1、 1 专题专题 6 6：空间的平行与垂直问题：空间的平行与垂直问题 问题归类篇问题归类篇 类型一类型一: 线线平行线线平行 一、前测回顾一、前测回顾 1如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，若 D、E 是棱 CC1，AB 的中点，求证：DE平面 AB1C1 提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法” ：取 AB1的中点 F，证四边形 C1DEF 是平行四边形 “中心投影法”延长 BD 与 B1C1交于 M，利用三角线中位线证 DEAM 法二：用面面平行的性质 取 BB1中点 G，证平面 DEG平面 AB1C1 二、方法联想二、方法联想 （1）证明线线平行）证明线线平行 方法 1
2、：利用中位线； 方法 2：利用平行四边形； 方法 3：利用平行线段成比例； 方法 4：利用平行公理； 方法 5：利用线面平行性质定理； 方法 6：利用线面垂直性质定理； 方法 7：利用面面平行 （2）已知线线平行，可得线面平行）已知线线平行，可得线面平行 三、归类巩固三、归类巩固 *1如图，在五面体 ABCDEF 中，面 ABCD 为平行四边形，求证：EFBC (平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行) 类型二类型二: 线面平行线面平行 一、前测回顾一、前测回顾 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中， (1)求证：平面 A1BD平面 B1D1C (2)若 E， F 分别是 A1A， C1
3、C 的中点， 求证： 平面 EB1D1平面 BDF 提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明 BDB1D1，A1BD1C (2)证明 BDB1D1，BFD1E 二、方法联想二、方法联想 （1）证明线面平行）证明线面平行 方法 1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行寻找平面内平行直线步骤，如下图：在直线 和平面外寻找一点 P；连接 PA 交平面 于点 M；连接 PA 交平面 于点 N，连接 MN 即 为要找的平行线 A1 D1 A B C D B1 C1 E F A B C A1 B1 C1 D E A B C D E F 2 方法 2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行寻找
4、平面内 平行直线步骤，如下图：选择直线上两点 A、B 构造两平行直线 和平面 相交于 M、N；连接 MN 即为要找的平行线 方法 3：构造面面平行构造平行平面步骤，如下图：过 A 做 AC 平 行于平面 内一条直线 AC；连结 BC；平面 ABC 即为所要 找的平行平面 （2）已知线面平行）已知线面平行 方法 1 可得线线平行，过直线 l 做平面 交已知平面 于直线 m，则 lm 方法 2 可得面面平行 三、归类巩固三、归类巩固 *1如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，D、E 是棱 CC1，AB 的上的点，且 AE2 3AB， 若 DE平面 AB1C1，求 CD DC1的值 （已知线面，
5、转化为线线平行） *2E，P，G，H 分别是四面体的棱 ABCD 的棱 AB、CD、CA、CB 的中点， 求证：PE平面 PGH （通过面面的平行证明线面平行） *3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 A1A 的中点点 F 在棱 CC1上，使得平面 EB1D1平面 BDF 求证：点 F 为棱 CC1的中点 类型三类型三: 面面平行面面平行 一、前测回顾一、前测回顾 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为棱 CC1的中点，AC 交 BD 于 O，求证：A1O平面 MBD 提示：用线面垂直的判定定理： 证 BD平面 AA1C1C，从而得出 BDA1O； 在矩形 AA1C1C 中，
6、用平几知识证明 A1OOM； 二、方法联想二、方法联想 （1）证明面面平行）证明面面平行 方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行 注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行 M O A1 D1 A B C D B1 C1 m l A B C A C A M N B A B C D E P H G 3 A B C S G F E （2）已知面面平行）已知面面平行 可得线线平行可得线线平行 三、归类巩固三、归类巩固 *1 如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 SBC，ABBC，ASAB，过 A 作 AFSB，垂足为 F， 点 E，G 分别是
7、棱 SA，SC 的中点 求证： （1）平面 EFG平面 ABC； （2）BCSA 答案：证明略 (考查平面与平面平行，线线垂直) 类型四类型四: 线线垂直线线垂直 一、前测回顾一、前测回顾 1在正三棱柱 ABCA1B1C1中，所有棱长均相等，D 为 BB1的中点，求证：A1BC D 分析：要证明 A1BC D，只要证明 A1B 与 CD 所在的平面垂直，或 CD 与 A1B 所在的平面垂直， 但都没有现成的平面， 构造经过 CD 的平面与直线 A1B 垂直， 或经过 A1B 的平面与 直线 CD 垂直 方法 1：取 AB 的中点 E，连 CE，证 A1B平面 CDE； 方法 2：取 B1C1的
8、中点 F，连 BF，证 CD平面 A1BF 二、方法联想二、方法联想 （1）证明线线垂直）证明线线垂直 方法 1：利用线面垂直； 构造垂面证线线垂直构造垂面证线线垂直 要证 l 垂直于 AB，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：过 A 找垂 直于 l 的直线 AC；连结 BC，证 BC 垂直 l ，则 l面 ABC 方法 2：利用线线平行转移线线垂直； 方法 3：利用勾股定理； 方法 4：利用等腰三角形三线合一； 方法 5：利用菱形对角线互相垂直； 方法 6：利用四边形为矩形 （2）已知线线垂直）已知线线垂直 可可得线面垂直得线面垂直 三、归类巩固三、归类巩固 *1在正三棱柱 ABCA1B1C1中
