1、3 杆系结构有限元法杆系结构有限元法 杆系结构定义：杆系结构定义：当结构长度尺寸比两个截面方当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中常见得轴、向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类型钢等都属于杆件。支柱、螺栓、加强肋以及各类型钢等都属于杆件。是在节点处通过铆接、焊接或用其他方法把若干个杆是在节点处通过铆接、焊接或用其他方法把若干个杆件连接起来组成一个能共同承担外部载荷的结构。石油工件连接起来组成一个能共同承担外部载荷的结构。石油工程中的井架、管汇结构等。程中的井架、管汇结构等。杆件结构可分为桁架和刚架两种杆件结构可分为桁架和刚
2、架两种有限元法对杆系结构离散，通常采用自然离散的形式，有限元法对杆系结构离散，通常采用自然离散的形式，也就是把等截面的杆件作为单元。也就是把等截面的杆件作为单元。当单元的两端为铰接，杆件内力只有轴力存在，当单元的两端为铰接，杆件内力只有轴力存在，“杆单元杆单元”“桁架桁架”和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆。桁杆的连接处可以自由转动，和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆。桁杆的连接处可以自由转动，因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。当单元两端
3、可以承受弯矩和剪力作用时称为当单元两端可以承受弯矩和剪力作用时称为“梁单元梁单元”“刚架刚架”和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动，和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动，因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关，的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关，而且与截面形状和方位有很大关系。而且与截面形状和方位有很大关系。建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元杆单
4、元和和梁单元梁单元离散。离散。挖掘机挖掘机桥梁桥梁鸟巢鸟巢空间立体网架空间立体网架奥运鸟巢的有奥运鸟巢的有限元模型限元模型工程中最简单的结构可以认为是铰支的杆件。它的性质完全类似于弹簧。弹簧系统力F与弹簧伸长量 （位移）之间关系由胡克定律有kF 式中k为弹簧的刚度，是弹簧的固有参数。它对应于力位移图中F-关系直线的斜率。当k和力F已知时，可由下式求出弹簧伸长量弹簧力位移间关系Fk1(41)3-1 引 言 当处理比较复杂的铰支杆系统时，要确定系统在力当处理比较复杂的铰支杆系统时，要确定系统在力F的作用下，节点的作用下，节点B、C、D和和E处的变形。以便计算各杆件的内应力及各杆所受的轴向力，可处的
5、变形。以便计算各杆件的内应力及各杆所受的轴向力，可假设整个杆件系统也具有像式假设整个杆件系统也具有像式(4-1)中中k值一样的刚度，这样在力值一样的刚度，这样在力F的作用的作用下各点的位移就可以用类似式下各点的位移就可以用类似式(4-1)的公式计算了，不过这时的系统刚的公式计算了，不过这时的系统刚度应采用一个矩阵来表示，即度应采用一个矩阵来表示，即 ，同理，各点的位移也应采用一个矩，同理，各点的位移也应采用一个矩阵来表示，即阵来表示，即 ，再加上矩阵，再加上矩阵 ，就构成了，就构成了 KF K F K称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。F 问题：1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？2、如何
6、求出？3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？系统的整体刚度矩阵求出所受外力作用下各杆件节点处的位移计算各杆件的受力和应力212221121121uukkkkFF21FF21uuku1,F1u2,F2弹簧的作用力向量为位移向量为从而这个弹簧的刚度矩阵是2x 2阶的。为求出它们，将图2-4所示弹簧系统看作两个简单的系统，然后合成。一、单个弹簧的刚度矩阵一、单个弹簧的刚度矩阵3-2 弹簧系统的刚度矩阵2121222111uukkkkFFFFFFFFbaba11kuFa112210kuFFFFaaaa由力的平衡有ku1F1aF2aA A(a)u2=0ku1=0F1bF2bu2B B(b)ku1F1u2F2
