1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（7） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，a、bR，za+i， : = ，则 ba（ ） A1 B1 C1 2 D2 3 （5 分）下列结论中错误的是（ ） A命题“若 m2+n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0” B命题 p：
2、x0R，使得 x02+2x0+20 的否定为xR，x2+2x+20 C命题“若 m0，则方程 x2+xm0 有实根”的逆否命题是真命题 D若 f（x）x2+4x，则使 f（x）0 的解是 x4 或 x0 4 （5 分）设平面向量 =（2，1） ， =（，2） ，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范 围是（ ） A （ 1 2，2）（2，+） B （，4）（4，1） C （1，+） D （，1） 5 （5 分）已知 为第一象限，sin+cos= 5 4，则 cos( 4041 2 2) =（ ） A 9 16 B 9 16 C 57 16 D57 16 6 （5 分）设 f（x）是函数 f（x）的
3、导函数，yf（x）的图象如图所示，则 yf（x）的图 象最有可能的是（ ） A B 第 2 页（共 18 页） C D 7 （5 分）将函数 f（x）2sin（3x+） （0）图象向右平移 8个单位长度后，得到函 数的图象关于直线 x= 3对称，则函数 f（x）在, 8 ， 8-上的值域是（ ） A1，2 B3，2 C, 2 2 ，1- D,2，2- 8 （5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一 根根同长短的小木棍 如图， 是利用算筹表示数 19 的一种方法 例如： 3 可表示为 “” ， 26 可表示为“” 现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩
4、余，则可以用 19 这 9 数字表示两位数的个数为（ ） A13 B14 C15 D16 9 （5 分）已知ABC 的面积 S= 3 4 （a2+c2b2） ，且 ac4sinAsinC，则 b（ ） A2 B3 C2 D3 10 （5 分） 已知双曲线2 2 3 = 1的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点 P 在双曲线上， 且F1PF2 120，F1PF2的平分线交 x 轴于点 A，则|PA|（ ） A 5 5 B25 5 C35 5 D5 11 （5 分）函数 f（x）在区间（a，b）上有 f（x）0，f（x）0，则 f（x）的图象形 状为（ ） A B C D 12 （5 分）四边形
5、 ABDC 是菱形，BAC60，AB= 3，沿对角线 BC 翻折后，二面角 第 3 页（共 18 页） ABCD 的余弦值为 1 3，则三棱锥 DABC 的外接球的体积为（ ） A5 B6 C7 D22 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初 期有大幅提高 为了掌握学生的体质与健康现状， 合理制定学校体育卫生工作发展规划， 某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市 30000 名高中男生的身高 （单位：cm）服从正态分布 N（172，2） ，且
6、 P（172180）0.4，那么该市身高 高于 180cm 的高中男生人数大约为 14 （5 分） 抛掷一枚骰子 10 次， 若结果 10 次都为六点， 则下列说法正确的序号是 若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件； 若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件； 这枚骰子质地一定不均匀 15 （5 分）已知点 P（x，y）在（x+2）2+y23 上，求 的最小值 16 （5 分）已知 f（x）为定义在 R 上的偶函数，g（x）f（x）+x2，且当 x（，0时， g（x）单调递增，则不等式 f（x+1）f（x+2）2x+3 的解集为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分
7、，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn2an2n1， （nN+） （）求证：数列an+2是等比数列； （）求数列n （an+2）的前 n 项和 18 （12 分）在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，E， F 分别为棱 PC 和 AB 的中点 （1）求证：EF平面 PAD； （2）若直线 PC 与 AB 所成角的正切值为 5 2 ，求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大 小 第 4 页（共 18 页） 19 （12 分）为了解重庆市高中学生在面对新高考模式“3+1+2”的科目选择中，
8、物理与历 史的二选一是否与性别有关， 某高中随机对该校 50 名高一学生进行了问卷调查得到相关 数据如下列联表： 选物理 选历史 合计 男生 5 女生 10 合计 已知在这 50 人中随机抽取 1 人，抽到选物理的人的概率为3 5 （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为物理与历史的二选一 与性别有关？ P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.072 2.076 3.841 6.635 7.879 10.828 （参考公式2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 为样本容量） （2）已知在选物理的 1
