1、 第 1 页（共 28 页） 2020 年吉林省长春市中考年吉林省长春市中考数学模拟试卷（数学模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）相反数等于它本身的数是（ ） A1 B0 C1 D0 或1 2 （3 分）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“国”字所在的面相对的面上 标的字是（ ） A大 B伟 C梦 D的 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba8a2a4 C （a）2a20 Da2a3a6 4 （3 分）不等式 4x+12x3 的解集在数轴上表示如图，其中正确的是（ ） A B
2、 C D 5（3 分） 如图， 小明从 O 点出发， 前进 6 米后向右转 20， 再前进 6 米后又向右转 20， ， 这样一直走下去，他第一次回到出发点 O 时一共走了（ ） A72 米 B108 米 C144 米 D120 米 6 （3 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果ACD34，那么BAD 等于 （ ） A34 B46 C56 D66 7 （3 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55方向的 A 处，已知 PA6 海里，如果 第 2 页（共 28 页） 海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离 AB 的长是（ ） A6 海里 B6cos55海里 C
3、6sin55海里 D6tan55海里 8 （3 分）如图，等边ABO 的顶点 O 与原点重合，点 A 的坐标是（2，0） ，点 B 在第二 象限反比例函数 y= 的图象经过点 B，则 k 的值是（ ） A3 B3 C23 D23 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9 （3 分）因式分解： 1 2x 2+2 10 （3 分）用反证法证明： “如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 行” 第一步应假设： 11 （3 分）一元二次方程 x2 1 2x+（b+1）0 无实数根，则 b 的取值范围为 12 （3 分）如图，直线
4、y2x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点， 点 C 是第二象限内一点， 连接 CB，若CBA45，则直线 BC 的解析式为 13 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，将ABC 绕顶点 C 逆 第 3 页（共 28 页） 时针旋转得到ABC，AC 与 AB相交于点 P则 CP 的最小值为 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 1 2（x3） 2+m 与 y=2 3（x+2） 2+n 的 一个交点为 A已知点 A 的横坐标为 1，过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于 点 B、C（点 B 在点 A 左侧，点 C 在点 A 右侧）
5、 ，则 的值为 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 78 分）分） 15 （6 分）计算： （x+y）2y（2x+y）8x 16 （6 分）中国籍作家莫言获 2012 年诺贝尔文学奖后，国内掀起了一股购阅莫言作品的热 潮小明的语文老师是莫言的忠实读者，家中现有：A 透明的红萝卜 ，B 红高粱家 族 ，C 生死疲劳 ，D 蛙等四部作品 （1）若老师随机拿来一本给小明阅读，拿到蛙的概率是多少？ （2）若小明想向老师同时借阅两本，请用树形法或列表法的一种，列举出老师随机抽取 两本时所有可能的结果（用 A、B、C、D 表示相应的作品） ，并求出小明恰好借到蛙 和透明的红萝卜的概率 1
6、7 （6 分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8 个，甲做 120 个所用的 时间与乙做 150 个所用的时间相等 （1）甲、乙二人每小时各做零件多少个？ （2）甲做几小时与乙做 4 小时所做机械零件数相等？ 第 4 页（共 28 页） 18 （7 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BD 平分ABC，过点 D 作 DEBC，交 BC 的延长线于点 E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 DC25，AC4，求 OE 的长 19 （7 分）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天户外活动的平均时间不
