1、1第第 3 章章 扭扭 转转3-1 概述概述3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 强度条件强度条件3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 刚度条件刚度条件3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形*3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力与变形时的应力与变形23-1 概概 述述M34变形特点变形特点:.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；相邻横截面绕杆的轴线相对转动
2、；.杆表面的杆表面的纵向线纵向线(母线母线)变成螺旋线；变成螺旋线；受力特点：受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直的平面内受外力偶。圆截面直杆在与杆的轴线垂直的平面内受外力偶。纵向线纵向线53-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒通常指薄壁圆筒通常指 的圆筒的圆筒100r 当其两端面上作用有外力当其两端面上作用有外力偶时，任一横截面上的偶时，任一横截面上的内内力偶矩力偶矩扭矩扭矩(torque)eMT 6.薄壁圆筒横截面上各点切应力的变化规律薄壁圆筒横截面上各点切应力的变化规律表面变形情况：表面变形情况：(1)周向线绕轴线转动周向线绕轴线转动,形状及尺寸不变形状及尺寸不变(2)周向线间的距
3、离保持不变周向线间的距离保持不变(3)纵向线仍为直线纵向线仍为直线,但发生倾斜但发生倾斜周向线周向线纵向线纵向线轴线轴线7推论：推论：(1)横截面形状和大小不变，即横截面象刚横截面形状和大小不变，即横截面象刚性平面一样性平面一样(平截面假定平截面假定)绕轴线转动；绕轴线转动；(2)横截面间的距离不变。横截面间的距离不变。8横截面上的应力：横截面上的应力：(1)只有只有与圆周相切与圆周相切的的切应力切应力(shearing stress)，且，且圆周上所有点的切应力相同；圆周上所有点的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截
4、面上无正应力，处于横截面上无正应力，处于纯剪切纯剪切状态。状态。9令，上式可写为令，上式可写为200rA .薄壁圆筒横截面上切应力计算公式薄壁圆筒横截面上切应力计算公式由由 并结合应力均匀分布的特点得并结合应力均匀分布的特点得TArAd 02AT 200002)2(drTrrTArTA ，于是有，于是有 ATArd0 10.剪切胡克定律剪切胡克定律(Hookes law in shear)(1)薄壁圆筒表面格子的直角均改变了薄壁圆筒表面格子的直角均改变了g g,这种这种直直角改变量称为切应变角改变量称为切应变(shearing strain).(2)圆筒两个端面绕轴线产生了圆筒两个端面绕轴线产
5、生了相对扭转动角相对扭转动角j j.(3)在假定切应力均匀分布情况下在假定切应力均匀分布情况下,切应变也均匀切应变也均匀,故有故有g g=j j r0/l,此处此处r0为薄壁圆筒的平均半径为薄壁圆筒的平均半径.11实验表明：当横截面上切应力实验表明：当横截面上切应力 不超过材料不超过材料的剪切比例极限的剪切比例极限 p时，外力偶矩时，外力偶矩Me(数值上数值上等于扭矩等于扭矩T)与相对扭转角与相对扭转角j j 成线性关系成线性关系,从而可知从而可知 与与g g 亦成线性关系，即：亦成线性关系，即：g g G 剪切胡克定律剪切胡克定律G材料的材料的切变模量切变模量(shear modulus)。
