1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.1 一维随机变量的数字特征一维随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的矩 4.2 随机向量的数字特征随机向量的数字特征 二维随机向量的协方差 数学期望、方差和协方差的运算性质 条件数学期望4.1 一维随机变量的数字特征一维随机变量的数字特征 随机变量的数字特征是能够反映随机变量某方面的特性的一个数值。4.1.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望 随机变量的数学期望是随机变量所有取值的加权平均值，也简称均值。1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定义定义4.1.1 设离散型随机变量X的概率分布：1
2、1(),i=1,2,3,|)|=(iiiiiiiiP XxpXE Xx pXXx p,则称 的数学期望存在,并称为 的数学期望 或均值，简称为若级数收敛的期望。X-1013P1/81/43/81/4EX=(-1)(1/8)+0(1/4)+1(3/8)+3(1/4)=1例：说明说明：离散型随机变量的数学期望等于随机变量的各个取值与对应概率的乘积之和。均值与X的取值x1,xn,的排列次序无关，故要求 绝对收敛，若此级数不绝对收敛，则称EX不存在。iiix p一维离散型随机变量函数的数学期望一维离散型随机变量函数的数学期望 设离散型随机变量X的概率分布是P(X=xi)=pi i=1,2,3,。g(x
3、)为实函数，且 收敛，则称随机变量函数g(X)的数学期望为 该定义表明，计算Eg(X)不需要先求得g(X)的分布列。1()()iiiE g Xg x p1()|iii|g xp例例4.1.1 若X B(n,p)，求EX。解解 该结果说明：具有概率p的事件A在n重伯努利试验中平均出现np次。-0nkkn knkE XkC p q-1!(-)!nkn kknkp qk n k-1-1-1-1-1-1-1-00-11(-1)!(-1)!(-)!(-1)!(-1-)!()nkn kknniniiinii kniinn nppqkn kn npp qnpCp q i ni np pqnp例例4.1.2
4、设XP()，求E(X)。解解即泊松分布的参数恰是服从该分布的随机变量取值的平均值。+=0=0X=!kkkkkEx pkek-1+k=1=1+i=1=01=!(1)!(1)!=!ikkkkkikkeeekkkee ei-例例 若XGeo(p)，求几何分布的期望解解 因为P(X=k)=(1-p)k-1p，k=1,2,，-12111-11kkE Xkqppppqq令例例 若X取值 对应的概率值为 讨论其EX存在与否。解解2(1),1,2,3,kkkxkk 1(),1,2,3,2kkkP Xxpk111k 11|E(1)111(1)ln2234XkkkkkkkkxpXkx pkE ，该级数发散，故不存
5、在。虽然，收敛，但不存在。例例4.1.3 设X的概率分布为试求EX，E-X+2，EX2。解解 418341813101X1131(1)01318484E X -11312(12)(02)(12)(2)18484EX-322222113111(1)01384844E X-2.一维连续型随机变量的数学期望一维连续型随机变量的数学期望定义定义4.1.2 设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)。如果 ，则称为X的数学期望(均值)，简称X的期望。一维连续型随机变量函数的数学期望一维连续型随机变量函数的数学期望若g(x)为实函数，且 ，则 该定义表明，计算Eg(X)不需要先求得g(X)的密度函数。d
6、xxf|x|X)()XE Xxfx dx()()X|g x|fx dx()=()()XE g Xg x fx dx例例4.1.4 设XUa,b，试求EX。解解 X的概率密度函数为可见，均匀分布的数学期望是区间a,b的中点。1,()0 X xa b fx=ba-其它2222+ba1 E X=xf(x)dx=xdxbabaa+b =(ba)-由连续型随机变量数学期望的定义有-例例4.1.5 设XN(,2)，试求EX。解解22()21()=2x-XXfxe的概率密度函数为22()21()2x+X-E X=xfx dx=xedx2222221()222012x uuuu=u edu=ueduedu =