9、， D 为 BB1的中点， A1BCD，求证：AA1AB 类型类型五五: : 线面垂直线面垂直 一、前测回顾一、前测回顾 1如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，PBPD，且 E，F 分别是 BC， CD 的中点 求证：平面 PEF平面 PAC 提示：设 EF 与 AC 交于点 O，证 EFAC，EFOP， 从而得出 EF平面 PAC A1 B C C1 B1 D A B C D A P E F A B l C 4 二、方法联想二、方法联想 （1）证明线面垂直）证明线面垂直 方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直 （2）已知线面垂直）已知线面垂直 可得线线垂直和面面可得线线
10、垂直和面面垂直垂直 三、归类巩固三、归类巩固 *1如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形，PBPD，且 E，F 分别是 BC， CD 的 中点，若平面 PEF平面 PAC，求证：四边形 ABCD 是菱形 *2在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AC 交 BD 于 O，点 M 在棱 CC1上，且 A1O平面 MBD， 求证：M 为棱 CC1的中点 （线面垂直得线线垂直）（线面垂直得线线垂直） *3在四面体 ABCD 中，ADBC，CACBCD1，BD 2，则ABC 的面积为_ （计算证明线线垂直） *4在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，AB1BC1，求证：A1
11、CBC1 （利用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的 垂直转化为线面的垂直） 类型六类型六: 面面垂直面面垂直 一、前测回顾一、前测回顾 1如图，已知 VB平面 ABC，侧面 VAB侧面 VAC，求证：VAC 是直角三角形 提示：过 B 作 BDVA，垂足为 D， 由侧面 VAB侧面 VAC，得出 BD侧面 VAC，从面 BDAC， 由 VB平面 ABC，得 ACVB，从而 AC平面 VAB 所以 ACVA 二、方法联想二、方法联想 （1）证证明面面垂直明面面垂直 关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直 找垂线的一般方法： 分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条
12、直线垂直于平面； 找（或作）两平面交线的垂线 若存在第三个平面与其中一个面垂直，则在第三个内作找或作它们的交线的垂线（可以就是第 三个与另一个平面的交线） ，再将这个垂线转移到另一个平面内 （2）已知面面垂直）已知面面垂直 优先在其中一个平面内找或作两个平面交线的垂线，转化为线面垂直 三、归类巩固三、归类巩固 *1在四棱锥 PABCD 中，CD平面 PAD，PAD 是正三角形，DC/AB，DADC2AB 求证：平面 PBC平面 PDC. B C A V A B C A1 B1 C1 P A B C D B C D A P E F 5 （存在第三个面与其中一个面垂直） 提示 1：取 PD 中点
13、M，则 AM平面 PDC，下面只需将 AM 平移到平面 PBC 内 提示 2：作出平面 PAD 与平面 PBC 的交线 PN，只需证明 PN平面 PDC 类型七类型七: 有关表面积、体积计算有关表面积、体积计算 一、前测回顾一、前测回顾 1设 P，A，B，C 是球 O 表面上的四个点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PAPB1，PC2，则球 O 的 表面积是_ 答案 ：6 2如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC 5，AA13，M 为线段 B1B 上的一动点，则 当 AMMC1最小时，AMC1的面积为_ 答案： 3 二、方法联想二、方法联想 表面距离问题考虑表面展开，转化成
14、平面问题 体积计算，先证明高，后用体积公式求体积 三、归类巩固三、归类巩固 *1在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60 ， 侧棱 PA底面 ABCD，PA2，E 为 AB 的中点，则四面体 PBCE 的 体积为 *2如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm，AA12cm， 则四棱锥 ABB1D1D 的体积为 cm3 答案：6 (考查空间几何体的体积计算) *3三棱锥 P - ABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 D - ABE 的体积 为 V1，P - ABC 的体积为 V2，则V1 V2_ 答案：1 4 (考查空间多面
15、体的体积的关系) 综合应用篇综合应用篇 一、例题分析一、例题分析 例例 1：在四棱锥 PABCD 中，ABCACD90 ，BACCAD60 ，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA2AB (1)若 F 为 PC 的中点，求证：PC平面 AEF； (2)求证：CE平面 PAB A D B E P F P A B C D E 6 提示提示：(1)证明：PCAF，PCEF (2)中心投影法：延长 CD 与 AB 交于 G，证明 CEPG 平行投影法：取 PA 中点 M，过 C 作 CNAD 交 AB 于 N 证四边形 CEMN 是平行四边形，从而得 CEMN 面面平行的性质：取 AD 中点