7、少 于 1 小时，小明为了解本班学生参加户外活动的情况，特进行了问卷调查 （1）在进行问卷调查时有如下步骤，按顺序排列为 （填序号） 发问卷，让被调查人填写；设计问卷；对问卷的数据进行收集与整理；收回 问卷；得出结论 （2）小明根据调查结果，就本班学生每天参加户外活动的平均时间绘制了以下两幅不完 整的统计图 （图中00.5表示大于等于0同时小于0.5， 图中类似的记号均表示这一含义） ， 请你根据图中提供的信息解答下列问题： 在这次调查中共调查了多少名学生？ 通过计算补全频数分布直方图； 请你根据以上统计结果，就学生参加户外活动情况提出建议 20 （7 分）如图，在下列 66 的网格中，横、纵
8、坐标均 A（0，3） ，B（5，3） 、C（1，5） 都是格点在网格中仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹 第 5 页（共 28 页） （1）画出以 AB 为斜边的等腰 RtABD（D 在 AB 下方） ； （2）连接 CD 交 AB 于点 E，则ACE 的度数为 ； （3） 在直线AB下方找一个格点F， 连接CF， 使ACFAEC， 直接写出F点坐标 ； （4）由上述作图直接写出 tanAEC 的值 21 （8 分）已知：甲、乙两车分别从相距 300km 的 A，B 两地同时出发相向而行，甲到 B 地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数图象 （1）求甲车离出
9、发地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式，并标明自变量 x 的取值 范围； （2）若已知乙车行驶的速度是 40 千米/小时，求出发后多长时间，两车离各自出发地的 距离相等； （3）它们在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间 22（9 分） 如图将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转角度 （090） 得到正方形 AB CD （1） 如图 1， BC与AC交于点 M， CD与 AD所在直线交于点N， 若MNBD， 求 ； （2）如图 2，CB与 CD 交于点 Q，延长 CB与 BC 交于点 P，当 30时 求DAQ 的度数； 若 AB6，求 PQ 的长度 第 6 页（共 28 页）
10、 23 （10 分）如图，在ABC 中，ACB90，AB10，AC8，CD 是边 AB 的中线动 点 P 从点 C 出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿折线 CDDB 向终点 B 运动过点 P 作PQAC于点Q， 以PQ为边作矩形PQMN， 使点C、 N始终在PQ的异侧， 且PN= 2 3PQ 设 矩形 PQMN 与ACD 重叠部分图形的面积是 S，点 P 的运动时间为 t（s） （t0） （1）当点 P 在边 CD 上时，用含 t 的代数式表示 PQ 的长； （2）当点 N 落在边 AD 上时，求 t 的值； （3）求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）连结 DQ，当直线 DQ 将矩形
11、PQMN 分成面积比为 1：2 的两部分时，直接写出 t 的值 24 （12 分）定义：如图，若两条抛物线关于直线 xa 成轴对称，当 xa 时，取顶点 xa 左侧的抛物线的部分；当 xa 时，取顶点在 xa 右侧的抛物线的部分，则我们将像这 样的两条抛物线称为关于直线 xa 的一对伴随抛物线例如：抛物线 y（x+1）2（x 0）与抛物线 y（x1）2（x0）就是关于直线 x0（y 轴）的一对伴随抛物线 （1）求抛物线 y（x+1）2+3（x1.5）关于直线 x1.5 的“伴随抛物线”所对应的二 次函数表达式 （2）设抛物线 ymx22m2x+2（m0，m4）交 y 轴于点 A，交直线 x4
12、于点 B 求直线 AB 平行于 x 轴时的 m 的值 求AOB 是直角时抛物线 ymx22m2x+2 关于直线 x4 的“伴随抛物线”的顶点横 坐标 第 7 页（共 28 页） 已知点 C、D 的坐标分别为（8，2） 、 （8，0） ，直接写出抛物线 ymx22m2x+2 及其 关于直线 x4 的 “伴随抛物线” 与矩形 OACD 不同的边有四个公共点时 m 的取值范围 第 8 页（共 28 页） 2020 年吉林省长春市中考年吉林省长春市中考数学模拟试卷（数学模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题
13、3 分）分） 1 （3 分）相反数等于它本身的数是（ ） A1 B0 C1 D0 或1 【解答】解：相反数等于它本身的数是 0 故选：B 2 （3 分）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“国”字所在的面相对的面上 标的字是（ ） A大 B伟 C梦 D的 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “伟”与“国”是相对面， “大”与“中”是相对面， “的”与“梦”是相对面 故选：B 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba8a2a4 C （a）2a20 Da2a3a6 【解答】解：A、a2+a22a2，故此选项错误； B、a8a2a6，故此选项
