1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 P（，1（4，+） ，Q1，2，3，4，则（RP）Q（ ） A1，4 B2，3 C2，3，4 Dx|1x4 2 （5 分）命题“x（0，1） ，e xlnx”的否定是（ ） Ax（0，1） ，e xlnx Bx0（0，1） ，e ;0lnx0 Cx0（0，1） ，e ;0lnx0 Dx0（0，1） ，e ;0 lnx0 3 （5 分）若 i 为虚数单位，设复数 z 满足|z|1，则
2、|z1+i|的最小值为（ ） A2 1 B22 C2 +1 D2+2 4 （5 分）在（2x1） （xy）6的展开式中 x3y3的系数为（ ） A50 B20 C15 D20 5（5 分） 已知 H 为ABC 的垂心， AB4， AC6， M 为边 BC 的中点， 则 = （ ） A20 B10 C20 D10 6 （5 分）设 x1、x2分别是关于 x 的方程 x2+mx+m2m0 的两个不相等的实数根，那么过 两点 A（x1，x12） ，B（x2，x22）的直线与圆（x1） 2+（y+1）21 的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D随 m 的变化而变化 7 （5 分）已知函数 f（
3、x）|lnx|，() = 0 ，0 1， |2 4| 2，1 若关于 x 的方程 f（x）+m g（x）恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ） A0，ln2 B （2ln2，0） C （2ln2，0 D0，2+ln2） 8 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBCAA11，E 为 AB1上任意一点，BC1 CE，则三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为（ ） A33 B3 C22 D2 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）如图为某地区 2006 年2018 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年
4、末余额折 线图 第 2 页（共 20 页） 根据该折线图可知，该地区 2006 年2018 年（ ） A财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 10 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，1= 3，E，F，P，Q 分别为 棱 AB，AD，DD1，BB1的中点，则下列结论正确的是（ ） AACBP BB1D平面 EFPQ CBC1平面 EFPQ D直线 A，D 和 AC 所成角的余弦值为
5、2 4 11 （5 分） 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆， 如图所示， 已知它的近地点 A（离地面最近的点）距地面 m 千米，远地点 B（离地面最远的点）距 地面 n 千米，并且 F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 R 千米，设该椭圈的长轴 长、短轴长、焦距分别为 2a、2b、2c，则（ ） Aacm+R Ba+cn+R C2am+n D = ( + )( + ) 12 （5 分）函数 f（x）图象上不同两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）处的切线的斜率分别是 kA， 第 3 页（共 20 页） kB，|AB|为 A，B 两点间距离，定义 （A，B
6、）= | | 为曲线 f（x）在点 A 与点 B 之 间的“曲率” ，其中正确命题为（ ） A存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数 B函数 f（x）x3x2+1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1，2，则“曲率”（A， B）3 C函数 f（x）ax2+b（a0，bR）图象上任意两点 A、B 之间 的“曲率”（A，B） 2a D设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是曲线 f（x）ex上不同两点，且 x1x21，若 t（A， B）1 恒成立，则实数 t 的取值范围是（，1） 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分）
7、 13 （5 分）某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从 6 名获得一等奖的同学中选出 3 名同 学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数 为 （用数字作答） 14 （5 分）已知 x0，y0，lg2x+lg8ylg2，则: 的最小值是 15 （5 分）已知椭圆 C1与双曲线 C2有公共焦点 F1，F2，M 为 C1与 C2的一个交点，MF1 MF2，椭圆 C1的离心率为 e1，双曲线 C2的离心率为 e2，若 e22e1，则 e1 16 （5 分）函数 ycosxxtanx 的定义域为 4， 4，其值域为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70