7、A AB B1)只有节点1可以变形,点2固定2)只有节点2可以变形,点1固定bbFkuF1223)根据线弹性系统的叠加原理，叠加1)2)两种情况，就得到与原始问题一样的结构，如图（c），叠加结果为：(c)作用于节点1上的合力作用于节点2上的合力kkkkKe刚度矩阵对成、奇异矩阵（25）（26）11ukFaa112ukFFaaa22ukkFbab二、组合弹簧的刚度矩阵二、组合弹簧的刚度矩阵kakbu1,F1u2,F2u3,F31233u1,F1akaF2aF3akbu20u30F1bkakbu2,F2bF3bu10u30F1ckakbF2cu3,F3cu10u20(a)(b)(c)1)只允许节点
8、1有位移u1，力F1a与位移u1之间的关系由于u1 u20，没有力作用于节点3，因此，考虑弹簧1-2，由静力平衡条件有03aF2)只允许节点2有位移u2，这时由于位移的连续性，每个弹簧在节点2要求有相同的位移，即，弹簧1-2的伸长量与弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2 有拉力kau2，对弹簧2-3 有压力kbu2分别对两弹簧求静力平衡，有2321,ukFukFbbab3)只允许节点3有位移u3，类似于情况1），有33233,ukFFukFbccbc由于节点1、2无位移，有01cF321333231232221131211321uuukkkkkkkkkFFF组合弹簧的刚度矩阵组合弹簧的刚度矩阵
9、4)合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只有一个方向的位移。因此方程式应用如下形式：利用线弹性系统的叠加原理，找出33阶刚度矩阵各元素的表达式3233221221100ukukFukukukukFukukFbbbbaaaa bbbbaaaakkkkkkkkK00节点1处的合力节点2处的合力节点3处的合力对成、奇异矩阵（28）用同样的方法可以求解具有更多个弹簧的串连系统，推导过程乏味。知道单个弹簧的刚度矩阵直接叠加出多个串联系统的总刚度矩阵。32322121uukkkkFFuukkkkFFbbbbaaaa知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总
10、刚度矩阵对整个系统来说有3个节点，将上述方程扩大成3阶方程：整个系统有3个节点（位移），将上述方程扩大成3阶方程，32132100uuukkkkkkkkFFFbbbbaaaa3213213213210000000000uuukkkkFFFuuukkkkFFFbbbbaaaa按矩阵相加原理将两式叠加，（29）矩阵扩大办法单元数量增多时，相应扩大后的矩阵就相当大，扩大后的非零元素在矩阵的什么位置，概念上就不很清楚了。按节点号将相应单元的刚度矩阵中元素按节点号将相应单元的刚度矩阵中元素kij写到总刚写到总刚度矩阵中的办法来叠加。度矩阵中的办法来叠加。aaaaekkkkK100000122121112
11、111kkkk以上面两个弹簧系统为例，系统共三个节点，每个节点有一个自由度，因此，该系以上面两个弹簧系统为例，系统共三个节点，每个节点有一个自由度，因此，该系统总刚度矩阵应该是统总刚度矩阵应该是33阶的矩阵。第阶的矩阵。第1个单元的节点号为个单元的节点号为1和和2，则单元刚度矩阵，则单元刚度矩阵中的元素在总刚度矩阵中应在位置第中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第行、第2行的第行的第1列，第列，第2列列第第2个单元的节点号为个单元的节点号为2和和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵的第的第2行、第行、第3行的第行的第2列、第列、第3列元素上列元素上2332322