9、0 位女生中有 3 人选择了化学地理，有 5 人选择了化学、生物， 有 2 人选择了生物、地理，现从这 10 人中抽取 3 人进行更详细的学科意愿调查，记抽到 的 3 人中选择化学的有 X 人，求随机变量 X 的分布列及数学期望 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为1 2，点 A（1， 3 2）在椭圆 C 上， 直线 l1过椭圆 C 的右焦点与上顶点，动直线 l2：ykx 与椭圆 C 交于 M、N 两点，交 l1 于 P 点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 O 为坐标原点，若点 P 满足|OP|= 1 4|MN|，求此时|MN|的长度 21 （
10、12 分）已知函数 f（x）ex+kx 第 5 页（共 18 页） （1）若 k0，且对于任意的 x0，f（x）0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （2） 设函数 F （x） f （x） +f （x） ， 求证： (1) (2) ()(:1+ 2) 2( ) 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已 知直线 l 的参数方程为 = 1 2， = 3 2 （t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为 2cos+3 （1）求 C 的直角坐标方程；
11、 （2）求 l 被 C 截得的线段长 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x+3|x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式 f（x）2a|3x3|对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 18 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（7） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D
12、1，2，3，4，5 【解答】解：集合 AxN|x1，Bx|x5， ABxN|1x52，3，4 故选：C 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，a、bR，za+i， : = ，则 ba（ ） A1 B1 C1 2 D2 【解答】解：由 za+i， : = ，得 : : = ， a+i1+（a+b）i， 则 = 1 + = 1，即 a1，b2 ba= 2;1= 1 2 故选：C 3 （5 分）下列结论中错误的是（ ） A命题“若 m2+n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0” B命题 p：x0R，使得 x02+2x0+20 的否定为xR，x2+2x+20 C命题
13、“若 m0，则方程 x2+xm0 有实根”的逆否命题是真命题 D若 f（x）x2+4x，则使 f（x）0 的解是 x4 或 x0 【解答】解：对于 A，命题“若 m2+n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2+n20， 则 m0 或 n0” ，所以 A 正确； 对于 B，命题x0R，使得0 2 + 20+ 2 0的否定： ，2+ 2+ 20所以 B 错误； 对于 C，命题“若 m0，则方程 x2+xm0 有实根”原命题是真命题，所以它的逆否 命题是真命题；所以 C 正确； 对于 D，若 f（x）x2+4x，则使 f（x）0 的解是 x4 或 x0，正所以 D 正确； 第 7 页（共 1
14、8 页） 故选：B 4 （5 分）设平面向量 =（2，1） ， =（，2） ，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范 围是（ ） A （ 1 2，2）（2，+） B （，4）（4，1） C （1，+） D （，1） 【解答】解： 与 的夹角为锐角， 0且 ， 不共线， 2 + 20 4 0 ，解得 1 且 4， 的取值范围是（，4）（4，1） 故选：B 5 （5 分）已知 为第一象限，sin+cos= 5 4，则 cos( 4041 2 2) =（ ） A 9 16 B 9 16 C 57 16 D57 16 【解答】解： 为第一象限，sin+cos= 5 4， 可得 2sincos= 9 16
15、则 cos(4041 2 2) =sin22sincos= 9 16 故选：B 6 （5 分）设 f（x）是函数 f（x）的导函数，yf（x）的图象如图所示，则 yf（x）的图 象最有可能的是（ ） A B 第 8 页（共 18 页） C D 【解答】解：由题意可知：x0，x2，f（x）0，函数是增函数，x（0，2） ，函数 是减函数； x0 是函数的极大值点，x2 是函数的极小值点； 所以函数的图象只能是 C 故选：C 7 （5 分）将函数 f（x）2sin（3x+） （0）图象向右平移 8个单位长度后，得到函 数的图象关于直线 x= 3对称，则函数 f（x）在, 8 ， 8-上的值域是（
