1、 蚌埠市 2020 届高三年级第三次教学质量检查考试 数学数学（文史类文史类） 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 2 54xxAx ，集合0Bx x，则 R AC B （ ） A.0,4 B.1,4 C
2、.1,4 D.1,0 2.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足11izi，则z （ ） A. 11 22 i B. 11 22 i C.1 i D.1 i 3.已知双曲线 22 1 4 xy m 的离心率为 2，则实数m的值为（ ） A.4 B.8 C.12 D.16 4.已知直线 l，m 和平面，m，则“lm”是“l”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的 增长率.2020 年 2 月 29 日人民网发布了我国 2019 年国民经济和社会发展统计
3、公报图表，根据 2019 年居民 消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是（ ） A.2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比有涨有跌 B.2019 年我国居民每月消费价格中 2 月消费价格最高 C.2019 年我国居民每月消费价格逐月递增 D.2019 年我国居民每月消费价格 3 月份较 2 月份有所下降 6.已知数列 n a的前n项和为 n S.若数列 n S是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 2020 a（ ） A.2019 B.2020 C. 2018 2 D. 2019 2 7.已知向量1,0a ，2,2bmm ，若0a b ，则2ab（ ） A.2,
4、4 B.2,4 C.2,4 D.2,0 8.已知 3 sin 43 ，则sin2（ ） A. 2 2 3 B. 6 3 C. 2 3 D. 1 3 9.已知函数 f x是一次函数，且 23ff xx 恒成立，则 3f（ ） A.1 B.3 C.5 D.7 10.已知函数 sin0,0f xx的部分图象如图所示.有下列四个结论： 3 f x在 7 , 1212 上单调递增； f x的最小正周期T； f x的图象的一条对称轴为 3 x . 其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 11.足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠是训练士兵的手段，制定了较为完 备的体制.如
5、专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域” ，也称“鞠室” ，各 由一人把守.比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负.1970 年以前的世界杯用球多数由举 办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准.自 1970 年起，世界杯官方用 球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今.如图，三十二面体足球的面由边长相等的 12 块正五边形和 20 块正六边形拼接而成， 形成一个近似的球体.现用边长为4.5cm的上述正五边形和正六边形所围成的三十 二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由 4 个正六边形与 4 个正五边形以及 2
6、条正六 边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段 AA ，如图，则该足球的表面积约为（ ） 参考数据：tan723.08，31.7，3.14， 2 67.864604.98. A. 2 366.64cm B. 2 488.85cm C. 2 1466.55cm D. 2 5282.40cm 12.已知函数 2 1 2,1 2 1 log,1 2 x x f x xx ，若函数 0g xxm m 与 yf x的图象相交于 A，B 两点，且 A，B 两点的横坐标分别记为 1 x， 2 x，则 12 xx的取值范围是（ ） A. 3 1, 2 B. 2 5 log 3, 2 C. 5 1, 2
7、D. 2 log 3,3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.曲线 sin x f xex在点0,0处的切线方程为_. 14.已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S.若 3 36a ， 2 6 n a ，126 n S ， ，则n_. 15.某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机抽取国内、国外各 100 名客户代表，了解他 们对该企业产品的发展前景所持的态度，得到如图所示的等高条形图，则_ （填“能”或“不能” ） 有99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关. 附 2 2 n adbc K abcdacbd . 2 P Kk 0.0
8、50 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 16.已知点 2 ,1 2 P ， M， N 是椭圆 2 2 1 2 y x 上的两个动点， 记直线PM，PN，MN的斜率分别为 1 k， 2 k，k，若 12 0kk，则k _. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 如图所示，ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且s 3 cinos 3 b CC a .