12、2322200000kkkk三、方程求解（约束条件的引入）由式（26）和式（28）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列式的值为零，矩阵的逆不存在。对应线性代数方程组式（27）和式（29）无定解。物理概念解释：对整个系统的位移u1、u2和 u3，没有加以限制，从而在任何外力的作用下系统会发生刚体运动。u1u2 u3u,且u没有定值，所以方程无定解。为使方程组有定解，只需给系统加上一定的约束（称为约束条件或边界条件）例如：两弹簧系统，节点1固定不动，有u10，则式（29）成为321321000uuukkkkkkkkFFFbbbbaaaa从而可得到定解。通过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求
13、得的位移就可计算出每个弹簧所受力的大小。弹簧1-2受力 paka（弹簧12长度的变化量）paka（u2-u1）KkkkkKe有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤：形成每个单元的刚度矩阵各个单元的刚度矩阵按节点号叠加成整体系统的刚度矩阵引入约束条件以节点位移为未知量求解线性代数方程组用每个单元的力位移关系求得单元力。KF 33 杆件系统的有限元法杆件系统的有限元法 一、杆单元分析一、杆单元分析1、局部坐标系下杆单元刚度矩阵、局部坐标系下杆单元刚度矩阵上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统受轴向力的杆件系统。均质等截面铰支杆，
14、刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得11uLAEF LAEk 21211111uuLAEFF均质等截面铰支杆的力位移方程可写为均质等截面铰支杆的力位移方程可写为2、坐标变换、整体坐标系下的单元刚度矩阵、坐标变换、整体坐标系下的单元刚度矩阵为建立整个结构的刚度矩阵，需要在一个共同的统一坐标系（即总为建立整个结构的刚度矩阵，需要在一个共同的统一坐标系（即总体坐标系）中建立平衡方程。由于刚架各单元的空间位置不同，各体坐标系）中建立平衡方程。由于刚架各单元的空间位置不同，各个单元的局部坐标系一般也不相同。个单元的局部坐标系一般也不相同。实际
15、杆件系统都是互相成一定角度排列的杆件连接在一起的实际杆件系统都是互相成一定角度排列的杆件连接在一起的每个杆件的单元坐标系统每个杆件的单元坐标系统所有杆件的都适用的整体坐标系统所有杆件的都适用的整体坐标系统 12o ux vy ux vyyx,对应局部坐标，对应局部坐标，x，y对应整体坐标系统对应整体坐标系统yxFFvu,对应局部坐标系的位移和作用力，对应局部坐标系的位移和作用力，yxFFvu,对应整体坐标系的位移和作用力。对应整体坐标系的位移和作用力。注意：注意：(1)图中图中 角是从整体坐标系角是从整体坐标系x 轴正向起算逆时针转到杆件方向。轴正向起算逆时针转到杆件方向。（2）铰支连接的杆中
16、能承受轴向力）铰支连接的杆中能承受轴向力 和产生轴向位移和产生轴向位移 ,因此局部因此局部坐标系下坐标系下 ，。xFu0yF0v221122110000010100000101vuvuLAEFFFFyxyx方便矩阵运算，将力和位移的矩阵用四阶方程表示：方便矩阵运算，将力和位移的矩阵用四阶方程表示：cossinsincos111111yxyyxxFFFFFF将上式从局部坐标系转换到整体坐标系，表示为：将上式从局部坐标系转换到整体坐标系，表示为：类似地可写出节点类似地可写出节点2处的表达式。处的表达式。令令 ，则节点力的变换关系为，则节点力的变换关系为2211221100000000yxyxyxy
17、xFFFFFFFFsincos（213）或或 FTF T称为变换矩阵。称为变换矩阵。与力的坐标变换式类似，斜杆在两节点的位移有同样的坐标变换式与力的坐标变换式类似，斜杆在两节点的位移有同样的坐标变换式 T（214）利用式（利用式（213）和式（）和式（214）可以把局部坐标系下方程（）可以把局部坐标系下方程（212）表示成）表示成整体坐标系下的方程。整体坐标系下单元的刚度矩阵。整体坐标系下的方程。整体坐标系下单元的刚度矩阵。TTT1用用 左乘上式两边左乘上式两边 TKTKeTe eTKTF eK eeTKTKTF（215）再将式（再将式（214）代入式（）代入式（215），有），有 eKFT
