244 9 3 2 rrrrr P rrrrr . 16.已知双曲线 C： 22 2
19、2 1 xy ab （0a，0b）的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，双曲线 C 的一条渐近线方 程记为tanyx（0 2 ） ， 直线 l：tan 2 yx 与双曲线 C 在第一象限交于点 P， 若 2 O PP F， 则双曲线 C 的离心率为_. 【考查目标】本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合的思维方法和考生对数 量关系的分析能力。 16.51.解析：延长 2 F P交直线tanyx（0 2 ）于点 M，则由角平分线的性质可得 P 为 2 MF 的中点， 2 OMOFc，易得,M a b，, 22 ac b P 代入双曲线 C： 22 22 1 xy ab 有
20、C： 22 22 22 1 acb ab ，解得51 c e a . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分. 17.（本小题满分 12 分） 在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 sin sinsin bcA acBC . （）求角 B 的大小； （）若ABC的周长等于15 3 4 ，面积等于求 a，b，c 的值. 【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运算求解能力. 解析： （）由
21、sin sinsin bcA acBC ，根据正弦定理得 222222 bca bcaacacbac acbc ， 根据余弦定理得 222 1 cos 22 acb B ac ，由0B，所以 2 3 B .5 分 （）由 1315 3 sin 244 ABC SacBac ，得15ac ，又15abc ， 由（）知 22 222 151515bacacacb，所以7b， 化简得8ac .得3a ，5c ，或者5a，3c . 所以3a ，7b，5c ，或者3a ，7b，3c .12 分 18.（本小题满分 12 分） 如图，在四面体ABCD中，E 是线段AD的中点，90ABDBCD ，ABBD，
22、BCDCEC. （）证明：BDEC； （）求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值. 【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与 平面、平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查考 生的运算求解能力。 解析： （）取线段BD的中点 F，连接EF、CF. 因为 E 是线段AD的中点，所以EFAB.又ABBD，所以EFBD. 因为BCDC，F 是BD的中点，所以CFBD. 因为EF 平面ECF，CF 平面ECF，EFCFF，所以BD 平面ECF，CE平面ECF，所 以BDEC.5 分 （）令BCDCEC
23、a，则2ABBDa，那么 12 22 EFABa， 12 22 CFBDa，所以 2222 EFCFaEC，所以EFCF. 又EFBD，CFBD，故可以点 F 为原点，射线FC、FD、FE分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建 立空间直角坐标系，如图所示. 则 2 0,0 2 Ba ， 2 ,0,0 2 Ca ， 2 0,0 2 Da ， 2 0,0, 2 Ea ， 所以 22 ,0 22 BCaa ， 22 ,0 22 DCaa ， 22 ,0, 22 ECaa . 设平面BEC、平面DEC的法向量分别为 111 ,mx y z， 222 ,nx y z， 由 0 0 m BC m EC
24、，得 11 11 22 0 22 22 0 22 axay axaz ，取 1 1 1 1 1 1 x y z ，则1, 1,1m. 由 0 0 n DC n EC ，得 22 22 22 0 22 22 0 22 axay axaz ，取 1 1 1 1 1 1 x y z ，则1,1,1n . 所以 222 1 1 1 1 1 11 cos, 1113 m n m n m n . 故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为 1 3 .12 分 解法二：令BCDCECa，由已知及（）可得：BEEDa， 所以BCE，CDE均为棱长为 a 的正三角形. 取CE中点 G，则BGCE，DGCE，
25、故BGD为二面角B CED的平面角， 在BEG中， 3 2 BGDGa，2BDa， 由余弦定理可得： 222 1 cos 23 BGDGBD BGD BGDG ， 故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为 1 3 . 19.（本小题满分 12 分） 某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力 措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购 买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图. （）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取 5 户. 若将频率视为概率，求至少有两户购买量在3,4（