16、） A1，2 B3，2 C, 2 2 ，1- D,2，2- 【解答】解：把函数 f（x）2sin（3x+） （0）图象向右平移 8个单位长度后， 可得 y2sin（3x 3 8 +）的图象； 再根据得到函数的图象关于直线 x= 3对称， 3 3 3 8 +k+ 2，kZ， = 7 8 ，函数 f（x）2sin（3x+ 7 8 ） 在, 8 ， 8-上，3x+ 7 8 2， 5 4 ，sin（3x 8） 2 2 ，1， 故 f（x）2sin（3x 8）2，2，即 f（x）的值域是2，2， 故选：D 8 （5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一 根根同长短的
17、小木棍 如图， 是利用算筹表示数 19 的一种方法 例如： 3 可表示为 “” ， 26 可表示为“” 现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 19 这 9 数字表示两位数的个数为（ ） 第 9 页（共 18 页） A13 B14 C15 D16 【解答】解：根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为 1、5，1、9，2、4，2、 8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7； 数字组合 1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7 中，每组可以表示 2 个两位数， 则可以表示 2714 个两位数； 数字组合 3、3，7、7，每组可以表示 1 个两位数，则可以表
18、示 212 个两位数； 则一共可以表示 14+216 个两位数； 故选：D 9 （5 分）已知ABC 的面积 S= 3 4 （a2+c2b2） ，且 ac4sinAsinC，则 b（ ） A2 B3 C2 D3 【解答】解：ABC 中，a2+c2b22accosB， 面积为 S= 3 4 （a2+c2b2）= 3 2 accosB= 1 2acsinB， tanB= 3， 又 B（0，） ， B= 3； 又 ac4sinAsinC， = ( ) 2 =4， =2， b2sinB2sin 3 =3 故选：B 10 （5 分） 已知双曲线2 2 3 = 1的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点
19、P 在双曲线上， 且F1PF2 120，F1PF2的平分线交 x 轴于点 A，则|PA|（ ） A 5 5 B25 5 C35 5 D5 【解答】解：由题意可得 a21，b23，在三角形 PF1F2中，设 P 在右支上，由余弦定 第 10 页（共 18 页） 理可得 F1F22PF12+PF222PF1PF2cos120（PF1PF2）2+2PF1PF2+PF1PF2， 即 4c24a2+3PF1PF2， 所以可得 PF1PF2= 4(22) 3 = 42 3 = 43 3 =4， PF1PF22a2， 可得 PF1= 5 +1，PF2= 5 1， 所以 S 12= 1 2 1 2sin120
20、= 1 2 4 3 2 = 3， 因为 PA 为角平分线，所以F1PAF2PA60， 而 S 12=S1+S2= 1 2 （PF1PAsin60+PF2PAsin60） = 1 2PA （PF1+PF2） 3 2 = 3 4 PA（5 +1+5 1）= 35 2 PA， 所以3 = 35 2 PA，所以 PA= 25 5 ， 故选：B 11 （5 分）函数 f（x）在区间（a，b）上有 f（x）0，f（x）0，则 f（x）的图象形 状为（ ） A B C D 【解答】解：f（x）0， f（x）在（a，b）上是减函数， 又 f（x）0， f（x）是上凸函数 故选：D 12 （5 分）四边形 AB
21、DC 是菱形，BAC60，AB= 3，沿对角线 BC 翻折后，二面角 ABCD 的余弦值为 1 3，则三棱锥 DABC 的外接球的体积为（ ） A5 B6 C7 D22 【解答】解：如图，取 BC 的中点为 M， 设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 01， 在平面 BCD 内的射影为 O2， 第 11 页（共 18 页） 则二面角 ABCD 的平面角为AMD，AB= 3， 所以 DM= 3 2，DO21，O2M= 1 2， 设AMD2，则2 = 22 1 = 1 3，解得 tan= 2， 2= 2 = 2 2 ，球 O 的半径 = 2 2 + 2 2 = 6 2 ， 所求外接球的体积为 =
22、 4 3( 6 2 )2= 6， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初 期有大幅提高 为了掌握学生的体质与健康现状， 合理制定学校体育卫生工作发展规划， 某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市 30000 名高中男生的身高 （单位：cm）服从正态分布 N（172，2） ，且 P（172180）0.4，那么该市身高 高于 180cm 的高中男生人数大约为 3000 【解答】解：N（172，2） ，且 P（172180）0.4， 所以
23、 P（180）= 12(172180) 2 = 0.1， 故身高高于 180cm 的学生数为 300000.13000 故答案为：3000 14 （5 分） 抛掷一枚骰子 10 次， 若结果 10 次都为六点， 则下列说法正确的序号是 若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件； 若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件； 这枚骰子质地一定不均匀 【解答】解：根据题意，抛掷一枚骰子 10 次，若结果 10 次都为六点，若这枚骰子质地 均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件； 故错误，正确； 第 12 页（共 18 页） 故答案为： 15 （5 分）已知点 P（x，y）在（x+2）2+y23