8、分）分） 17 （10 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+12+Sn对一切正整数 n 恒成立 （1）求 a1和数列an的通项公式； （2）求数列Sn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 + 1 2 = （1）求角 A 的大小； （2）若 = 3，求 b+c 的最大值 19 （12 分）如图，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE平面 BCE，且 AE1 （）求证：平面 ABCD平面 ABE； （）线段 AD 上是否存在一点 F，使二面角 ABFE 等于 45？若存在，请找出点 F 的位置；若不存在，请说明理由 第
9、 4 页（共 20 页） 20 （12 分） 已知过抛物线 E： y22px （p0） 的焦点 F， 斜率为2的直线交抛物线于 A （x1， y1） ，B（x2，y2） （x1x2）两点，且|AB|6 （1）求该抛物线 E 的方程； （2）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1，l2，分别交曲线 E 于点 C，D 和 M，N设 线段 CD，MN 的中点分别为 P，Q，求证：直线 PQ 恒过一个定点 21 （12 分）2019 年，中国的国内生产总值（GDP）已经达到约 100 万亿元人民币，位居 世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行，某 生产企业一种产品的
10、成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本 y（元） 与生产该产品的数量 x（千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了如下的散点图 现考虑用反比例函数模型 ya+ 和指数函数模型 yce dx 分别对两个变量的关系进行拟 合为此变换如下： 令 u= 1 ，则 ya+bu，即 y 与 u 满足线性关系；令 vlny，则 vlnc+dx，即 v 与 x 也满 足线性关系这样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程已求得用指数函数模 型拟合的回归方程为 = 96.54， v 与
11、x 的相关系数 r10.94， 其他参考数据如表 （其 中 ui= 1 vilnyi） ： 8 1 uiyi 2 8 1 ui2 8 1 yi 8 1 yi2 0.61 6185.5 e 2 ln96.54 183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135 4.6 3.7 （）求指数函数模型和反比例函数模型中 y 关于 x 的回归方程； （）试计算 y 与 u 的相关系数 r2，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两 第 5 页（共 20 页） 个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到 0.01）？ （）根据（）小题的选择结果，该企业采取订单生产模
12、式（即根据订单数量进行生 产，产品全部售出） 根据市场调研数据，该产品单价定为 100 元时得到签订订单的情况 如表： 订单 数（千 件） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 概率 （1 2） 10 （1 2） 9 （1 2） 8 （1 2） 7 （1 2） 6 （1 2） 5 （1 2） 4 （1 2） 3 （1 2） 2 1 2 （ 1 2） 10 已知每件产品的原料成本为 10 元，试估算企业的利润是多少？（精确到 1 千元） 参考公式： 对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别
13、 为 ： = =1 =1 22 ， = ， 相 关 系 数 r= =1 ( =1 22)( =1 22) 22 （12 分）已知函数 f（x）aln（x+1）+x2ax，a0 （1）当 a0 时，求 f（x）的单调区间 （2）若存在 x（1，+）使得 f（x）a+1 成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 P（，1（4，+） ，Q1，2，3，4，则（RP）Q（
