1、第 1 页 共 12 页 专题二：函数的图像与性质专题二：函数的图像与性质 问题归类问题归类篇篇 类型一：类型一：函数的值域和最值函数的值域和最值 一、前测回顾一、前测回顾 1求下列函数的值域： （1）ysin(2x 3)，x0， 6的值域是_； （2）y1x 2 1x2的值域是_； （3）yx 1x的值域是_； （4）f(x)(1 2) xx，x1，2 的值域是_； （5）f(x)x2 2 x21的值域是_ 答案： （1） 3 2 ，1； （2）(1，1； （3）(，5 4； （4） 7 4，3； （5）2 21，) 2函数 f(x)xlnx 的值域是_答案：1 e，) 二、方法联想二、方法
2、联想 值域求法：值域求法： 1 1初等方法：初等方法： （1）图象法； （2）复合函数法； （3）分离常数或反解法； （4）换元法； （5）单调性法； （6）基本不等式法； （7）配方法 2高等方法（终极方法）高等方法（终极方法） ：导数法 三、归类巩固三、归类巩固 *1函数 y 164x的值域是_答案：0,4) *2函数 y xx(x0)的最大值为_ 解析：y xx( x)2 x x1 2 21 4， ymax1 4 答案：1 4 *3设函数 f(x)1 2(x|x|)，则函数 ff(x)的值域为_ 解析：先去绝对值， 当 x0 时，f(x)x，故 ff(x)f(x)x， 当 x0 时，f(
3、x)0，故 ff(x)f(0)0， 第 2 页 共 12 页 即 ff(x) x，x 0，x 易知其值域为0，) 答案：0，) *4已知函数 f(x)满足 2f(x)f 1 x 3 x2，则 f(x)的值域为_ 解析：由 2f(x)f 1 x 3 x2 令式中的 x 变为1 x可得 2f 1 x f(x)3x2 由可解得 f(x) 2 x2x 2，由于 x20， 因此由基本不等式可得 f(x) 2 x2x 22 2 x2 x 22 2， 当 x2 2时取等号，因此其最小值为 2 2，值域为2 2，) 答案：2 2，) *5 若函数 f(x) 232x， x9， 4logax3， x9 (a0
4、且 a1)的值域是5， )， 则实数 a 的取值范围是 答案：(1，3 *6定义 mina，b，c为 a，b，c 中的最小值，设 f(x)min2x3，x21，53x ，则 f(x)的最大 值是_答案：2 类型类型二二：函数的单调性函数的单调性 一、前测回顾一、前测回顾 1 （1）函数 f(x)2x1 x1 的增区间为 ； （2）f(x)log1 2(x 22x)的增区间为 ； 答案： （1）(，1)和(1，)； （2）(，0) 2f(x)lnx2x2的减区间为 答案：(1 2，) 二、方法联想二、方法联想 方法 1：图象法； 方法 2：导数法； 方法 3：定义法； 方法 4：复合函数法 判断
5、函数的单调性优先考虑定义域，方法选择可先考虑图象法，再考虑复合函数法，关键时候用导 数法，别忘了定义法 注意注意：单调性证明只能用导数法和定义法 三、归类巩固三、归类巩固 第 3 页 共 12 页 *1给定函数yx 1 2 ；ylog1 2 (x1)；y|x1|；y2x 1，其中在区间(0，1)上单调递减的函 数的序号是_答案： *2下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是_ yln(x2) ，y x1， y 1 2 x， yx1 x 答案： *3 已知函数 f(x)在0， )上为增函数， g(x)f(|x|)， 若 g(lgx)g(1)， 则 x 的取值范围是_ 解析：g(lgx)g(1)，
6、g(x)f(|x|)， f(|lgx|)f(1) f(|lgx|)f(1) 又f(x)在0，)上是增函数，|lgx|1 1lgx1 1 10x10 答案： 1 10x10 *4若函数 f(x) a2x，x2， 1 2 x1，x2 是 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范围是_ 解析：由题意可知 a20 a22 1 2 21， 解得 a13 8 答案：a13 8 *5设函数 f(x)ax1 x2 在区间(2，)上是增函数，求实数 a 的取值范围是_ 答案：a1 2 *6设函数 f(x)x|xa|，若对任意的 x1，x22，)，x1x2，不等式f(x1)f(x2) x1x2 0 恒成立， 则实