14、错误； C、 （a）2a20，正确； D、a2a3a5，故此选项错误； 故选：C 4 （3 分）不等式 4x+12x3 的解集在数轴上表示如图，其中正确的是（ ） A B C D 第 9 页（共 28 页） 【解答】解：4x+12x3， 2x4， x2； 在数轴上表示为： ， 故选：B 5（3 分） 如图， 小明从 O 点出发， 前进 6 米后向右转 20， 再前进 6 米后又向右转 20， ， 这样一直走下去，他第一次回到出发点 O 时一共走了（ ） A72 米 B108 米 C144 米 D120 米 【解答】解：依题意可知，小陈所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为 n， 则 20n
15、360，解得 n18， 他第一次回到出发点 O 时一共走了：618108（米） ， 故选：B 6 （3 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果ACD34，那么BAD 等于 （ ） A34 B46 C56 D66 【解答】解：AB 是O 的直径， ADB90， ACD34， ABD34 BAD90ABD56， 故选：C 7 （3 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55方向的 A 处，已知 PA6 海里，如果 第 10 页（共 28 页） 海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离 AB 的长是（ ） A6 海里 B6cos55海里 C6sin55海里 D6tan5
16、5海里 【解答】解：由题意可知NPA55，PA6 海里，ABP90 ABNP， ANPA55 在 RtABP 中，ABP90，A55，PA6 海里， ABAPcosA6cos55海里 故选：B 8 （3 分）如图，等边ABO 的顶点 O 与原点重合，点 A 的坐标是（2，0） ，点 B 在第二 象限反比例函数 y= 的图象经过点 B，则 k 的值是（ ） A3 B3 C23 D23 【解答】解：ABO 为等边三角形，且点 A 的坐标是（2，0） ， 点 B 的坐标为（1，3） ， 反比例函数 y= 的图象经过点 B， k1 3 = 3 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满
17、分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9 （3 分）因式分解： 1 2x 2+2 1 2（x+2） （x2） 【解答】解： 1 2x 2+2= 1 2（x 24）= 1 2（x+2） （x2） 第 11 页（共 28 页） 故答案为： 1 2（x+2） （x2） 10 （3 分）用反证法证明： “如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 行” 第一步应假设： 这两条直线不平行 【解答】解：用反证法证明： “如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互 相平行” 第一步应假设：这两条直线不平行， 故答案为：这两条直线不平行 11 （3 分）一元二次方程 x2 1 2x
18、+（b+1）0 无实数根，则 b 的取值范围为 b 15 16 【解答】解：一元二次方程 x2 1 2x+（b+1）0 无实数根， （ 1 2） 241（b+1）0， 解得：b 15 16， 故答案为：b 15 16 12 （3 分）如图，直线 y2x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点， 点 C 是第二象限内一点， 连接 CB，若CBA45，则直线 BC 的解析式为 y= 1 3x+2 【解答】解：当 x0 时，y2，当 y0 时，2x+20，x1， A（1，0） ，B（0，2） ， OA1，OB2， 过 A 作 AEx 轴，交 BC 于 E，过 E 作 EFAB 于 F， EB
19、A45， EFBF， EAOB， 第 12 页（共 28 页） EAFABO， tanABOtanEAF= = 1 2 = ， 设 EFa，则 BFa，AF2a，AE= 5a， AB3a= 5， a= 5 3 ， AE= 5a= 5 3， E（1，5 3） ， 设直线 BC 的解析式为：ykx+b， 则 + = 5 3 = 2 ，解得： = 1 3 = 2 ， 则直线 BC 的解析式为：y= 1 3x+2； 故答案为：y= 1 3x+2 13 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，将ABC 绕顶点 C 逆 时针旋转得到ABC，AC 与 AB相交于点 P则 CP 的最小
