1、2023-2-141控制工程理论基础第二章 拉普拉斯变换的数学方法2023-2-142提纲2.1 复数和复变函数2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义2.3 典型时间函数的拉氏变换2.4 拉氏变换的性质2.5 拉氏反变换的数学方法2.6 用拉氏变换解常微分方程2023-2-143拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。）变换，简称拉氏变换。是分析研究线性动态系统的有力工具。是分析研究线性动态系统的有力工具。时域的时域的微分方程微分方程 复数域的复数域的代数方程代数方程 系统分析大为简化系统分析大为简化直接在频域中研究系统的动态性能直接在频域中研究系统的动态性能拉氏变换拉氏变换202
2、3-2-144引言引言 复数和复变函数复数和复变函数（1）复数的概念复数的概念 其中，其中，均为实均为实数。数。为虚单位。为虚单位。（2）复数的表示法）复数的表示法 点表示法点表示法 向量表示法向量表示法 三角函数表示法三角函数表示法 指数表示法指数表示法,js,1j,js22rsarctan)sin(cosjrsjressincosjej2023-2-145引言引言 复数和复变函数复数和复变函数（3）复变函数的概念）复变函数的概念 为自变量。为自变量。)()()(sjvsusGs2023-2-146js),(),(vvuujvusG)(例：js2),(1),(22vvuu2)1(1)(222
3、jssG2023-2-147)()()()()(11nmpspszszsKsG 当sz1,zm时，G(s)=0，则称z1,zm 为G(s)的零点；当sp1,pm时，G(s)=，则称p1,pm 为G(s)的极点。2023-2-1482.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义1、拉氏变换0)()()(dtetfsFtfLst有时间函数f(t)，t0，则f(t)的拉氏变换记作：Lf(t)或F(s)，并定义为：(21)f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：（1）在任一有限区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点；（2）当t时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：atMetf)(该条件使得积分绝
4、对值收敛。2023-2-1492.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义2、拉氏反变换jjstdsesFjsFLtf)(21)()(1)(1sFL已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t)的过程称作拉氏反变换，记作：定义为如下积分：其中：为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。(22)2023-2-14102.3 典型时间函数的拉氏变换0,10,0)(1ttt1 单位阶跃函数定义为：单位阶跃函数的拉氏变换为：ssedtettLstst10)(1)(1 02023-2-14112.3 典型时间函数的拉氏变换0,00,)(ttt)0()()(1)(00fdttftdtt2 单位脉冲函数定义为：单位脉冲
5、函数的重要性质：单位脉冲函数的拉氏变换为：10)()(0tedtettLstst2023-2-14122.3 典型时间函数的拉氏变换0,0,0)(ttttf3 单位斜坡函数定义为：单位斜坡函数的拉氏变换为：22000101)(0sesdtsedtsesetdttetLststststst2023-2-14132.3 典型时间函数的拉氏变换atetf)(4 指数函数定义为：指数函数的拉氏变换为：asasedtedteeeLtastasstatat10)(0)(02023-2-14142.3 典型时间函数的拉氏变换)(21sintjtjeejt5 正弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：220si
6、nsinsdtettLst)(21costjtjeet6 余弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：220coscosssdtettLst2023-2-14152.3 典型时间函数的拉氏变换7 幂函数（作业）其拉氏变换为：10!nstnnsndtettL例：3322!2sstL常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏变换。2023-2-14162.4 拉氏变换的性质1.线性性质线性变换)()()()()()(221122112211sFKsFKtfLKtfLKtfKtfKL(2-3)2023-2-14172.4 拉氏变换的性质atatf,0)(2.实数域的位移定理延时定理(2-4
7、)其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒的延时函数，且：)()(sFeatfLas2023-2-1418例2.3 图210所示方波的拉氏变换。)(11)(11)()()(11TtTtTTtftftf)1(111)(sTsTeTseTsTstfL图示方波函数表达为：利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：2023-2-1419例2.4 求图211所示三角波的拉氏变换。)(4)2(4)2(44)()2()2()()(22221111TtTTtTTtTtTTtfTtfTtftftf)21(44444)()(2222222222222sTTssTTsTseesTesTes