6、123-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图.传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 nPMer/minkWmN9549P 转轴上输入转轴上输入或输出或输出功率功率n 转轴转轴转速转速外力偶矩外力偶矩Me亦称为亦称为转矩转矩13.扭转时横截面上的扭转时横截面上的内力内力扭矩扭矩Me1Me2Me3Me4Me5Me1Me2Me3扭矩符号规定：扭矩符号规定：面对面对选定单元体的选定单元体的截面截面,逆时针转的扭矩为正逆时针转的扭矩为正,顺时针转的扭矩为负顺时针转的扭矩为负.习惯假定扭矩为正习惯假定扭矩为正.T视线视线Me4Me5T视线视线III.扭矩与外力偶矩的关系扭矩与外力偶矩
7、的关系 取截面左边的单元体：取截面左边的单元体：0)(321轴MMMTmeeeiF面对选定单元体的截面面对选定单元体的截面,顺时针转的外力偶在顺时针转的外力偶在截面上产生正的扭矩截面上产生正的扭矩,逆时针转的外力偶在截逆时针转的外力偶在截面上产生负的扭矩面上产生负的扭矩.扭矩的大小等于外力偶矩的大小扭矩的大小等于外力偶矩的大小.截面上总的扭矩等于该单元体上所有外力偶截面上总的扭矩等于该单元体上所有外力偶单独作用时在截面上产生的扭矩的代数和单独作用时在截面上产生的扭矩的代数和.)()(321MMMTeeeMe1Me2Me3T视线视线以横坐标表示截面位置以横坐标表示截面位置,纵坐标表示各截面扭矩纵
8、坐标表示各截面扭矩大小大小,并按适当比例绘制出的二维图形并按适当比例绘制出的二维图形.IV.扭矩图扭矩图Me41234Me1Me2Me3nmN6366mN5.4774mN159154e3e2e1e MMMM /kwer min9 549pMn17【课堂练习课堂练习】若将若将从动轮从动轮3与与4对调如对调如图图,试作扭矩图试作扭矩图.这这样布置是否合理？样布置是否合理？mN6366mN5.4774mN159154e3e2e1e MMMM对调后对调后对调前对调前对调后对调后m=k xxO【例例3-2】图示杆受矩集度图示杆受矩集度m=k x的线的线性分布力偶作用，试画出杆的扭矩图性分布力偶作用，试画
9、出杆的扭矩图.Tx22kxm=kx2)()(0)()()(20 xkkxdxxTmdxxdTxTmdxxdTxTx(1)(1)变形几何关系变形几何关系 圆轴扭转前的横截面圆轴扭转前的横截面,变形后仍保持为变形后仍保持为平截面平截面,其形其形状和大小不变状和大小不变,半径仍保持为直线半径仍保持为直线,横截面象刚性平横截面象刚性平面一样绕轴线转动了一个角度面一样绕轴线转动了一个角度.从受扭圆轴上同轴截出半径为从受扭圆轴上同轴截出半径为的微段的微段dx,设微段左右端面相设微段左右端面相对转角为对转角为d,其端面上承受的其端面上承受的扭矩为扭矩为T,纵向线纵向线AB转角为转角为 .OdTTdxBAB.
10、横截面上的应力横截面上的应力3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件OdTTdxBAB因因jgddxBB故故dxdjg即受扭圆轴横截面上任一点的即受扭圆轴横截面上任一点的切应变与该点的半径切应变与该点的半径成正比成正比当当=R时，得时，得max=R 即横截面边沿上各点的切应变最大即横截面边沿上各点的切应变最大令令单位长度相对扭转角单位长度相对扭转角,同一截面其为常数同一截面其为常数dxdj则则g（2）物理关系）物理关系 圆轴处于比例极限圆轴处于比例极限内内,由胡克定律知由胡克定律知gG即受扭圆轴横截面上任一点的即受扭圆轴横截面上任一点的切应力与该点的半径切应力与该点的半
11、径成正比成正比当当=R时时,得得max=GR 即横截面边沿上各点的切应力最大即横截面边沿上各点的切应力最大TmaxmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmaxG22(3)静力学关系静力学关系dAORT圆截面的圆截面的极惯性极惯性矩矩,它是一个与圆面它是一个与圆面积有关的几何量积有关的几何量则则IGTP即即IGTP抗扭刚度抗扭刚度 IGP考虑到考虑到令令23令令 抗扭截面模量抗扭截面模量 IGTP将将 代入代入 得得令令=R,则则则则 TmaxmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmax24.极惯性矩极惯性矩IP和和抗扭截面模量抗扭截面模量WP(1)空心圆截面空心圆截面OdD其中其中(2)实心圆