7、数a的取值范围是 答案：(，2 类型类型三三：函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性 一、前测回顾一、前测回顾 1f(x)x( 1 2x1 1 2)的奇偶性为 答案：偶函数 2 若 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)13x，则 f(x) 第 4 页 共 12 页 答案： 13x，x0 0， x0 13x， x0 3设 f(x)是 R 上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x，则 f(75) ； 答案：1 2 二、方法联想二、方法联想 1判断判断(证明证明)函数的奇偶性函数的奇偶性 方法 1：定义法；方法 2：图象法 优先考虑用图象法，定义法前先判断定义域但
8、证明奇偶性只能用定义法 2已知函数奇偶性，求参数的值已知函数奇偶性，求参数的值 方法方法 1：特殊值法，若函数为奇函数且 0 在定义域内，用 f(0)0 方法方法 2：利用定义，转化方程恒成立问题 优先用方法 1，但要注意检验如果是解答题，必须用定义证明其奇偶性 3函数周期性问题函数周期性问题 函数周期性的判断常用定义，即函数周期性的判断常用定义，即如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x， 都有 f(xT) f(x)，则称 f(x)为周期函数 有关周期性常用结论有关周期性常用结论： 若函数满足 f(xa)f(x)，则 f(x)的周期为 2a 若函数满足 f(xa) 1 f(x
9、)，则 f(x)的周期为 2a 若函数满足 f(xa) 1 f(x)，则 f(x)的周期为 2a 4奇偶性、单调性应用奇偶性、单调性应用 处理函数问题，如最值、解不等式、图象等，可分析函数的奇偶性，判断函数的单调性，其中奇(偶) 函数 y 轴两侧单调性口诀：奇同偶反 三、归类巩固三、归类巩固 *1若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(，0上是减函数，且 f(2)0，则 f(x)0 的 x 的取值范 围是 答案：(2，2) *2已知函数 f(x)对任意实数 x 都有 f(x2) 1 f(x)，若 f(1)5，则 f(f(5)_ 答案：1 5 第 5 页 共 12 页 *3若 f(x) x
10、 (2x1)(xa)为奇函数，则 a 的值为 答案： 1 2 *4已知 f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当 0x3 时，f(x)的图像如图所示，那么不等式 xf(x)0 的解集为_答案：(1,0)(0,1) *5已知函数 f(x) x22x， x0， x22x， x0 若 f(a)f(a)2f(1)，则a 的取值范围是 答案：1，1 *6 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且 f(x4)f(x)对一切实数 x 都成立，若 f(1)0，则关于 x 的方程 f(x)0 在0，10上的解的个数为 _答案：11 类型类型四四：函数图像函数图像 一、前测回顾一、前测回顾 1已知函数 f(x
11、)ln(2x1)， 将函数 yf(x)图象向右平移 2 个单位后的解析式为 与函数 yf(x)图象关于 y 轴对称的函数解析式为 答案：yln(2x3)；yln(12x)； 2方程 1x2xm 有一个实数解，则 m 的取值范围为 答案： 1，1) 2 二、方法联想二、方法联想 1函数图函数图象变换象变换 （一）对称变换； （二）翻折变换； （三）平移变换； （四）伸缩变换 处理函数问题优先考虑函数的图象，即数形结合法作函数图象时，先考虑用图象变换法转化为基本 函数问题我们也可以由函数的图象分析函数的性质(或值域)，反过来要考虑函数的性质对函数作图的作 用 2图象的对称问题图象的对称问题 方法
12、1：相关点法；方法 2：特殊值法 常用结论：常用结论： 若函数满足 f(ax)f(bx)，则 f(x)图象关于 x ab 2 对称 若函数满足 f(ax)f(bx)m，则 f(x)图象关于(ab 2 ，m 2)对称 三、归类巩固三、归类巩固 *1方程|x|cosx 在(，)内有_个实数根 答案：有且仅有两个根 第 6 页 共 12 页 *2若对任意 xR，不等式|x|ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 答案：|a|1 *3若方程 2a|ax1|(a0，a1)有两个实数解，求实数 a 的取值范围是_ 答案： 0，1 2 *4已知 yf(x)是 R 上的增函数，A(0，1)、B(3,1)是其