7、令例例4.1.6 设XExp()，试求EX。解解 X的密度函数为0(0)()00-xXex xfx=x，+-0-000-0()-11-xXxxxxE Xxfx dxx edxxdexeedxe由连续随机变量数学期望的定义，有 0010()()(2)()(1)!-或者其中用到 及+xX-+y=xy+yE X=xfx dx=x edx1=ye dy11=ye dyn+=n例例4.1.7 设X服从标准柯西分布，即试问EX是否存在？解解 所以，X服从柯西分布时，EX 不存在。2222002201|()d|d(1)211dxd(1)(1)(1)11ln(1)limln(1)Xxx fxxxxxxxxxx
8、x 由于21()(1)Xfx=+x例例4.1.8 若XU0,2，Y=sin X，试求EY。解解102()20Xxfx 该均匀分布的概率密度函数为其它20201|()d|d2112d()d 22 Xsinx fxxsinxxsinx xsinxxE Y由于 收敛，所以存在，且201()dd0 2XE YE sinxsinxfxxsinxx4.1.2 随机变量的方差随机变量的方差 在解决实际问题时，常常除了要了解随机变量的数学期望(均值)外，还需了解随机变量的取值在数学期望附近的发散程度。例甲、乙两个化验员分析同种样品各5次，得结果：由此求得 虽然其均值相同，但甲分析的结果发散程度(波动程度)较小
9、，乙的发散程度较大，说明甲的分析比乙的分析稳定。甲(X)5.25.15.04.94.8乙(Y)6.05.55.04.54.0111115.25.15.04.94.85.05555511111 6.05.55.04.54.05.055555E XE Y定义定义4.1.3 设随机变量X有有限的数学期望,如果E(X-EX)2+,则称 VarX=E(X-EX)2 为X的方差（也可记为D(X)），而称 方差是随机变量取值与其均值差的平方的平均值。对非负数VarX，因其量纲是X量纲的平方，不便使用，故在应用中引入与随机变量X的量纲相同的量标准差(均方差)，以便使用。2()()XXVar XE XE X为
10、的标准差 均方差-。离散型随机变量与连续型随机变量方差的定义：离散型随机变量与连续型随机变量方差的定义：(1)对于概率分布为P(X=xi)=pi，i=1,2,的离散型随机变量X，(2)对于概率密度函数为fXx的连续型随机变量X，则2i 1D()()iiVar XXxE Xp2()()()dXVar XD XxE Xfxx计算方差的常用公式计算方差的常用公式：证证 以离散型随机变量为例。22()Var XE XE X221()iiiVar XExE XXE Xp()1,2,3,iiXP Xxpi设 的分布律：2212()iiiixE XxE Xp221112()iiiiiiiix pE Xx p
11、E Xp2222()2()E XE XE XEE XE XX方差小，说明随机变量所取的值密集分布在其数学期望左右；方差大，说明随机变量所取的值与其数学期望差异较大(较分散)。方差是刻划随机变量X取值发散（波动）程度的一个量。例例 甲、乙两射手的稳定成绩分别为试计算甲、乙两射手成绩的方差和标准差。解解X(甲环数)8910概率0.30.10.6Y(乙环数)8910概率0.20.40.422228 0.3 9 0.1 10 0.69.3(8 9.3)0.3(9 9.3)0.1(10 9.3)0.6 0.81()E XVar X 甲的甲的环 由于EX=9.3，EY=9.2，从平均成绩看，甲略优于乙；又
12、由于X=0.90(环)，Y=0.75(环)，从成绩的稳定性看，乙比甲稳定。2222222280.3 90.1 100.687.3()87.3 9.30.81()0.90 ()E XVar XE XE X XVar X或者：环甲的标准差环22222222 8 0.29 0.4 10 0.49.280.290.4 100.485.2Var()85.29.20.56 ()0.75 ()E YE YYE YE Y YVar Y 乙的环乙的标准差环例例4.1.9 设XB(1,p)(即X服从(0-1)分布)，试求VarX。解解 X服从0-1分布，即 P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q EX=1p+