18、1T单元刚度矩阵单元刚度矩阵 在整体坐标系下的表达式可以用局部坐标系下的表达式求出，在整体坐标系下的表达式可以用局部坐标系下的表达式求出，eTKTFTT1（216）将式（将式（213）代入式（）代入式（212）有）有有有 T（214）eeeeekkkkLAELAEK22222222 KF 二、整体（平面桁架）分析二、整体（平面桁架）分析求解整体坐标系下结构受力与位移方程组求解整体坐标系下结构受力与位移方程组jijiijijvvuuLAEp,可得到各节点的位移。从而可求出每根杆的受力。可得到各节点的位移。从而可求出每根杆的受力。i，j整体坐标系中任一杆单元的两个节点号。整体坐标系中任一杆单元的两
19、个节点号。（217）（218）KeK KF 有限元方法求解平面桁架系统受力问题的基本步骤：有限元方法求解平面桁架系统受力问题的基本步骤：形成局部坐标系下每个单元的刚度矩阵形成局部坐标系下每个单元的刚度矩阵由坐标变化矩阵，获得整体坐标系下单元刚度矩阵由坐标变化矩阵，获得整体坐标系下单元刚度矩阵各个单元的刚度矩阵按节点号叠加成整体系统的刚度矩阵各个单元的刚度矩阵按节点号叠加成整体系统的刚度矩阵引入约束条件引入约束条件以节点位移为未知量求解线性代数方程组以节点位移为未知量求解线性代数方程组用每个单元的力位移关系求得单元力。用每个单元的力位移关系求得单元力。eK例题例题例例3-1：平面三杆桁架如下图所
20、示，节点：平面三杆桁架如下图所示，节点1、节点、节点3处固定，节点处固定，节点2处受处受 力力Fx2、Fy2，所有杆件材料相同，弹性模量为，所有杆件材料相同，弹性模量为E，截面积均为，截面积均为A，求各杆受力。（单元求各杆受力。（单元3和和1之间夹角为之间夹角为45）yxFx21231Fy2单元单元 cossin011单元单元 9001单元单元 1352121将它们代人（将它们代人（217），得到），得到单元单元 00000101000001011LAEKe单元单元 10100000101000002LAEKe单元单元 2121212121212121212121212121212123LAE
21、Ke332211323233223232332233313111333131112211212122112121332211vuvuvueeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeFFFFFFyxyxyx这里这里e1表示表示 单元单元（具有节点（具有节点1，2）.，将实际值代人，总刚度矩阵为，将实际值代人，总刚度矩阵为 2211221221221102212212212210022122122122100221221221221101100010000101LAEK整个系统有整个系统有6个自由度，整体刚度矩阵是个自由度，整体刚度矩阵是66阶的
22、。将上述单阶的。将上述单元刚阵按节点号叠加到元刚阵按节点号叠加到 66阶矩阵中，就得到整体刚度矩阵。阶矩阵中，就得到整体刚度矩阵。22222212212212211vuLAEFFyx将将u2，v2代人原方程，则其它力可表示为代人原方程，则其它力可表示为2222112211112212212212210001yxyxyxFFFFFF只有只有u2，v2需要求解，因此上述方程可简化为需要求解，因此上述方程可简化为最后各杆所受到的力，由式（最后各杆所受到的力，由式（2-18）可求出）可求出010)221(01221212131322212121223233vvuuLAEpFFvvuuLAEpFvvuu
23、LAEpyxy例题（例题（ANSYS 3-1）例例3-1：平面三杆桁架如下图所示，节点：平面三杆桁架如下图所示，节点1、节点、节点3处固定，节点处固定，节点2处受处受 力力Fx2、Fy2，所有杆件材料相同，弹性模量为，所有杆件材料相同，弹性模量为E，截面积均为，截面积均为A，求各杆受力。（单元求各杆受力。（单元3和和1之间夹角为之间夹角为45）yxFx21231Fy2单元类型单元类型；Link8单元单元实常数：实常数：A1材料属性：材料属性：EX=3.5E10 PRXY=0.1667ANSYS 算例3-2Beam188单元单元图5 平面模型顶推140m轴力分布图3-4 平面刚架有限元法平面刚架