20、值为 4.8 【解答】解：当 CP 与 AB垂直时，CP 有最小值，如图， 第 13 页（共 28 页） ACB90，AC8，BC6， AB= 2+ 2= 82+ 62=10， ABAB10， 由旋转的性质知 BCBC6，ACAC8， SABC= 1 2 BCAC= 1 2 ABCP， CP= 68 10 =4.8 故答案为：4.8 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 1 2（x3） 2+m 与 y=2 3（x+2） 2+n 的 一个交点为 A已知点 A 的横坐标为 1，过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于 点 B、C（点 B 在点 A 左侧，点 C 在点 A
21、右侧） ，则 的值为 3 2 【解答】解：抛物线 y= 1 2（x3） 2+m 与 y=2 3（x+2） 2+n 的对称轴分别为直线 x3 与直线 x2， 点 A 的横坐标为 1， 点 C 的横坐标为 5，点 B 横坐标为5， AC4，AB6， 第 14 页（共 28 页） 则 = 6 4 = 3 2， 故答案为：3 2 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 78 分）分） 15 （6 分）计算： （x+y）2y（2x+y）8x 【解答】解：原式x2+2xy+y22xyy28x x28x 16 （6 分）中国籍作家莫言获 2012 年诺贝尔文学奖后，国内掀起了一股购阅莫言作品的
22、热 潮小明的语文老师是莫言的忠实读者，家中现有：A 透明的红萝卜 ，B 红高粱家 族 ，C 生死疲劳 ，D 蛙等四部作品 （1）若老师随机拿来一本给小明阅读，拿到蛙的概率是多少？ （2）若小明想向老师同时借阅两本，请用树形法或列表法的一种，列举出老师随机抽取 两本时所有可能的结果（用 A、B、C、D 表示相应的作品） ，并求出小明恰好借到蛙 和透明的红萝卜的概率 【解答】解： （1）总情况数为 4，拿到蛙的情况数是 1， 所以，P= 1 4； （2）根据题意画出树状图如下： 一共有 12 种情况，恰好拿到 D蛙和 A透明的红萝卜的情况数有 2 种， 所以，P= 2 12 = 1 6 17 （6
23、 分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8 个，甲做 120 个所用的 时间与乙做 150 个所用的时间相等 （1）甲、乙二人每小时各做零件多少个？ （2）甲做几小时与乙做 4 小时所做机械零件数相等？ 【解答】解： （1）设甲每小时做 x 个零件，则乙每小时做（x+8）个零件， 第 15 页（共 28 页） 依题意，得：120 = 150 :8， 解得：x32， 经检验，x32 是原方程的解，且符合题意， x+840 答：甲每小时做 32 个零件，乙每小时做 40 个零件 （2）404325（小时） 答：甲做 5 小时与乙做 4 小时所做机械零件数相等 18 （7 分）如图，在
24、四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BD 平分ABC，过点 D 作 DEBC，交 BC 的延长线于点 E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 DC25，AC4，求 OE 的长 【解答】 （1）证明：ADBC， ADBCBD， BD 平分ABC， ABDCBD， ADBABD， ADAB， ABBC， ADBC， ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， 又ABBC， 四边形 ABCD 是菱形； （2）解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OBOD，OAOC= 1 2AC2， 第 16 页（共 28 页） 在 RtOCD 中
25、，由勾股定理得：OD= 2 2=4， BD2OD8， DEBC， DEB90， OBOD， OE= 1 2BD4 19 （7 分）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天户外活动的平均时间不少 于 1 小时，小明为了解本班学生参加户外活动的情况，特进行了问卷调查 （1）在进行问卷调查时有如下步骤，按顺序排列为 （填序号） 发问卷，让被调查人填写；设计问卷；对问卷的数据进行收集与整理；收回 问卷；得出结论 （2）小明根据调查结果，就本班学生每天参加户外活动的平均时间绘制了以下两幅不完 整的统计图 （图中00.5表示大于等于0同时小于0.5， 图中类似的记号均表示这一含义） ， 请你根据图中
26、提供的信息解答下列问题： 在这次调查中共调查了多少名学生？ 通过计算补全频数分布直方图； 请你根据以上统计结果，就学生参加户外活动情况提出建议 【解答】解： （1）根据问卷调查的步骤和方法可得：， 故答案为：； （2）2856%50 人， 第 17 页（共 28 页） 5012%6 人， 补全的频数分布直方图如图所示： 根据频数分布直方图可知，活动时间在 0.51 小时的人数最多，占调查人数的 56%， 大多数学生积极的向活动 1 小时努力， 而活动超过 1 小时的学生人数较少，需继续加强 20 （7 分）如图，在下列 66 的网格中，横、纵坐标均 A（0，3） ，B（5，3） 、C（1，5）