9、 （1）求 A； （2）若点 P 是线段CA延长线上一点，且3PA，2AC ， 6 C ，求PB. 18.（12 分） 随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到 了人们的青睐， 更被网友们评为 “新四大发明” 之一.随着人们消费观念的进步， 许多人喜欢用信用卡购物， 考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世蚂蚁花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支 付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求.为了调查使 用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注
10、 册用户中各随机抽取 100 人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如下图所示. （1）由大数据可知，在 18 到 44 岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比 y 与年龄 x 成线性相关关系，利用 统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百 分比 y 与年龄 x 的线性回归方程（回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字） ； （2）该网站年龄为 20 岁的注册用户共有 2000 人，试估算该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的 人数； （3）已知该网店中年龄段在 18-26 岁和 27-35 岁的注册用户人数相同，现从 18 到
11、 35 岁之间使用花呗“赊 购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取 8 人，再从这 8 人中简单随机抽取 2 人调查他们每个月使用花呗 消费的额度，求抽取的两人年龄都在 18 到 26 岁的概率. 参考答案： 1 2 1 2 n ii i n i i x x y b n n x x y ，aybx. 19.（12 分） 如图所示七面体中， 111 / / /AABBDD， 1 AA 平面ABED，平面 1111/ / ABC D平面ABED，四边形 1111 ABC D是边长为 2 的菱形， 111 60D AB ， 111 24AAABBE，M，N 分别为 1 AD， 1 BB的中点. （1）
12、求证：/MN平面 1 C DE； （2）求三棱锥 1 MC DE的体积. 20.（12 分） 已知函数 2 ( )ln3f xaxxxk. （1）当0a时，求函数 f x的极值点； （2）当1a 时，对任意的 1 ,xe e ， 0f x 恒成立，求实数 k 的取值范围. 21.（12 分） 如图，设抛物线 2 1: 4Cxy与抛物线 2 2 20:Cypx p在第一象限的交点为 2 , 4 t M t ，点 A，B 分别 在抛物线 2 C， 1 C上，AM，BM分别与 1 C， 2 C相切. （1）当点 M 的纵坐标为 4 时，求抛物线 2 C的方程； （2）若1,2t，求MBA面积的取值范
13、围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为 cos 1sin xt yt （其中 t 为参数， 3 4 ）.在以原点 O为 极 点 ， x轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 所 建 立 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 cos22cos2 sin2.设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点. （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知点0,1P，求 11 PAPB 的最大值. 2
14、3.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 f xxmx，xR. （1）若不等式 2 f xm对xR 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）若（1）中实数 m 的最大值为 t，且a b ct （a，b，c 均为正实数）. 证明： 111 9 abc . 参考参考答案答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C B D C A D D A C B 二、填空题： 13.0xy 14.6 15.能 16.2 三、解答题： 17.（12 分）解： （1）由条件，cossin 3 3 C b C a ， 则由正弦定理， sin sin 3 c
15、o i3s n s B C A C ， 2 分 所以 3 sincossinsinsinsinsincossincos 3 ACACBACACCA， 即 3 sinsinsincos 3 ACCA， 4 分 又sin0C ，所以tan3A ， 2 3 A . 6 分 （2）由（1）可知， 2 3 BAC ，而 6 C ，则 6 ABC ， 所以2ABAC， 9 分 在PAB中， 3 PAB ，由余弦定理， 222 2cos9467PBPAABPA ABPAB. 所以7PB . 12 分 18.（12 分） （1）由题意， 223140 31 3 x ， 0.50.30.0822 375 y ，
16、 2 分 所以 2222 22 22 0.531 0.340 0.083 31 3.78 75 0.023 2231403 31162 b ， 223.78 311.0 75162 a ，所求线性回归方程为0.0231.0yx . 5 分 （2）由（1）知，该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为0.023 20 1.00.54， 而2000 0.54 1080， 所以估计该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数为 1080 人. 6 分 （3）按分层抽样，8 人中年龄为 18 到 26 岁的有 5 人，记为 A，B，C，D，E，年龄为 27 到 35 岁的有 3
17、人， 记为甲，乙，丙，从 8 人中抽取 2 人，可能有,A B，,A C，,A D，,A E， （A，甲） ， （A，乙） ， （A，丙） ，,B C，,B D，,B E， （B，甲） ， （B，乙） ， （B，丙） ，,C D，,C E， （C，甲） ， （C， 乙） ， （C，丙） ，,D E， （D，甲） ， （D，乙） ， （D，丙） ， （E，甲） ， （E，乙） ， （E，丙） ， （甲，乙） ， （甲， 丙） ， （乙，丙） ，共 28 种情形. 10 分 其中 2 人均为 18 到 26 岁的有 10 种， 所以抽取的两人年龄都在 18 到 26 岁的概率为 105 2814