14、 ） A1，4 B2，3 C2，3，4 Dx|1x4 【解答】解：集合 P（，1（4，+） ，Q1，2，3，4， RPx|1x4， （RP）Q2，3，4 故选：C 2 （5 分）命题“x（0，1） ，e xlnx”的否定是（ ） Ax（0，1） ，e xlnx Bx0（0，1） ，e ;0lnx0 Cx0（0，1） ，e ;0lnx0 Dx0（0，1） ，e ;0 lnx0 【解答】解：全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“x（0，1） ，e xlnx”的否定是： “x（0，1） ，e xlnx” 故选：D 3 （5 分）若 i 为虚数单位，设复数 z 满足|z|1，则|z1+i|的最
15、小值为（ ） A2 1 B22 C2 +1 D2+2 【解答】解：复数 z 满足|z|1，复平面内复数 z 对应的点在圆 x2+y21 上， |z1+i|z（1i）|在复平面内的几何意义是圆 x2+y21 上的点与（1，1）的距 离， 则|z1+i|的最小值为：(0 1)2+ (0 + 1)2 1 = 2 1， 故选：A 4 （5 分）在（2x1） （xy）6的展开式中 x3y3的系数为（ ） A50 B20 C15 D20 【解答】解： （xy）6的通项为6 (1)6;(0 6， )， 故（2x1） （xy）6的展开式中 x3y3的系数为1 6 3 (1)3= 20 第 7 页（共 20 页
16、） 故选：B 5（5 分） 已知 H 为ABC 的垂心， AB4， AC6， M 为边 BC 的中点， 则 = （ ） A20 B10 C20 D10 【解答】解：如图， H 为ABC 的垂心， ， = 0，且 AB4，AC6，且 M 为边 BC 的中点， = ( + + ) = ( + + 1 2 ) = + + 1 2 ( ) = 1 2 ( + ) ( ) = 1 2 ( 2 2) = 1 2 (36 16) 10 故选：B 6 （5 分）设 x1、x2分别是关于 x 的方程 x2+mx+m2m0 的两个不相等的实数根，那么过 两点 A（x1，x12） ，B（x2，x22）的直线与圆（x
17、1） 2+（y+1）21 的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D随 m 的变化而变化 【解答】解：x1、x2是关于 x 的方程 x2+mx+m2m0 的两个不相等的实数根， m24（m2m）0，即 0m 4 3，且 x1+x2m，x1x2m 2m， 可得 x12+x22（x1+x2）22x1x2m2+2m， 第 8 页（共 20 页） 因此，直线 AB 的斜率 kx1+x2m， AB 的中点为 M（1 2（x1+x2） ， 1 2（x1 2+x22） ） ，即 M（1 2m， 1 2m 2+m） 直线 AB 的方程为 y（ 1 2m 2+m）m（x+1 2m） ，化简得 mx+y+m
18、2m0 又圆（x1）2+（y+1）21 的圆心坐标为 C（1，1） ，半径 r1， 圆心 C 到直线 AB 的距离为 d= |21| 2+1， 0m 4 3，可得 d= |21| 2+1 1， 圆心 C 到直线 AB 的距离小于圆 C 的半径，可得直线与圆的位置关系是相交 故选：C 7 （5 分）已知函数 f（x）|lnx|，() = 0 ，0 1， |2 4| 2，1 若关于 x 的方程 f（x）+m g（x）恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ） A0，ln2 B （2ln2，0） C （2ln2，0 D0，2+ln2） 【解答】解：设 h（x）f（x）+m， 作出函数 f（x
19、）和 g（x）的图象如图 则 h（x）是 f（x）的图象沿着 x1 上下平移得到， 由图象知 B 点的纵坐标为 h（1）f（1）+mln1+mm， A 点的纵坐标为 g（2）2， 当 x2 时，h（2）ln2+m，g（1）0， 要使方程 f（x）+mg（x）恰有三个不相等的实数解， 则等价为 h（x）与 g（x）的图象有三个不同的交点， 则满足(1) (1) (2)(2) ， 即 0 + 2 2得 0 2 2， 即2ln2m0， 即实数 m 的取值范围是（2ln2，0， 故选：C 第 9 页（共 20 页） 8 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBCAA11，E 为 AB1上任
20、意一点，BC1 CE，则三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为（ ） A33 B3 C22 D2 【解答】解：如图， 三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，CC1AC， E 为 AB1上任意一点，BC1CE，ACBC1，则 AC平面 BB1C1C， 可得直三棱柱的底面为等腰直角三角形，把直三棱柱补形为正方体， 则三棱柱 ABCA1B1C1外接球的半径 R= 1 21 2+ 12+ 12 = 3 2 三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为4 ( 3 2 )2= 3 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）如图为