13、图像上两个点，则不等式|f(x1)|1 的解集 是_ 解析：|f(x1)|11f(x1)1f(0)f(x1)f(3)，又 yf(x)是 R 上的增函数，0x13 1x2 答案：x|1x2 *5已知 f(x)是定义在 R 上的函数，满足 f(x)f(x)0，f(x1)f(x1)，当 x(0，1)时，f(x) x2x，则函数 f(x)的最小值为 答案：1 2 *6f(x)的定义域为 R，且 f(x) 2 x1x0， fx1x0， 若方程 f(x)xa 有两个不同实根，则 a 的取值范 围为_ 答案：(，1) 综合综合应用应用篇篇 一、例题分析一、例题分析 例 1 设函数 f(x)ln|x| 1 x
14、2，则使得 f(x)f(2x1)成立的 x 的取值范围是_ 答案答案：(1 3， 1 2)( 1 2，1) 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法）主要问题归类与方法： 1解不等式问题 方法 1：直接求解； 方法 2：转化为常见代数不等式(组)求解，通常的方法有:换元法，利用函数的单调性等 2判断(证明)函数的奇偶性 方法 1：定义法；方法 2：图象法 3判断函数单调性 方法 1：图象法； 方法 2：导数法； 方法 3：定义法； 方法 4：复合函数法 第 7 页 共 12 页 （2）方法选择与优化建议）方法选择与优化建议： 本题是解不等式问题，直接求解比较复杂，考虑将其转化后求解，而显然换
15、元法也不行，所以考虑利 用函数的单调性转化，所以要判断函数的单调性，考虑到本题的函数解析式中含有绝对值，是分段函数， 研究单调性，需分段进行，对于函数性质的研究，通常需要整体把握，即从定义域，奇偶性，单调性和周 期性等方法综合考虑，有些函数的问题，必要时还要看一些特殊的点。本题中的函数是偶函数，当 x0 时，f(x)lnx 1 x2，可用导数法证明: f(x)在(0，)上单调递增，由奇偶性知，f(x)在(，0)上单调递减. 为了便于转化不等式，可将不等式转化为 f(|x|)f(|2x1|)，从而得到|x|2x1|0 例 2 已知函数 f(x)ln(2x 2) |x2|2 （1）试判断 f(x)
16、的奇偶性并给予证明； （2）求证：f(x)在区间(0，1)上单调递减. 答案： （1）f(x)为奇函数. （2）略. 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法）主要问题归类与方法： 1判断(证明)函数的奇偶性 方法 1：定义法；方法 2：图象法 证明函数的奇偶性，只能用定义法 2证明函数单调性 方法 1：图象法； 方法 2：导数法； 方法 3：定义法； 方法 4：复合函数法 本题考查用定义判断函数的奇偶性、单调性.本题的易错点有两个，一是忽视先求出定义域，直接 判断 f(x)与 f(x)的关系；二是在第二问中机械套用定义，对 f(x1)、f(x2)直接作差，反而无法证明函数 的单调性. （2
17、）方法选择与优化建议）方法选择与优化建议： 1.对于一个函数 f(x)，它由定义域和对应法则唯一确定，因此对函数一系列的性质的研究也都应该在 定义域的基础上展开，判断函数的奇偶性必须先检验函数的定义域是否对称，求函数的单调区间也 必须首先判断函数的定义域. 2.本题中的函数 f(x)的解析式是由多个基本初等函数复合而成，因此其单调性的证明转化为几个基本初 等函数单调性的判断，证明过程的最后一步利用了不等式的性质：若 ab0，cd0，则 acbd. 例 3 （1）已知函数 y|x 21| x1 的图象与函数 ykx2 的图象恰有两个交点， 那么实数 k 的取值范围是 第 8 页 共 12 页 （
18、2）已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)1 2(|xa 2|x2a2|3a2)若对于 任意 xR，有 f(x1)f(x)，则实数 a 的取值范围为 答案: (1)(0，1)(1，4)；(2) 6 6 ， 6 6 . 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法）主要问题归类与方法： 1函数图象交点的个数问题 方法：借助基本函数的图象，及直线的几何意义观察，交点的个数 2不等式恒成立问题 方法 1：分离变量法，分离变量转化为求函数的最值问题； 方法 2：直线讨论函数的单调性，求函数的最值，再转化为解不等式； 方法 3：图象法，利用函数的图象，考查一个曲线在另一曲线的上
19、下方的条件 （2）方法选择与优化建议）方法选择与优化建议： 第(1)题，研究函数图象的交点情况，由于函数 y|x 21| x1 图象是确定的且可画出，函数 ykx2 的图 象是一条过(0，2)，斜率为 k 的动直线，本题就是考查动直线在变化过程中与定曲线有两个交点， 可借助于图象的直观来解决问题。 第(2)题，由于函数比较复杂且解析式中含有参数，无法进行变量分离，利用方法 2 也不易转化为解不 等式问题，所以本题采用方法 3，方法 3 的关键是画出函数的图象，由于 x0 时，图象是分段函数， 每段都是直线，x0 的图象可利用奇函数图象关于原点对称作出。 例 4 设 f(x)是定义在 R 上的奇