26、单位：kg）的概率是多少？ 若抽取的 5 户中购买量在3,6（单位：kg）的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生活情况调查，记 3 户中需求量在3,6（单位：kg）的户数为，求的分布列和期望； （）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则称该 居民户称为“迫切需求户” ，若从小区随机抽取 10 户，且抽到 k 户为“迫切需求户” 的可能性最大，试求 k 的值. 【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的 思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查考生应用所学的统
27、计与概 率知识分析问题、解决问题的能力。 解析： （）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在3,4”发 生的概率为 1 4 p .1 分 记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取 5 户，则至少有两户购买量在3,4”为 A， 则 45 1 5 11147 111 444128 CP A .3 分 随机变量所有可能的取值为 0，1，2.则 3 3 3 5 1 0 10 C P C ， 21 32 3 5 3 1 5 C C P C ， 12 32 3 5 3 2 10 C C P C ， 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 336
28、12 5105 E 7 分 （）每天对甲类生活物资的需求平均值为 1.5 0.10 2.5 0.30 3.5 0.25 4.5 0.20 5.5 0.153.5（kg）8 分 则购买甲类生活物资为 “迫切需求户” 的购买量为4,6， 从小区随机抽取中随机抽取一户为 “迫切需求户” 的概率为0.35p ，若从小区随机抽取 10 户，且抽到 X 户为“迫切需求户” ，10,0.35XB，若 k 户 的可能性最大，则 10 10 1 k kk C pP Xkp ，0,1,10k 1 1 P XkP Xk P XkP Xk ，得 10111 1 1010 1019 1 1010 0.350.650.3
29、50.65 0.350.650.350.65 kkkk kk kkkk kk CC CC ， 解得2.853.85k，由于kN ，故3k .12 分 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E： 22 22 1 xy ab （0ab）的离心率为，F 是 E 的右焦点，过点 F 的直线交 E 于点 11 ,A x y和 点 22 ,B x y（ 12 0y y ）.当直线AB与 x 轴垂直时，3AB . （）求椭圆 E 的方程； （）设直线 l：2xa交 x 轴于点 G，过点 B 作 x 轴的平行线交直线 l 于点 C.求证：直线AC过线段FG 的中点. 【考查目标】本题主要考查椭圆的方程、离
30、心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和 考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力。 解析： （）由 1 2 c e a ，得 1 2 ca，所以 22 3 2 baca， 因为直线AB经过点 F，且 12 0y y ，所以根据对称性，不妨设 12 0yy. 当直线AB与 x 轴垂直时， 12 1 2 xxca， 2 12 2 1 3332 1 224 a ybaaay a ，所以 1 3 2 2 ABya. 由 3 3 2 ABa，得2a，所以 3 3 2 ba，1c. 所以椭圆 E 的方程为 22 1 43 xy .4 分 （）证法一：当直线AB
31、与 x 轴垂直时， 3 1, 2 A ， 3 1, 2 B ， 3 4, 2 C ， 这时直线AC的方程为 33 3 22 1 24 1 yx ，即 5 2 yx . 令0y ，得 5 2 x ，点 5 ,0 2 恰为线段FG的中点. 因为1,0F，当直线AB不与 x 轴垂直时，可设其方程为1yk x，代入 22 1 43 xy ， 整理得 2222 348430kxk xk. 所以 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 43 34 k x x k . 因为 11 ,A x y， 22 ,B x y， 2 4,Cy，所以直线AC的方程为 21 11 1 4 yy yxxy x
32、 . 因为 11 1yk x， 22 1yk x， 所以 21 21 1111 11 55 1 4242 k xxyy xyxk x xx 21 11 1 5 1 42 xx kxx x 21111 1 5 41 2 4 xxxxx k x 1212 1 5 4 2 4 xxx x k x 2 2 22 1 43 58 4 2 3434 4 k k kk k x 222 2 1 20434 34 0 434 kkk k xk ，这说明直线AC过点 5 ,0 2 . 综上可知直线AC过线段FG的中点.12 分 证法二：连接AC交 x 轴于点 M，过点 A 作 l 的垂线于点 D，则ACFGAD