21、某地区 2006 年2018 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折 线图 第 10 页（共 20 页） 根据该折线图可知，该地区 2006 年2018 年（ ） A财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 【解答】解：由图知财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，A 对 由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，B 错 由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储
22、蓄年末余额年平均增长，C 错 由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大，D 对 故选：AD 10 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，1= 3，E，F，P，Q 分别为 棱 AB，AD，DD1，BB1的中点，则下列结论正确的是（ ） AACBP BB1D平面 EFPQ CBC1平面 EFPQ D直线 A，D 和 AC 所成角的余弦值为 2 4 【解答】解：如图， 对于 A，BP 在底面上的射影为 BD，ACBD，ACBP，故 A 正确； 对于 B，假设 B1D平面 EFPQ，则 B1DPQ，而 PQB1D1，则 B1DB1D1，而 DD1 B1D1，假设错
23、误，故 B 错误； 对于 C，BC1AD1FP，FP平面 EFPQ，BC1平面 EFPQ，则 BC1平面 EFPQ，故 C 正确； 对于D， 直线A1D与AC所成角为DA1C1， 连接A1C1， DC1， 求解三角形可得cosDA1C1= 第 11 页（共 20 页） 4+24 222 = 2 4 ，故 D 正确 故选：ACD 11 （5 分） 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆， 如图所示， 已知它的近地点 A（离地面最近的点）距地面 m 千米，远地点 B（离地面最远的点）距 地面 n 千米，并且 F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 R 千米，设该椭圈的长
24、轴 长、短轴长、焦距分别为 2a、2b、2c，则（ ） Aacm+R Ba+cn+R C2am+n D = ( + )( + ) 【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，半焦距为 c，则由题意可知：acR m，a+cRn，可得 acm+R，所以 A 正确；a+cR+n，所以 B 正确； 可得 a= + 2 +R，c= 2 则 b2a2c2（: 2 +R）2（; 2 ）2（m+R） （n+R） 则 = ( + )( + )所以 D 正确； 故选：ABD 12 （5 分）函数 f（x）图象上不同两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）处的切线的斜率分别是 kA， 第 12 页（共 20
25、页） kB，|AB|为 A，B 两点间距离，定义 （A，B）= | | 为曲线 f（x）在点 A 与点 B 之 间的“曲率” ，其中正确命题为（ ） A存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数 B函数 f（x）x3x2+1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1，2，则“曲率”（A， B）3 C函数 f（x）ax2+b（a0，bR）图象上任意两点 A、B 之间 的“曲率”（A，B） 2a D设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是曲线 f（x）ex上不同两点，且 x1x21，若 t（A， B）1 恒成立，则实数 t 的取值范围是（，1） 【解答】解：对于 A，当函数 f（
26、x）kx+b（k0）时，f（x）k， （A，B）= | | = | | =0，故 A 正确； 对于 B，由题意得 A（1，1） ，B（2，5） ，f（x）3x22x， （A，B）= | | = |18| 1+16 = 7 17 3，故 B 错误； 对于 C，f（x）2ax， （A，B）= | | = |2122| (12)2+(11)2 = 2 1+2(1+2)2 2a，故 C 正确； 对于 D，由 f（x）ex，得 f（x）ex， 由 A（x1，y1） ，B（x2，y2）为曲线 yex上两点，且 x1x21， 可得 （A，B）= | | = |12| (12)2+(12)2， 由 1 (12
27、)2 + 11，可得 t1，故 D 错误 故选：AC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从 6 名获得一等奖的同学中选出 3 名同 学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为 96 （用数字作答） 【解答】解：第一步：先选 3 人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有 C63C4320 416， 第二步，将 3 人排序，有 A336， 第 13 页（共 20 页） 故不同发言顺序的种数为 16696 故答案为：96 14 （5 分）已知 x0，y0，lg2x