20、函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x)当 x0，2时，f(x)2x x2 （1）求证：f(x)是周期函数； （2）当 x2，4时，求 f(x)的解析式； （3）计算 f(0)f(1)f(2)f(2 015) 答案： （1）f(x)是周期为 4 的周期函数 （2）f(x)x26x8，x2，4 （3）0. 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法）主要问题归类与方法： 本题考查函数的周期性和奇偶性.第一问只需证明 f(x4)f(x)，即可说明 f(x)是周期函数；第二 问利用奇偶性求得函数 f(x)在2，0上的解析式，进而利用周期性求得 f(x)在2，4上的解析式；第 三问则是利用函数
21、值的周期性求和. （2）方法选择与优化建议）方法选择与优化建议： 第 9 页 共 12 页 1.本题的易错点是在第二问的求解析式， 应强调将所求区间上的 x 转化为符合已知区间上的变量特征， 进而利用已知的解析式求出结论. 2.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题判断函数的周期只需证明 f(xT)f(x) (T0)，便可证明函数是周期函数，且周期为 T. 二、反馈巩固二、反馈巩固 *1若函数 f(x) x22x， x0 x2ax，x0是奇函数，则满足 f(x)a 的 x 的取值范围是 答案：(1 3，) (考查函数的奇偶性，不等式的解法). *2函数 y2x1 x1 的
22、图象向下平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位后所得的图象的函数解析式为 _ 答案：y 3 x6 （考察函数的平移变化） *3已知偶函数 f(x)在0，)单调递减，f(2)0若 f(x1)0，则x的取值范围是 ； 答案 (1，3) (考查函数的奇偶性和单调性). *4若函数 yf(x)的值域是1 2，3，则函数 F(x)f(x) 1 f(x)的值域是 答案：答案：2，10 3 （本题考查函数的值域） *5已知函数 f(x)是(，)上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2)f(x)，且当 x0,2)时，f(x) log2(x1)，则 f(2012)f(2013)的值为_ 答案：答案：1 （本题
23、考查函数的奇偶性、周期性） 解析：x0，都有 f(x2)f(x)，则 x0 时，f(x)周期是 4，则 f(2012)f(0)0；f(2013)f(2013) f(1)1 *6已知 t 为常数，函数 y|x22xt|在区间0，3上的最大值为 2，则 t_答案：1 (考查函数的最值问题) *7函数 f(x)对一切实数x都满足 f(1 2x)f( 1 2x)，并且方程 f(x)0 有三个实根，则这三个实根的和 为 答案 3 2 (考查函数图像的对称性,函数零点). 第 10 页 共 12 页 *8已知函数 f(x) (a3)x5，x1， 2a x ，x1 是(，)的减函数，那么 a 的取值范围是
24、； 答案 (0，2 (考查分段函数的单调性). *9 已知函数 f(x)e|x|， m1， 对任意的 x1， m， 都有 f(x2)ex， 则最大的正整数 m 为_ 答案：4 (考查函数的单调性，不等式恒成立问题，数形结合的思想方法). *10设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1上，f(x) ax1，1x0 bx2 x1 ，0x1 ，其中 a，bR，若 f 1 2 f 3 2 ，则 a3b 的值为_ 解析：由题意得，f(1 2)f( 3 2)f( 1 2)， 所以 b 22 3 2 1 2a1， 3 2ab1. 又 f(1)f(1)，b2a. 解得 a2，b4，a3b
25、10. 答案：10 （本题考查函数周期性） *11已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx，若 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 _答案：答案：(1 2，1) （本题考查函数与方程、函数的图象） 解析: g(x)kx 过（0，0）旋转，和 f(x)|x2|1 有两个交点 *12已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足 f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，若方程 f(x) m(m0)在区间8，8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4_. 答案：8 （本题考查函数周期性，奇偶性，单调性，数型结合） *13设函数 f(x)log2(a