13、0q=p EX2=12p+02q=p所以 VarX=EX2-(EX)2=p-p2=p(1-p)例例4.1.10 设XUa,b上的均匀分布，试求VarX。解解1()20Xxa,babfxE Xba已知，其它2222211()dd()3bXaE Xx fxxxxaabbba222222()1()32()12Var XE XE Xabaabbba 例例4.1.11 设XExp()，试求VarX。解解 2201edxE XE Xxx已知 20200022000()2-2()2222xxxxxxxx d ex exedxxd exeedxe 22222211X()Var XEE X22222200112
14、ede d(3)y xxyE Xxxyy或 例例4.1.12 设XPois()，求VarX。解解220()=!kkE XE Xkke已知，而1(1!)kkek kkk21111222212!(k2)(1)(k2)!(1)(1)!kkkkkkkkkkkkeekkeekeeek keekke2222()Var XE XE X例例4.1.13 设XN(,2)，试求VarX。解解 22()221,()2xE XVar XxE Xedx由于2222222()222222222222221()22()()()22202xuuxuuuuxedxu eduu deu eeduedu令2,Var XXVar X
15、所以，方差均方差。可见，N(,2)中的参数就是标准差，2是方差。越大正态曲线越平缓，越小正态曲线越狭窄陡峭。例例 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，求VarX。220!(1)!()!nkn kkE XnpnE Xkp qqpk nk 解解111!()!()!(1)(1()!)!nkn kknnkn kkn kkknp qk nknnp qp qkk kknk kkkk nk2121212!()!()!()!()!(2)!(1)!(1)()!()!()!)21(!12nnkn kkn kkknnkn kkn kkknnp qp qnknknnn nppkqnppqnknkkkk2212(1)
16、(1)nnpqn npnpn npnppq22222 (1)(1)Var XE XE Xn npnpnpnpnpnpp例例 几何分布的方差：若PX=k=qk-1p，k=1,2,则 。证证2qDXp22111kkE XpE Xk qp已知11()(1)kkk kqkp2123122211(1)(1)21kkkkpqpqpqpppkqqk kqq222()qVar XE XE Xp例例 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过 。证证 设X表示事件在一次试验中发生的次数，即22222221,X=0,X 1p,P X01 pqE(X)pE(X)1p0qpD(X)E(X)E(X)ppp 1 pp 1
17、p124ab(ab)2事件发生事件不发生且=由=，得这里使用了不等式 14分分 布布 类类 型型 数学期望数学期望方差方差二项分布XB(n,p)P(X=k)=q=1-p,0knnpnpq泊松分布XP()P(X=k)=,k=0,1,几何分布XG(p)P(X=k)=pqk-1 k=1,2,q=1-p 均匀分布XUa,b 指数分布XE(a)正态分布XN(,2)22ab2()12ba1p2qp1a21a!-kekkkn knC p q1,0其他Xxa bbaf(x)e0()00axXaxfxx()2221()e()2x Xfxx 4.1.3 随机变量的矩随机变量的矩 随机变量的矩是刻画随机变量分布特性
18、的又一类数字特征。定义定义4.1.4 设X为随机变量，c为常数，k为正整数，如果E(|X-c|k)，则称E(X-c)k 为为X关于关于c点的点的k阶矩阶矩。(1)当c=0时，EXk 称为称为X的的k阶原点矩阶原点矩。(2)当c=EX时，E(X-EX)k 称为称为X的的k阶中心矩阶中心矩。X的一阶原点矩就是X的期望(均值)。一阶中心矩=0。二阶中心矩就是X的方差VarX。高于四阶的矩极少使用。定义定义4.1.5 (随机变量随机变量X的偏度与峰度的偏度与峰度)如果随机变量X的 EX4 3,则称其分布(密度)是尖峰的。若某个X的峰度3,则称其分布(密度)是平峰的。4.2 随机向量的数字特征随机向量的
19、数字特征 描述两个随机变量相关关系的数字特征是其相关系数与协方差；描述随机向量的数字特征是其期望向量和协方差矩阵。4.2.1 二维随机向量的协方差二维随机向量的协方差 设(X,Y)为二维随机向量，g(X,Y)为定义在二维实平面上的实函数。如果Eg(X,Y)存在，与一维离散型和连续型随机变量函数的数学期望定义类似，二维离散型与连续型随机向量的数学期望定义如下：(1)设二维离散型随机变量(X,Y)有概率分布P(X=xi,Y=yj)=pij (i,j=1,2,)如果 收敛，则(2)设二维连续型随机变量(X,Y)有概率密度函数fX,Y(x,y)，如果 收敛，则,(,)ijiji jg x yp()(,