28、+lg8ylg2，则: 的最小值是 23 + 4 【解答】解：x0，y0，lg2x+lg8ylg2， 可得 x+3y1 : = (:)(:3) = 2:32:4 = 2:32 + 4 2232 + 4 = 23 + 4 当且仅当 x= 3，x+3y1，即 y= 1 3+3 = 33 6 ，x= 3 3+3 = 31 2 时取等号 : 的最小值是23 + 4 故答案为：23 + 4 15 （5 分）已知椭圆 C1与双曲线 C2有公共焦点 F1，F2，M 为 C1与 C2的一个交点，MF1 MF2， 椭圆 C1的离心率为 e1， 双曲线 C2的离心率为 e2， 若 e22e1， 则 e1 10 4
29、 【解答】解：设F1MF22 根据椭圆的几何性质可得，12=b12tanb12， e1= 1， a1= 1， b12a12c2c2（ 1 12 1） 根据双曲线的几何性质可得，12= 22 =b22， e2= 2 a2= 2 b22c2a22c2（1 1 22） ， c2（ 1 12 1）c2（1 1 22） ， 即 1 12 + 1 22 =2， 2e1e2， e1= 10 4 第 14 页（共 20 页） 故答案为： 10 4 16 （5 分）函数 ycosxxtanx 的定义域为 4， 4，其值域为 2 2 4，1 【解答】解：函数 ycosxxtanx 的定义域为 4， 4，函数是偶函
30、数， 当 x（0， 4）时，y= 2 2 0， 函数的减函数，所以 x0 时函数取得最大值：1； x= 4，y= 2 2 4， 所以函数的值域为： 2 2 4，1 故答案为： 2 2 4，1 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+12+Sn对一切正整数 n 恒成立 （1）求 a1和数列an的通项公式； （2）求数列Sn的前 n 项和 Tn 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+12+Sn对一切正整数 n 恒成立， 当 n1 时，a22a1，a22+S1， 解得：a12， 当 n
31、2 时，an2+Sn1， 两式相减得：an+12an， 即：+1 = 2（常数） ， 故：数列an是以 a12，公比为 2 的等比数列 所以：= 2 （2）由于：= 2， 所以：= 2:1 2， 则：= (22+ 22+ + 2:1) 2， = 4(21) 21 2， 2n+22n4 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 + 1 2 = 第 15 页（共 20 页） （1）求角 A 的大小； （2）若 = 3，求 b+c 的最大值 【解答】解： （1）由于 + 1 2 = ， 利用正弦定理可得 sinAcosC+ 1 2sinCsinB， 所以 sinA
32、cosC+ 1 2sinCsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC， 所以1 2sinCcosAsinC， 因为 sinC0， 所以 cosA= 1 2 因为 A 为三角形的内角， 所以 A= 3 （2）由于 a= 3，A= 3， 根据正弦定理 = = =2，可得 b2sinB，c2sinC， 所以 b+c2sinB+2sinC2sin （2 3 C） +2sinC= 3cosC+3sinC23sin （C+ 6） 23， 当 C= 3时等号成立， 所以 b+c 的最大值为 23 19 （12 分）如图，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE平面 BCE，且 AE1 （）求证：平面
33、ABCD平面 ABE； （）线段 AD 上是否存在一点 F，使二面角 ABFE 等于 45？若存在，请找出点 F 的位置；若不存在，请说明理由 【解答】解： （）因为 AE平面 BCE，BE平面 BCE，BC平面 BCE所以 AEBE， AEBC 第 16 页（共 20 页） 又因为 BCAB，AEABA，所以 BC平面 ABE 又 BC平面 ABCD，所以平面 ABCD平面 ABE （）如图所示，建立空间直角坐标系 Axyz，因为 AE1，AB2，AEBE 所以 BE= 3，所以 B（0，2，0） ，E（ 3 2 ， 1 2 ，0） ， 设线段 AD 上存在一点 F 满足题意，设 F（0，0
34、，h） ， （h0） ， 易知平面 ABF 的一个法向量为 = (1，0，0)， 设平面 BEF 的一个法向量为 = (，)，易知 = ( 3 2 ， 3 2，0)， = (0， 2，) 所以 = 0 = 0 ，即 3 2 3 2 = 0 2 + = 0 ，令 y1，可得 = (3，1， 2 ) 由 ， = | | | = 2 2 = 3 4+4 ，解得= 2 所以存在点 F，当 = 2时，二面角 ABFE 所成角为 45 20 （12 分） 已知过抛物线 E： y22px （p0） 的焦点 F， 斜率为2的直线交抛物线于 A （x1， y1） ，B（x2，y2） （x1x2）两点，且|AB|
