1、2023-2-141微积分基本定理微积分基本定理2023-2-142微积分在几何上有两个基本问题微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方如何求曲线下方“曲线梯形曲线梯形”的面积。的面积。xy0 xy0 xyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？知识回顾：知识回顾：2023-2-143用用“以直代曲以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：解决问题的思想和具体操作过程：分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近2023-2-144求由连续曲线求由连续曲线y=f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积
2、的方法 (2)以直代曲以直代曲:任取任取x xi xi-1,xi，第，第i个小曲边梯形的面积用高个小曲边梯形的面积用高为为f(x xi),宽为宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似地去代替近似地去代替.(4)逼近逼近:所求曲边所求曲边梯形的面积梯形的面积S为为 (3)作和作和:取取n个小矩形面积的和作个小矩形面积的和作为曲边梯形面积为曲边梯形面积S的近似值：的近似值：xi-1y=f(x)x yObaxixixD10,()()niixfxSnx=D D 1()niiSfxx=D (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等
3、分成n个小区间个小区间:每个小区间宽度每个小区间宽度xban-=11211,iina xx xxxxb-2023-2-145定积分的定义定积分的定义:一般地一般地,设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上有定义上有定义,将区间将区间a,b等分成等分成n个小区间个小区间,每个小区的长度每个小区的长度为为 ,在每个小区间上取一点在每个小区间上取一点,依次为依次为x1,x2,.xi,.xn,作和作和如果如果 无限趋近于无限趋近于0时时,Sn无限趋近于无限趋近于常数常数S,那那么称么称常数常数S为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分上的定积分,记记作作:.)(nabxx-=DDx)f(xx)
4、f(xx)x(fSn21nD DD=baSf(x)dxf(x)dxxD2023-2-146 由定积分的定义可以计算由定积分的定义可以计算 ,但但比较麻烦比较麻烦(四步曲四步曲),),有没有更加简便有效的有没有更加简便有效的方法求定积分呢方法求定积分呢?12013x dx=问题情景问题情景(分割分割-以直代曲以直代曲-求和求和-逼近逼近)2023-2-147变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv这段路程可表示为这段路程可表示为)()(12TsTs-).()()(1221TsTsdttvTT-=).
5、()(tvts=其其中中问题思考问题思考另一方面另一方面作变速直线运动的物体的运动规律是作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t),=21)(TTdttv).()()(1221TsTsdttsTT-=2023-2-148()()F xf x=()f x 对于一般函数对于一般函数，设，设是否也有是否也有 =badxxf)().()()(aFbFdxxFba-=()()Fb Fa-若上式成立，若上式成立，的的原函数原函数()f x来计算来计算,a b在在上的定积分的方法。上的定积分的方法。()f x我们就找到了用我们就找到了用()()F xf x=）的数值差）的数值差（即满足（即满足2023-2
6、-149定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理）牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式记:()()()|baF bF aF x-=则:()()|()()bbaaf x dxF xF bF a=-f(x)是是F(x)的的导导函数函数 F(x)是是f(x)的的原原函数函数2023-2-141032(),()3F xxF xx=()()|()()bbaaf x dxF xF bF a=-解解:(1)取取2()4,()24F xxx F xx=-=-解解:(2)取取5223(5)(2)117x dxFF=-=50(24)(5)(0)5xdxFF-=-=找出找出f(x)的的原函数原函数是关健是关健例例
7、计算下列定积分计算下列定积分 321(1)3x dx50(2)(24)xdx-2023-2-1411解解:(3)32211()3,()xxxx=-32332111176(3-)(3)(1)313xdxx=-=例例 计算下列定积分计算下列定积分 32211(3)(3-)xdxx32211()3,xxxx=-2023-2-1412基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式-11.()()02.()()()3.()sin()cos4.()cos()-sin5.()()ln6.()()17.()log()ln18.()ln()nnxxxxaf xcfxf xxfxnxnRf xxfxxf xxfxx
8、f xafxaaf xefxef xxfxxaf xxfxx=若若若若若若若若若若若若若若若若2023-2-1413211(1)dxx解解（）（）1(ln)xx=ln2-ln1ln2=211dxx例例 计算下列定积分计算下列定积分 121(2-xedx）221(2(-)2-=xxee）221212-=xeeedx()()|()()bbaaf x dxF xF bF a=-2023-2-1414例例 计算下列定积分计算下列定积分 20(2)cos xdx0(1)sin xdx解解（1）(cos)sinxx-=0sincos(cos0)1 12xdx=-=思考思考:0sin xdx的几何意义是什么
9、?2020sin_sin_xdxxdx=01()()|()()bbaaf x dxF xF bF a=-2023-2-141520(2)cosxdx20cossinsin01 012xdx=-=-=(sin)cosxx=解解思考思考:20cosxdx的几何意义是什么?020cos_cos_xdxxdx=_002023-2-1416例例:计算计算20(),f x dx2,01()5,12=xxf xx其中其中解解 20dx)x(f=102xdx 215dx102x=215x 6=12f(x)=2xY=52023-2-1417 练习：练习：12022122-121(1)(-32)_1(2)()_(3)(32-1)_(4)(1)_xtdtxdxxxxdxedx=29/619e2-e+12023-2-1418 练习：练习：2002430022102200(1)cos;(2)sin;5(3)(2);(4);21(5)();(6)(cos);(7)cos2;(8)sin.xdxxdxxx dxdxxxdxxx dxxxdxxdx-2023-2-1419微积分基本公式微积分基本公式baf x dxF bFFaxf x=-()()()()小结小结牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系间的关系