27、 都是格点在网格中仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹 （1）画出以 AB 为斜边的等腰 RtABD（D 在 AB 下方） ； （2）连接 CD 交 AB 于点 E，则ACE 的度数为 45 ； （3） 在直线AB 下方找一个格点 F， 连接CF， 使ACFAEC， 直接写出 F 点坐标 （6， 0） ； （4）由上述作图直接写出 tanAEC 的值 3 【解答】解： （1）ABD 即为所求 （2）ACE45 第 18 页（共 28 页） 理由：ACB+ADB180， A，C，B，D 四点共圆， DADB， = ， ACDBCD45 故答案为 45 （3）点 F 即为所求F（6，0） 理由：AC
28、E，ACG 中， CAECAG，ACEAGC45， AECACG， 即ACFAEC 故答案为（6，0） （4）在 RtACF 中，tanACF= = 35 5 =3， ACFAEC， tanAEC3 故答案为 3 21 （8 分）已知：甲、乙两车分别从相距 300km 的 A，B 两地同时出发相向而行，甲到 B 地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数图象 （1）求甲车离出发地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式，并标明自变量 x 的取值 范围； （2）若已知乙车行驶的速度是 40 千米/小时，求出发后多长时间，两车离各自出发地的 距离相等； （3）它
29、们在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间 第 19 页（共 28 页） 【解答】解： （1）当 0x3 时，是正比例函数，设为 ykx， x3 时，y300，代入解得 k100，所以 y100x； 当 3x 27 4 时，是一次函数，设为 ykx+b， 代入两点（3，300） 、 （27 4 ，0） ，得 3 + = 300 27 4 + = 0 ，解得 = 80 = 540 ， 所以 y54080x 综合以上得甲车离出发地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式 为： y= 100(0 3) 80 + 540(3 27 4 )； （2）设出发后 a 小时，两车离各自出发地的距离相等
30、 由题意80a+54040a， 解得 a= 9 2s， 答：出发后9 2小时，两车离各自出发地的距离相等 （3）由题意有两次相遇 当 0x3，100x+40x300，解得 x= 15 7 ； 当 3x 27 4 时， （54080x）+40x300，解得 x6 综上所述，两车第一次相遇时间为第15 7 小时，第二次相遇时间为第 6 小时 22（9 分） 如图将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转角度 （090） 得到正方形 AB CD （1） 如图 1， BC与AC交于点 M， CD与 AD所在直线交于点N， 若MNBD， 第 20 页（共 28 页） 求 ； （2）如图 2，CB与 CD
31、交于点 Q，延长 CB与 BC 交于点 P，当 30时 求DAQ 的度数； 若 AB6，求 PQ 的长度 【解答】解： （1）如图 1 中， MNBD， CMNCBD45，CNMCDB45， CMNCNM， CMCN， CBCD， MBND， ABAD，ABMADN90， ABMADN（SAS） ， BAMDAN， BAD90，MAN45， BAMDAN22.5， 第 21 页（共 28 页） BAC45， BAB22.5， 22.5 （2）如图 2 中， ABQADQ90，AQAQ，ABAD， RtAQBRtAQD（HL） ， QABQAD， BAB30，BAD90， BAD30， QAD=
32、 1 2BAD30 如图 2 中，连接 AP，在 AB 上取一点 E，使得 AEEP，连接 EP设 PBa ABPABP90，APAP，ABAB， RtAPBRtAPB（HL） ， BAPPAB15， EAEP， EAPEPA15， BEPEAP+EPA30， PEAE2a，BE= 3a， AB6， 2a+3a6， 第 22 页（共 28 页） a6（23） PB6（23） ， PCBCPB66（23）63 6， CPQ+BPB180，BAB+BPB180， CPQBAB30， PQ= 30 = 636 3 2 =1243 23 （10 分）如图，在ABC 中，ACB90，AB10，AC8，C
33、D 是边 AB 的中线动 点 P 从点 C 出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿折线 CDDB 向终点 B 运动过点 P 作PQAC于点Q， 以PQ为边作矩形PQMN， 使点C、 N始终在PQ的异侧， 且PN= 2 3PQ 设 矩形 PQMN 与ACD 重叠部分图形的面积是 S，点 P 的运动时间为 t（s） （t0） （1）当点 P 在边 CD 上时，用含 t 的代数式表示 PQ 的长； （2）当点 N 落在边 AD 上时，求 t 的值； （3）求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）连结 DQ，当直线 DQ 将矩形 PQMN 分成面积比为 1：2 的两部分时，直接写出 t 的值 【解答】