35、6 （1）求该抛物线 E 的方程； （2）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1，l2，分别交曲线 E 于点 C，D 和 M，N设 线段 CD，MN 的中点分别为 P，Q，求证：直线 PQ 恒过一个定点 【解答】解： （1）抛物线的焦点( 2，0)，直线 AB 的方程为： = 2( 2) 联立方程组 2= 2 = 2( 2) ，消元得：2 2 + 2 4 = 0， 第 17 页（共 20 页） 1+ 2= 2，12= 2 4 | = 1 + 2(1+ 2)2 412= 3 42 2= 6，解得 p2 p0， 抛物线 E 的方程为：y24x （2） 证明： 设 C， D 两点坐标分别为 （x1
36、， y1） ，（x2， y2） ， 则点 P 的坐标为(1+2 2 ， 1+2 2 ) 由题意可设直线 l1的方程为 yk（x1） （k0） 由 2 = 4 = ( 1)，得 k 2x2（2k2+4）x+k20（2k2+4）24k416k2+160 因为直线l1与曲线E于C， D两点， 所以1+ 2= 2 + 4 2 ，1+ 2= (1+ 2 2) = 4 所以点 P 的坐标为(1 + 2 2 ， 2 ) 由题知，直线 l2的斜率为 1 ，同理可得点 Q 的坐标为（1+2k 2，2k） 当 k1 时，有1 + 2 2 1 + 22，此时直线 PQ 的斜率= 2 +2 1+ 2 212 2 =
37、12 所以，直线 PQ 的方程为 + 2 = 12 ( 1 22)，整理得 yk2+（x3）ky0 于是，直线 PQ 恒过定点（3，0） ； 当 k1 时，直线 PQ 的方程为 x3，也过点（3，0） 综上所述，直线 PQ 恒过定点（3，0） 21 （12 分）2019 年，中国的国内生产总值（GDP）已经达到约 100 万亿元人民币，位居 世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行，某 生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本 y（元） 与生产该产品的数量 x（千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y
38、 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了如下的散点图 现考虑用反比例函数模型 ya+ 和指数函数模型 yce dx 分别对两个变量的关系进行拟 合为此变换如下： 令 u= 1 ，则 ya+bu，即 y 与 u 满足线性关系；令 vlny，则 vlnc+dx，即 v 与 x 也满 第 18 页（共 20 页） 足线性关系这样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程已求得用指数函数模 型拟合的回归方程为 = 96.54， v 与 x 的相关系数 r10.94， 其他参考数据如表 （其 中 ui= 1 vilnyi） ： 8 1 uiyi 2 8 1 ui2
39、8 1 yi 8 1 yi2 0.61 6185.5 e 2 ln96.54 183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135 4.6 3.7 （）求指数函数模型和反比例函数模型中 y 关于 x 的回归方程； （）试计算 y 与 u 的相关系数 r2，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两 个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到 0.01）？ （）根据（）小题的选择结果，该企业采取订单生产模式（即根据订单数量进行生 产，产品全部售出） 根据市场调研数据，该产品单价定为 100 元时得到签订订单的情况 如表： 订单 数（千 件） 1 2 3 4 5
40、 6 7 8 9 10 11 概率 （1 2） 10 （1 2） 9 （1 2） 8 （1 2） 7 （1 2） 6 （1 2） 5 （1 2） 4 （1 2） 3 （1 2） 2 1 2 （ 1 2） 10 已知每件产品的原料成本为 10 元，试估算企业的利润是多少？（精确到 1 千元） 参考公式： 对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 ： = =1 =1 22 ， = ， 相 关 系 数 r= =1 ( =1 22)( =1 22) 第 19 页（共 20 页） 【解答】解： （）因为 = 96.54，所以 lnyln96.54+dxv4.6+dx， 将 = 3.7， = 4.5代入上式，得 d0.2，所以 = 96.54;0.2 令 = 1 ，则 yb+au， 因为 = 360 8 = 45，所以 = 8 =1 8 8 =1 282 = 183.480.3445 1.5380.115 = 100， 则 = = 45 100 0.34 = 11， 所以 = 11 + 100，所以 y 关于 x 的回归方程为 = 11 + 100 综上，指数模型回归方程为 = 96.54