24、有限元法各杆间是刚性固结的，当刚架结构受外力作用时，杆件内不仅有各杆间是刚性固结的，当刚架结构受外力作用时，杆件内不仅有轴力，还有剪力和弯矩，称这类杆件为梁。轴力，还有剪力和弯矩，称这类杆件为梁。1、直接刚度法推导梁单元有限元格式、直接刚度法推导梁单元有限元格式1z2z1wyxL12平面刚架结构平面刚架结构梁单元梁单元2w1zM1zM2yF1yF2211ZyZyMFMF2211ZZww2221122222112146262646zzzzzzLEIwLEILEIwLEIMLEIwLEILEIwLEIM222312132121612612zzzzyyLEIwLEILEIwLEILMMFF22212
25、2223221146266126122646612612zzZyZywwLLLLLLLLLLLLLEIMFMF材料力学或结构力学：梁所受弯矩与变形之间的关系，列方程材料力学或结构力学：梁所受弯矩与变形之间的关系，列方程由静力平衡，列方程由静力平衡，列方程以上两式写成矩阵形式以上两式写成矩阵形式 eeeKFeK即为局部坐标系下梁单元刚度矩阵即为局部坐标系下梁单元刚度矩阵22211126426154514645444342412342312421161514131211322211146266126122646612612zzzyxzyxvuvuLLkLLkLkLkkkkkkkLLkLLkLkLk
26、kkkkkkLEIMFFMFF扩展后的局部坐标系下的梁单元扩展后的局部坐标系下的梁单元66刚度矩阵刚度矩阵局部坐标到整体坐标的变换矩阵局部坐标到整体坐标的变换矩阵其中，其中，1000000000000000010000000000Tsincos单元刚度矩阵在整体坐标系下的形式为单元刚度矩阵在整体坐标系下的形式为 TKTKeTe1、力学条件建立单元受力和位移之间的关系式2、局部坐标系下的单元刚度矩阵3、整体坐标系下的单元刚度矩阵4、单元刚度叠加，构成总体刚度矩阵5、引入边界条件，求线性方程6、得到系统各节点处的位移7、进而得到每根梁所受力和力矩2、位移函数位移函数 虚功原理推导梁单元有限元计算格
27、式虚功原理推导梁单元有限元计算格式第一步：第一步：写出单元的位移、节点力向量写出单元的位移、节点力向量局部坐标系下，节点局部坐标系下，节点1的位移向量和力向量的位移向量和力向量 111111,zyezeMFFw对节点对节点2也类似，从而梁也类似，从而梁1-2的节点位移和节点力向量为的节点位移和节点力向量为 221121221121,zyzyeeezzeeeMFMFFFFww这些向量每个包含这些向量每个包含4项，因此单元刚度矩阵项，因此单元刚度矩阵 应该是应该是44阶的。阶的。eK第二步：第二步：选择适当的位移函数选择适当的位移函数选择一个简单函数，用节点上的位移来表示单元上各点的位移。选择一个
28、简单函数，用节点上的位移来表示单元上各点的位移。这一位移函数这一位移函数 一般情况下可选择多项式。一般情况下可选择多项式。多项式的系数个数应与单元自由度数目相同，使各点的位移可以用多项式的系数个数应与单元自由度数目相同，使各点的位移可以用节点处的位移所唯一确定。节点处的位移所唯一确定。,zwx yyx,整个单元具有四个自由度整个单元具有四个自由度1122,zzww，而且只与，而且只与x坐标有关，坐标有关，231234wxxxzdwdx由于由于223423zxxx(3-7)(3-8)对于梁单元，设位移函数写成对于梁单元，设位移函数写成 yxfxxxxxwyxz,32101,4321232 ezz
29、AwwLLLLLLLL122112232432112121323001000011112zw 111223232241000010010123zzwAwLLLLL写成矩阵形式，有写成矩阵形式，有x=L处处23212343123423zwLLLLL对梁单元，对梁单元，x=0处，处，第三步：求单元中任一点的位移与节点位移的关系第三步：求单元中任一点的位移与节点位移的关系将梁单元两个节点处，对应的位移代入到将梁单元两个节点处，对应的位移代入到(3-7)、(3-8)式中，式中，(3-10)求解方程式（求解方程式（310）得）得从而单元上任一点的位移从而单元上任一点的位移 可用节点位移可用节点位移 表示
30、：表示：yx,e eAyxfyxfyx1,第四步：第四步：求单元应变求单元应变-单元位移单元位移-节点位移间的关系节点位移间的关系单元内任一点的应变可以通过对该点处的位移微分得到。单元内任一点的应变可以通过对该点处的位移微分得到。2342,26d wx yxdx 将将 代入，代入，1,eex yCAB写成矩阵形式写成矩阵形式 1234(,)0026x yxC 1eA B几何矩阵几何矩阵第五步：第五步：求应力求应力-应变应变-节点位移间的关系节点位移间的关系(弹性力学物理方程弹性力学物理方程),x yDx y D弹性矩阵弹性矩阵对于梁的弯曲问题，由材料力学知识可知，应力对于梁的弯曲问题，由材料力