34、解： （1）如图 1 中， 在ABC 中，ACB90，AB10，AC8， 由勾股定理，得 AB2AC2+BC2 BC6 CD 是边 AB 的中线， 第 23 页（共 28 页） CDAD5 ACDCAD CQPACB， ABCCPQ = ， 6 = 5 10 PQ3t （2）如图 2，当点 N 落在边 AD 上时， AM+MQ+CQ8 4t+2t+4t8 解得 t= 4 5 （3）如图 1 中，当 0t 4 5时，重叠部分是矩形 PQMN，S6t 2 如图31， 当4 5 t1时， 重叠部分是五边形PQMKJ， SS矩形PQMNSNKJ6t2 1 2 3 4 （10t 8） （10t8）= 6
35、3 2 t2+60t24 第 24 页（共 28 页） 如图 32 中，当 1t2 时，重叠部分是五边形 KQMJD，SSADCSCQKSAMJ 12 1 2 （63t） （84t） 1 22t2t 3 4 = 15 2 t2+24t12， 综上所述，S= 62 (0 4 5) 63 2 2+ 60 24(4 5 1) 15 2 2+ 24 12(0 2) （4）如图 41 中，设 DQ 交 MN 于 J，当 MJ2JN 时，直线 DQ 将矩形 PQMN 分成 面积比为 1：2 的两部分 作 DKAC 于 K PQMN3t，MJ2JM， MJMQ2t， DQK45， DKBC，ADDB， AK
36、KC， DKKQ= 1 2BC3， 第 25 页（共 28 页） CQ1， 4t1， t= 1 4 如图 42 中，设 DQ 交 PN 于 J，当 PJ2JN 时，直线 DQ 将矩形 PQMN 分成面积比 为 1：2 的两部分 PJCQ， = ， 4 3 4 = 5;5 5 ， t= 2 3 如图 43 中，设 DQ 交 PN 于 J，当 PJ2JN 时，直线 DQ 将矩形 PQMN 分成面积比 为 1：2 的两部分 PJAQ， 第 26 页（共 28 页） = ， 4 3 4 = 5;5 5 ， t= 4 3 如图 44 中，设 DQ 交 MN 于 J，当 MJ2JN 时，直线 DQ 将矩形
37、 PQMN 分成面积 比为 1：2 的两部分 同法可证 MQMJ2t， AQD45，由可知 CQ1， 84t1， t= 7 4， 综上所述，满足条件的 t 的值为1 4或 2 3或 4 3或 7 4 24 （12 分）定义：如图，若两条抛物线关于直线 xa 成轴对称，当 xa 时，取顶点 xa 左侧的抛物线的部分；当 xa 时，取顶点在 xa 右侧的抛物线的部分，则我们将像这 样的两条抛物线称为关于直线 xa 的一对伴随抛物线例如：抛物线 y（x+1）2（x 0）与抛物线 y（x1）2（x0）就是关于直线 x0（y 轴）的一对伴随抛物线 （1）求抛物线 y（x+1）2+3（x1.5）关于直线
38、x1.5 的“伴随抛物线”所对应的二 次函数表达式 （2）设抛物线 ymx22m2x+2（m0，m4）交 y 轴于点 A，交直线 x4 于点 B 求直线 AB 平行于 x 轴时的 m 的值 求AOB 是直角时抛物线 ymx22m2x+2 关于直线 x4 的“伴随抛物线”的顶点横 坐标 第 27 页（共 28 页） 已知点 C、D 的坐标分别为（8，2） 、 （8，0） ，直接写出抛物线 ymx22m2x+2 及其 关于直线 x4 的 “伴随抛物线” 与矩形 OACD 不同的边有四个公共点时 m 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 y（x+1）2+3（x1.5）的顶点坐标（1，3） ， （1
39、，3）关于直线 x1.5 的对称点坐标为（4，3） “伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为：y（x4）2+3（x1.5） ； （2）抛物线 ymx22m2x+2（m0，m4）交 y 轴于点 A， 点 A（0，2） ， 直线 AB 平行于 x 轴，抛物线交直线 x4 于点 B 点 B（4，2） ， 216m8m2+2， m0（舍去） ，m2， m2； 如图 1 和图 2， AOB90， 点 B 在 x 轴上， 点 B 的坐标是（4，0） ， 把（4，0）代入 ymx22m2x+2 中，得 第 28 页（共 28 页） 16m8m2+20， 解得，m= 2+5 2 或2;5 2 ， ymx22m2
40、x+2 的顶点横坐标为：x= 22 2 = ， 即抛物线 ymx22m2x+2 的顶点横坐标为2:5 2 或2;5 2 ， 则抛物线 ymx22m2x+2 关于直线 x4 的“伴随抛物线”的顶点横坐标为： 4+（4 2+5 2 ）= 145 2 ，或 4+（4 25 2 ）= 14+5 2 ， “伴随抛物线”的顶点横坐标为14;5 2 或14:5 2 ； 如图 3 和图 4， 点 C、D 的坐标分别为（8，2） 、 （8，0） ，A（0，2） ，抛物线 ymx22m2x+2 及其关 于直线 x4 的“伴随抛物线”与矩形 OACD 不同的边有四个公共点， 点 B 在 x 轴下方， 设 B（4，n） ，则 n0， 把 B（4，n）代入 ymx22m2x+2 中，得 n16m8m2+2， n16m8m2+20， 由二次函数 n16m8m2+2 图象可知， 当 m0 时，若 n0，则 m 25 2 ； 当 m0 时，若 n0，则 m 2+5 2 故 m 25 2 或 m 2+5 2