12、截面实心圆截面ddA=2dMeMeOzxydxdzdy右右左左上上下下0)(00右上右左上下dxFdyFmFFFFFFSSizSSiySSixFdxFdyFFFFFSSSSSS右上右左上下右左下上.切应力互等定理切应力互等定理 切应力互等定理切应力互等定理：xyzxyyxxzzxzyyzTT思考：思考：为什么竹竿受扭后为什么竹竿受扭后先沿纵向（母线）破环？先沿纵向（母线）破环？(1)圆轴扭转时的破坏现象圆轴扭转时的破坏现象 塑性材料如低碳钢在受扭过塑性材料如低碳钢在受扭过程中先屈服程中先屈服,如继续增大载荷如继续增大载荷,试件将沿试件将沿横截面横截面破坏破坏.脆性材料如铸铁等在受扭过脆性材料如
13、铸铁等在受扭过程中程中,变形始终很小变形始终很小,试件沿与试件沿与轴线成轴线成45的螺旋面的螺旋面破坏破坏.II.强度条件强度条件低碳钢低碳钢铸铁铸铁对塑性材料：对塑性材料：u s对脆性材料：对脆性材料：u b(2)许用切应力和安全系数许用切应力和安全系数 w1.剪切极限应力剪切极限应力构件扭转时，产生过大塑性变形或断裂时横截构件扭转时，产生过大塑性变形或断裂时横截面上的切应力称为剪切极限应力面上的切应力称为剪切极限应力.用用 u表示表示.w2.许用切应力许用切应力 轴能安全工作时横截面上的最大切应力轴能安全工作时横截面上的最大切应力.nu n安全系数安全系数 许用切应力许用切应力,(3)圆轴
14、扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件)(|)(|maxmaxxWxTP和拉压强度条件一样，解决强度计算的三类问题和拉压强度条件一样，解决强度计算的三类问题.强度条件强度条件 w强度校核强度校核)(|)(|maxmaxxWxTPw设计截面设计截面|)(|)(xTxWPw求许可载荷求许可载荷)(|)(|xWxTP31【例例3-33-3】图示阶梯轴，图示阶梯轴，AB段直径段直径d1=120 mm，BC段直径段直径d2=100 mm。MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm，材料的许用切应力材料的许用切应力 80 MPa。试试校核该轴的强度。校核该轴的强度。32【解解】1）绘扭矩图绘扭矩
15、图MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm33AB段内：段内：MPa8.64101201610223331p1max,1WT2）求每段最大切应力）求每段最大切应力AB段直径段直径d1=120 mm，BC段直径段直径d2=100 mm34BC段内：段内：MPa3.71101001610143332p2max,2WTAB段直径段直径d1=120 mm，BC段直径段直径d2=100 mm3）校核强度校核强度 2,max 1,max且且 2,max =80MPa,满足强度条件满足强度条件.353-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形刚度条件刚度条件.扭转时的变形扭转时的变形等
16、直圆杆的扭转变形可用两个横截面的等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角相对扭转角(相对角位移相对角位移)j j 来度量。来度量。MeADB CMej jg g)()()()(xIxGxTdxxdPu若圆轴在标距为若圆轴在标距为l的两横截面间的两横截面间G、IP、T为为常数，则相对扭转角：常数，则相对扭转角：单位为弧度单位为弧度(rad)单位为度单位为度()xPdttItGtTx0)()()()(IGTlPjj180IGTlPu若圆轴的若圆轴的G(x)、IP(x)、T(x)为横截面位置为横截面位置x的连续函数，则相对扭转角：的连续函数，则相对扭转角：u若圆轴在第若圆轴在第i段标距段标距li