16、H，证明平面 CEH平面 PAB 教学建议教学建议 一、主要问题归类与方法一、主要问题归类与方法： 1证明直线与平面垂直 方法：(1)定义法：ab，b 为平面 内任意一条直线 a平面 (2)线面垂直的判定定理：am，an，m平面 ，n平面 ，mnA a平面 (3)面面垂直的性质定理：平面 平面 ，平面 平面 l，a平面 ，al a平面 2证明直线与平面平行 方法：(1)定义法：常常借助反证法完成； (2)判定定理：ab，a平面 ，b平面 a平面 用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线， 其方法有：中心投影法与平行投影法 证明线线平行常用方法： 平面几何的方法：三角形中位
17、线，平行四边形，平行线段成比例等 面面平行的性质：，m，nmn 线面垂直的性质：a平面 ，b平面 ab 公理 4：ac，bcab (3)面面平行的性质：平面 平面 ， a平面 a平面 二、方法选择与优化建议二、方法选择与优化建议： 1用方法(2)，方法(2)是证明线面垂直的常用方法。方法(1)一般不常用，方法(3)的前提是条件中要 有面面垂直，否则，证明面面垂直还需用到线面垂直。本题中有线线垂直，线面垂直的条件，便 于找以直线与直线的垂直，因而用方法(2)比较好 2用方法(2)与方法(3)均可以，但显然方法(2)比方法(3)要简单些，因为方法(3)要先证明面面平行， 而证明面面平行，要先证明两
18、个线面平行；对于方法(2)，一般中心投影法和平行投影法均可，证 明时，要视所给的条件来定，本题中找中心投影较方便 例例 2：如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，D1D平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形， AB2AD，ADA1B1，BAD60 (1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面 A1BD 提示提示：(1)证明：BD平面 ADD1A1 (2)利用平行投影法，设 ACBDE，连接 EA1， 证明 CC1EA1 教学建议教学建议 一、主要问题归类与方法一、主要问题归类与方法： 1证明直线与直线垂直 7 方法：(1)证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直； (
19、2)利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直； (3)利用平面几何的知识来证明：如：勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线 互相垂直；利用矩形的性质等 2证明直线与平面平行 方法：(1)定义法：常常借助反证法完成； (2)判定定理：ab，a平面 ，b平面 a平面 用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线， 其方法有：中心投影法与平行投影法 证明线线平行常用方法： 平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等 面面平行的性质：，m，nmn 线面垂直的性质：a平面 ，b平面 ab 公理 4：ac，bcab (3)面面平行的性质：平面 平面 ，
20、 a平面 a平面 二、方法选择与优化建议二、方法选择与优化建议： 1用方法(1)，方法(1)是证明两异面直线垂直的常用方法；方法(3)是证明共面直线垂直常用的方法； 方法(2)只是转化为证明另一直线与直线的垂直本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方 法(1)，由于条件中有 DD1平面 ABCD，所以 DD1BD，因而目标是证明：BD平面 ADD1A1， 又因为 BD 与 AD 共面，所以下一步考虑证明 BDAD 2证明线面平行，既可有判定定理来证，也可有面面平行的性质来证，但以用判定定理来证要容易 些，而用判定定理关键是找到平面内与已知直线平行的直线，所以要学会“中心投影法”与“平 行投影
21、法” 例例 3：如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，PDDC4，AD2，E 为 PC 的中点 (1)求证：ADPC；(2)求三棱锥 PADE 的体积； (3)在线段 AC 上是否存在一点 M，使得 PA平面 EDM，若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明 理由 提示：提示：(1)证明：AD平面 PDC (2)答案： 8 3 (3) 当 M 为 AC 中点时，PA平面 EDM，此时 AM 5 教学建议教学建议 一、主要问题归类与方法一、主要问题归类与方法： 1证明直线与直线垂直 方法：(1)证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直； (2)
22、利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直； (3)利用平面几何的知识来证明：如：勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线 互相垂直；利用矩形的性质等 2求几何体的体积问题： 方法：根椐几何体的类型及体积计算公式，考虑计算所需的量对于高要先证明垂直关系 A B D C E P 8 3探究命题成立的条件问题： (1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： 先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； 把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件 (2)对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行