31、学知识可知，应力-应变相当于内力矩与曲率关系，应变相当于内力矩与曲率关系，近似表达式为：近似表达式为：22dxwdEIM ezzBDwwLxLLxLLxLLxLEIyx22112322326212664126,EI虚位移原理虚位移原理是能量原理在力学特性分析中的一种具体形式。虚位移原理是能量原理在力学特性分析中的一种具体形式。本章将利用这种原理建立本章将利用这种原理建立单元特性方程单元特性方程。1.虚功与虚应变能：虚功与虚应变能：虚位移原理虚位移原理是能量原理在力学特性分析中的一种具体形式。虚位移原理是能量原理在力学特性分析中的一种具体形式。本章将利用这种原理建立本章将利用这种原理建立单元特性
32、方程单元特性方程。虚位移是指在约束条件允许的范围内弹性虚位移是指在约束条件允许的范围内弹性体可能发生的任意微小位移。外力要做的虚功，体可能发生的任意微小位移。外力要做的虚功，大小为：大小为：同时，弹性体内将产生虚应变同时，弹性体内将产生虚应变=，应力在应力在虚应变上所做的虚功是储存在弹性体内的虚应虚应变上所做的虚功是储存在弹性体内的虚应变能，若用变能，若用 表示单位体积虚应变能，表示单位体积虚应变能，W=f TR =TUU 如果在虚位移发生之前弹性体是平衡如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的，那么虚位移发生时，外力在虚位移上的，那么虚位移发生时，外力在虚位移上所做的虚功就等于弹性体的虚应变能，即
33、所做的虚功就等于弹性体的虚应变能，即 WU 对于虚位移原理，在虚位移发生过程中，对于虚位移原理，在虚位移发生过程中，原有的外力、应力、温度及速度应保持不变。原有的外力、应力、温度及速度应保持不变。外力的形式有集中力、体力和表明力。外力的形式有集中力、体力和表明力。dVRfTVT第六步：第六步：求节点力与节点位移关系求节点力与节点位移关系虚功原理：系统保持平衡的充要条件是外力在虚位移上所做的功等于虚功原理：系统保持平衡的充要条件是外力在虚位移上所做的功等于内力在相应虚位移上所做的功。内力在相应虚位移上所做的功。系统各节点虚位移向量系统各节点虚位移向量*2*1*eneee eTeenTeneTee
34、TeextFFFFW*2*21*1yx,*节点外力在虚位移上所做的虚功节点外力在虚位移上所做的虚功任一点处虚位移引起的虚应变为任一点处虚位移引起的虚应变为，该处应力为，该处应力为yx,内应力所做的功（单位体积上的应变能）为：内应力所做的功（单位体积上的应变能）为：yxyxWT,*int虚位移引起的虚应变同样成立，虚位移引起的虚应变同样成立，*,eByx虚功原理，整个体积上功的平衡有：虚功原理，整个体积上功的平衡有：eTeextveTTevFWvoldBDBvoldW*int其中，节点虚位移和节点位移都与积分无关其中，节点虚位移和节点位移都与积分无关 evTevoldBDBF eeeKF vTe
35、voldBDBK其中，单元刚度矩阵的表达式：其中，单元刚度矩阵的表达式：eLTedxBDBF0具体到梁单元，积分区域是一维的，且从具体到梁单元，积分区域是一维的，且从x0L单元刚度矩阵的表达式：单元刚度矩阵的表达式：eBDyx,第七步：求节点位移与应力关系第七步：求节点位移与应力关系1、单元节点位移和节点力列阵的坐标变换任意平面向量V（如平面梁单元的节点位移或节点力列向量），在总体坐标系xoy中的分量为Vx和Vy，ox轴沿逆时针方向旋转角与 轴同向，如图 xoyiviiuijjujiuivjvjujvxxyo则有cossinsincosyxyyxxVVVVVV yxyxVVVVV1000cossin0sincos写成矩阵形式为令cossin0sincos0001T 为平面梁单元的节点力和节点位移列阵的坐标变换矩阵。设总体坐标系中第e个单元的节点力和节点位移列阵分别为 局部坐标系为 ，单元刚度矩阵为2、单元刚度矩阵的坐标变换 eeRq、eeRq、ek由坐标转换可知 eeeeeeqTqRTR由 eeeRqk 1eeeeeeeeeeTRkTqRTkTq 得令 1eeeeeeTekTkTTkT 则 eeeqkR上式即为单元刚度矩阵的坐标转换式，即为总体坐标系中第e个单元的刚度矩阵，它是一个对称矩阵。ekANSYS 算例 3-3