17、内内Gi、IPi、Ti为常为常数，则相对扭转角：数，则相对扭转角：niPiiiiIGlT1j单位为弧度单位为弧度(rad)j1801niPiiiiIGlT单位为度单位为度()38(a)【例例3-43-4】钢制实心圆轴中钢制实心圆轴中,M1=1 592 Nm,M2=955 Nm,M3=637 Nm,lAB=300 mm,lAC=500 mm,d=70 mm,切变模量切变模量G=80 Gpa.试求横截面试求横截面C 相对于相对于B的扭转角的扭转角j jBC.【解解】1）求求I I、IIII两段的扭矩两段的扭矩mN637 ,mN95521 TT39(a)rad1069.110703210801050
18、063734393P2GIlTACACjrad1052.110703210801030095534393P1GIlTABABj2）设设A截面固定截面固定,分别求分别求B、C截面相对于截面相对于A截面截面的扭转角的扭转角j jAB、j jAC40(a)3）求求C截面相对于截面相对于B截面的扭转角截面的扭转角 rad1017.0rad1069.1rad1052.1333 ACABBCj jj jj j【思考思考】C截面相对于截面相对于B截面的转向？截面的转向？B截面相对于截面相对于C截面的转向？截面的转向？【例例3-5】图示有锥度的实心圆轴长为图示有锥度的实心圆轴长为l,两端直径分两端直径分别为别
19、为D和和d,沿轴线承受矩集度为沿轴线承受矩集度为m的均布力偶的均布力偶,轴材轴材料的剪切弹性模量为料的剪切弹性模量为G.【解解】1）求）求x截面的扭矩截面的扭矩ldDm0)()()(xTmdxxdTxTmdxxdT)(lxmdxxT)()(lxm写出轴写出轴x截面上半径为截面上半径为 的点的点(x,)的切应力的切应力 (x,)及及x截面的扭转角截面的扭转角.T(x)dxmT(x)+d T(x)xdx2）求）求x截面的极惯性矩截面的极惯性矩lxdDDlxd)()(32)()(4xdxIPlxdDDl4432)(x截面的直径截面的直径x截面极惯性矩截面极惯性矩3）求）求(x,)点的应力点的应力)(
20、)(),(xIxTxP)()(3244xdDDllxmlldDxxPtItGdttTx0)()()()(4）求）求x截面的扭转角截面的扭转角xtdDDldtltGml044)()(32)()(323)(23)(3163324xdDDlxdDdlDlDldlDldDGmlldDx 180)()(|)(|maxmaxxIxGxTPmax轴单位长度最大扭转角轴单位长度最大扭转角(/m).轴单位长度许用扭转角轴单位长度许用扭转角(/m).和强度条件一样，可解决刚度计算的三类问题和强度条件一样，可解决刚度计算的三类问题.w刚度校核刚度校核 180)()(|)(|maxmaxxIxGxTPw设计截面设计截
21、面 180)(|)(|)(xGxTxIPw求许可载荷求许可载荷 180)()(|)(|xIxGxTP.刚度条件刚度条件45【解解】1）按强度条件求所需外直径按强度条件求所需外直径D得161516116且,由 343ppmaxmaxDDWWT 109mm104016151056.9161615163633maxTD【例例3-6】某空心圆轴内外直径之比某空心圆轴内外直径之比 =0.5,材料材料许用应力许用应力 =40 MPa,切变模量切变模量G=80 GPa.轴的轴的最大扭矩最大扭矩Tmax=9.56 kNm,许可单位长度扭转角许可单位长度扭转角=0.3m.试选择轴的直径试选择轴的直径.462）按刚度条件求所需外直径按刚度条件求所需外直径D得161532132且180由444ppmaxmaxDDIGIT 125.5mm3.01180161510801056.93211801615324934maxGTDmm75.62 d3）空心圆轴所需外直径为）空心圆轴所需外直径为D125.5 mm,由由 =d/D=0.5知知47