23、推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯 定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设 二、方法选择与优化建议二、方法选择与优化建议： 1用方法(1)，方法(1)是证明两异面直线垂直的常用方法；本题中所证明两直线是异面直线，因而考 虑用方法(1)， 2多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体 体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积 3本题是对命题条件的探索；采用方法，先找到使得 PA平面 EDM 所应具备的条件，再反过来 去证明 二、反馈巩固二、反馈巩固 *1已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面下列说法正确的有 若 m，n，则
24、mn；若 m，n，则 mn； 若 m，mn，则 n；若 m，mn，则 n 答案： (考查空间直线与平面位置关系的判定) *2设 、 为空间任意两个不重合的平面，则： 必存在直线 l 与两平面 、 均平行； 必存在直线 l 与两平面 、 均垂直； 必存在平面 与两平面 、 均平行； 必存在平面 与两平面 、 均垂直 其中正确的是_ （填写正确命题序号） 答案：(考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力) *3圆锥的侧面展开图是圆心角为 3，面积为 2 3 的扇形，则圆锥的体积是_ 答案：(考查圆锥的侧面展开图及体积的计算) *4在ABC 中，ACB90 ，AB8，BAC60 ，PC平面 AB
25、C，PC2 6，M 是 AB 边上的一动 点，则 PM 的最小值为 答案：6 (考查考查：线面垂直的性质，点到直线的距离) *5如图，PA菱形 ABCD 所在的平面，M 是 PC 上的一个动点，当点 M 满足 时，平面 MDB平面 PCD 答案：MDPC或MBPC(考查考查：线面垂直，面面垂直的判定定理) P 9 *6 已知底面边长为 1， 侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上， 则该球的表面积为 答案：4 (考查球的表面积) *7设甲、乙两个圆柱的底面分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，且S1 S2 9 4， 则V1 V2的值是 答案： 3 2 (考查体
26、积) *8如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E 分别是棱 BC， CC1上的点（点 D 不同于点 C） ，且 ADDE，F 是 B1C1的中点 求证：(1)平面 ADE平面 BCC1B1； (2)直线 A1F平面 ADE 答案：证明略 (考查平面与平面平行，直线与平面平行) *9如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点.已知 PAAC，PA6， BC8，DF5 求证： (1)直线 PA平面 DEF； (2)平面 BDE平面 ABC. 答案：证明略 (考查线面平行，面面垂直) *10如图，在矩形 ABCD 中，AD2，AB4，E，F
27、 分别为边 AB，AD 的中点现将ADE 沿 DE 折起， 得四棱锥 ABCDE. (1) 求证：EF平面 ABC； (2) 若平面 ADE平面 BCDE，求四面体 FDCE 的体积 答案： （1）证明略； （2）2 2 3 (考查折叠问题，平面与平面平行，面面垂直的性质定理，体积计算) *11已知如图所示的多面体中，四边形 ABCD 是菱形，四边形 BDEF 是矩形，ED平面 ABCD， BAD 3 (1)求证：平面 BCF平面 AED； (2)若 BFBDa，求四棱锥 A- BDEF 的体积 答案： （） 3 6 a3( (考查考查：面面平行的判定定理；棱锥体积公式) A C D B1 E
28、 F A1 C1 B A B F E D C P A B C D D1 C1 B1 A1 10 B C A1 B1 C1 M N A *12如图，直三棱柱 ABCABC，BAC90 ，ABAC 2，AA1，点 M，N 分别为 AB 和 BC 的中点 (1)证明：MN平面 AACC； (2)求三棱锥 AMNC 的体积 答案： （）1 6 (考查考查：线面平行的判定定理；面面平行的性质；体积变换) *13如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACAA13a，BC2a，D 是 BC 的中点，E 为 AB 的中点，F 是 C1C 上一点，且 CF2a. (1) 求证：C1E平面 ADF； (2)
29、 试在 BB1上找一点 G，使得 CG平面 ADF； (3) 求三棱锥 DAB1F 的体积 答案： （1） （2）证明略； （3）5 2 3 a3 (考查直线与平面平行，探索性问题，线面垂直的判定定理，体积计算) *14如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 A1ACC1是边长为 2 的菱形，A1AC60o在面 ABC 中， AB2 3，BC4，M 为 BC 的中点，过 A1，B1，M 三点的平面交 AC 于点 N (1)求证：N 为 AC 中点； (2)平面 A1B1MN平面 A1ACC1 答案：证明略 (考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理， 综合考查空间想象及逻辑推理能力) *15已知直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1 3，过 A 作 AECD，垂 足为 E，G，F 分别为 AD，CE 的中点，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC，如图所示 (1)求证：BC平面 CDE； (2)求证：FG平面 BCD； (3)在线段 AE 上找一点 R，使得平面 BDR平面 DCB，并说明理由 答案： （3） 1 2 AR (考查考查：线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理； 面面垂直的判定定理和性质定理)