8、TesTsTtfLsF图示三角波函数表达为：利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：2023-2-1420-01()()1TstsTL f tf t e dte2.4 拉氏变换的性质3.周期函数的拉氏变换设f(t)是以T为周期的周期函数，即：()()f tnTf t则f(t)的拉氏变换为：2023-2-1421()(),()()26atf tF saL ef tF sa若的拉氏变换为则 对任一常数实数或复数），都有 （）2.4 拉氏变换的性质4.复数域位移定理(也称衰减定理)22221sincos()()!()atatat nnsaL etL etsasanL etsa复
9、数域位移定理的应用：2023-2-1422,1()()(2-7)asL f atFaa对于任意常数 有 2.4 拉氏变换的性质5.相似定理（也称尺度定理）2023-2-1423()()()()()(0)2 8(0)()f tF sftL ftsF sfff t若时间函数的拉氏变换为，且其一阶导数存在，那么 （）其中是时间正向趋近于零时的值。2.4 拉氏变换的性质6.微分定理0()()()()tf tF sF sLf t dts假设的拉氏变换，则 7.积分定理2023-2-1424Back8 终值定理终值定理原函数原函数f(t)f(t)的稳态性质的稳态性质 sF(s)sF(s)在在s=0s=0邻
10、域内的性质邻域内的性质2023-2-1425Back9 初值定理初值定理2023-2-1426()(),()()()(2-17)L f tF stf tdL tf tF sds 若则函数的拉氏变换为 2.4 拉氏变换的性质10.tf(t)的拉氏变换()(),()/()()(2-18)sL f tF sf ttf tLF s dst若则函数的拉氏变换为 11.f(t)/t的拉氏变换2023-2-14270()()()()tLf tgdF s G s 2.4 拉氏变换的性质12.卷积定理0()()()()tf tgdf tg t函数f(t)和g(t)的卷积定义为：拉氏变换的卷积定理：若 函数f(t
11、)和g(t)满足拉氏变换存在的条件，则f(t)和g(t)的卷积的拉氏变换一定存在，且：其中，函数f(t)和g(t)满足：当t0时，f(t)=g(t)=02023-2-14281.1.定义：从象函数定义：从象函数F(s)F(s)求原函数求原函数f(t)f(t)的运算称的运算称为拉氏反变换。记为为拉氏反变换。记为 。由由F(s)F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)F(s)所有极点的实所有极点的实部。部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s
12、)F(s)必须必须是一种能直接查到的原函数的形式。是一种能直接查到的原函数的形式。)(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst2.5 拉氏反变换的数学方法2023-2-14292.5 拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法有：(1)查表法简单象函数；(2)有理函数法需要复变函数的留数定理；(3)部分分式法复杂的象函数简化为几个简单的部分分式之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数；(4)利用MATLAB求解。2023-2-1430 若若F(s)F(s)不能在表中直接找到原函数，则需不能在表中直接找到原函数，则需要将要将F(s)F(s)展开成若干部分分式之和，而
13、这展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例例1 1：例例2 2：求：求 的逆变换。的逆变换。解：解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(1)(则tetsFLtfssssssF1)()(1111)1(1)(122)1(1)(2sssF2023-2-14311.部分分式法求原函数12121212,:(-)(-).(-)()(2-22)(-)(-).(-)/;,.,.,()mnmmnmnmK s zs zs zF ss ps ps pKbap ppz zzF s如果则 式中：和分别式的极点和零点，均为实数或共轭复
14、数。110110.()()(2-21)().:(1,2,.,),(1,2,.,)mmmmnnnnijb sbsbB sF sA sa sasaa in bjmnm 其中为实数，且。2023-2-143212121,(-)(-).(-)()(-)(-).(-)1()2()mnnmK s zs zs zF ss ps ps pF sF srp本节学习即表达成如下形式的象函数的拉氏反变换方法：根据象函数的极点形式，分两种情况进行讨论：、无重极点的情况；、有 个重极点，其余极点各不相同的情况；2023-2-1433121212()()(-)()()().(2-24)()-,.,(1,2,.,)(2-2
15、5)(1)()()0)()(iiiispiinnnis KKKB sF s A ss ps ps pK KKindA spA sF sB pB sKs pA sA pdA ps 无重极点的情况下，F(s)必定可展开成部分分式之和，即：其中，为待定系数。式中，为的无重极点根，ip。-11()()()(2-27)()inp tiiiB pf tL F seA p 2023-2-143423212321232121455512-6()21222121()0,-1-2-32 ()()()()62422()4()2()43 ()()145551()10()-3(iissF ssssA spppA sA
16、pdA sA sssA pA pA pdsB pB sssB pB pB 例 求的拉氏反变换。令求解极点：，；求，计算：，计算；，3123-1-1-1-1-3)12()4 ()2.51.5352.51.53()()2.51.53123iiitttpB pKA pKKKf tL F sLLLeeesss计算各分式待定系数：；拉氏反变换：()()iiiB pKA p 2023-2-143531241121()20(1)(3)27().()(1)(1-)(2)(4)(),11-24()20()(2)(1)43()(2)(1)(3)()20()(2)(1-)()(2)sjsjB sssF sA ssj