20、)11ijijijE g X,Yg x yp,(,)(,)X Yg x y fx y dxdy,(,)(,)(,)X YE g X Yg x y fx y dxdy 特别地，对离散型随机变量，当g(x,y)=x时，有同样，当g(x,y)=y时，有11111iijiijiijiiijE Xx pxpx p 111 iijjijjijjijjE Yx pypy p 11 对连续型随机变量，当g(x,y)=x时，有同样，当g(x,y)=y时，有 由此可知，随机向量每个分量的数学期望都可以由其联合概率分布列或联合概率密度函数经计算得到。,-(,)(,)()X YX YXE Xxfx y dxdyxdx
21、fx y dyxfx dx,(,)(,)()X YX YYEYyfx y dxdyydyfx y dxyfy dy 定义定义4.1.2(二维随机向量的协方差)设(X,Y)为二维随机向量，且VarX+，VarY+。(1)称 Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)为X与Y的协方差协方差(Cov是covariance协方差的缩写)。(2)称 为X与Y的相关系数相关系数。(3)若若r(X,Y)=0，则称，则称X与与Y不相关不相关。(,)(,)()()Cov X Yr X YVar XVar Y对于协方差，显然有 Cov(XY)=Cov(Y,X)DX=Cov(X,X),DY=Cov(Y,Y)Cov
22、(XY)=EXY-EXEY Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)()()(,)E XE XYE YE XYX E YY E XE XE YE XYE X E YE X ECoYE Xv X YE XYE YE X E Y(,)()()(,)Cov aX bYEaXbYE aX E bYabE XYabE X E YabCov X Y定理定理4.2.1 设(X,Y)为二维随机向量，且VarX+，VarY0和b，使得P(Y=aX+b)=1；若r(X,Y)=-1,则存在常数a0则E(Y|X=x)随x的增加而增加，即Y“平均说来”有随x的增长而增长的趋势，即所谓正相关；而0，为负相关；当=0时，
23、X与Y独立，E(Y|X=x)与x无关。同样，在给定Y=y时，X的条件分布为正态分布为故有 该条件期望为y的线性函数，对它的讨论同上。12211221(),(1)Ny 1122(|)()E X Yyy例例 在求职过程中得到了三个公司的面试通知，为简在求职过程中得到了三个公司的面试通知，为简化计算，假定每个公司都有三类不同的空缺职位化计算，假定每个公司都有三类不同的空缺职位:一般的、好的、极好的。其工资分别为一般的、好的、极好的。其工资分别为2.5万元、万元、3万元、万元、4万元。估计能得到这些职位的概率分别万元。估计能得到这些职位的概率分别为为0.4，0.3，0.2，有，有0.1的概率将得不到任
24、何职位，的概率将得不到任何职位，由于每家公司都要求在面试结束时表态接受或拒由于每家公司都要求在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位，那么应遵循什么策略来应答呢绝所提供的职位，那么应遵循什么策略来应答呢?求职面试问题求职面试问题解：解：极端的情况当然容易处理，假设有一家极端的情况当然容易处理，假设有一家公司聘任求职者担任极好的职位，当然就无公司聘任求职者担任极好的职位，当然就无需再去下一家公司面试了。需再去下一家公司面试了。若一家公司不聘任，求职者必然要到下若一家公司不聘任，求职者必然要到下一家公司去面试的。对于其他情况，作任何一家公司去面试的。对于其他情况，作任何决定都是要冒风险的，有效的办法
25、是决定都是要冒风险的，有效的办法是:采取使采取使期望收益最大的行动。期望收益最大的行动。结结 果果概率概率一般：一般：2.5万元万元0.4好的：好的：3万元万元0.3极好：极好：4万元万元0.2没有工作：没有工作：0万元万元0.1将求职者的数据列成下表将求职者的数据列成下表:设去第设去第i个公司应聘的收益为个公司应聘的收益为Xi，(i=1,2,3）。）。当用期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了当用期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了困难，因为假设第一次面试落聘，但有可能在以困难，因为假设第一次面试落聘，但有可能在以后的面试中会获得职位，因而这个结果（落聘）后的面试中会获得职位，因而这个结果