26、xbx)且 f(1)1，f(2)log212. （1）求 a、b 的值； （2）当 x1，2时，求 f(x)的最大值 答案： （1）a4，b2； （2）2log23. 第 11 页 共 12 页 (考查待定系数法，二次函数与对数函数的值域). *14 已知函数 g(x) x1 与 h(x) 1 x3， x(3， a， 其中 a 为常数且 a0， 令函数 f(x)g(x) h(x) （1）求函数 f(x)的表达式，并求其定义域； （2）当 a1 4时，求函数 f(x)的值域 答案：答案： （1）f(x) x1 x3 ，x0，a； （2）1 3， 6 13 说明： （1）考查函数的解析式、定义域；
27、 （2）考查函数的值域 解析：令 t x1，则 t1，3 2且 x（t1） 2 yf(x) t (t1)2+3y 1 t24 t t24 t在1，2上递减，在2，+）上递增， t (t1)2+3在1， 3 2上递增，即此时 f（x）的值域为 1 3， 6 13 *15设函数 f(x) 2xa，x1， 4(xa)(x2a)，x1. (1)若 a1，求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围 答案：(1)1；(2) 1 2，1)2，) (考查函数的图象，函数最值与零点问题). *16已知函数 f(x)x 22xa x ，x1，) (1)当 a1 2时，求函数
28、 f(x)的最小值； (2)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围 解(1)当 a1 2时，f(x)x 1 2x2，在1，)上为增函数，f(x)minf(1) 7 2. (2)f(x)xa x2，x1，) 当 a0 时，f(x)在1，)内为增函数最小值为 f(1)a3. 要使 f(x)0 在 x1，)上恒成立，只需 a30，即 a3，33.01 时，f(x)在1， a上为减函数，在( a，)上为增函数，所以 f(x)在1，)上的最小 值是 f( a)2 a2，2 a20，显然成立 综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a 的取值范围是(3，) (考查函数的单调性,不
29、等式恒成立). *17设函数 f(x)kaxa x (a0 且 a1)是奇函数 (1)求 k 的值； (2)若 f(1)0，解关于 x 的不等式 f(x22x)f(x4)0； (3)若 f(1)3 2，且 g(x)a 2xa2x 2mf(x)在1，)上的最小值为2，求 m 的值 解 (1)因为 f(x)是奇函数，且 f(0)有意义，所以 f(0)0，所以 k10，k1. (2)因为 f(1)0，所以 a1 a0，a1，f(x)a xax是 R 上的单调增函数 于是由 f(x22x)f(x4)f(4x)，得 x22x4x，即 x23x40，解得 x4 或 x1. (3)因为 f(1)3 2，所以
30、 a 1 a 3 2，解得 a2(a0)，所以 g(x)2 2x22x2m(2x2x)(2x2x)2 2m(2x2 x)2.设 tf(x)2x2x，则由 x1， 得 tf(1)3 2，g(x)t 22mt2(tm)22m2. 若 m3 2，则当 tm 时，ymin2m 22，解得 m2. 若 m3 2，则当 t 3 2时，ymin 17 4 3m2， 解得 m25 12(舍去)综上得 m2. (考查函数的奇偶性和单调性). *18定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：xD，常数 M0，都有| f(x)|M 成立，则称 f(x)是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 f(x)的上界.已知函数 f(x)1xax2. （1）当 a1 时，求函数 f(x)在(，0)上的值域，判断函数 f(x)在(，0)上是否为有界函数，并 说明理由； （2）若函数 f(x)在1，4上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围. 答案： （1）函数 f(x)在(，0)上不是有界函数. （2）实数a的取值范围为1 2， 1 8 (考查转化的思想方法，不等式的恒成立与二次函数的最值问题，分离变量讨论参数范围).