24、上，求 的最小值 3 【解答】解：设 k= ，则 k 的几何意义为圆上的点与原点的斜率， 则由图象可知当直线 ykx 与圆在第二象限相切时，直线斜率最小，此时 k0， 则圆心（2，0）到直线的距离 d= |2| 1+2， 即 k23，解得 k= 3， 故 的最小值3 故答案是：3 16 （5 分）已知 f（x）为定义在 R 上的偶函数，g（x）f（x）+x2，且当 x（，0时， g（x）单调递增，则不等式 f（x+1）f（x+2）2x+3 的解集为 （ 3 2，+） 【解答】解：根据题意，f（x）为定义在 R 上的偶函数，则 f（x）f（x） ， 则 g（x）f（x）+（x）2f（x）+x2g
25、（x） ，即 g（x）为偶函数， 又由当 x（，0时，g（x）单调递增，则 g（x）在区间0，+）上递减， f（x+1）f（x+2）2x+3f（x+1）+（x+1）2f（x+2）+（x+2）2 g（x+1）g（x+2）g（|x+1|）g（|x+2|）|x+1|x+2|， 解可得：x 3 2，即不等式的解集为（ 3 2，+） ； 故答案为： （ 3 2，+） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn2an2n1， （nN+） （）求证：数列an+2是等比数列； （）求数列n
26、（an+2）的前 n 项和 第 13 页（共 18 页） 【解答】解： （I）证明：令 n1，则 a13 Sn2an2n1， （nN+） Sn12an12（n1）1， （n2，nN+） 得：an2an2an12，an2an1+2， :2 1:2 = 2(1:2) 1:2 = 2， an+2是等比数列 （II）由（I）知：数列an+2是首项为：a1+25，公比为 2 的等比数列 + 2 = 5 2;1， (+ 2) = 5 2 2， 设数列n （an+2）的前 n 项和为 Tn，则= 5 2 (1 2 + 2 22+ 3 23+ + 2) 2= 5 2 (1 22+ 2 23+ 3 24+ +
27、2:1) 得：= 5 2 (2 + 22+ 23+ + 2 2:1) = 5 2 ,2(12 ) 12 2:1-， = 5( 1)2+ 5 18 （12 分）在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，E， F 分别为棱 PC 和 AB 的中点 （1）求证：EF平面 PAD； （2）若直线 PC 与 AB 所成角的正切值为 5 2 ，求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大 小 【解答】解： （1）证明：取 CD 的中点 M，连结 EM，FM， E，F 分别为 PC 和 AB 的中点，四边形 ABCD 是正方形， EMPD，FMAD， EMFMM，PDA
28、DD，平面 EFM平面 PAD， 第 14 页（共 18 页） EF平面 EFM，EF平面 PAD （2）解：平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， CDAD，CD平面 ABCD， CD平面 PAD，CDPD， ABCD，PCD 是直线 PC 与 AB 所成角， tanPCD= = 5 2 ，设 PD= 5，CD2， 分别取 AD 和 BC 的中点 O，N，连结 PO，ON， PAPD，POAD， 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PO平面 PAD， PO平面 ABCD， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立
29、空间直角坐标系， 则 P（0，0，2） ，C（1，2，0） ，B（1，2，0） ， =（2，0，0） ， =（1，2，2） ， 设 =（x，y，z）是平面 BPC 的一个法向量， 则 = 2 = 0 = 2 + 2 = 0 ，取 y1，得 =（0，1，1） ， 平面 PAD 的一个法向量 =（0，1，0） ， cos ， = | |= 1 21 = 2 2 ， ， = 4， 平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大小为 4 19 （12 分）为了解重庆市高中学生在面对新高考模式“3+1+2”的科目选择中，物理与历 史的二选一是否与性别有关， 某高中随机对该校 50 名高一学生进行了问卷调查
30、得到相关 第 15 页（共 18 页） 数据如下列联表： 选物理 选历史 合计 男生 20 5 女生 10 15 25 合计 30 20 50 已知在这 50 人中随机抽取 1 人，抽到选物理的人的概率为3 5 （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为物理与历史的二选一 与性别有关？ P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.072 2.076 3.841 6.635 7.879 10.828 （参考公式2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 为样本容量） （2）已知在选物理的 10 位女生中有 3
31、人选择了化学地理，有 5 人选择了化学、生物， 有 2 人选择了生物、地理，现从这 10 人中抽取 3 人进行更详细的学科意愿调查，记抽到 的 3 人中选择化学的有 X 人，求随机变量 X 的分布列及数学期望 【解答】解： （1）由题意得选物理有 30 人，则补充列联表如下： 选物理 选历史 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 K2= 50(2015510)2 25252030 8.3337.879， 有 99.5%的把握认为物理与历史的二选一与性别有关 （2）X 的可能取值为 1，2，3， P（X1）= 8 1 2 2 10 3 = 1 15， P（X