26、（落聘）是带有不确定性的。这几乎是复杂决策问题的共是带有不确定性的。这几乎是复杂决策问题的共同特征同特征:在将来的决策做出之前，当前决策的结果在将来的决策做出之前，当前决策的结果是不能估算的，有一种避开这个困难的方法，那是不能估算的，有一种避开这个困难的方法，那就是先分析未来的决策，称这种方法为逆推解法。就是先分析未来的决策，称这种方法为逆推解法。首先考虑尚未接受职位而要去进行最后一次首先考虑尚未接受职位而要去进行最后一次（即第三次）面试，则可以确定公司提供工资的期（即第三次）面试，则可以确定公司提供工资的期望值为望值为 E(X3)=2.50.4+30.3+40.2+00.1=2.7(万元万元
27、)知道了第三次面试的期望值，就能倒推，以决知道了第三次面试的期望值，就能倒推，以决定第二次面试应采取的行动。定第二次面试应采取的行动。若提供极好的职位，肯定接受。若提供极好的职位，肯定接受。若没有职位肯定去进行第三次面试。若没有职位肯定去进行第三次面试。若提供一般的工作，那么就须在接受这一工作若提供一般的工作，那么就须在接受这一工作(期望值期望值2.5万元）和不接受而去碰第三次面试的运万元）和不接受而去碰第三次面试的运气（期望值气（期望值2.7万元）这两者间做出选择，由于后万元）这两者间做出选择，由于后者具有较大的期望值，故这就是应采取的行动。者具有较大的期望值，故这就是应采取的行动。若提供一
28、个好职位，那么其期望值较高（若提供一个好职位，那么其期望值较高（3万万元），故应接受这一工作且放弃第三次面试。元），故应接受这一工作且放弃第三次面试。现在考虑第二次面试：现在考虑第二次面试：综上所述，第二次面试的决策应是综上所述，第二次面试的决策应是:接受好接受好的或极好的职位，拒绝一般的职位。的或极好的职位，拒绝一般的职位。第二次面试的期望值可用下列数据求出第二次面试的期望值可用下列数据求出:第二次面试结果第二次面试结果工作期望值工作期望值概率概率一般：进行第一般：进行第3次面试次面试2.7万元万元0.4好的：接受好的：接受3万元万元0.3极好：接受极好：接受4万元万元0.2没有工作：进行第
29、没有工作：进行第3次面试次面试2.7万元万元0.1E(X2)=0.4E(X2|2.5)+0.33+0.24+0.1E(X2|0)=0.42.7+0.33+0.24+0.12.7 =3.05（万元）（万元）现在考虑第一次面试：现在考虑第一次面试：如果提供一般职位，所面临的选择是接受（期如果提供一般职位，所面临的选择是接受（期望工资为望工资为2.5万元）或拒绝（进行下一次面试，期万元）或拒绝（进行下一次面试，期望工资为望工资为3.05万元），后者期望值较高。故应采取万元），后者期望值较高。故应采取拒绝一般的工作，拒绝一般的工作，对于好的职位，因其期望工资对于好的职位，因其期望工资3万元低于下一万元
30、低于下一次面试的期望工资次面试的期望工资3.05万元。故也应放弃好的职位。万元。故也应放弃好的职位。因此，第一次面试时应采取的行动是因此，第一次面试时应采取的行动是:只接受只接受极好的职位，否则就进行下一次面试。极好的职位，否则就进行下一次面试。由此得到：由此得到：这个面试问题的总的应对策略是这个面试问题的总的应对策略是:第一次面试第一次面试只接受极好的职位，否则进行第二次面试只接受极好的职位，否则进行第二次面试;第二次第二次面试可接受好的或极好的职位，否则进行第三次面试可接受好的或极好的职位，否则进行第三次面试面试;第三次面试则接受能提供的任何职位。第三次面试则接受能提供的任何职位。第一次面
31、试结果第一次面试结果工作期望值工作期望值概率概率一般：进行第二次面试一般：进行第二次面试3.05万元万元0.4好的：进行第二次面试好的：进行第二次面试3.05万元万元0.3极好：接受极好：接受4万元万元0.2没有工作：进行第二次面试没有工作：进行第二次面试3.05万元万元0.1与这个策略相应的期望值，可用下列数据求出与这个策略相应的期望值，可用下列数据求出:E(X1)=0.4E(X1|2.5)+0.3E(X1|3)+0.24 +0.1E(X1|0)=0.43.05+0.33.05+0.24+0.13.05 =3.24（万元）（万元）由此可看出，在求职时，收到三份面试通知由此可看出，在求职时，收到三份面试通知与只收到一份面试通知相比较，不仅提高了就业与只收到一份面试通知相比较，不仅提高了就业的机会，而且也提高了工资的期望值。的机会，而且也提高了工资的期望值。