18、. 12 分 19.（12 分） 解： （1）取AD的中点 F，连接MF，BF. 因为平面 1111/ / ABC D平面ABED， 平面 1111 ABC D平面 1111 BEC BBC， 平面ABED平面 11 BEC BBE， 所以 11/ / BCBE，同理可得， 11 / /ABA B， 11 / /ADAD，而 111 / / /AABBDD， 所以四边形 11 ADD A和 11 ABB A为平行四边形. 2 分 又四边形 1111 ABC D是菱形， 1111 / /BCAD， 所以/ADBE，而点 F 为AD的中点， 所以 1111 111 222 BEABADADDF，
19、又/BEDF，所以四边形BEDF为平行四边形，从而/BFDE. 点 M，N 分别为 1 AD， 1 BB的中点，所 11 11 22 MFAABBBN， 1 / / /MFAABN，则四边形MNBF是平行四边形，得/MNBF， 4 分 所以/MNDE. 而MN 平面 1 C DE，DE 平面 1 C DE，所以/MN平面 1 C DE. 6 分 （2）由（1）可知，/MN平面 1 C DE，所以点 M 到平面 1 C DE的距离与点 N 到平面 1 C DE的距离相等， 则三棱锥 1 MC DE的体积 111 M C DEN C DED C EN VVV . 8 分 由 111 60DABD
20、AB， 1111 2ABABADAD，得ABD为正三角形， 而 F 为AD中点，所以BFAD，从而DEBE，且3BF . 又 1 AA 平面ABED，得 1 AADE，从而 1 BBDE， 1 BBBEB点， 所以DE 平面 11 BBC E且3DEBF. 10 分 1111 1 111 1241 22 23 222 C EVBNEB NCCBBE SSSS 梯形 所以 111 11 333 33 M C DED C ENC EN VVSDE ， 即三棱锥 1 MC DE的体积为3. 12 分 20.（12 分） 解： （1）由条件，0,x， 2 23 23 axxa fxx xx . 令 2
21、 23g xxxa，记9 8a . 当 9 8 a 时，0， 0g x 恒成立，从而 0fx， f x在0,上单调递增，没有极值点. 3 分 当 9 0 8 a时，令 0g x ，解得 398 4 a x ， 且 398398 0 44 aa . 当 398 0, 4 a x 时 0fx； 当 398398 , 44 aa x 时 ， 0fx； 当 398 , 4 a x 时 0fx. 所以 f x在 398 0, 4 a 和 398 , 4 a 上单调递增， 在 398398 , 44 aa 上单调递减，极大值点为 398 4 a ，极小值点为 398 4 a . 综上所述，当 9 0 8
22、a时，极大值点为 398 4 a ，极小值点为 398 4 a ；当 9 8 a 时，没有极值点. 6 分 （2）当1a 时， 2 1 21231xxxx fx xx ， 1 ,xe e . 对任意的 1 ,xe e ， 0f x 恒成立，则 max0f x 8 分 由（1）可知，当1a 时， f x在 1 1 , 2e 上单调递增，在 1 ,1 2 上单调递减，在1,e上单调递增，最大 值为 1 2 f 和 f e两者中较大者. 而 15 ln2 24 fk ， 2 31f ekee， 10 分 2 19 3ln20 24 ff eee ，所以 max 0f xf e， 解得 2 31kee
23、 . 12 分 21.（12 分） 解： （1）由条件， 2 4 4 t 且0t ，解得4t ，即点4,4M， 2 分 代入抛物线 2 C的方程，得816p ，所以2p ， 则抛物线 2 C的方程为 2 4yx. 4 分 （2）将点 2 , 4 t M t 代入抛物线 2 C的方程，得 3 32 t p . 设点 11 ,A x y直线AM方程为 2 1 4 t ykxt， 联立方程 2 1 2 4 4 t ykxt xy ，消去 y，化简得 22 11 440xk xk tt， 则 22 11 164 40kk tt ，解得 1 2 t k ， 从而直线AM的斜率 222 3 111 22
24、2 111 1 3 444 1624 4 2 ttt yyy tt yyxtyt tt pt ， 解得 2 1 8 t y ，即点 2 , 48 tt A . 6 分 设点 22 ,B x y，直线BM方程为 2 2 4 t ykxt， 联立方程 2 2 2 4 2 t ykxt ypx ，消去 x，化简得 2 2 22 2 20 4 pt yyp t kk ， 则 22 2 22 4 80 4 pt p t kk ，代入 3 32 t p ，解得 2 8 t k ， 从而直线BM的斜率为 222 2 2 2 22 444 48 xtt y xtt xtxt 解得 2 2 t x ，即点 2
25、, 2 16 tt B . 8 分 2 2 22 2 3 64 241616 tttt MBtt ， 点 2 , 48 tt A 到直线 2 : 88 tt BMyx，即 2 80txyt的距离为 2 22 2 22 49 64464 t tt t d tt ， 10 分 故MBA面积为 3 127 2128 MBA t SMB d ，而1,2t， 所以MBA面积的取值范围是 2727 , 128 16 . 12 分 22.（10 分） （1）根据题意得，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos22cos2 sin， 22 cossin2cos，即 2 2 cos， 所以曲线 C 的直角坐标方程为
26、 22 2xyx，即 2 2 11xy， 3 分 直线 l 的普通方程为tan10xy . 5 分 （2）联立直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程， 将 cos 1sin xt yt ，代入 2 2 11xy， 化简，得2 sin? cos10tt . 7 分 设点 A，B 所对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 1 2 1t t ， 12 2 cossin2 2cos 4 tt ， 3 , 4 ， 由（1）可知，曲线 C 是圆心1,0，半径为 1 的圆，点 P 在圆外， 由直线参数方程参数的几何意义知， 12 12 121 2 1111 2 2 tt tt PAPBttt t ，当且仅当 3 4 时取到. 即 11 PAPB 的最大值为2 2. 10 分 23.（10 分） （1）由题意， f xxmxxmxm. 3 分 只需 2 mm，解得11m . （2）由（1）可知，1a b c ， 所以 111abcabcabc abcabc 7 分 111 bcacab aabbcc 332229 bacacb abacbc . 当且仅当 1 3 abc时等号成立. 10 分