32、2）= 8 2 2 1 10 3 = 7 15， P（X3）= 8 3 2 0 10 3 = 7 15， X 的分布列为： 第 16 页（共 18 页） X 1 2 3 P 1 15 7 15 7 15 E（X）= 1 1 15 + 2 7 15 + 3 7 15 = 12 5 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为1 2，点 A（1， 3 2）在椭圆 C 上， 直线 l1过椭圆 C 的右焦点与上顶点，动直线 l2：ykx 与椭圆 C 交于 M、N 两点，交 l1 于 P 点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 O 为坐标原点，若点 P 满足|OP|
33、= 1 4|MN|，求此时|MN|的长度 【解答】解： （1）由题意得：e= = 1 2， 1 2 + 9 42 =1，b2a2c2，解得：a24，b2 3， 所以椭圆的方程： 2 4 + 2 3 =1； （2）由题意直线 l2的方程：ykx，代入椭圆中整理： （3+4k2）x212，解得 x= 12 3+42， 令 M 的坐标（ 12 3+42，k 12 3+42） |OP|= 1 4|MN|，由对称性可知， 点 P 为 OM 的中点 故 P 的坐标（ 12 3+42 2 ， 12 3+42 2 ） ， 由 P 在直线 l1：3x+y3 =0， 所以3 12 3+42 2 + 12 3+42
34、 2 3 =0， 解得：k0 或 k= 23 3 ，故 M 的坐标为（2，0） ，或（6 5， 43 5 ） ， 所以|OM|2，或221 5 ， 所以|MN|的长度为 4 或421 5 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+kx 第 17 页（共 18 页） （1）若 k0，且对于任意的 x0，f（x）0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （2） 设函数 F （x） f （x） +f （x） ， 求证： (1) (2) ()(:1+ 2) 2( ) 【解答】解： （1）x0 时，显然符合题意，由题意，若 k0， 对任意的（0，+ ）都成立， 令() = ，则() = (1) 2 ，令
35、 g（x）0，则函数 g（x）在（0，1）上单 调递增，在（1，+）上单调递减， g（x）maxg（1）e， ek0，即实数 k 的取值范围为（e，0） ； （2）证明：F（x）ex+e x， (1)(2) = 1:2+ ;(1:2)+ 1;2+ ;1:21:2+ ;(1:2)+ 21:2+ 2， F（1）F（n）en+1+2， F（2）F（n1）en+1+2， ， F（n）F（1）en+1+2， F（1）F（2）F（n）2（en+1+2）n， (1) (2) ()(:1+ 2) 2( ) 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （
36、10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已 知直线 l 的参数方程为 = 1 2， = 3 2 （t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为 2cos+3 （1）求 C 的直角坐标方程； （2）求 l 被 C 截得的线段长 【解答】解法一： （1）因为 = 2+ 2，cosx， 所以由 2cos+3；得22+ 2= + 3， 两边平方得 4（x2+y2）x2+6x+9， 化简得 C 的直角坐标方程为 3x2+4y26x90 （2）由直线 l 的参数方程得其普通方程为 = 3 第 18 页（共 18 页） 由3 2 + 42 6 9 = 0， = 3
37、消去 y，得 5x22x30 设 l 与 C 的交点为 M（x1，y1） ，N（x2，y2）则1+ 2= 2 5，12 = 3 5 则 l 被 C 截得的线段| = 2(1+ 2)2 412= 16 5 解法二： （1）同解法 （2）由已知可得 C 的极坐标方程化为 = 3 2， 直线的极坐标方程为 = 3或 = 4 3 ( 0)， 由（1）可知极点在曲线 C 的内部，而直线 l 过极点， 设 l 与 C 的两个交点的极坐标分别为(1， 3)，(2， 4 3 ) 则1= 3 2 3 = 2，2= 3 24 3 = 6 5 所以 l 被 C 截得的线段长为价1+ 2= 16 5 五解答题（共五解
38、答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x+3|x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式 f（x）2a|3x3|对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）由 f（x）3，得|2x+3|x1|3， 1 + 4 3或 3 2 1 3 + 2 3 或 3 2 4 3 ， 3 2 1 3或7 3 2， 不等式的解集为*| 7 1 3+ （2）若不等式 f（x）2a|3x3|对 xR 成立， 即不等式|2x+3|x1|2a|3x3|对 xR 成立， 即不等式|2x+3|+|2x2|2a 对 xR 成立， |2x+3|+|2x2|（2x+3）（2x2）|5， 2a5， 5 2， a 的取值范围为（，5 2）