33、所以 MFAM BCAC ， MGCM ADAC ， BFCGBCCM AFGDADMA AM BC MF AC ， CM AD MG AC BFCGBC AFGDAD AM BC MF AC ， CM AD AC 1 1 AM BC MFAM BCAMBCBC AC CM ADCM MGCM ADCMADAD ACAM 故直线AC过线段FG的中点. 21.（本小题满分 12 分） 、 已知 2 1 ln11 2 axaxfx （aR）. （）讨论 f x的单调性； （）当1a时，对任意的 1 x， 2 0,x ，且 12 xx，都有 1221 12 12 x f xx f x mx x xx
34、 ，求实数 m 的取值范围. 【考查目标】 本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想， 考查考生灵活运用导数工具分析问题、 解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力。 解析： （） 2 1 1 axaa ax x x x f （0x）. （1）当1a 时， 0fx， f x在0,上单调递增； （2）当01a时， 1 11 aa ax f a x x x a ， 所以当 1 a x a 时， 0fx，当0 1 a x a 时， 0fx， 所以 f x在0, 1 a a 上单调递增，在, 1 a a 上单调递减； （3）当0a时， 0fx， f
35、x在0,上单调递减.5 分 （）当1a时， 2 ln1xxf x ，不妨设 12 0xx，则 1221 12 12 x f xx f x mx x xx 等价于 21 21 21 f xf x m xx xx ， 考察函数 f x g x x ，得 2 2 ln2 x xx x g ， 令 2 2 ln2x h x x x ， 3 52ln x x x h ， 则 5 2 0,xe 时， 0h x， 5 2 e ,x 时， 0h x， 所以 h x在区间 5 2 0,e 上是单调递增函数，在区间 5 2, e 上是单调递减函数. 故 5 2 5 1 e10 2e ggx ，所以 g x在0,上
36、单调递减. 从而 12 g xg x，即 21 21 f xf x xx ，故 12 21 12 f xf x m xx xx ， 所以 12 12 12 f xf x mxmx xx ，即 1122 g xmxg xmx恒成立， 设 xg xmx，则 x在0,上恒为单调递减函数， 从而 0xg xm恒成立，故 5 1 10 2e xmgxm， 故 5 1 1 2e m .12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极
37、轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位. 已知曲线 C 的极坐标方程为4sin0，直线 l 的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt ， （t 为参数）. （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，0,1M，且MAMB，求 11 MAMB 值. 【考查目标】本题考查考生对圆的参数方程、直线的参数方程的掌握与应用和对曲线的参数方程与普通方 程之间的转换公式的应用，考查直线与圆的位置关系，考查考生的运算求解能力。 解析： （）由直线 l 的参数方程消去参数 t，得直线 l 的普通方程为31yx，2 分 将cosx，siny代
38、入4sin0得， 曲线 C 的直角坐标方程为 22 40xyy.5 分 （）设 A，B 对应的参数为 1 t， 2 t，将 1 2 3 1 2 xt yt 代入 22 40xyy， 2 330tt，所以 1 2 3t t ， 12 3tt.7 分 故直线 l 过0,1M，且MAMB，所以 1 0t ， 2 0t . 于是 11 MAtt， 22 BtMt. 故 12 121 2 113 3 11tt ttt tMAMB .10 分 23.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知0a，0b，且 22 1ab. （）若对于任意的正数 a，b，不等式 22 2 1 1 1 a x b
39、恒成立，求实数 x 的取值范围； （）证明： 55 11 1ab ab . 【考查目标】本题考查考生对绝对值不等式的理解和转化以及对绝对值函数的运算求解能力，考查绝对值 不等式的性质，考查利用平均不等式证明相关不等式的方法. 解析： （）因为 22 1ab，所以 22 22 222222 1111 24 ba ab ababab 即 22 11 4 ab ，当且仅当 2 2 ab时取等号，因此 22 11 ab 的最小值是 4.3 分 于是 35 4221414 22 xxx . 故实数 x 的取值范围是 3 5 , 2 2 .5 分 （） 5555 2 55442222 11 2 baba abababa b ababab 55 22 222222 221 ba aba bab ab ， 故 55 11 1ab ab .10 分 或直接运用二维柯西不等式： 2 2 555522 1111 1ababab abab ， 当且仅当 2 2 ab时取等号. 故 55 11 1ab ab .10 分
