1、第十三章第十三章 轴对称轴对称 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短FEDCBA 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？处修建才能使所用引水管道最短？为什么？垂线段最短张村张村河流河流泵站泵站饮马问题饮马问题如图，牧马人从如图，牧马人从马棚马棚A牵马到牵马到河边河边 l 饮水，然饮水，然后再到帐蓬后再到帐蓬B问：在河边的什么地方饮水，可使问：在河边的什么地方饮水，可使所走的
2、路径最短？所走的路径最短？ABlABllABCC转化为数学问题转化为数学问题 当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC+CB的和最小？的和最小？分析：分析：ABl 如图，点A，点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点C,使AC+BC最短如果点如果点A、B在直线在直线l的的异侧时异侧时联想：联想：lABC思考：能把能把A、B两点从两点从直线直线 l 的的同侧转化为异侧吗？同侧转化为异侧吗？分析：分析：lABClABC作法及思路分析作法及思路分析1.作点作点B关于直线关于直线 l 的对称点的对称点B，连接，连接CB。问题可以转化为：当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB的和
3、最小？如上右图，在连接AB两点的线中，线段AB最短.因此，线段AB与直线 l 的交点C的位置即为所求.lABCB 2.由上步可知由上步可知AC+CB=AC+CB，思考：当思考：当C在在直线直线 l 的什么位置时的什么位置时AC+CB最最短？短？lABCBC略证：略证：试比较新路径与试比较新路径与AB的大小的大小结论：结论：AC+CB这条路径最短这条路径最短根据前面的分析，我们认为的根据前面的分析，我们认为的最短路径最短路径是是AC+CB=AC+C B=AB在直线在直线 l 上取一个与上取一个与C点不重合的点点不重合的点C新路径新路径=A C+CB =A C+CB问题问题1 归纳归纳lABClA
4、BCBlABC转化为数学问题转化为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题ABl提示：提示：本题也可作本题也可作A点关于直线点关于直线l的对称点的对称点变式练习变式练习1 如图，如图，牧马人牧马人要把马要把马从马棚从马棚A牵牵到草地边吃草，到草地边吃草，然后到河边饮水，最后再回到马棚然后到河边饮水，最后再回到马棚A.草 地小 河A问题：请你确定这一过程的最短路径问题：请你确定这一过程的最短路径.如图，在如图，在l1、l2之间有一点之间有一点A,要使要使AM+MN+NA最小最小,点点M、N应该应该在在 l1、l2的什么位置的什么位置?l1l2AMNAA转化为数
5、学问题转化为数学问题l1l2走走A-M-N 路线最短路线最短.MNAAAABPQlMN变式练习变式练习2如图：某一天牧马人要从马棚如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草，牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天，请你帮他确定这一天的最短路线。的最短路线。l2l1PQABABl1l2归纳小结归纳小结2.关键：关键：作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用从而利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”来解决来解决l1l2l1l21.学了三种情况下的最短路径问题学了三种情况下的最短路径问题新课
6、推进 问题问题2 如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从桥造在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）线，桥要与河垂直）BA新课推进BA 追问追问1 如图假定任选位如图假定任选位置造桥，连接和，置造桥，连接和，从从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短那么怎样确定什么情况下最短呢？呢？追问追问2 利用线段公理解决问题我们遇到利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？如何解决？了什么障碍呢？如何解决？新课推进
7、BAA1MN解：如图，平移解：如图，平移A到到A1，使，使A1等于河宽，连接等于河宽，连接A1交交河岸于作桥，此时路河岸于作桥，此时路径最短径最短.理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，.由平移性质可知，由平移性质可知，.AM+MN+BN转化为转化为，而，而转转化为化为.在在中，由线段公理知中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN1.1.如图如图,A.B,A.B是直线是直线a a同侧的两定点同侧的两定点,定定长线段长线段PQPQ在在a a 上平行移动上平行移动,问问PQPQ移移 动到什么位置时动到什么位置时,AP+PQ+QB,AP+PQ+QB的长最短？的长最短？.B B A A.a a.PQ分析:PQPQ是一个定长线段是一个定长线段,AP+PQ+QB,AP+PQ+QB最最短即短即AP+QBAP+QB最短最短.此题类似课本问题此题类似课本问题二的二的“造桥选址造桥选址”问题。问题。问问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？平移哪条线段？沿哪个方向平移？.B B A A.a a.PQBAQaBAbMNAlABClABCB轴对称变换平移变换两点之间,线段最短.归纳小结归纳小结