17、 sj ssKKKKF ssjsjssB sjjKsjjA sjjjB sjjKsjA sj 例 求拉氏反变换 解：则 32441-(1)(-143(1)(3)()20(1)1(2)5()(1)(1)2()20(3)(1)(1)3()(3)(3)(2)434-3-5-3()11-24()()(43)(4-3)ssj tjjjB sKsA sjjB sKsjA sjjjjF ssjsjssf tLF sj ej e 因此，)24-()24-24534()3()53(8cos6sin)53j ttttjtjtjtjtttttteeeeej eeeeettee ()(-)()iiispB sKs p
18、A s2023-2-14361111121121112111()()()()()()().()()().()()1)()(2(1irnrnnrrrrrrrnrF srpB sB sF sA saspspspF sKKKKKKF sspspspspspspKrF s 假如有 个重极点，其余极点均不相同，即：那么可展开成如下部分分式之和：其中：有重极点的情况1111()()(2-29)!()()()(1,2,.,)(2-30)()jrrsprjjjspjdF s spdsB pKF s spjrrnA p 1121-1-21112112()().(1)!(2)!.nrrp trrrp tptptr
19、rnKKf tLF sttKerrKeKeK e 2023-2-14373135111243323112231222222313212.8()(2)(3)1()(2)3(2)(0)(3)(2)(2)11()(2)(3)2-(23)1()(2)4(3)1()(2)2!sssssF ss ssKKKKKF sssssssssKF s ss sdsKF s sdsssdKF s sds例：求拉氏反变换。解：2222400353331132!(3)811()24(2)(3)11()(3)3(2)sssssds sdsKF ssssKF sss s2023-2-143832122223223-11311
20、()8(2)243(3)2(2)4(2)()()11311-1311()42 2482423324ttttttF ssssssf tLF sttteeeteee 所以，2023-2-14392.使用MATLAB函数求解原函数 利用MATLAB中的函数residue将原函数展开成部分分式，然后查拉氏变换的表格得到原函数。函数格式：r,p,k=residue(b,a);%返回多项式b/a之比的部分分式展开项中的残差、极点和直接项。b,a=residue(r,p,k)；%将部分分式展开项还原成多项式2023-2-1440For example:Num=10*1 2;%定义分子多项式 Den=poly
21、(-1;-3;-4)；%定义分母多项式 res,poles,k=residue(num,den)；展开num/den 残差、极点和直接项分别为：Res=-6.6667;5.0000;1.6667 Poles=-4;-3;-1 K=;Note:(x+1)(x+3)(x+4)=x3+8x2+19x+122023-2-14412292.9()1MATLAB:44()111()()44ttsF ssF sSSf ttee 例求函数的原函数解：根据计算得到所以，43243222223212.10()4762MATLAB-0.50.521121()111-111(1)(1)1(1)()()sin2ttts
22、sssF sssssjjF ssjsjsssssf ttetete 例求原函数，解：根据运行结果:2023-2-14422.6 用拉氏变换解常微分方程1)利用拉氏变换将常微分方程转化代数方程；2)得到代数方程的解，即解的象函数；3)拉氏反变换求得常微分方程的解。2023-2-144311-10-1011()()0000(2-33)(0)(0)1()()()()()()2()()()()()()nnmmnnmmnnmmiind ydyd xdxaaa ybbb xdtdtdtdtxyA s Y sA sB s X sB sA sB sB sY sXA sA s对于一般的 阶线性常系数非齐次微分方
23、程，考虑其初始条件和 根据微分定理进行拉氏变换，得：解出象函数：-1-1-100()3()()()()()()()()()()cisA sBsB sy tL Y sLLX sy ty tA sA s 拉氏反变换求得常微分方程的解：2023-2-144422222.11()()()()()(0)(0)0()-(0)-(0)()11(0)(0)1()f ttmmy tky ttyym s Y ssyykY smsymyY smskmskmskm例求图示机械系统在单位脉冲力作用下，质量 的运动规律。解：不计摩擦，不计阻尼时，列出系统的运动微分方程：初始条件为：对方程两边作拉氏变换，得：拉氏反变换得质
24、量 的1()sinky ttmmk运动规律：2023-2-14450020022222.12(0),(0)()()0(0)(0)0()-(0)-(0)()0()(/)(/)myyyymy tky tyym s Y ssyykY sy syY ssk msk m例求图示机械系统无外力作用下，质量 的运动规律。且初始条件为：解：不计摩擦，不计阻尼时，列出系统的运动微分方程：初始条件为：对方程两边作拉氏变换，得：拉氏反变换得质量00()cossinnnnmyy tytt的运动规律：2023-2-1446022202222222.13()cos(0),(0)0()()cos/,()-(0)-(0)()()()()nnnf tAtmyy ymy tky tAtk mAsms Y ssyykY ssAsy smY ssss例求图示机械系统在单位脉冲力作用下，质量 在初始条件：时的运动规律。解：不计摩擦，不计阻尼时，列出系统的运动微分方程：对方程两边作拉氏变换，并设得：301242202222()coscoscosnnnnnnnKy sKKKsjsjsjsjsmAAmmy tttyt拉氏反变换得质量 的运动规律：
